2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題01二次函數(shù)幾何定義(學(xué)生版+解析)

專題01二次函數(shù)幾何定義一、知識(shí)導(dǎo)航1．考向分析：我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線上的任意一點(diǎn)到平面中某個(gè)定點(diǎn)和某條定直線的距離始終相等．這個(gè)點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，這條直線稱為拋物線的準(zhǔn)線，本專題將討論一些與拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)的問(wèn)題．焦點(diǎn)和準(zhǔn)線屬于高中內(nèi)容，高中內(nèi)容下放也是中考中所常見(jiàn)的．2．定義：二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)形成的圖形就叫拋物線．3．模型：（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，請(qǐng)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)形成的拋物線的解析式．解：由題意得：，過(guò)點(diǎn)M作MB⊥直線y=-4，垂足記為B點(diǎn)，則MB=，∴MA=MB，即，兩邊平方，化簡(jiǎn)得：．故M點(diǎn)形成的拋物線的解析式為．（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，在（1）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得最短？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：過(guò)P點(diǎn)做PQ⊥直線y=-4，則PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．過(guò)點(diǎn)D作直線y=-4的垂線，與拋物線交點(diǎn)即為P點(diǎn)，垂足為Q，此時(shí)PQ+PD最短，PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，為最小值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

4．模型總結(jié)：結(jié)論1：對(duì)于拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線．焦點(diǎn)一般會(huì)用字母F表示．而且二次項(xiàng)系數(shù)很多時(shí)候是，只是為了焦點(diǎn)坐標(biāo)便于計(jì)算．至于形如的拋物線可化為頂點(diǎn)式，然后通過(guò)由平移來(lái)確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線．結(jié)論2：如下圖，F(xiàn)M⊥FN．證明：設(shè)，，則，∴，∴FM⊥FN．結(jié)論3：取PQ中點(diǎn)E，作EH⊥x軸交x軸于H點(diǎn)，則PH⊥QH．證明：倍寬中線證兩次全等．結(jié)論4：記MN與y軸交于點(diǎn)G，則．二、典例精析例一：如圖，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若拋物線是由拋物線通過(guò)圖像平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；（2）若直線經(jīng)過(guò)軸上一點(diǎn)，且平行于軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作于．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），求的最小值．【分析】（1）向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；（2）①直線l即為拋物線的準(zhǔn)線，所求F點(diǎn)為焦點(diǎn)．考慮特殊位置，當(dāng)P點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）（舍掉），以下證明P在拋物線任意位置，均滿足PF=PM：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，∴PF=PM，∴當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，PM=PF恒成立．②由①可得PQ+PF=PQ+PM，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸，與x軸交點(diǎn)即為M點(diǎn)，與拋物線交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)PQ+PM=QM=6，故QP+PF的最小值為6．

三、中考真題演練1．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△HME的面積值．3．探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面．其原理是過(guò)某一特殊點(diǎn)的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，我們稱這個(gè)特殊點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．若拋物線的表達(dá)式為，則拋物線的焦點(diǎn)為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某款探照燈拋物線的表達(dá)式為，焦點(diǎn)為F．(1)點(diǎn)F的坐標(biāo)是___________；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線射出，所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．①畫(huà)出沿射線方向射出的光線的反射光線；②所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．4．已知拋物線方程為，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)．（1）我們稱為拋物線的焦點(diǎn)，直線:為拋物線的準(zhǔn)線，連接線段，作于點(diǎn)．求證：；（2）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；②將繞焦點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，求周寬的最小值；③直線：與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，．求證：直線過(guò)定點(diǎn)．5．如圖，在頂點(diǎn)為P的拋物線的對(duì)稱軸l上取，過(guò)A作交拋物線于B,C兩點(diǎn)(B在C左側(cè))，點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，過(guò)作，又分別過(guò)B,C作，垂足為E,D，在這里我們把點(diǎn)A叫拋物線的焦點(diǎn)，BC叫拋物線的直徑，矩形BCDE叫拋物線的焦點(diǎn)矩形．(1)直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(2)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(3)已知拋物線的直徑為，求a的值；(4)①已知拋物線的焦點(diǎn)矩形的面積為2，求a的值；②直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

專題01二次函數(shù)幾何定義一、知識(shí)導(dǎo)航1．考向分析：我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線上的任意一點(diǎn)到平面中某個(gè)定點(diǎn)和某條定直線的距離始終相等．這個(gè)點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，這條直線稱為拋物線的準(zhǔn)線，本專題將討論一些與拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)的問(wèn)題．焦點(diǎn)和準(zhǔn)線屬于高中內(nèi)容，高中內(nèi)容下放也是中考中所常見(jiàn)的．2．定義：二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)形成的圖形就叫拋物線．3．模型：（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，請(qǐng)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)形成的拋物線的解析式．解：由題意得：，過(guò)點(diǎn)M作MB⊥直線y=-4，垂足記為B點(diǎn)，則MB=，∴MA=MB，即，兩邊平方，化簡(jiǎn)得：．故M點(diǎn)形成的拋物線的解析式為．（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，在（1）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得最短？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：過(guò)P點(diǎn)做PQ⊥直線y=-4，則PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．過(guò)點(diǎn)D作直線y=-4的垂線，與拋物線交點(diǎn)即為P點(diǎn)，垂足為Q，此時(shí)PQ+PD最短，PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，為最小值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

4．模型總結(jié)：結(jié)論1：對(duì)于拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線．焦點(diǎn)一般會(huì)用字母F表示．而且二次項(xiàng)系數(shù)很多時(shí)候是，只是為了焦點(diǎn)坐標(biāo)便于計(jì)算．至于形如的拋物線可化為頂點(diǎn)式，然后通過(guò)由平移來(lái)確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線．結(jié)論2：如下圖，F(xiàn)M⊥FN．證明：設(shè)，，則，∴，∴FM⊥FN．結(jié)論3：取PQ中點(diǎn)E，作EH⊥x軸交x軸于H點(diǎn)，則PH⊥QH．證明：倍寬中線證兩次全等．結(jié)論4：記MN與y軸交于點(diǎn)G，則．二、典例精析例一：如圖，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若拋物線是由拋物線通過(guò)圖像平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；（2）若直線經(jīng)過(guò)軸上一點(diǎn)，且平行于軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作于．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），求的最小值．【分析】（1）向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；（2）①直線l即為拋物線的準(zhǔn)線，所求F點(diǎn)為焦點(diǎn)．考慮特殊位置，當(dāng)P點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）（舍掉），以下證明P在拋物線任意位置，均滿足PF=PM：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，∴PF=PM，∴當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，PM=PF恒成立．②由①可得PQ+PF=PQ+PM，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸，與x軸交點(diǎn)即為M點(diǎn)，與拋物線交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)PQ+PM=QM=6，故QP+PF的最小值為6．

三、中考真題演練1．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)求出的面積．【答案】(1)，；(2)；(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得，然后根據(jù)，求出，進(jìn)而可得，問(wèn)題得解；（3）過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小；待定系數(shù)法求直線的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)是直線和直線m的交點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求得和的值，即可求得；（4）根據(jù)題意求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。磺蟮?，即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵拋物線中，∴，，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，故答案為：，；（2）解：由（1）知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，∴，整理得：，又∵，∴解得：或（舍去），∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即此刻的值最?。弧咧本€與直線垂直，故設(shè)直線的解析式為，將代入解得：，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn)，令，解得：，（舍去），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)是直線和直線m的交點(diǎn)，令，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，．即的最小值為．（4）解：∵拋物線中，∴，，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即此刻的值最?。蝗鐖D：

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入解得，即，，則的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論．2．某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過(guò)拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較寬一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△HME的面積值．【答案】(1)（0，），，(2)，4）或（，4）(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則，求出，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出，則；同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)△HME的面積．【詳解】（1）解：由題意得拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程分別為（0，），，故答案為：（0，），，（2）解：由題意得拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程為，∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（，4）；（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，）直線l的解析式為：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF=2，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），∴，∴，∴，解得（負(fù)值舍去）；（4）解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），∴，∴，∴HN=2，∵點(diǎn)E是靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)，∴，∴；同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，，∴，∴，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面．其原理是過(guò)某一特殊點(diǎn)的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，我們稱這個(gè)特殊點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．若拋物線的表達(dá)式為，則拋物線的焦點(diǎn)為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某款探照燈拋物線的表達(dá)式為，焦點(diǎn)為F．(1)點(diǎn)F的坐標(biāo)是___________；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線射出，所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．①畫(huà)出沿射線方向射出的光線的反射光線；②所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析，②【分析】（1）根據(jù)題意得出，即可確定點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)題意確定軸，得出，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，軸，據(jù)此作出平行線即可；②設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，然后與聯(lián)立求解即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，∴，∴，故答案為：；（2）由題意可知拋物線的對(duì)稱軸是y軸，∴經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，即經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∵所在的直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為，∴，①經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∴畫(huà)出沿射線方向射出的光線的反射光線，如下圖所示：②設(shè)直線的解析式為，把、代入，得，解得：∴直線的解析式為，由題意可知，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，把代入整理得，解得：，，∵點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵軸，∴所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問(wèn)題等，理解題意，綜合運(yùn)用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．已知拋物線方程為，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)．（1）我們稱為拋物線的焦點(diǎn)，直線:為拋物線的準(zhǔn)線，連接線段，作于點(diǎn)．求證：；（2）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；②將繞焦點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，求周寬的最小值；③直線：與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，．求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，點(diǎn)；②11；③見(jiàn)解析【分析】（1），而，即可求解；（2）①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，進(jìn)而求解；②求出，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)周寬最小值，即可求解；③聯(lián)立與并整理得：，則；再證明，即，得到，解得，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)，則，則，而，（2）①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為，則點(diǎn)；②如圖2，將圖形向下平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將該圖形向上平移1個(gè)單位，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為題干要求點(diǎn)的位置，即點(diǎn)，由（1）知，，而為常數(shù)，故當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，為最小，此時(shí)周寬最小值；③如圖3，聯(lián)立與并整理得：，則，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、，，，，，即，則，即，整理得：，解得，故直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)、新定義等，有一定的綜合性，難度較大．5．如圖，在頂點(diǎn)為P的拋物線的對(duì)稱軸l上取，過(guò)A作交拋物線于B,C兩點(diǎn)(B在C左側(cè))，點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，過(guò)作，又分別過(guò)B,C作，垂足為E,D，在這里我們把點(diǎn)A叫拋物線的焦點(diǎn)，BC叫拋物線的直徑，矩形BCDE叫拋物線的焦點(diǎn)矩形．(1)直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(2)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(3)已知拋物線的直徑為，求a的值；(4)①已知拋物線的焦點(diǎn)矩形的面積為2，求a的值；②直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

【答案】(1)(0，1)，4；(2)(3，3)，4；(3)；(4)①；②或【分析】(1)根據(jù)題意可以求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(2)根據(jù)題意可以求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑；(3)根據(jù)題意和拋物線的直徑為，列方程即求a的值；(4)①根據(jù)題意和拋物線的焦點(diǎn)矩形的面積為2，列方程即求的值；②根據(jù)(2)中的結(jié)果和圖形可以求得拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．【詳解】(1)∵拋物線中，，，，∴此拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，，縱坐標(biāo)是：，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0