備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題39等差數(shù)列等比數(shù)列基本量

專題39等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量【學(xué)問點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念1、數(shù)列(1)定義.依據(jù)確定依次排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時(shí),所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2、等差數(shù)列(1)定義.一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.若等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,則其通項(xiàng)公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項(xiàng).若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),即或.在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外),每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng);事實(shí)上,等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).(4)等差數(shù)列的前項(xiàng)和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項(xiàng)系數(shù)為且常數(shù)項(xiàng)為0).的圖像在過原點(diǎn)的直線上或在過原點(diǎn)的拋物線上.3、等比數(shù)列(1)定義.一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.等比數(shù)列的通項(xiàng),是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項(xiàng)假如成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng),即或(兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)).(5)等比數(shù)列的前項(xiàng)和二、基本性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項(xiàng)的推廣.當(dāng)時(shí),則有,特殊地,當(dāng)時(shí),則有.(2)等差數(shù)列線性組合.①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項(xiàng)和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特殊地若,則有最大值(全部正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和);若,則有最小值(全部負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和).(4)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則為等差數(shù)列,公差為.2、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項(xiàng)的推廣.若時(shí),則,特殊地,當(dāng)時(shí),.(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比確定).當(dāng)或時(shí),為遞增數(shù)列;當(dāng)或時(shí),為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時(shí),不為偶數(shù)).3、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項(xiàng)等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.【典型例題】例1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】設(shè)公差為，則有整理得，又由可得，所以解得，故選:B.例2．（2024·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．33 B．66 C．22 D．44【答案】A【解析】由題意知：，則，則.故選：A.例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，即，因?yàn)椋?，整理得，解得或（舍去），所以．故選：A．例4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問最終一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里【答案】A【解析】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，依據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.例5．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：D例6．（2024·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】由題意得：，，，即，，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，解得：，故選：C.例7．（2024·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，，且，，則的公比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】為遞減的等比數(shù)列，，解得：（舍）或，的公比.故選：A.例8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A．或 B．4 C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，若等比數(shù)列的公比為，所以，而，則，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).故選：A例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿意：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由可得：，又，，由可得：，，解得：，，，，解得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.故選：A例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，則Sn＝________.【答案】3n2－2n.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝An2＋Bn.由已知可得，化簡(jiǎn)得，解得，所以Sn＝3n2－2n.故答案為：3n2－2n例11．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，所以．故答案為：?2．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列滿意，，則__________．【答案】【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知：，解得：或，又，，，.故答案為：.例13．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為__________．【答案】【解析】由題意令，即2不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；令，即4是數(shù)列與的公共項(xiàng)；令，即8不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；令，即16是數(shù)列與的公共項(xiàng)；依次類推，可得數(shù)列：，即是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，故數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，故答案為：例14．（2024春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若則______．【答案】【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)其公比為，由得：，因此，于是，所以.故答案為：52例15．（2024春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項(xiàng)公式為；設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的取值集合.【解析】由知：，且數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合為.例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.求和的通項(xiàng)公式.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，或（舍去），故，，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.例18．（2024春·河北承德·高三興隆縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，若數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由題知即解得，所以.（2）.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024春·北京海淀·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)覺一顆大彗星的運(yùn)行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相像.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回來.這就是聞名的哈雷彗星，它的回來周期大約是76年.請(qǐng)你預(yù)料它在本世紀(jì)回來的年份（

）A．2042 B．2062 C．2082 D．2092【答案】B【解析】由題意，可將哈雷彗星的回來時(shí)間構(gòu)造成一個(gè)首項(xiàng)是1682，公差為76的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，.∴可預(yù)料哈雷彗星在本世紀(jì)回來的年份為2062年.故選：B.2．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)?shù)墓顣r(shí)，由，得m是隨意的正整數(shù)，由，得，則“”是“”的必要不充分條件．故選:A.3．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿意，，則的公差為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，解?故選:C.4．（2024春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“二十四節(jié)氣”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，通過視察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲中時(shí)令、氣候、物候等變更規(guī)律所形成的學(xué)問體系.我國(guó)古代用日晷測(cè)量日影的長(zhǎng)度，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度，二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變更如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變更量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始，已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中立春到夏至的日晷長(zhǎng)的和為（

）A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺【答案】C【解析】設(shè)冬至日晷長(zhǎng)為，小寒日晷長(zhǎng)為，以此類推芒種日晷長(zhǎng)為，因此，，設(shè)從冬至日到夏至日過程中，晷長(zhǎng)的變更量為，所以有，立春日晷長(zhǎng)為，夏至的日晷長(zhǎng)為，所以一年中立春到夏至的日晷長(zhǎng)的和為，故選：C5．（2024春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，所以，解得，所以.故選：B．6．（2024春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）已知是各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前6項(xiàng)和（

）A．84 B．144 C．288 D．110【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，則，即，整理可得，由數(shù)列各項(xiàng)不相等，解得，即，，故.故選：A.7．（2024·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）在遞增等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)，則（

）A．256 B．512 C．1024 D．2048【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即．又因?yàn)?，所以，解得或．又因?yàn)榈缺葦?shù)列是遞增數(shù)列，所以．又因?yàn)?，所以．故選：B.8．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，整理可得，解得，所以，，所以，.故選：B.9．（2024·江西贛州·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故選：C.10．（2024春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，所以.故選：B11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第一天走的路程是（

）A．224里 B．214里 C．112里 D．107里【答案】A【解析】由題設(shè)，每天行程是公比為的等比數(shù)列，所以，可得，則第一天走的路程224里.故選：A12．（2024·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)料）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，也符合上式，所以，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D13．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，則，所以，解得，則，則.故選：B.14．（2024春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且，則（

）A．96 B． C．72 D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，且由題可得，所以，因?yàn)椋獾?，所以，故．故選：B.15．（2024春·湖南湘潭·高三湘鋼一中?？奸_學(xué)考試）公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，，，依次成等比數(shù)列，則（

）A．81 B．63 C．41 D．32【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，因?yàn)?，，，，依次成等比?shù)列，，所以，所以，所以，故選：C.16．（2024秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和84，，則（

）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，等比數(shù)列的前三項(xiàng)和84，則當(dāng)時(shí)，，不滿意題意，當(dāng)時(shí)，，，則，令，即，解得，則，則，故選：B.17．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)料）記公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若成等比數(shù)列，，則（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，即，整理得①.又，即，所以②.由①②得，故.故選：A18．（2024春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，由，得：，即，解得：.故選：B.二、多選題19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C． D．【答案】BC【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，，則，所以，所以，所以B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以，所以C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以D不正確．故選:BC.20．（2024秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且，以下結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．若，則是遞增數(shù)列D．若，則是遞增數(shù)列【答案】AB【解析】由題意，，；對(duì)于A，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，，?它們成等比數(shù)列，正確；對(duì)于C，若，，則，為遞減數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，若，，則，，是遞減數(shù)列，錯(cuò)誤.故選：AB.21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則是以為公比的等比數(shù)列，A對(duì)；時(shí)，，則不是等比數(shù)列，B錯(cuò)；，時(shí)，，此時(shí)不是等比數(shù)列，C錯(cuò)；，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對(duì).故選：AD．22．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，是遞增數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，D對(duì).故選：ACD.23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】ACD【解析】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，∵，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確；∵，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：ACD.24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿意，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】由題意得，，即，解得，所以，故A、B正確；得，故，故C錯(cuò)誤；所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確.故選：ABD.三、填空題25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．【答案】【解析】，即，又由，即，所以等差數(shù)列的公差為，又由，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：26．（2024秋·吉林遼源·高三校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，，則______．【答案】2024【解析】因?yàn)椋?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.，則.故答案為：202427．（2024春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S3=4，S6=12，則S9=______.【答案】28【解析】因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以數(shù)列,也為等比數(shù)列，所以有,得，所以，故答案為：2828．（2024秋·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，，所以.故答案為：.29．（2024春·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則______.【答案】【解析】由等比數(shù)列求和公式以及通項(xiàng)公式可得.故答案為：.30．（2024春·北京海淀·高三101中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列．為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．則___________．【答案】【解析】設(shè)的公比為，則由成等差數(shù)列，可得，而為等差數(shù)列．則，所以，即，解得，故，故答案為：31．（2024春·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若是中唯一的最小項(xiàng)，則滿意條件的的通項(xiàng)公式可以是_________（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】令，則數(shù)列單調(diào)遞增，且，，，，，，所以，，，，即，當(dāng)時(shí)，即，所以，所以是中唯一的最小項(xiàng)，故符合題意.故答案為：（答案不唯一）32．（2024秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.，，則______.【答案】【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，結(jié)合題意，得，又，所以，所以.故答案為：33．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以或（舍），所?故答案為：.34．（2024·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)料）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.【答案】21【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)有，所以.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，因?yàn)?，所?故答案為：21.35．（2024秋·遼寧·高三遼河油田其次高級(jí)中學(xué)校考期末）已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于___________【答案】【解析】在等比數(shù)列中，滿意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，又由，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為：.36．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則常數(shù)k的值為______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，解得．故答案為：．四、解答題37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，其中a3=7，a1，a2，a6成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】由已知得，設(shè)公差為d，則有，即，，，；綜上，的通項(xiàng)公式為：，.38．（2024·黑龍江·黑龍江試驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿意，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1），，，即，，，故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，故，，解得：，，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，即，與聯(lián)立得：或0（舍去），且，故，（2）由題意得：為中的整數(shù)個(gè)數(shù)，故，所