高中數(shù)學(xué)平面向量的夾角計算

平面向量的夾角計算

計算平面向量夾角的方法總結(jié):

ab

1.cos(a-b)=間網(wǎng)

xix+yiy

2.cos(a'b)=22（其中五=（%i，yi）,b=（%2，、2））

注意：兩個向量的夾角要求這兩個向量起點相同，這樣做成的角才是

平面向量的夾角

高頻考題

1.設(shè)向量窗了滿足121=|方|=1，|31一|=則五，萬的夾角為（）

A.?B.?CjD*

2.己知向量落下滿足|五|=5,|另|=6,ab=—6>則cos位1+石〉=（）

AR_12Cizn12

A.35B?35C35D?35

3.若|砧=1,㈤=2，且@+另）JL區(qū)則五與方的夾角為（）

A-7B.*C*D謂或4

4.已知乙B均為單位向量，若|五-2刈=k，則向量五與石的夾角為（）

A.RB.gC*D浸

5.已知向量方滿足|。|=5,@=6，五彳=-6，則cos<E五+B>=（）

A.-35B.35C.35D.35

6.若兩個非零向量河片滿足|三+方|=|日一3|=2|蒼|，則向量五+方與1一方的夾角是

（）

A?％B33D*

7.設(shè)向量五=（%1）方=（1,一遮），且H_L了，則向量五一百石與B的夾角為（）

TT)江27rT-V57r

A巳D

人?6B，3C.不-~

8.點4(3,0)、8(0,3)、C(co?c,sina)、0(0,0),^\OA+OC\=V13,aG(0,n),則

布,0?的夾角為()

D二

、三Bjjc-3

9.已知方=(3,—1),b=(1,-2)-則五與方的夾角為()

A.-6B.-4C.-3D,2

10.設(shè)等邊三角形△ABC的邊長為1,平面內(nèi)一點M滿足前=之4-14。則向量加7與

7石夾角的余弦值為()

A.量B.衛(wèi)C.4D.四

361219

11.已知向量Z=(2,l),石=(一3,1)，笠=(1，一d)，貝女)

A.{a+b^Ha

B.向量￡在向量取上的投影向量為一;9

C.￡與的夾角余弦值為產(chǎn)

D.a1c

12.如果平面向量丘=(2,-4)花=(—6,12)，那么下列結(jié)論中正確的是()

A.|b|=3|a|B.a//b

C.W與另的夾角為30。D.為在至上的投影向量的模為2次

13.已知向量五+石=(1,1),a-6=(-3,1).c=(l,l),設(shè)力石的夾角為仇則()

A.|a|=|K|B.aleC.b//cD.9=135°

14.已知五，區(qū)為單位向量，且方i=0，若E=2E-遍E，五與3的夾角為。，則

cos0=.

15.已知他|=2,4|=3,五與石的夾角為601若Z+高與;1。+3的夾角銳角，則實數(shù)4的

取值范圍為.

16.已知落石均為非零向量，(a-2b)la.(6-2a)1K)則落石的夾角為.

17.已知平面向量方,3滿足方=(1,一1),|石|=1，|方+2后|=或，則五與石的夾角為

18.已知向量不在向量3=(1,百)方向上的投影為2,(a-2b)la.

(1)求向量五與方的夾角;

(2)求|2五一方|的值;

(3)若向量7=3五一4行，d=ma+b，c//d＜求相的值.

19.已知日，方都是非零向量，且五+33與7五一5方垂直，1一4石與7方-2方垂直，求五與石

的夾角0.

20.已知向量五=(1,2),b=(3,x)-c=(2,y),且五〃3,ale.

(1)求方與下；

(2)若沅=2五一方，n=a+c,求向量沅，亢的夾角的大小.

21.已知單位向量擊與各是夾角為a,且cosa=1,向量五=3否-2備與石=3備一杳的夾

角為夕，求￡的余弦值.

22.已知五無—(1,2),b=(-3,1).

(I)求五一2石；

(n)設(shè)蒼茫的夾角為仇求cos。的值；

(川)若向量蒼+k石與方一/c9互相垂直，求A的值.

23.已知胃=(1,2),石=(1")，分別確定實數(shù)4的取值范圍，使得:

(1)五與方的夾角為直角；

(2)為與石的夾角為鈍角；

(3)方與方的夾角為銳角.

24.在A2BC中，AB=3,AC=6,/.BAC=y,/)為邊BC的中點，M為中線AD的中

點.

(1)求中線4。的長；

(2)求前與標(biāo)的夾角。的余弦值.

25.已知向量方=(2cosa,2sina),b=(6cos0,6sin0)，Jl.a-(b—a)=2-

(1)求向量優(yōu)3的夾角；

(2)若|t之一了|=36,求實數(shù)f的值.

答案和解析

1.【答案】A

根據(jù)|五-2+=6，|磯=同=1求出五小，然后代入向量夾角公式計算即可求解.

【解答】

解：設(shè)方與方的夾角為仇

由題意得(3日一2至)2=7,

9|a|2+4|&|2-12ab=7,

又|初=忸|=1，

/.a-K=-,

2

/.|a||K|cos0=1,

即cos0=

又?！?。河，

??.0=-.

3

故選A.

2.【答案】D

計算出乞忖+同的值，即可得解.

【解答】

解：???|五|=5,向=6,五?石=一6,

：.a-(a+b)=\a\2+a-b=52-6=19,

\a+b\=(a+b)2=Ja2+2a-b+b=V25—2x6+36=7)

a(a+b)_1919

因此，cos<a,a+b>=

|a|-|a+d|-5x735

故選D

3.【答案】C

【解析】解：\a\=1,㈤=2,且0+E)J_五,

/.(a+K)-a=a24-a-K=0，

Aa-b=-1，

設(shè)立與另的夾角仇貝k°s。=喘東=急=一5

?「()W0W萬,

:.e=—,

3

故選：c.

由0+1)J.灑結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)可求五%,然后根據(jù)向量夾角公式COS。=獻，代入即

可求解.

4.【答案】B

由|五一21|=百，得片+4片—41.3=3，設(shè)單位向量方與方的夾角為。，則有

1+-1-3,解得cos。；,進而求出結(jié)果..

【解答】

解：由|五一21|=百，得0—2芯)2=3,

即日②+4加2-4日-3=3，

設(shè)單位向量日與方的夾角為。，

則有1+4-4€0?03,

解得C8。:，

又。e[0,7r],

所以。=泉

故選B.

5.【答案】D

利用已知條件求出|五+封，然后利用向量的數(shù)量積求解即可.

【解答】

解:向量落石滿足同=5,|K|=6.ab=-6,

可得|行+石|=+2a-b+b2=425—12+36=7'

tt,fn+d)tt2+U,d_25_619

cos<a,a+b>=

|a||a+d|-5X7-5x7-35

故選D

6.【答案】D

先根據(jù)模相等分別得到,4=0及區(qū)廣=3同2,進一步利用向量的夾角公式計算即可得解.

【解答】解：,,?I五+石|=I五一至

五2+2五?b+b=五2—2五?b+b9cz,Z?=0?

又???|五+方|=2同,

/.|a|2+2a-K+|K|2=4|a|2,/.|K|2=3|a|2.

設(shè)立+石與五—另的夾角為e,

則cos。=膂瞽=粵/=鏢=—上

|a+d||a-fc|41al24|a|22

又ee[O,7T],0=y.

故選D.

7.【答案】D

【解答】

解：根據(jù)題意，設(shè)向量五-遮B與石的夾角為9,

向量a=(x(1)>b——(1,—V3)>

若五JLE，則有日?b=x—遮=0,解得x=遮，

即3=(祗1)，b=(1,-V3).

則五一=(0,4)，

則力解—|=4，|/?|=2>(a—V3b)-b=a-b—V3b=-4V3,

則cos。=啜%=—由,

f|u-V3d||d|2

又由OWJWTT,則。=若；

6

故選。.

8.【答案】D

【解答】

解：?；4(3,0),C(eos(\..sinn),0(0,0),

O/I+OC"(3+”)sc,sinn)?\OA+Of|=J(3+COSQ)2+sin2a=V10+6cosa=V13,

1

/.cosn=,

vaG(0,TT),

"a=3'即，(渭)’

A麗,沅夾角余弦值為圖四=^=旦

\OB\\OC\3x12

V3瓦元夾角范圍為[0,兀],

萬瓦赤夾角為土

故選D.

9.【答案】B

先由已知向量的坐標(biāo)求出向量的模，再代入向量的夾角公式得到cos。=理，即可求出夾角.

2

【解答】

解：設(shè)日與方的夾角為。，

???|aI=V10.|b|=V5-a-b=5,

八a-b5yfz

,1?cos"麗=而病=F

又。G[0,7T],

五與方的夾角為%

故選8.

10.【答案】D

由加=3荏+1近，兩邊平方得|祠|=W，且荏.布="荏)2+：荏.前號，由向量

數(shù)量積公式求解.

【解答】

解：I新廣=(祠)2=(1^5)2+(工正)2+2X-X--AB-AC=—,

232336

貝耐二尊

AB-AM=-(ABY+-AB-AC=-,

2v733

.??向量祠與肉夾角的余弦值為：熹篇|=粵.

故選。.

11.【答案】BCD

【詳解】

對于A選項，2+石=(一1,2)，??,2?H1x(-1),則2+1與W不平行,A選項錯誤；

對于5選項，?.?丘?方=2x(-3)+產(chǎn)=一5，b2-10?則五彳=一)2,

所以，向量三在向量另上的投影向量為-1加5選項正確；

對于C選項，由已知可得乙—b=(5,0)，cos<a,a—b>=:=與亙,

\a\\a-b\V15°x55

C選項正確；

對于。選項，方1=2_2=0,故五，乙。選項正確.

55

故選：BCD.

12.【答案】ABD

直接依據(jù)平面向量模長，夾角，投影的運算方法以及兩向量平行的判斷方法運算求解.

【解答】

解：因為五=(2,—4),b=(-6,12),所以b=—3」.

在A中，因為方=一3五，所以|了|=3|初，故A正確；

在8中，因為方=一3五，所以五〃方，故B正確;

在C中，因為方=一3蒼，所以五與方的夾角為180。，故C錯誤；

在。中，不在石上的投影向量的模為喘嘲=|(法)卜；？卜2遍,故。正確,

故選ABD.

13.【答案】BD

【解答】解：根據(jù)題意,a+K=(l,l)?3-K=(-3,l)，

則方=(一1,1),b=(2,0)，依次分析選項：

對于A,同=e，|K|=2.則同=同不成立，4錯誤；

對于8,a=(-1,1),c=(1,1),貝腺々=0,即方1〉B正確；

對于Cb=(2,0),c=(1,1),方//杯成立,C錯誤;

對于。，a=(-1,1).b=(2,0),則五1=-2,

|a|=V2>|K|=2,則cos?=^=—孝,則。=135。，。正確；

故選：BD.

14.【答案】|

【解答】

解：由題同=憐|=1,五?b=0,

所以于=(2日—有方)=4a2*6+5K—4V5a-K=9'

故但I=3,

又因為方亮=鼠(2百一5石)=2片一5五4=2,五與下的夾角為0,

所以小。=磊2_2

1X3-3’

故答案為|.

-13-^33)(^33-13

15.【答案】(—8,d)1)u(1)+oo)

66

【分析】

本小題主要考查向量數(shù)量積的運算，考查向量共線，考查向量的夾角等知識，考查一元二次

不等式的解法，屬于中檔題.在求解時，常因忽略“2+力了與兀^+了共線”的情形致誤，出現(xiàn)

錯誤的原因是誤認為之上>o與丘力為銳角等價.先求得了?石,根據(jù)0+應(yīng)）.（亮+分>0,

結(jié)合向量數(shù)量積的運算公式進行化簡，解不等式求得;I的取值范圍，排除2+/^與;+W共

線時a的值，由此求得；i的取值范圍.

【解答】

解：由題意可知a?b=Jbcos60°=2x3x^=3.

又,:（a+4b）?Ra+b）=Aa2+（A2+l）a-b+Ab2>

:.a.+Ab與高+b的夾角為銳角,Aa2+（A2+l）a-b+Ab2>01

）?12_~?2―>

va2=|a=4,b2—b=9,Q?b=3，3"+134+3>0.

解得a>衛(wèi)士或％<-13-荷.

66

當(dāng)；1=1時，之+4。與4；+%共線，其夾角不為銳角，

故2的取值范圍是（—00,，二恒3）u（普口，1）u（1,+8）.

故填：（_8,個叵）U（普=l）u（l,+8）.

16.【答案】I

本題考查平面向量數(shù)量積運算，夾角.難度一般.由（五一2石）1五，（b-2a）A.b>可得五？=

|a|2=2a-b>h2=\b\2=2a-b'所以由儂位了>=溫高=（求出（五㈤

【解答】

解：由題意得，因為（6-2a）1K.

所以（百一29）?方=看一2小后=0，（b-2a）-b=f-2a-b=0'

KPa2=|a|2=2a-K，b2=\b\2=2a-

T了]

所以cuw{W.1)二———二-,

kH口2

又位石〉6[0㈤，

所以位⑤

故答案為...

17.【答案】，

本題考查向量的模，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)運算，向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)條件對|k+2方|=四的兩邊平方即可求出:2.石=-1，從而可求出cos.石)一空，

根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角.

【解答】

解：?五=(1,-1),??.|弓|=近，

'.,|b|=l,|a+2h|=V2>

222

A(a+2b)=a4-4a-K+4h

=2+4五,b+4=2，

Aa-b=-1，

,??8$@黝=繇=一率

又()《W",

二五與方的夾角為4.

4

故答案為注.

4

18.【答案】解：(1)因為b=(1,V5),

所以也|=Jl2+(V3)2=2,

因為向量方在向量方方向上的投影為2,

設(shè)向量2與9的夾角為仇

所以同cos。=2,

所以五?b=|a||b|cos0=2x2=4,

v(a-2K)1a，

/.(a-26)?a=0>

???片-2五7=0,

?,?五2=8,則同=2&,

則cos。=mV=當(dāng)

又,：0€j().?r',

.,.。=]

?響量五與3的夾角為3；

(2)由向量模的計算公式同=V3"W得：|2五一同=J(2a-b)2=J4a2-4a-b+b2=

432-16+4=2V5.

(3)「用/工

c=Ad?

A3a-4h=A(ma+h),

???五、杯共線，

.[3=Am

???1-4=A'

解得m=-f.

4

【解析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的夾角以及向量的模的求法，向量垂直與平行的判定，

向量的投影的求解，屬于中檔題.

(1)先求出同，再利用向量方在向量石方向上的投影為2,求出五不，由0-23)12得到同=

2V2,再利用夾角公式求出兩向量二與冒的夾角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由口〃工則存在實數(shù)九使得[=2%成立，由此利用向量相等可得參數(shù)值.

19.【答案】解：?.?Q+3方與7方一59垂直,

(a+3b)-(7a-5b)=0.

即7片+16五不一15丁=0?①

又?.?五一4石與7方一2B垂直，

(a-4b)?(7a-2b)=0.

即7五2一30五1+8,=o.②

①-②整理得2方不=點③

將③代入①，得片=,,.?.同=|外

Cab|ft|21

???cos”而鏟將一

??,0°<9<180°,???0=60°.

20.【答案】解：(1)由方〃E，得％-2x3=0,解得％=6.

由五JL3得lx2+2y=0,解得y=-L

所以b=(3,6)，c=(2,—1).

(2)因為沅=2方一加二(一1,一2)，n=a+c=(3,1),

所以沆?記=—1x3—2x1=-5,

|m|=J(-1。+(-2)2=V5,|n|=V32+l2=>/10.

所以cosV沆，元>=詈譽=屋$=一g

|?n||n|V5XV102

又因為<萬.萬>6：().7.

所以向量沅，元的夾角為多.

21.【答案】解：???單位向量力與瓦的夾角為a,且cosa=1,向量五=3/一2歲與方=3瓦一

石的夾角為口，

\a\2=(3百一2與產(chǎn)

=9可2—12K./+4ej2=9+4—12cosa-9，

同2=(3百一或2

=9-2x3cosa4-1=8,

一?1=(3百一26?(3百一6

=9eT2-9e7-e7+2eT2

=9,9X1X1X|+2=8,

cab82V2

,118sB=麗==V

22.【答案】解：(I)五—2加=(1，2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).

nVns(9---i*(-3)+2xi—一立

(f11)c°sb一間.向一回守x萬百一io'

(HI)因為向量五+k石與五—kE互相垂直，

所以0+人力?0—kE)=0,V-k2b2=0

因為片_5，fa2=10,

所以5-10/=0,解得卜=土日.

23.［答案】解：設(shè)方與方的夾角為。，|a|=Vl2+22=V5.|K|=V1+A2＞a-b=(1,2)?

(1,A)=1+2A.

(1)因為五與石的夾角的直角，所以五7