高中數(shù)學(xué)人教A版必修五《應(yīng)用舉例第一課時(shí)》

《應(yīng)用舉例第一課時(shí)》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進(jìn)一步應(yīng)用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應(yīng)用。

通過(guò)運(yùn)用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加

以解決的能力。

?教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力目標(biāo)】

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常

用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)。

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的

實(shí)際情況，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多

媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)

表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解。

【教學(xué)難點(diǎn)】

實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定，即根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖。

?課前準(zhǔn)備

電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好。

?教學(xué)過(guò)程

新課導(dǎo)入

1、［復(fù)習(xí)舊知］

復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

1.正弦定理:

語(yǔ)言表述在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

符號(hào)表示a_b_c

sin/1sini?sinC

比值的含義sin力sin8sinC

（其中々為的外接圓半徑）

(1),a=27feinAfb=2/fsinB,c=2/feinC\

變形(2)sinA=—sinB=—sinC=—；

2Rf2Rf2R

(3)a\bIc-sin/：sin4：sinC

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

作用

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

2.余弦定理:

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩

語(yǔ)言表述

邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

#=Z/+d—22ccos力;

符號(hào)表示=#+d-2accos_B；

c2aAeosC.

余弦定理

.b-+c2-a2c2+a2-b2

cosA=----------------；cosBD=-----------------

2bc2ca

推論

222

「a+b-c

cosC=----------------

2ah

①.已知三邊求三角；

作用

②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

2、［設(shè)置情境］

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章''解三角形"中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙

不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出

了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度

等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)

施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。

于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理

在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

二、研探新知，建構(gòu)概念

解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條

件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，

在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,ZBAC=51°,NACB=75°。求A、B兩

點(diǎn)的距離（精確到0.Im）。

B

圖1.2-1

啟發(fā)提問(wèn)1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題

目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為己知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知

角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得ABAC

sinZACBsinZABC

_ACsinZACB_55sinZACB_55sin75°-55sin75°七gg7的

sinZABCsinZABCsin(180°-51°-75°)sin54°

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。

變式訓(xùn)練：

一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行.在A處看燈塔S

在船的北偏東20的方向，30min后航行到B處，在B處看燈

塔在船的北偏東65的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外

的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？

解：在AASS中，乙%4=115。，

NS=45°,由正弦定理得

eABsin20°16.1sin20°

SB----------------=-------------------7.787(nmile)

sin45°sin45°

設(shè)點(diǎn)室U直線力剛距離為無(wú)則

h=SBsin65°?7.06(〃mile)

???A>6.5/7mile此船可以繼續(xù)沿正北方向航行

答：此船可以繼續(xù)沿正I匕方向航行

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方

法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要

構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊

既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

圖1.2-2

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD二a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得NBCA二

NACD二萬(wàn)，NCDB=7,ZBDA=^,在AADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=asin(7+b)=asin(7+b)

sin[180°-(/?+/+^)]sin(—+：+b)

Be=asin/二asin/

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+/7+/)

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：

如圖，為了測(cè)量正在海面勻速行駛的某船的速度，在海岸上選取距離1千米的兩個(gè)觀察

點(diǎn)C,I),在某天10：00觀察到該船在A處，此時(shí)測(cè)得/ADC=30°,2分鐘后該船行駛至B

處，此時(shí)測(cè)得NACB=60°,ZBCD=45°,NADB=60°,則船速為多少千米/分鐘?

解：在aBCD中，ZBDC=30°+60°=90°,CD=1,ZBCD=45°,所以BC=a.

在4ACD中，ZCAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以衛(wèi)-=￡?,AC=—.

sm45°sin3002

在aABC中，AB=AC2+BC2-2ACXBCXcos60°二，

2

r—V6_

所以AB￥，所以船速為心半千米/分鐘。

224

學(xué)生閱讀課本12頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

四、鞏固訓(xùn)練：

課本第14頁(yè)練習(xí)第2題

五、課堂小結(jié)：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,

建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

六、作業(yè)布置：

課本第22頁(yè)第2、3題

?S

?教學(xué)反思

略。

《應(yīng)用舉例第二課時(shí)》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進(jìn)一步應(yīng)用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應(yīng)用。

通過(guò)運(yùn)用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加

以解決的能力。

?教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力目標(biāo)】

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量

的問(wèn)題。

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)

正確識(shí)圖、畫(huà)圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架。通過(guò)3道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來(lái)

鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)一一討論一一歸納，目的不在

于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)思考題，提供學(xué)生更廣

闊的思考空間。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力。

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件。

?課前準(zhǔn)備

電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好。

?教學(xué)過(guò)程

塞樂(lè)斯生于公元前624年，是古希臘第一位聞名世界的大數(shù)學(xué)家。他原是一位很精明的

商人，靠賣橄欖油積累了相當(dāng)財(cái)富后，塞樂(lè)斯便專心從事科學(xué)研究和旅行。他游歷埃及時(shí)，

曾用一種巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及國(guó)王阿美西斯欽羨不已。賽樂(lè)斯的測(cè)量

方法是什么？

答：選一個(gè)天氣晴朗的日子，在金字塔邊豎立一根小木棍，然后觀察木棍陰影的長(zhǎng)度變

化，等到陰影長(zhǎng)度恰好等于木棍長(zhǎng)度時(shí)，趕緊測(cè)量金字塔影的長(zhǎng)度，因?yàn)樵谶@一時(shí)刻，金字

塔的高度也恰好與塔影長(zhǎng)度相等。也有人說(shuō)，塞樂(lè)斯是利用棍影與塔影長(zhǎng)度的比等于棍高與

塔高的比算出金字塔高度的。如果是這樣的話，就要用到三角形對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)數(shù)學(xué)定理。

塞樂(lè)斯自夸，說(shuō)是他把這種方法教給了古埃及人但事實(shí)可能正好相反，應(yīng)該是埃及人早就知

道了類似的方法，但他們只滿足于知道怎樣去計(jì)算，卻沒(méi)有思考為什么這樣算就能得到正確

的答案。

二、研探新知，建構(gòu)概念

1.解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。

2.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到一些有關(guān)角的術(shù)語(yǔ)：

(1)方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角。

(2)仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視

線在水平線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角。(如下圖所示)

目標(biāo)視線

水平視線

目標(biāo)視線

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物

高度AB的方法。

分析:求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在△ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,

再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀

器測(cè)得A的仰角分別是a、p,CD=a,測(cè)角儀器的高是h,那么，在AACD中，根據(jù)正弦

八。_?sin0

定理可得

sin(a-p)

AB=AE+h=ACsina+h=asinasin/?+卜

sin(a-fi)

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角a=54°40',在塔底C處測(cè)得

A處的俯角￡=50°1'。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD（精確到1m）

圖1.2-5

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時(shí)間給學(xué)生討論思考）若在AABD中求

CI）,則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)NBAD=a求得。

解：在AABC中，ZBCA=90°+6，NABC=90°-a,NBAC=a-尸，/BAD=。.根據(jù)正弦

BCAB

定理知：=

疝（a-夕）sin（90'+/3）

ARJCsin（90'+-）_BCcos.

所以

sin（a-p）sin（a-夕）

解Rt△ABD中，得BD=ABsinZBAD="期網(wǎng)11。

sin(a-(J)

27.3cos50Tsin54’40'

將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得BD

sin(54°40'-50ol')

27.3cos50Tsin54=4(y

^177(m)

sin4°39'

CD=BD-BCg177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米。

師：有沒(méi)有別的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請(qǐng)大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根據(jù)正弦定理求得。(解題過(guò)程略)

例3、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D

在東偏南15°的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,

求此山的高度CDo

圖1.2-6

師：欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？

生：在△BCD中

師：在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)?

生：BC邊

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理,

BC_AB

sinAsinC

ABsinA5sin15

sinCsin1()

.7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC^BCxtan8°七1047(m)

答：山的高度約為1047米。

四、鞏固訓(xùn)練：

1.在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為6,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測(cè)得頂端

A的仰角為26,再繼續(xù)前進(jìn)10后m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為40,求。的大小和建筑

物AE的高。

師：請(qǐng)大家根據(jù)題意畫(huà)出方位圖。

生：上臺(tái)板演方位圖（上圖）

教師先引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，請(qǐng)三位同學(xué)用三種不同方法板

演，然后教師補(bǔ)充講評(píng)。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°-40,

.1OV3=30。

sin20sin(18O°—46)

因?yàn)閟in46=2sin29cos2。

cos20=無(wú)，得2。=30°

2

6=15°,

.?.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：(設(shè)方程來(lái)求解)設(shè)DE=x,AE=h

在RtAACE中，(106+x)2+h2=302

在RtAADE+,x2+h2=(1073)2

兩式相減，得x=5石，h=15

LC

.,.在RtAACE中，tan26=---z=---二——

10V3+X3

.?.2。=30°,6=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m。

解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得

ZBAC=6?,ZCAD=261,

AC=BC=30m,AD=CD=1073m

x

在RtzXACE中，sin29二----------①

30

4

在Rt^ADE中，sin48=-廣，---------②

10V3

/o

②+①得cos26=?,20=30°,。=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m。

2.課本第15頁(yè)練習(xí)第1、2、3題

五、課堂小結(jié)：

利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖,要懂得從所給的

背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

六、作業(yè)布置：

1、課本第19頁(yè)練習(xí)第6、7、8題

2、為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,

測(cè)得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

答案：20+-----(m)

3

?教學(xué)反思

略。

《應(yīng)用舉例第三課時(shí)》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進(jìn)一步應(yīng)用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應(yīng)用。

通過(guò)運(yùn)用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加

以解決的能力。

?教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力目標(biāo)】

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題。

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)

通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1,還針對(duì)性地選擇了既具典型性

有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地

位，重過(guò)程，重討論，教師通過(guò)導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)

程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的

探索精神。

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】

靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題。

?課前準(zhǔn)備

電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好.

?教學(xué)過(guò)程

三、新課導(dǎo)入

提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊

和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海

面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量

問(wèn)題。

二、研探新知，建構(gòu)概念

1.解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。

2.方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。

方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角。

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75。的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然

后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出

發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？（角度精確到0.1",距離精確到

0.Olnmile）

?/cI

北

▲

東

西

一

倒

南

圖1.2-7

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析:首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角/ABC,

即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,根據(jù)余弦定理,

AC=7AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=V67.52+54X)2_2X67.5X54.0XCOS137°

^113.15

根據(jù)正弦定理，BC=4c

sinZCABsinZABC

sinZCAB=BCsinZA3c

AC

_54.0sin137°

113.15

?=0.3255,

所以/CAB=19.0°,75°-NCAB=56.0°

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的

方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向

追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫(huà)出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9x10xcosl20°

T.a

化簡(jiǎn)得32x2-30x-27=0,即x=—,或x=——(舍去)

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因?yàn)閟in/BAC"sin⑶=@乂旦二巫

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'(鈍角不合題意,舍去),

38°13'+45°=83°13'

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13'方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船。

評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的

應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

四、鞏固訓(xùn)練:

1.課本第18頁(yè)練習(xí);

2.如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小.島A在船的南

偏東30°,航行30海里到C處，在C處測(cè)得小島力在船的南偏東45°,

如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？

解：在ZkABC中，8c=30,8=30°,

NACB=18O°-45°=135°,

由正弦定理知二￡=-^30AC

sinAsinBsin15。-sin30°

...AC=30sin30°=60cos15°=1576+1572..,.A到BC所在直線的距離為

sin15°

ACsin45°=（1576+I5V2）----=15（百+1）~40.98>38（海里）,

2

???不改變航向，繼續(xù)向南航行，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)。

答：不改變航向，繼續(xù)向南航行，無(wú)觸礁的危險(xiǎn)。

五、課堂小結(jié)：

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角

形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這

時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。

六、作業(yè)布置：

課本第20頁(yè)練習(xí)第9題

?教學(xué)反思

略。

《應(yīng)用舉例第四課時(shí)》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進(jìn)一步應(yīng)用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應(yīng)用。

通過(guò)運(yùn)用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加

以解決的能力。

■、

?教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與能力目標(biāo)】

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題，掌握三角形

的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用。

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特

點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)

用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，

能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思維，有利地進(jìn)

一步突破難點(diǎn)。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)

生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)。

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目。

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題。

?課前準(zhǔn)備

電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好.

?教學(xué)過(guò)程

一、新課導(dǎo)入

如果已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積.那么如果知道三角形兩邊及夾角，有

沒(méi)有辦法求三角形面積？

二、研探新知，建構(gòu)概念

1.解決實(shí)際三角形問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里

的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。

2.在AABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h〃、院、hf,那么它們?nèi)绾斡靡阎?/p>

和角表示？

hfl=bsinC=csinB；h/,=csinA=asinC；h(.=asinB=bsinaA

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.Icn^)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)己知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)

系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可

以求出三角形的面積。

解：(1)應(yīng)用S=」acsinB,得S=—x14.8x23.5xsinl48.5°9(cm2)

22

bsmC

(2)根據(jù)正弦定理，——---c---c=--------

sinBsinC--------------sinB

S二—bcsinA=—b2s1nosm'

22sinB

A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5

1sin65.8sin51.5

S=-x3.1602x----------------^4.0(zcm20

2sin62.7

(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2^-a2-b2

DcosB=-----------

2ca

38.72+41.42-27.32

2x38.7x41.4

公O7697

sinB=Vl-cos2B弋71-0.7697240.6384

應(yīng)用S='acsinB,得

2

S-x41.4x38.7x0,6384^511.4(cm2)

2

例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量

得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127叫這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精確到

0.1cm2)?

師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。

由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

c2+a2-b2

cosDB=-----------

2ca

=1272+682-882-.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322?0.6578

應(yīng)用S=—acsinB

2

Sx68x127x0.6578^2840.38(m2)

2

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。

例3、在△ABC中，求證：

/八a2+b2sin2A+sin2B

(1)；—=------T-------------;

c2sin~C

(2)a2+h2+C2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到

用正弦定理來(lái)證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)