高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (49)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（49）

一、單項選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且4B1BC,CD1DA,M,N分別是棱3C,

CO的中點，下面四個結(jié)論：

①AC1BD;

②MN〃平面ABD；

③三棱錐力-CMN的體積的最大值為昌

④40與BC—?定不垂直.

其中所有正確命題的序號是

A.①②③B.②③④C.①②④D.①④

2.在三棱柱ABC-AiBiG中，已知L4411底面ABC,AB1BC,且AA】=AB=BC,若O,M分

別是4當(dāng)，BBi的中點，則異面直線AO與MC所成角的余弦值為（）

A.|B.|C.\D.I

5346

3.如圖，在直三棱柱ABC-&B1G中，BC=AC,AC11A1B,M,N分別是①品,AB的中點，給出

下列結(jié)論：①GM，平面4ABB1②1NBi③平面ZMG1平面CB&其中正確結(jié)論的個數(shù)為

（）

A.0

B.1

C.2

D.3

4.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是幾何體的三視圖，則該幾何體的體

積為（）

A.871-16

B.87r

C.16

D.87r+16V2

5.在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，PA與底面ABC所成角

的余弦值為白，則三棱錐P-4BC的外接球的球心到側(cè)面PAB的距離為（）

A.V2B.1C.3D.四

22

6.在如圖所示的幾何體中，正方形DCEF與梯形ABC。所在的平面互相垂直，4B〃DC,4B=6,

AD=DC=2,BC=2?二面角E—4B-C的正切值為（）

A.立B.3C.1D.2

323

7.在邊長為6的正方體4BCD-4道道1。1中，點M是。劣中點，點N是當(dāng)口的中點，過點A,M,

N的平面與GA交于點P,則PQ的長為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多項選擇題（本大題共5小題，共20.0分）

8.在三棱錐P-ABC中，AB1BC,P在底面ABC上的投影為AC的中點。，DP=DC=1.現(xiàn)有下列

四個結(jié)論：正確的是（）

A.三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱長均相等；

B./PAB的取值范圍是?常）；

C.若三棱錐的四個頂點都在球O的表面上，則球O的體積為風(fēng)空；

3

D.若AB=BC,E是線段PC上一動點，則DE+BE的最小值為空?

2

9.已知球。是正三棱錐（底面為正三角形，點在底面的射影為底面中心）4-BCD的外接球，BC=3,

48=28，點E在線段上，且BD=6BE,過點￡作球。的截面，則所得截面圓的面積可

能是（）

A.nB.27rC.37rD.4zr

10.如圖所示，在直角梯形BCEF中=乙BCE=90。,A,。分別是BF、CE上的點，4D〃BC,且

AB=DE=2BC=2”（如圖①）?將四邊形ADE尸沿4。折起，連接BE、BF、CE（如圖②）.在折

起的過程中，則下列表述正確的是（）

A.AC/mBEF

B.四點B,C,E,F可能共面

C.若EF1CF,則平面4DEF_L平面ABCD

D.平面BCE與平面BEF可能垂直.

11.已知正方體ABC?！?$iGDi的棱長為2,M為。的中點，N為正方形ABC。所在平面內(nèi)一

動點，則下列命題正確的有（）

A.若MN=2,則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為兀

B.若N到直線BB］與直線。C的距離相等，則N的軌跡為拋物線

C.若AN與A8所成的角為或則N的軌跡為雙曲線

D.若MN與平面ABC。所成的角為全則N的軌跡為橢圓

12.如下圖，已知在長方體/BCD—A181GD1中，AB=3,AD=4,=5,點E為CQ上的一個

動點，平面BED1與棱A4交于點F,則下列說法正確的是（）

A.四棱錐當(dāng)一BED#的體積為20

B.存在唯一的點E,使四邊形BEDiF的周長取得最小值2g

C.當(dāng)點E為CG的中點時，在直線AD上存在點G,使得CG=聞

D.存在唯——點E,使得平面BED1，且CE=3

三、填空題（本大題共7小題，共35.0分）

13.若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為工、S2,則有

Sl：52=---------------

14.如圖，在正方體48。。一48也1。1中，點。為線段3。的中點，設(shè)點P在線段CG上，直線OP

與平面&BD所成的角為a,貝Usina的最小值,最大值___________.

15.已知四邊形A8CD為矩形，AB=2AD=4,“為48的中點，將44DM沿OW折起，得到四棱

錐4-DM8C,設(shè)&C的中點為N,在翻折過程中，得到如下有三個命題：

①BN〃平面&DM；②三棱錐N-DMC的最大體積為言：③在翻折過程中，存在某個位置，

使得DM1&C.

其中正確命題的序號為.

16.若m、〃表示直線，a、B、y表示不同平面，下列四個命題：

①若aC8=m,nca,n±m(xù),則c_L3；

②，，，_Lc,n±/iml.n,則c_L3；

③any=m,0ny=n,m//n,則戊〃6；

（4）aC\p=m,"與a、夕所成的角相等，則m1n.

其中真命題的有.（請?zhí)钊刖幪枺?/p>

17.如圖△力BC是等腰三角形，BA=BC,DC1平面ABC,4E//DC,若AC=2且BEJL4D,則AE+DC

的最小值為

18.已知三棱錐。一ABC中，平面ABC,AB=AD=2,BC=V3/1C,則三棱錐。一4BC體積

最大時，其外接球的體積為.

19.已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為60。，側(cè)面積為4近，則該棱錐的體積為

四、解答題（本大題共11小題，共132.0分）

20.如圖在四棱錐P-4BC0中，底面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和的中點.

（1）求證：EF〃平面PAB；

（2）若4P=4。，且平面H4D_L平面ABCO,證明AF1平面PCO.

21.如圖甲所示，8。是梯形A8C￡)的高，/.BAD=45,OB=BC=1,。。=3。4,先將梯形ABCZ)

沿0B折起如圖乙所示的四棱錐P-OBCD,使得PC=遮.

(1)在棱尸。上是否存在一點凡使得CF〃平面P02?若存在，請求出PF的值，若不存在，請

說明理由；

(2)點E是線段PB上一動點，當(dāng)直線CE與OP所成的角最小時，求二面角8-CE-。的余弦值.

22.如圖，四邊形ABCQ為正方形，E,F分別為的中點，以QF為折痕把回。FC折起，使點C

到達點P的位置，且PF1BF.

(1)證明：BFJ?平面PEF；

(2)求直線OP與平面ABFD所成角的正弦值.

23.如圖1,在RtElABC中，Z.ACB=30°,Z.ABC=90%。為AC中點，AE1BD^E,延長AE交

BC于F,將AABD沿8。折起，使平面4BD1平面BCQ,如圖2所示.

(/)求證：AEBCD；

(n)求二面角4-DC-B的余弦值;

24.如圖，在四棱錐P—ABC。中，。01平面%。，AB//CD,CD=AD=4AB=4,&AC1PA,

M為線段CP上一點.

(1)求證：平面ACO_L平面PAM；

(2)若PM=：PC且4P=(4C,求證：MB〃平面PAO,并求四棱錐M-4BCD的體積.

25.如圖所示的幾何體中，力BC—4aC1為三棱柱，且441平面ABC,AAt=AC,四邊形ABC。

為平行四邊形，AD=2CD,Z.ADC=60°.

(I),求證：AC】J■平面&B1CD；

(II)若CD=2,求二面角C--G的正切值(理科做).

26.如圖，ABCO是邊長為2的正方形，平面EAD，平面ABC。，且瓦4=ED,。是線段AD的中點,

過E作直線尸是直線/上一動點.

(1)求證：0F1BC；

(2)若直線/上存在唯——點F使得直線。尸與平面8CF垂直，求此時二面角B-OF-C的余弦

值.

27.如圖所示的多面體是由三棱錐4—BDE與四棱錐D—BCFE對接而成，其中EF1平面AEB,

AE1EB,AD//EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是8c的中點.

(1)求證：BD1EG；

(2)求平面OEG與平面AEF。所成銳二面角的余弦值.

28.仇章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在仇章算術(shù)》

中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qianda)；陽馬指底面為矩形，

一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵

ABC-,AB1AC.

(1)求證：四棱錐B-4/1CG為陽馬;

(2)若GC=BC=2,當(dāng)鱉膈G-ABC體積最大時，求銳二面角G-48—G的余弦值.

29.如圖1,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，△ABC為等邊三角形，AC=4,BE=BF=4,

FA=EC=2V2,將展開圖還原為立體圖形，如圖2時，點及F與點P重合.

(1)證明：平面PAC平面ABC；

(2)如圖3,設(shè)點M為線段BC的中點，求二面角M-PA-C的正切值.

30.如圖，在四棱錐E-4BC0中，底面A5CD為正方形，4E_L平面CDE,已知力E=OE=2,

為線段QE的中點.

(1)求證：BE〃平面ACF；

(2)求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查了線線垂直、線面平行的判斷，考查了三棱錐的體積，也考查了命題真假的判斷問題，是

中檔題.

根據(jù)題意畫出幾何體，結(jié)合圖形，利用空間中的平行與垂直關(guān)系，判斷選項中的命題是否正確即可.

解：設(shè)AC的中點為0,連接08、0D,如圖所示；

B

則4C1OB,AC10D,

又OBCl。0=。，OB、ODu平面0BD,

所以4c，平面OBD,BDu平面0B￡>,

所以AC1BD,故①正確；

M,N分別是棱BC,CQ的中點，［MN〃BD,

BDu平面ABD,MNU平面ABD,

所以MN〃平面4B。，故②正確；

當(dāng)平面D4C與平面ABC垂直時，V三棱腳_ACM最大，

最大值為「材的=I的，=2x二x立=立，故③錯誤；

二段鍍A-CMN二核ff￡N—ACM34448

若4。與BC垂直，又因為ZB1BC,ADQAB=A,AD,ABu平面A8。,

所以BC1平面AB。，BDu平面A8。，:BC_LBD,

又BO1AC,ACCtBC=C,AC.8Cu平面ABC,

所以BC?1平面ABC,OBu平面ABC,

所以8。1OB,

因為OB=OD,所以顯然8。與OB不可能垂直，故④正確.

綜上知，正確的命題序號是①②④.

故選C.

2.答案：A

解析：

本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

解：如圖，取AB的中點E,取BE的中點N,連接BiE,MN,NC,

由題意可得AD〃BiE〃MN,

MN與MC所成的角即為異面直線AO與例C所成的角，

設(shè)=AB=BC=a,

則根據(jù)題意易得CM=AC==^a，MN=—a>NC=^~a,

1244

則IcSMCl=閾+臂）：（軻=2,

2x%x苧a5

故選A.

3.答案：D

解析:

本題主要考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題.

根據(jù)查線面垂直的判定，面面垂直的判定逐項證明即可.

解：①VBC=AC,

???B1C1=A1C1,

???M為4當(dāng)中點，

???GM1A1B1,

???三棱柱ABC-A/iG為直三棱柱，

AAt1平面力1B1G，

???GMu平面AiBiG，

:.GM1AAlt

???AiBiu平面ABBiAi，u平面A1B1nAAr=Ar,

/.CiAfl平面4遇BBi，

???4M為AG在平面4BB14內(nèi)的射影，

\ACilAtB,

???四邊形4BB14為正方形，M,N分別是A/iMB的中點，

???AM“NB\,

—NB,

"ArBu平面488出，

CrM1ArB,

vGMu平面4MG，AMu平面AMG，CrMn4M=M,

???ArB_L平面4MG，

vArBu平面4/C,

???平面AA/C'iJ"平面CB&.

故選O.

4.答案:A

解析：解：由題意，幾何體如圖：

由特征數(shù)據(jù)得到體積為：GX22X7T—[x4x2)x4=8〃-16；

故選：A.

由三視圖得到幾何體是一個三棱錐與半個球的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算體積即可.

本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還原幾何體.

5.答案：D

解析：

本題主要考查三棱錐的外接球問題，考查學(xué)生空間想象能力與推理能力，屬于難題.

利用已知條件及PA與底面A3C所成角的余弦值計算出外接球的半徑為在，球心。向直線PE作

2

ON1PE,ON為球心到側(cè)面P4B的距離，利用相似三角形計算答案.

解：因為P4=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，

所以點P在底面ABC的射影為M,則PM1面ABC,

M為底面三角形的中心，外接球球心O在直線上，

取A8中點為E,連結(jié)CE,PE,所以ME=3，AM=1^,

33

因為PA與底面ABC所成角的余弦值為漁，

3

所以24=魚，所以PM=7PA2—4M2=漁,PE=1,

3

設(shè)外接球的半徑為R，所以0M2+4M2=4。2

（日—4+（甯2=髀，所以R=^,

過球心。向直線PE作ON1PE,

易證AB1面PCE,ABu面PAB,

所以面24B，面PCE,交線為PE,ONu面PCE,

所以O(shè)N，面AP8,

因為APONs^PEM,所以需=弟

所以。N=立，

2

故選。.

6.答案：D

解析:

本題考查二面角的求解，熟練掌握二面角的定義是解答本題的關(guān)鍵，

過點C作。A/LA3，連接EM,由面面垂直得到EC，平面ABCQ,進而推理得到ABJ■平面EMC,

則NELL即是兩平面的二面角，再求出tanNEA/C唧可.

解：過點C作?！癓4B,連接EM,如圖：

???平面OCEF與平面ABCD垂直，且EC1DC，

EC1平面ABCD,

ECLAB，又CMdEC=C,CM,ECu平面EMC

.-.AB1平面EMC,

NEA/r即是兩平面的二面角，

過C作CN//AD,

四邊形AOCN為平行四邊形，

???CN=2,CB=2V3，BN=4,

:?CM=V3.

tanZEA/C=/EC2\/3.

CM3

故選D.

7.答案：B

解析：

本題考查平面的性質(zhì)及空間中距離的求解，屬于中檔題目.

先確定平面，再由線線平行得出PG即可.

解：平面AMN如圖所示：

由4M〃/VK,得B1K=|,

再由4K〃MP,得PC1=2,

故選員

D,

8.答案：ABD

解析：

本題考查球內(nèi)接多面體、余弦定理、球的表面積和體積、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

作出圖形，依據(jù)條件逐個判斷各命題即可解出.

解：如圖，

???D為AC中點，且為P在底面上的投影,

???PD1AC,AD=CD,

???AD=CD=PD=1,

PA=PC=V2.

又。為AC中點，AB1BC,

BD=1,即BP=V2.

???PA=PB=PC=VL故A正確；

在△ABD中，AD=1,BD=1,

0<AB<2,

COSZPABe(0,y).

vAP=BP,

???ZPAB<90°,

???/PAB的取值范圍是?《)，故8正確；

VAD=BD=CD=PD=1,

???。為三棱錐外接球的球心，R=1,

???卜球=3兀&=(乃，故。錯誤；

vAB=BC,。為AC中點，AD=CD=BD=1,

???AB=BC=V2.

取E為PC的中點，此時BE,DE都取得最小值，

22，22，

BE=VBP-PE=—2D2E=VPD-PE=—

(DE+BE)min=y+y=故。正確.

綜上，正確結(jié)論有ABD

故選ABD.

9.答案：BCD

解析：

本題考查與球有關(guān)的組合體問題，屬于較難題.

依題意首先求出外接球的半徑，即可求出截面圓的面積最大值，設(shè)過E且垂直O(jiān)E的截面圓的半徑

為r,即可求出截面圓的面積最小值，從而得解.

解：如下圖所示，其中。是球心，0'是等邊三角形BCO的中心，可得0，B=0'D=立BC=^，

3

AO'=>JAB2-O'B2=3,設(shè)球的半徑為R,在三角形。DO'中，由。。'2+。。已=。。2,即

(3-R)2+(bp=R2,解得R=2,故最大的截面面積為兀改=4兀

在三角形BEO'中，BE=-BD=i/.EBO'=7

626

由余弦定理得0%=l3+--2xV3x^cos-=^

74262

在三角形OO'E中，0E=700'2+00=包,設(shè)過E且垂直O(jiān)E的截面圓的半徑為r,〃=R2—

2

OF2=4--=-

44

故最小的截面面積為仃2=2：

所以過點E作球。的截面，截面圓面積的取值范圍是［乎,4兀］

故選：BCD.

解析：

本題考查了線面平行的判定、面面垂直的判定、考查了學(xué)生的空間想象能力和推理能力，屬于中檔

題.

本題考查了折疊得到的空間線面關(guān)系的判斷，用到了線面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

解：在圖2中取4c的中點為O,取BE的中點為M,連結(jié)例0,

所以O(shè)M〃OE,OM=加

又AF“DE,AF*DE

所以0M〃4F,0M=AF

所以四邊形AOMF為平行四邊形，即4C〃FM,

因為FMu平面BEF,AC仁平面BEF,

AC/mBEF,故4正確；

若B,C,E,P四點共面，

因為BC//4D,ADc^FjgfADEF,

BC,平面ADEF,所以BC//平面ADEF,

又BCu平面BCEF,

平面8W0平面40EF=EF,

所以可推出BC〃EF,

又BC//AD,

所以AD〃EF,矛盾，

???B、C、E、F四點不可能共面，故B錯誤；

在梯形4OEF中，可通過勾股定理逆定理證明：EF1FD,

又EF工CF,FDdCF=F,

：.EF，平面CDF,

又CDu平面CDF,即有CO1EF,

又CDLAD,EE與AO相交且都在平面AOEF內(nèi)，

CD1平面ADEF,

又CDu平面ABCD,

則平面4DE尸平面ABCD,故C正確；

延長A尸至G使得力尸=FG,連結(jié)BG、EG,易得平面BCEJ_平面ABF,且平面BCEn平面AB尸=BG,

過尸作FNJ.BG于N,則FN_L平面BCE.

若平面BCE上平面8EF,則過尸作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故。錯誤，

故選AC.

11.答案：BC

解析:

本題考查球的表面積公式，以及圓錐曲線的動點軌跡的問題.屬于較難試題，根據(jù)線段MN形成曲面

為圓錐的側(cè)面，即可得其的中點的軌跡為圓，BCD分別根據(jù)拋物線，雙曲線，橢圓的定義判斷

即可.

解析：

解：對于A,點N在正方形ABC。所在平面內(nèi)運動，MN=2,則所有滿足條件的線段MN組成一個

圓錐的側(cè)面，圓錐的底面半徑為百，高為I,

設(shè)尸為MN的中點，則P點的軌跡是一個半徑為宜的圓，面積為；’：，故A不正確；

對于若N到直線BBi與直線0c的距離相等，即在平面48CD中，點N到點B的距離等于到直

線CZ)的距離，所以N的軌跡為拋物線，故B正確；

對于C,由題意，以D為原點,OA為x軸，DC為)，軸，DDi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)N(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),則取=(x,y,-2),AB=(0,2,0),

若"V與AB所成的角為最

化簡得藝一式=1,所以C正確；

124

對于D,若與平面ABCO所成的角為a可得QN為定值，所以則N的軌跡為圓，故。不正確;

故選BC.

12.答案:ABC

解析：

本題以長方體為載體，考查棱錐的體積公式，屬于較難題.

利用條件，對選項逐個判斷即可.

解：對于A,由題意可得DiF〃8E,

%1-8￡。討=KBI-BED1+^B1-BFD1

=VDI-BEBI+

111

=-X[—,BB],BC?AB+—?BBi?,AB]

=1-|x(5x4x34-5x4x3)=20,所以A正確；

對于8,將長方體展開，如圖所示,

當(dāng)E為BDi與CG的交點時，四邊形BED*的周長最小，

此時四邊形BED#的周長為2BD「

而在ABOOi中，BDi=552+(3+4尸=g,

所以四邊形BE。1尸的周長的最小值為2g,

可得四邊形BEDiF為平行四邊形，且E為展開圖中唯一的點，

所以B正確；

對于C,當(dāng)點E為CG的中點時，則E到直線A。的最小距離為ED=.+(|)2

故在直線A。上存在點G,使得CG=V73,

故C正確；

對于。，因為=可得面BB1D1D為正方形，可得B1DJ.BD1，

當(dāng)BE1B1C時，又BELCD,B】CCCD=D,

所以BEJ_平面BiCD,又BiOu平面81C。，

可得當(dāng)D_1.BE,

又BECBD1=B,

即有Bi。_UEEBDi，

在矩形B/CiC中，BE1fijC,

所以胎=鼠所以CE=^=￡，故。錯誤，

故選ABC.

13.答案：3：2

解析：解：由題意可得：圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1,

所以圓柱的表面積為：S-27T+2X27T-()7T,

球的表面積為：S2=47r.

所以圓柱的表面積與球的表面積之比為Si：S2=3：2.

故答案為：3：2.

根據(jù)圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1,結(jié)合圓柱的表面積的公式以及球的

表面積即可得到答案.

本題考查幾何體的表面積，考查計算能力，特殊值法，在解題中有獨到功效，是基礎(chǔ)題.

14.答案:且；1.

3

解析：

此題考查正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，線面角的求法，考查推理能力，屬于中檔題.

由題意，直線0P與平面4BD所成的角a的最小值為ZA。&和NC10必中的最小者，然后利用正方體

的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，求出sina的取值范圍，再確定其最值

解：連接ac,4。，4G，

因為BD1AC,BD1站,ACn44]=A,

所以8。1平面

所以平面&BD，平面4CG&,

所以直線0P與平面4BD所成的角a的最小值為乙404和NG04中的最小者，

不妨設(shè)4B=2,

在RtElAOAi中，sinNZOAi=也==8，

1A。恬93

sin4CiOAi=sin(7r—24Ao41)=s\x\2Z.A0A1

=2sinZ-A0A1-cosZ-AOA1

=2—=出＞也

3333

所以sina的取值范圍為卜手,1],

所以sina的最小值為最大值為1,

3

故答案為W;1.

3

15.答案：①②

解析：

利用直線與平面平行的判定定理，并用余弦定理計算8N的長，判斷①的正誤；求出棱錐的體積的

最大值，判斷②的正誤；利用直線與平面垂直判斷③的正誤.

本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直以及幾何體的體積的最值的求法，考查空間想象能力以

及計算能力.

解：取。C的中點為F,連結(jié)尸N,FB,可得N/7/&D,FB//MD,可得平面BFN〃平面為?！?，

所以BN〃平面

所以①正確；

當(dāng)平面aDM與底面A8C。垂直時，三棱錐&-DMC的體積最大，此時三棱錐N-DMC體積也取得

最大值，且匕i-DMC

最大值為：ix|xlx4x2xV2=^,所以②正確，

假設(shè)存在某個位置，使0M14C,

因為。M1MC,所以DM1平面&MC,

可得DMJLAiM,即矛盾，所以③不正確.

故答案為①②.

16.答案：②

解析：

本題考查平面與平面的垂直與平行的判定，考查平面與平面的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力,

屬于基礎(chǔ)題.

分別對各個選項逐一進行分析即可求解.

解：①若an夕=m,nua,,山〃，不能得到c_L“，故①錯誤；

②若〃,，則成立，故②正確：

③若any=m,0ny=n,m//n,則a,0有可能相交，有可能平行，故③錯誤；

@an/?=m,〃與a、口所成的角相等，則〃?、〃有可能平行，有可能垂直，故④錯誤.

故答案為②.

17.答案:2V2

解析：

本題考查線面垂直的證明，考查基本不等式的運用，確定4E,CD的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題.

取AC的中點0,連接08,OE,則08,47,證明力DJ_平面80E,確定白=與，利用基本不等式,

AE2

即可得出結(jié)論.

解：取AC的中點0,連接。8,0E,貝IJ0BL4C,

vDC_L平面ABC,OBu平面ABC,

???DC1OB,

vDCHAC=C,DC,ACu平面ADC,

OB1平面ADC,ADu平面ADC,

???OBLAD,

vBE1AD,OBnBE=B,

??.AD_L平面BOE,

???AD10Ef

，Z.AEO=乙CAD,

1CD

???__——___，

AE2

2

???AE=—,

CD

AE+CD=CD+-^>2V2,

當(dāng)且僅當(dāng)CO=近時，AE+DC有最小值,

故最小值為2vL

1Q20x^5

lb?合茶：----7T

3

解析：

本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意求出三棱錐的體積最大值為解題的難點，屬于較難題.

首先根據(jù)題意得到當(dāng)A/IBC的面積最大時，此時三棱錐。-4BC的體積最大，設(shè)4C=m,利用正弦

定理和余弦定理得到呼*--;-I)2+3,從而得到當(dāng)月C=2時，S-BC最大，再將三棱錐

。一4BC放入直三棱柱DBiG-48c中，求外接球體積即可.

解：因為D4J■平面ABC,AB=AD=2,

所以當(dāng)A力BC的面積最大時，此時三棱錐。-4BC的體積最大.

設(shè)AC=ni,則BC=y/3AC=V3m,

/+(倔

cosZ.ACBn)2-4_27n2-2

2xmxyf3mV3m2

所以siM/ACB=1-(瑞，J=

的N1)一〃J+8m2

所以=7xnrx3//rx---------....-二--(///~—41+33

4?)TZ1

當(dāng)m?=4,即m=2時，最大?

當(dāng)m=2時，COSNB4C=22+22-(28)2=一匕則484c=120°,

2x2x22

將三棱錐。-4BC放入直三棱柱DBiG-ABC中，

01，。2分別為上下底面外接圓圓心，設(shè)外接圓半徑為

則。1。2的中點。為直三棱柱DBiG—力BC外接球球心,

即三棱錐。一ABC的外接球球心，

設(shè)外接球半徑為上如圖所示：

根據(jù)正弦定理得二^-=2r，解得r=2,

sinl20°

所以/?=，/+22=V5.

故外接球體積V=:乃（通）3=當(dāng)加

故答案為生17r.

3

19.答案：|V6

解析：

本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.

如圖所示，正四棱錐P-4BC。，0為底面的中心，點M為A8的中點，則4P4。=60。，設(shè)4B=a,

根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出a的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到

答案.

如圖所示，

p

正四棱錐P—4BC0,。為底面的中心，點M為A8的中點,

則Z_P4。=60°,設(shè)4B=a,

22

AOA=—a,APA=V2a?PM=y/PA—AM=—a?

22

???4xG?a??a)=4V7=a=2,

17a2a2通

???pnon=----------=—a，

\442

.-.v=^Xa2xPO=—.

33

故答案為：越.

3

20.答案：(1)證明：因為點E、尸分別是棱PC和尸。的中點,

則EF為APDC的中位線，

所以EF〃CD,

又在矩形ABCD中，AB//CD,

所以EF〃4B,

又4Bu面PAB,EF仁面PAB,

所以EF〃平面PAB.

(2)證明：在矩形A8CD中，＞401CD,

又平面PAD，平面ABCD,

平面PADn平面4BCD=AD,

CDu面ABCD,所以CO_L平面PAD,

又AFu面PAD,所以CD1AF.①

因為P4=4)且尸是PO的中點，

所以4F1PD,(2)

由①②及P。<=面PCD,CDu面PCD,

PDCCD=D,所以4F_L平面PCD

解析：本題考查線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定.

(1)證明EF〃CD,AB//CD,即可證明EF〃4B,利用線面平行的判定即可得解；

(2)利用平面24。平面ABCD,證明CD1AF,PA=AD,所以AF1PD,即可證明力F1平面PCD.

21.答案：解：(1)存在點凡使得CF〃平面P4B,此時「尸=苧，

理由如下：依題，PC=A/3，OC=y/2,OP=1.

即。。2+0p2=pc2,所以O(shè)PJ_0C，

因為OP，。/?.OCC平面03。。.03U平面0310.OCC03O,

所以O(shè)P,平面OBC'O,所以O(shè)P，。。，所以PD=ar^=m，

過尸作FG〃。。交OP于G,連接CF,BG,

易知FG=[00=BC,FG//OD//BC,所以FG〃BC,FG=BC,

即四邊形BCFG為平行四邊形，所以CF〃BG,

因為BGu平面POB,CF<t平面POB，即以CF“平面POB,

故存在點F,使得CF〃平面尸48,此時PF=半；

(2)以。為坐標(biāo)原點，。8,。0,。「分別為久4*軸建立空間直角坐標(biāo)系.

有C(l,l,0),0(030),P(0,0,1),B(l,0,0),

設(shè)兩=A而(04A41)，E(x,y,z),

即(x,y,z-l)=2(1,0,—1),所以EQ,0,1—;I),

CF=(A-1,-1,1-A),DP=(0,-3,1)，

設(shè)直線CE與。P所成角為。，則

「_*=---/-A

=K?、E/八)1=-\A--0--\/2A2-4A+3V^l0v/2A2-4A+3(0O,

令t=4—A,則2—4—t(34t<4),

cos?！猒___________________________

_32t2_i2t+19-一Ji唳)2_啰+2,

令Z'IQKT2a+2,

當(dāng)。=總時’—=40力/一⑵+2取最大值，

此時直線CE與OP所成的角最小.此時；I=J所以E(J,O,3，

666

又因為C(l,l,0),0(0,3,0),8(100),

所以證=(0,1,0),CF=(-i-1i),CD=(-1,2,0),

oo

可求得平面BCE、平面CE。法向量分別為為元=(1,0,1),局=(2,1,8),

CCI1I-11()57138

所以<*<而"2>=在詞=飛1'

由圖可知，二面角B—CE—D為鈍二面角，則其余弦值為-工例.

69

解析：本題考查了線面平行的判定、異面直線所成的角、利用向量求二面角相關(guān)問題等綜合問題，

屬于較難題.

(1)先根據(jù)已知得到。。2+OP2=PC?,從而有op，。。，然后可得到0P,平面，OP1OD,

PD=VTT9=V10.再過尸作FG〃OD交OP于G,連接CF,BG,進而可得到FG〃BC,FG=BC,

最后即可證明得到答案；

(2)先以。為坐標(biāo)原點，08,0D,0P分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.有

C(l,l,0),D(0,3,0),P(0,0,l),B(l,0,0),再設(shè)方=4而(01),E(x,y,z),設(shè)直線CE與。尸所成

角為0,再根據(jù)條件利用向量得到

cosS=i,—(()WA41),求出;l,從而確

“V/WV/2A2-4A+3vI(j\/2A2-4A+3

定E?,01),最后再利用向量即可算出二面角8-CE-。的余弦值.

22.答案：(1)證明：由題意，點E、F分別是A。、8c的中點，

則AE=

由于四邊形A8CZ)為正方形，

所以EF1BC.

由于PF1BF,EFCPF=F,EF,PFu平面PE凡

則BF，平面PEF.

由(1)得BF，平面PEF,PHu平面PEE

得BF1PH，又EFCBF=F,EF,BFu平面ABEO,有PH，平面ABFD

故直線DP與平面ABFD所成角為NPDH，

由于EF1為面A8CD和面PEF的交線，PH1EF,

則PHJ_面ABFD,

故PH1DH.

在三棱錐P-DEF中，可以利用等體積法求P4,

因為。E〃BF且PF1BF,

所以PF1DE,

又因為△PDF三AW,

所以乙FPD=4FCD=90°,

所以PF1PD,

由于DEnPD=C,DE,PDu平面尸

則PF_L平面PDE,

故力-PDE=qPF,S^pDE>

因為BF//ZM且BFIffiPEF,

所以DA1面PEF,EPu平面PEF,

所以DE±EP.

設(shè)正方形邊長為2a,

則PD=2a,DE=a,

在APDE中，PE=V3a-

所以S"DE=1。2,

故KF-PDE=

2

又因為SADE尸=|a-2a=a,

所以2”=火警=出置

a22

所以在APHD中，sin/PDH=—=—,

PD4

即DP與平面48H(所成角的正弦值為3

4

解析：本題考查直線、平面的位置關(guān)系，直線與平面所成角的求法，幾何法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想

以及計算能力.

(1)利用正方形的性質(zhì)和線面垂直的判定定理即可證明；

(2)在平面QEF中，過P作PH1EF于點4,聯(lián)結(jié)。4,直線QP與平面ABFO所成角為，

利用等體積法可求出點P到面A8CQ的距離尸”是求解的關(guān)鍵.

23.答案：(1)證明：???平面4BDJ■平面BDC,交線為BD,

又在ZMBD中，AE1BD^E,AEu平面ABO,

AEJ_平面BCD.

(2)解：由(1)得4E1平面BC￡>,；.AE1E凡

由題意得EFlBD,又AE1BD,

如圖，以E為坐標(biāo)原點，

分別以EF,ED,E4所在直線為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=BD=DC=AD=2,貝“BE=ED=1,

由圖1條件計算得4E=V3.BC=2V3,EF=

則E(0,0,0),0(0,1,0),8(0,-1,0),4(0,0,b)，

F(p0,0),C(V3,2,0),DC=(V3,l,0)>AD=(0,1)-圾,

由AE1平面BCD,得平面BCD的法向量為瓦？=(0,0,遮)，

設(shè)平面AOC的一個法向量為元=(x,y,z),

(n?DC-y/3x+y=0?._廠

則L——.廣，取z=1,-zf#rn=(-1,V3,1)>

(jn-AD=y-V3z=0

-7r7、EAnVs

???cos<n,EA>=,—，一,=——，

IE用?同5

.??二面角4-DC-8的余弦值為漁.

5

解析：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系與性質(zhì)的合理運用，是中檔題.

(1)由平面4BD!_平面8OC,交線為BD,4E1BC于E,AEu平面48。，能證明AE_L平面BCD

(2)以E為坐標(biāo)原點，分別以EF,ED,E4所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面

BCD的法向量和平面ADC的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角力-DC-B的余弦值.

24.答案：證明：(1)因為CD1平面PAO,PAu平面P4。，

所以CD1P4又4clp4且CDn4C=C,所以P41平面4CD,

因為P4u平面PAM,所以平面4CD_L平面PAM；

(2)在PO上取一點E,使得PE=PD,

因為PM=；PC,所以ME^LCD，

44

又AB=-CD,所以ME么4B，

4-

所以四邊形ABME為平行四邊形，

所以MB〃4E,乂AEu平面PA。，MBC平面PAO,

所以MB〃平面PAD.

因為P4_L平面ACD,所以H4_LAD.因為力D=4,AP=^AD,即點P到A。的距離為"C=2,

即得點P到平面ACD的距離為2,

PM=；PC,所以點M到平面AC。的距離為"2=I，

解析：本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與推理能力，屬于中檔題.

(1)首先證明CO_LP4,又4CLP4得出P4_L平面AC。，利用面面垂直的判定定理即可證明平面

4CD1平面PAM-,

(2)在上取一點E,使得PE=PD,證明四邊形ABME為平行四邊形，利用線面平行判定定理

即可得到MB〃平面PAD.先求出點M到平面ACO的距離，再利用體積公式求解.

25.答案：證明：—為三棱柱，

?i-44iGC是平行四邊形，

又叫1平面ABC,AB、ACu平面ABC,

力力i1AC,AAr1AB,

又AAi=AC,

441GC是正方形，

???4cl1ArC,

四邊形A8CD為平行四邊形，AD=2CD,/.ADC=60°.

設(shè)CD=a,貝