高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié)(絕對(duì)全)

第六章數(shù)列

?、考試要求

1.會(huì)根據(jù)數(shù)列前〃項(xiàng)寫出一個(gè)通項(xiàng)公式，會(huì)運(yùn)用通項(xiàng)討論其性質(zhì)（如單調(diào)性），能用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列。

2.了解遞推公式的意義，會(huì)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，會(huì)求形如。計(jì)1=b*+c型數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.理解等差數(shù)列的概念，會(huì)用其概念導(dǎo)出通項(xiàng)公式，了解等差中項(xiàng)的概念，能通過(guò)公式研究它的單調(diào)性。

4.會(huì)用倒序相加法推導(dǎo)前〃項(xiàng)和公式，掌握并能運(yùn)用公式解決一些問(wèn)題。

5.理解等比數(shù)列的概念并能運(yùn)用它導(dǎo)出其通項(xiàng)公式，了解等比中項(xiàng)的概念，會(huì)通過(guò)通項(xiàng)公式研究它的單調(diào)性。

6.會(huì)用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式（分清4=1和的情形），并運(yùn)用公式解決一些問(wèn)題。

7.理解和運(yùn)用公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求數(shù)列的前〃項(xiàng)和。

二、重難點(diǎn)擊

本章重點(diǎn)：數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式及運(yùn)用，等差數(shù)列、等比數(shù)

列的有關(guān)性質(zhì)。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求

和法、錯(cuò)位相減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、函數(shù)與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。

本章難點(diǎn)：對(duì)數(shù)列概念的理解，對(duì)公式理解和掌握對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用，求和方法的運(yùn)用，求通項(xiàng)的方法的運(yùn)用，

以及思想方法的運(yùn)用，是本章的難點(diǎn)。

三、命題展望

數(shù)列任然會(huì)以客觀題考察等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式及性質(zhì)，在解答題中，會(huì)保持以前

的風(fēng)格，理科注重?cái)?shù)列與其它分支的綜合能力的考察，文科則注重?cái)?shù)列內(nèi)部綜合能力考察，在高考中，數(shù)列

?？汲Ｐ?，其主要原因是它作為--個(gè)特殊函數(shù)。使它可以與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角等綜合起來(lái)，這

更體現(xiàn)了知識(shí)交叉命題原則得以貫徹；另一方面，因?yàn)閿?shù)列研究的一些特殊方法（歸納一探索一驗(yàn)證）和數(shù)

學(xué)思想（函數(shù)與方程，分類與整合），會(huì)命判開放性、探索性強(qiáng)的問(wèn)題，又因?yàn)閿?shù)列與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，使

數(shù)列應(yīng)用題也倍受歡迎。

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第一課時(shí)數(shù)列

知識(shí)要點(diǎn)

一、數(shù)列的概念

1.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù),記作外,出，。3……，簡(jiǎn)記｛%｝.

2.數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)氏,與項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系若用一個(gè)公式=/（〃）給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹*（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖

像是一群孤立的點(diǎn)。

二、數(shù)列的表示方法

數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。

三、數(shù)列的分類

1.按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。

2.按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否不超過(guò)某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列。

3.從函數(shù)角度考慮分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列。

四、數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和S?的關(guān)系

1.S?=a}+o2+?3+?-■+??

/=1

S\n-1

2.an-

S"-n>2

課前熱身

1.數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(C)

22?〃(71+1)n(n-1)

A.an-(M-1)B.an=n~—1C.an=--—D.011~-2-

2.在數(shù)列l(wèi),l,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，x的值為(D)

A.10B.11C.12D.13

3.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為*=3〃2—28〃，則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（B）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

4.已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a,,=n2+An,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（—3,+oo）

-2n=1

5.數(shù)列｛怎｝的前n項(xiàng)和S“=〃2一4〃+1,,則an-

2/2-5n>2

典例精析

題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)

【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的個(gè)通項(xiàng)公式

（1）7,77,777,7777,—

2

2468

(2)一,--,—,----,,,?

3153563

(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9-

解析：⑴將數(shù)列變形為77§7(103—1),…，§7。0”一1)

⑵分開觀察，正負(fù)號(hào)由(—I)"”確定，分子是偶數(shù)2〃，分母是lx3,3x5,5x7,???,(2n-l)x(2/i+1),

2n

故數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成明=(-1)向

(2〃-1)(2n+1)

⑶將已知數(shù)列變?yōu)?+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,????可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an=n+^.

"2

點(diǎn)撥：聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解關(guān)鍵是通過(guò)分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng)。

S[(〃=1)

題型二應(yīng)用an=<n'c求數(shù)列通項(xiàng)

S,I(n>2)

例2.已知數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和S,,,分別求其通項(xiàng)公式.

⑴S“=3”—2

1,

⑵S〃=d(%+2)2(%>0)

O

解析：⑴當(dāng)"=耐,。1=5]=3'—2=1,

當(dāng)〃之溫4=S.一S,i=(3"—2)—(3'T一2)

=2.3-1

.1(?=1)

又％=1不適合上式，故.

(n>2)

當(dāng)時(shí)%

⑵當(dāng)〃=1時(shí),卬=S|=-(a,+2)2,解得%=21,1,

8=-(??+2)2+2)2

OO

所以他"-2)2-(%T+2)2=0

所以(a,,+。“_1)(?！耙黄咭唬?4)=0

又a“>0,所以a,=4,可知｛%｝為等差數(shù)列，公差為4

所以an=%+(〃一l)d=2+(〃-1)?4=4〃-2

3

。1=2也適合上式，故an=4n—2

S](n=1)

點(diǎn)撥：本例的關(guān)鍵是應(yīng)用*求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證的值是否滿足

(?>2)

22"的一般性通項(xiàng)公式。

三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)

【例3】根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式

11

⑴4=3，a^a+——

2n+n4n1-1

22

⑵％=1,a?>0,(72+l)an+l-nan+an-an+｛=0,

,1,

=al+i

⑶%=L?n+i2'

解析：⑴因?yàn)?+]=%+―；---，所以

4〃--1

1111、

an\-a?=一一-=T(7z--7-o,1)

+An-122n-lIn+1

…1/1、

所以a,一“I=—(----)

21213

an-an-\=~--------7)

22〃-32n-l

以上(〃一1)個(gè)式相加得

11、

a,,-a.=一(1-------)

“'22n-\

Rtl,14〃一3

即：an=1-------=------

4〃一24〃-2

2

⑵由(〃+1)??+|+a?-a?+]-n-a,；=0

a

有[(〃+D%+i一〃%\n+y+%)=0

：,an+i+a?>0

+—〃*=0即：-=、

ann+1

a

.n_2n

..(in-----------?,—?q

%-2%

4

n-ln-211

—....i——

nn-12n

1

「?凡="

n

⑶方法一、設(shè)?！?]+根=g(%+〃?)

11c1

%+1=2%-2優(yōu)，又/川=2%+1

令—m=\,.tn=-2,于是a“+]=—a”+1

22

可化為

%+i-2=-(??-2)

ci=2------

"2"T

方法二：???。川=5%+1

1,11,、，

an=/""I+1=2(耳""2+D+1

=(3)%々+；+1=§)2(￡-3+1)+g+1

=(——+(；)*+1

=2-d)"T=2--1

22"T

方法三：???％+]=ga“+1,an+2^-all+i+1

兩式相減，%+2-%+i-4,)

%+i_a.=(q_q>(；)"」=(；)“

5

相力n得：4“-%=k（一）2"!-------F

點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中若%+1=*+/(〃),求明用累加法，若&"=/(〃),求明用累乘法，若%M=pan+q,

a?

求明用待定系數(shù)法或迭代法。

數(shù)學(xué)門診

已知S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且滿足=3〃2a“+s“_J,其中%#0,〃=2,3,4…，又％=2,求數(shù)

列｛?！埃耐?xiàng)公式。

錯(cuò)解：當(dāng)“22時(shí)，由已知得-S._12=3〃26

又an=Sn-S.—工0,所以S“+S“T=3〃2

于是S“+2+S“+i=3(〃+1/兩式相減得，

5,用一S“_]=6〃+3,即a,l+i+an=6n+3

于是?！?2+。,川=6〃+9所以兩式相減得an+2-an=6

所以。1，。3，。5，一?成等差數(shù)列，公差為6,。2，。4，。6，一.，也成等差數(shù)列，公差為6,從而

。],。2，〃3，。4，。5，。6,…成等差數(shù)列，公差為6，

所以，a”=2+(〃-1)?6=6〃-4

正解：當(dāng)〃22時(shí)，由已知得S,2—S,_12=3〃26又%=s“—s,i，o,

所以S“+S,i=3〃2

于是5“+i+5“=3(〃+1)2,兩式相減得：5“+1-S7”=6〃+3,即a〃+]+?！?6〃+3

于是〃“+2+?！?]=6〃+9,所以?！?2一?！?6,又§2+5]=12,所以出=8

6

又。3+。2=15，所以。3=7

則〃=2k時(shí)

an-a2k=a2+（左一1）?6=6攵+2

=6?二+2=3〃+2

2

〃=2k+1時(shí)，an-a2M-a3+（左一1）?6

=6k+1=6?———-+1

2

=3〃-2

2（n=1）

an=<3zz+2（〃為偶數(shù)）

3〃-2（〃為大于1的奇數(shù)）

總結(jié)提高

1.給出數(shù)列的前兒項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，常用特征分析法與化歸法，所求通項(xiàng)不唯一

2.由S“求a,B寸，要分〃=1和九22兩種情況

3.數(shù)列是一種特殊函數(shù)，因此通過(guò)研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性）來(lái)解決數(shù)列中的“最大項(xiàng)”與“和最

小”等問(wèn)題十分有效。

4.給出S“與的遞推關(guān)系，要求a“，常用思路是：-是利用5“—S,i=%（〃22）轉(zhuǎn)化為。，的

遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S,的遞推關(guān)系，先求出S“與〃之間的關(guān)系，再求知。

課堂演練

3

1.若數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)的S“一3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（D）

A.a“=2x3"TB.an=3x2"C.a“=3〃+3D.aa=2x3”

3

解：〃=1時(shí)，?1=S|=—a,-3a,=6

33

心2"時(shí)，an=Sn-Sn_i=（-all-3）-（-a?_l-3）

%=3%T

an=at-3"-'=2x3"

2.已知數(shù)列｛a“｝滿足q=0,an+l=—p=----（〃eN*）,則a2。=（B）

+1

7

A.0B.-V3C.V3D.—

2

解：。］=0,a

2看篙3

=64=0,

'V3.(-V3)+l

牝=4*二一百‘…’所以

?！?3=??

020=43x6+2=a2=一后

3.定義一種運(yùn)算“*"，對(duì)于”eN*滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：1*1=1,(〃+1)*1=3(n*1),貝ij,〃*1用含“

的代數(shù)式表示為：3"T

4.設(shè)為，。2,???,%()從一1，0，1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若生+。2+?一+&0=9且

(<21+1)-+(見+1)-----(。50+D~=107則a”a2,'??,a5Q中有0的個(gè)數(shù)為H

解：設(shè)有〃個(gè)0,則由(/+1)2+(42+1)2+?一+(牝0+1)2=107有

22

(a,-I---i-a50)+2(al+a2+…+a50+50=107,

aj+a；+,■,+%o~—39.

所以在…，。50中有39個(gè)1或T，

所以在外,。2,…,。50有11個(gè)0°

5.已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,

a?=3"T+a,-,(H>2),

⑴求的和。3

3"-1

⑵證明：a?=-----

"2

2

解：(1),：%=1,；.g=3+%=4a3=3+a2=13.

⑵證明：由已知a“一a,-=3"T有

8

M-1W2

〃〃〃T〃一】“-2=3+3-+--+3+1=-——-

+(g—〃])+《2

6.已知數(shù)列｛%｝中，環(huán)=(〃+2)-(得)"試問(wèn)”取何值時(shí)，明取最大值？并求此最大值.

Q

解：因?yàn)橐?---------=

a"(n+2).(—)"10/7+2

10

當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，色>=1,即他=%

%

所以當(dāng)〃<7時(shí)&旦>1,即

an+]>anB|Ja-j>a6>a5>??->〃]

當(dāng)〃28時(shí)-，巴巴*<1an>an+i

a?

即。8>。9>。|0>…

故當(dāng)〃二7或8時(shí)，?！ㄗ畲?，

98

(%)max=%=。8=

課外練習(xí)

一、選擇題

1.數(shù)列3,-5,7,-9,11,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(D)

A.%=(一1)"-(2〃+1)

B.a?=(-l),,+1-(2//-1)

C.a?=(-l)n-(2/7-1)

fl+,

D.an=(-l)-(2/1+1)

2.已知數(shù)列｛a.｝中q=2,

%+i=3a“+l,("eN*)則/的值為(A)

A.67B.22C.202D.201

3設(shè)%=」一+」一+…+」一，(〃GN*),則許+]與%的大小關(guān)系是(C)

"n+1n+22〃+1n+1"

A

-%+i>%B.怎+]=an

9

C.an+[<anD,不能確定

解：因?yàn)?/p>

111

Q”+i-=-------------1-------------------------

2〃+22〃+3n+1

11八

=-------------<0

2〃+32〃+2

<af

所以a〃+in選C.

1.若數(shù)列｛4“｝滿足：*+1=?

2凡一1

解：?,1+)

a=2al-1=—e

7217

Q[=2a>—1=-€0,一

327L2j

、6「1)

a.-2a.=—7eL—2,1J

%=2%T='，",

由此猜想：an+3=an

所以的()=“3x6+2=。2='，選B

二、填空題

-2,(〃=1)

5.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2—4〃+L則a

2n-5,(n>2)

6.已知數(shù)列｛?！ǎ?，4=2,。2=3,?！?2=3?！?]-，%=區(qū)

解：

10

%+2-%+i=2(a“+1-%)

a2-ax=1

/.a3-a2=2(g—/)=2

aA-a^=2(%-%)=4

a5-a4=2(*-%)=8

a6-a5=2Q-%)=16

ai~a6=2(%一%)=32

cij—4=1+2+4+8+16+32

/.a7-65

7.已知數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)巴二年(〃eN*),則數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是小。，a9

〃一,99---------

...附注t黑X—V98V99—V98

解：構(gòu)造函數(shù)y=------；==1+--------

x-<99x-,\/99

由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在(—8,胸)上遞減，且y<l

函數(shù)在(、須，+8)上遞增且>>1

又廊e(9,10)

aa

W>\\>"12>…>“30>1>%>。2>…=解處題

>為

二%0最大，的最小

8.已知｛a“｝中，％=:，前〃項(xiàng)和S“與a”的關(guān)系是S“=〃(2〃-l)a“，求a”

解:由S”=〃(2〃-1)?！暗?/p>

S.+i=(〃+1)(2〃+l)an+l

an+l=S”+i-S”

a.+i=(〃+1)(2〃+l)a,1+l-n(2n-l)an

2

(2n+3n)an+l-n(2n-l)an

a

.?+i_2n-l

an2〃+3

.〃_a,,*ai〃

■-an-----------------------------a\

an-]an-2an-3"l

2n—3,?In-5,2〃—7—.????5I?3I■?1II?1II

2n+l2n-l2n-39753

1

-(2n+1)(2//-1)

1

4n2-1

11

9.在數(shù)列｛%｝中，an-an-1---------(neN")S“為前〃項(xiàng)和.⑴求證：｛%｝是以3為周期

2an-l

的周期函數(shù)

⑵求52010

%+1i__L

an

_]1j%T

J_%(an-1)-an

%T

=l+a?-l=a?

1,?

%=—,a、=—1,4=2

S2Q]Q=(%+/+%)+(%+%+%)

HF(出005+々2006+。2007)

+(。2008+〃2009+”2010)

=670(%+出+%)=1005

C

10.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，點(diǎn)(〃,j),

n

(〃eN*)均在函數(shù)y=3x—2的圖像上，⑴求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式

⑵設(shè)a=——,Tn是數(shù)列也，｝的前前n項(xiàng)和，求使得Tn<—對(duì)所有neN*都成立的最小正整數(shù)m.

20

解：⑴依題意得：

q

j=3〃-2,即S.=3〃2_2〃

n

當(dāng)〃22時(shí)，％=S“-S"T

=(3〃2-2〃)—[3(〃一I)?—2(〃—D]

=6〃-5

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=S|=1=6x1—5

故?！?6〃-5,(neN*)

⑵由⑴得：

12

3

b?

(6〃一5)(6n+1)

一L)

26n-56n+1

T?=Za

i=\$1一看)嗡成立，

111

-(1--)+???+()

276〃-56n+1

1tn

當(dāng)且僅當(dāng)一4——，...“210

220

故滿足要求的

6.2等差數(shù)列

知識(shí)要點(diǎn)等差數(shù)列的充要條件。

1.等差數(shù)列的概念3.等差中項(xiàng)：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差

若成等差數(shù)列，則〃稱a與c的等差中項(xiàng),

都等于同?個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常

數(shù)叫等差數(shù)列的公差,用d表示。且/,="￡；a,"c成等差數(shù)列是2b=a+c的充

2.遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式2

要條件。

遞推關(guān)系:an+i-an—d

通項(xiàng)公式：=%+(〃—l)d4.前〃項(xiàng)和公式

推廣：a=a+{n-tn)d

nm(%+&“)〃〃(〃-l)d

工=----2----；S“=叫+2~~

變式：=an-(n-l)J;

n—\變式：

d=a'1~a,n+。"Sn+…+?！?/p>

n-m

2nn

由此聯(lián)想到點(diǎn)5,)所在直線的斜率。/,、d/八/d、

=%+(71-1)-=<2?+(/1-1)?(--)；

特征：an=dn+(a}-d),

即：an=/(n)=kn+m,伏，加為常數(shù))

akn+m,(k,m為常數(shù))是數(shù)歹U{%}成

13

特征：S“=g〃2+（%-g）”,。4+。6+。8+。10+a12=120,

則。9-與％1的值為（C）

B|JS?=/（〃）=A”2+B〃

S^An2+Bn（A,6為常數(shù)）

ltA.14B.15C.16D.17

是數(shù)列｛?！埃傻炔顢?shù)列的充要條件。11,

解。9-鏟11=a9一耳(“9+2d)

5.等差數(shù)列｛%｝的基本性質(zhì)（其中血,〃,p,qeN*）2，,22120，/

=-(-4）二一圓=———=16

393835

⑴若機(jī)+n=p+q,則=4P+'反

3.等差數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S“，當(dāng)q,d變化時(shí)，

之，不成立。

（2）a“-am=（n-m）d若。2+。8+?！笔且粋€(gè)定值，那么下列各數(shù)中也

是定值的是（A）

（3）2%=an_m+an+m

A.S[3B,S[5

（4）S,S-S,S-S仍成等差數(shù)列。

n2nn3n2nB.S20C.So

6.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：解：

①定義法：

a2+%+a“=3(%+6d)

。"+1一%="（常數(shù)）（〃€N*）=>｛%｝是等33

=/,2%=-(^i+/3)

差數(shù)列

②中項(xiàng)法：

為定值，。1+“13為定值，

2aa+a

n+\=nn+2（〃WN*）=｛。"｝是等差數(shù)

~(a+4]).13人

列...S_]_13J_,選人

132

③通項(xiàng)公式法：

4.計(jì)算機(jī)執(zhí)行以下程序：

an=kn+b（3）為常數(shù)）n｛%｝是等差數(shù)

⑴初始值x=3,S=0

列⑵x=x+2

④前〃項(xiàng)和公式法：(3)S=S+X

（4）5>2010,則進(jìn)行⑸，否則從⑵繼續(xù)進(jìn)行

S?=An2+Bn（A,B為常數(shù)）=>｛%｝是等

（5）打印為

差數(shù)列⑹停止

課前熱身：那么，語(yǔ)句⑸打印出的數(shù)值為經(jīng)

解：由題意知，程序每執(zhí)行一次所得X的值形成個(gè)

1.等差數(shù)列｛%｝中，/+4+%=39,

數(shù)列卜“｝是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5,公差為2,相

+%+。8=33,貝必3+“6+。9=（B）

應(yīng)S的值S恰為該數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)題意得：

A.30B.27C.24D.21n

2.等差數(shù)列｛%｝中，S=5n+22010解得n>43

2

所以=5+(43-l)x2=89

14

〃工時(shí)，

5.設(shè)S“，7；分別為等差數(shù)列｛*｝與也,｝的前〃項(xiàng)5afl<0,

n>6時(shí)，an>0

和?=即攔，則&=11.?.當(dāng)時(shí)，,=—S“=9〃-”2

bn2n-5T]9_5_當(dāng)〃>6H寸，

解：=1%|+|。2|+…+|45|+|。6|+…+I。J

(%+%9)T9=—Q]-％一***-%+。6+%+,?,+

S19_2=+419

=S?-2S5

(9(仇+仇9)-9瓦+仇9=n2-9n-2x(-20)

2

=n2-9〃+40

_2。]0_al0_4x10+2_14

一2

-2^74-2x10-5―T,T9n-n(?<5)

""-[/z2-9//+40(zz>6)

典例精析

一、等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算(2)：①證明：當(dāng)〃22時(shí)，

例1：⑴已知數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和S“-n2-9nS,i(s“-5)=(s〃-s,T)(s“-5)

①求證：｛%｝為等差數(shù)列；②記數(shù)列｛明｝的前〃項(xiàng)所以S,-S,i=g(Si—S“)

和為，，求T”的表達(dá)式。

⑵數(shù)列｛%｝中，S“是前”項(xiàng)和，當(dāng)”22時(shí),

所以|-L1是以'-=i為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列。

5?2=%(S“—1)①求證：.>是等差數(shù)列,

②：由①得

S,-L=_L+(〃-l)-d=1+(〃-1)?2

②設(shè)a=，求物,｝的前〃項(xiàng)和7；

2?+1S“S|

=2“一1

解：(1)：①證明：”=1時(shí)，4=S|=—8,

1

所以。

當(dāng)“22時(shí)，2/1—1

%=S"-S“_|所以

=“2_9o-[(“-1)--9(/2_1)]

=2n-10―2〃+1-(2〃-1)(2〃+1)

-T)

也適合該式，，=2〃-10(〃wN*)

②，的表達(dá)式為:T”=4+%+…+么

2〃+1)

n

(12〃+1)

4~2〃+1

點(diǎn)撥：根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運(yùn)用求

和公式。

15

二、公式的應(yīng)用

Sn,且滿足：。2。3=45,。[+。4=14,

例2：設(shè)等差數(shù)列｛?,,｝的首項(xiàng)%及公差d都為整數(shù)，

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式:

前幾項(xiàng)和為S”S

②設(shè)a=_!!_,一個(gè)新數(shù)列｛2｝,若｛4｝也

n+c

①若a”=0,SK=98,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c；

②若叫?6,a”>0,S<77,求所有可能的b.

14③求/(〃)=(〃GN*)的最大

(〃+25)6用

數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式

值

解：①

解：｛%｝為等差數(shù)列，q+4=0+“3=14

由SM=98,得2%+13d=14

又Qu=q+\0d=0又。2。。3=45,由d>0,a2<a3

解得d=-2,a]=20

—5,。3=9,d~~4,ci]—1

所以數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式是：

/.an=1+(n-1)4=4〃-3

%=22-2n(nGN*)

數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為an=4n-3

②

②由①知：

$44772al+13d411

有，°n(n-l)-42

lll<>0a｝+lOd>0S?=〃?1+---------=2〃-n

n2

為261426

'2a,+13J<11?所以勿

〃+c〃+c

即<-2。]—20d<0(2)

所以，b2=-^—,

-2a,<-12③1+c2+c3+1

即d>」d

由①+②得一7d<l,因?yàn)橐?｝為等差數(shù)列，所以如為，名成等差數(shù)

713

列，所以

又dGZ,

713

2b?二4+b3

10<a｝<12,a￡Zg、i12115

2+c1+c3+c

所以4=11或%=12所以c=-Lc=0(舍去)

2

故所有可能的數(shù)｛a.｝的通項(xiàng)公式是：

故所求非零常數(shù)c=一,，自力“=2n

2

%=12-〃和％=13-〃(”€*)

b”

點(diǎn)撥:準(zhǔn)確靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)③/(〃)=的最大值:

(〃+25)%

和公式，提高運(yùn)算能力。

三、性質(zhì)的應(yīng)用

例3：已知等差數(shù)列｛?！ǎ?，公差d>0前〃項(xiàng)和為

16

b.所以4]>a2>…〉外6〉0〉。17〉。18>

nGN*,/(n)

(〃+25)b向而施=?15-66?%7<0，仇6=%6?%7.%8〉0

2n_n

所以8>Sn>…>SpS14>S”，si5<si6

5+25)?2(〃+1)-/+26〃+25

69

又％5—~t/〉0>/8