高中數(shù)學平面向量基礎訓練答案解析

清單18平面向黃的微念、線膛運算友基率定理

一、知識與方法清單

1.向量

向量是既有大小，又有方向的量：向量的大小叫做向量的長度（或稱模）

注意向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關.只要大小和方向相同，這兩個向量就是相等的向量.

（2）有向線段是表示向量的工具，它有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是

不同的有向線段.

【對點訓練1】設處為單位向量，

①若a為平面內的某個向量，則a=|a|ao;

②若a與ao平行，則a=|a|ao；

③若a與的平行且|a|=1,則a=ao.

上述命題中，假命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，。與|a|a）的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若。與的

平行，則當a為零向量時，a的方向任意；當a不為零向量時，a與小的方向有兩種情況：一是同向，二是

反向，反向時。=一|。|如，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.故選D.

2.零向量

長度為0的向量；注意零向量的方向是任意的

【對點訓練2】下列敘述錯誤的是.

①若h//c,則a〃c.

②若非零向量a與?方向相同或相反，則a+8與a,之一的方向相同.

③⑷十|〃=|a+b|3與b方向相同.

④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)人使得b=Xa.

⑤顯+成=0.

⑥若癡=乃，則a=A

【答案】①②③④⑤⑥

【解析】對于①，當》=0時，。不一定與c平行.

對于②，當a+b=0時;其方向任意，它與a,力的方向都不相同.

對于③，當a,5之一為零向量時結論不成立.

對于④，當”=0且。=0時，2有無數(shù)個值；當a=0但厚0或Q/）但6=0時，4不存在.

1

對于⑤，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以露+或=0.

對于⑥，當2=0時，不管a與b的大小與方向如何，都有"=助，此時不一定有a=Z>.

故①②③④⑤⑥均錯.

3.單位向量

單位向量是長度等于1個單位長度的向量，注意單位向量的長度確定，但方向不確定，故單位向量有無數(shù)

個，與非零向量a共線的單位向量為端.

【對點訓練31與￡=(3,4)共線的單位向量為

【解析】因為問=5,所以與2=(3,4)共線的單位向量為伐］

4.平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量是共線向量，注意課本規(guī)定零向量與任意向量都共線.

【對點訓練4】對于非零向量a,b,“a+川=0”是“a〃寺的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當a+〃=0時，a=-b,所以a〃b；當?！r，不一定有a=一"所以"a+b=0"是"a〃"'的充

分不必要條件.故選A.

5.相等向量

長度相等且方向相同的向量是相等向量

解讀：對平行向量、相等向量概念的理解

(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對任意的向量a,都有0〃a,

這里注意概念中提到的“非零向量

(2)對于任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關.在平面上，

兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定的.

(3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量.

【對點訓練5】給出下列命題：

①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；

2

②若⑷=|加，則a=Z>；

③若感=成，則四點A,B,C,。構成平行四邊形；

④在。A8CO中，一定有霜=氏；

C???/1Di—,iii"=p,貝ijin~~P-

其中不正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】兩個向量起點相同，終點也相同，則兩個向量相等；但兩個相等向量，不一定有相同的起點和終

點，故①不正確.若⑷=步|,由于Q與方方向不確定，所以a,不一定相等，故②不正確.若屈=成，可

能有A,B,C,/）在一條直線上的情況，所以③不正確.正確的是④⑤.故選B.

6.相反向量

長度相等且方向相反的向量是相反向量

解讀：對相反向量的兩點說明

（1）相反向量與方向相反的向量不是同一個概念，相反向量是方向相反，模長相等的兩個向量.

（2）兩個非零向量a,b互為相反向量應具備的條件：一是長度相等，二是方向相反，兩者缺一不可.

【對點訓練6】給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若方都是單位向量，則”=岳

③向量霜與成相等.則所有正確命題的序號是（）

A.①B.③

C.①③D.①②

【答案】A

【解析】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相

同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量初與或互為相反向量，故③錯誤.

7.向量的加法法則

①三角形法則：以第一個向量a的終點4為起點作第二個向量b,則以第一個向量a的起點。為起點以第

二個向量b的終點B為終點的向量彷就是。與b的和（如圖1）.

②平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a,b為鄰邊作口ABC￡>,則以A為起點的對角線祀就

3

是0與b的和(如圖2).在圖2中，Bt=Ab=b,因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式.

解讀：對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的三點說明

(1)兩個法則的使用條件不同.

三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.

(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的.

(3)在使用三角形法則時要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時需要注意兩個向量的起點相同.

【對點訓練7】在平行四邊形ABCO中，對角線AC與80交于點O,屈+n=沆),則％=.

【答案】2

【解析】由向量加法的平行四邊形法則，

得屈+中=證.

又。是AC的中點，：.AC^2AO,.=2劭，

：.A^+Ab=2Ad.^Ah+Ab=AAb,：.A=2.

8.向量的減法法則

已知向量a，6,在平面內任取一點。，作次=a,Oh=b,則或=a—Z>,即“一。表示從向量6的終點指

向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖).

A

解讀：向量減法法則的兩點說明

(1)向量的減法法則有著豐富的幾何背景：當a,b不共線時，a,b與a-b圍成一個三角形；當a,b共線時，

a,b與a-b不能圍成一個三角形.(2)向量的加法與向量的減法互為逆運算，可以靈活轉化，減去一個向量等

于加上這個向量的相反向量.

【對點訓練8】設。為△ABC所在平面內一點，若發(fā)'=3仍，貝1]()

A.初=-g戲+方/B.?=g港一方比

C.A&=^A&+|AtD.勸=,屈祀

【答案】A

【解析】：發(fā)'=35)，；.公一篇=3(初一宿，即4/一顯=3力，.?.力=一拗+泣.

9.實數(shù)與向量的乘積

(1)定義：實數(shù)力與向量”的積是一個向量，記作相，它的長度與方向規(guī)定如下：

①間=川。|：

②當心>0時，癡與a的方向相同；

4

當衣。時，Aa與a的方向相反;

當2=0時，相=0.

解讀：向量數(shù)乘定義的兩個關注點

(1)條件：一個實數(shù)與一個向量乘積.

(2)結論：向量數(shù)乘的結果為一個向量，其模等于這個實數(shù)的絕對值與這個向量模的乘積，其方向與實數(shù)的

正負有關.

【對點訓練9】已知向量a,1不共線,c=ka+b(keR),d=a—b.如果c〃d,那么()

A.%=1且c與d同向

B.Z=1且c與d反向

C.Z=-1且c與d同向

D.無=—1且c與d反向

【答案】D

\k=).,k=-l,

【解析】因為c〃d,所以存在實數(shù)九使得c=〃，即妨+0=%(a—加，所以解得此時

2=-1,

c=-d.所以c與d反向.故選D.

10.向量共線定理

向量a(存0)與》共線，當且僅當有唯---個實數(shù)2,使

解讀：對向量共線的條件的說明

(1)在向量共線的條件中之所以限定存0,是由于若a=b=0,雖然入仍然存在，可是九不唯一.

(2)根據(jù)向量共線的條件，對于非零向量a,b,確定實數(shù)入，使b=)ia時，分兩點：①確定符號，a與b同向

時，入為正；a與b反向時，九為負.②確定九的絕對值.

【對點訓練10】已知。，6是兩個非零向量，S.\a+b\^\a\+\b\,則下列說法正確的是()

A.a+Z>=0B.a=b

C.”與b共線反向D.存在正實數(shù)九使。=乃

【答案】D

【解析】因為a，力是兩個非零向量，且|a+A|=|a|+網(wǎng)，則a與。共線同向，故D正確.故選D.

11.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即

>=

AIA2+—A2A3+―43A4*+...+A?-|A?—AiAn,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而

成的向量和為零向量.

【對點訓練11】在四邊形ABC。中，Ah=a+2b,岌=一4。一"反)=一5。-38,則四邊形A8C。的形狀

是()

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

5

【答案】C

【解析】由已知得，才方=輻+就+玩）=。+24?一。一5a—3/>=—84—2占=2（—4"-8）=2求，故不力〃就.

又因為初與仍不平行，所以四邊形A8CO是梯形.故選C.

12.若P為線段A8的中點，。為平面內任一點，則赤=；（溫+曲.

【對點訓練12】如圖所示，設。是△ABC內部一點，且次+求=-2彷，則△ABC與△AOC的面積之比

為.

【答案】2

【解析】取AC的中點￡）,連接OC,

則次+求=2辦:.oh=-ob,

...0是AC邊上的中線BD的中點，：.SAABC=2SAOAC，

：.AABC與△AOC面積之比為2.

13.溫=2防+/z虎（2,〃為實數(shù)），若點A,B,C共線，貝"+"=1.

【對點訓練13】如圖所示，在AABC中，點0是3c的中點，過點。的直線分別交直線AB,AC于不同的

兩點M,N,若霜=〃以防祀=〃戲，則相+〃的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】為BC的中點,

Ab=:（感+At）—+nA?/）=々貌+^A^,

M,0,N三點共線，.,.當+?=1,.,.,“+”=2.

14求已知向量的和.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和

用三角形法則.

6

【對點訓練14】在△ABC中，E,尸分別為AC,A8的中點，8E與C/相交于G點，設初=〃，&=4試

用“，》表示A&.

R

解法二：由于G是△ABC的中線BE與C尸的交點，所以G為△ABC的重心.延長4G交BC于H,由重心

221]I

的性質知，左&=彳希=『2（霜+祀）=ga+?.

15.求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.

12

【對點訓練15】設。、E分別是△A8C的邊A8、8c上的點，AD=^AB,BE=]BC.若踮=九霜+2次（九、

22為實數(shù)），則小+%2的值為.

【答案】;

121219

【解析】降=加+旗=5部+Q祀=5勵+Q（西+At）=—z助祀，

12?1

；?九=一不,2=?，即九+22=0

16.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當兩向量共線且

有公共點時，才能得出三點共線.

【對點訓練16】已知“，〃是不共線的向量，A^=Xa+b,/=a+〃伙兒"6R）,那么A,B,C三點共線的

充要條件是（）

A.2+〃=2B.A—4=1

C.>,//=—1D.z//=l

【答案】D

【解析】由屈=腦+從/=。+/必（兒〃WR）及4,B,C三點共線得恭=f祀，

[A=6

所以2。+）=/（@+"））=做+〃必，即可得彳所以勿=1,故選D.

U="，

17.向量用力共線是指存在不全為零的實數(shù)小,丸2,使九。+225=。成立，若九。十小》=0，當且僅當九=/2

=0時成立，則向量a,。不共線.

7

【對點訓練17】已知向量〃，力，c中任意兩個都不共線，但與c共線，且b+c與〃共線，則向量a

+b+c等于()

A.aB.b

C.cD.0

【答案】D

【解析】依題意，設a+6=〃?c,b+c=na,則有(a+6)—(/>+c)=〃?c—“a,即a—c=〃?c—“a.又a與c不共

線，于是有機=-1，〃=—1,a+b=~c,a+b+c=O,選D.

18.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數(shù)九"2,

使.其中，不共線的向量e”e?叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

解讀：對平面向量基本定理的兩點說明

(1)作用和意義

平面向量基本定理告訴我們，平面內任何一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并

且這種分解是唯一的.

(2)基底的性質：

①不共線性

平面內兩個不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以

零向量不可以作為基底.

②不唯一性

對基底的選取不唯一，平面內任一向量a都可被這個平面的一組基底由，e2線性表示，且在基底確定后，這

樣的表示是唯一的

【對點訓練18］如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,若起點和終點均在格點的向量a,兒c滿足c=m+

yb(x,yWR),則x+y=.

【答案】號13

【解析】如圖，取單位向量i，