高中數(shù)學(xué)平面向量基礎(chǔ)訓(xùn)練答案解析

清單18平面向黃的微念、線膛運(yùn)算友基率定理

一、知識(shí)與方法清單

1.向量

向量是既有大小，又有方向的量：向量的大小叫做向量的長度（或稱模）

注意向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān).只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相等的向量.

（2）有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是

不同的有向線段.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】設(shè)處為單位向量，

①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|ao;

②若a與ao平行，則a=|a|ao；

③若a與的平行且|a|=1,則a=ao.

上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，。與|a|a）的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若。與的

平行，則當(dāng)a為零向量時(shí)，a的方向任意；當(dāng)a不為零向量時(shí)，a與小的方向有兩種情況：一是同向，二是

反向，反向時(shí)。=一|。|如，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D.

2.零向量

長度為0的向量；注意零向量的方向是任意的

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】下列敘述錯(cuò)誤的是.

①若h//c,則a〃c.

②若非零向量a與?方向相同或相反，則a+8與a,之一的方向相同.

③⑷十|〃=|a+b|3與b方向相同.

④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=Xa.

⑤顯+成=0.

⑥若癡=乃，則a=A

【答案】①②③④⑤⑥

【解析】對(duì)于①，當(dāng)》=0時(shí)，。不一定與c平行.

對(duì)于②，當(dāng)a+b=0時(shí);其方向任意，它與a,力的方向都不相同.

對(duì)于③，當(dāng)a,5之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立.

對(duì)于④，當(dāng)”=0且。=0時(shí)，2有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)a=0但厚0或Q/）但6=0時(shí)，4不存在.

1

對(duì)于⑤，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以露+或=0.

對(duì)于⑥，當(dāng)2=0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有"=助，此時(shí)不一定有a=Z>.

故①②③④⑤⑥均錯(cuò).

3.單位向量

單位向量是長度等于1個(gè)單位長度的向量，注意單位向量的長度確定，但方向不確定，故單位向量有無數(shù)

個(gè)，與非零向量a共線的單位向量為端.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31與￡=(3,4)共線的單位向量為

【解析】因?yàn)閱?5,所以與2=(3,4)共線的單位向量為伐］

4.平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量是共線向量，注意課本規(guī)定零向量與任意向量都共線.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】對(duì)于非零向量a,b,“a+川=0”是“a〃寺的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)a+〃=0時(shí)，a=-b,所以a〃b；當(dāng)?！r(shí)，不一定有a=一"所以"a+b=0"是"a〃"'的充

分不必要條件.故選A.

5.相等向量

長度相等且方向相同的向量是相等向量

解讀：對(duì)平行向量、相等向量概念的理解

(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對(duì)任意的向量a,都有0〃a,

這里注意概念中提到的“非零向量

(2)對(duì)于任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).在平面上，

兩個(gè)長度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定的.

(3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】給出下列命題：

①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

2

②若⑷=|加，則a=Z>；

③若感=成，則四點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成平行四邊形；

④在。A8CO中，一定有霜=氏；

C???/1Di—,iii"=p,貝ijin~~P-

其中不正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終

點(diǎn)，故①不正確.若⑷=步|,由于Q與方方向不確定，所以a,不一定相等，故②不正確.若屈=成，可

能有A,B,C,/）在一條直線上的情況，所以③不正確.正確的是④⑤.故選B.

6.相反向量

長度相等且方向相反的向量是相反向量

解讀：對(duì)相反向量的兩點(diǎn)說明

（1）相反向量與方向相反的向量不是同一個(gè)概念，相反向量是方向相反，模長相等的兩個(gè)向量.

（2）兩個(gè)非零向量a,b互為相反向量應(yīng)具備的條件：一是長度相等，二是方向相反，兩者缺一不可.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若方都是單位向量，則”=岳

③向量霜與成相等.則所有正確命題的序號(hào)是（）

A.①B.③

C.①③D.①②

【答案】A

【解析】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相

同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量初與或互為相反向量，故③錯(cuò)誤.

7.向量的加法法則

①三角形法則：以第一個(gè)向量a的終點(diǎn)4為起點(diǎn)作第二個(gè)向量b,則以第一個(gè)向量a的起點(diǎn)。為起點(diǎn)以第

二個(gè)向量b的終點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量彷就是。與b的和（如圖1）.

②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a,b為鄰邊作口ABC￡>,則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線祀就

3

是0與b的和(如圖2).在圖2中，Bt=Ab=b,因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式.

解讀：對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的三點(diǎn)說明

(1)兩個(gè)法則的使用條件不同.

三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和.

(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的.

(3)在使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時(shí)需要注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】在平行四邊形ABCO中，對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)O,屈+n=沆),則％=.

【答案】2

【解析】由向量加法的平行四邊形法則，

得屈+中=證.

又。是AC的中點(diǎn)，：.AC^2AO,.=2劭，

：.A^+Ab=2Ad.^Ah+Ab=AAb,：.A=2.

8.向量的減法法則

已知向量a，6,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作次=a,Oh=b,則或=a—Z>,即“一。表示從向量6的終點(diǎn)指

向向量a(被減向量)的終點(diǎn)的向量(如圖).

A

解讀：向量減法法則的兩點(diǎn)說明

(1)向量的減法法則有著豐富的幾何背景：當(dāng)a,b不共線時(shí)，a,b與a-b圍成一個(gè)三角形；當(dāng)a,b共線時(shí)，

a,b與a-b不能圍成一個(gè)三角形.(2)向量的加法與向量的減法互為逆運(yùn)算，可以靈活轉(zhuǎn)化，減去一個(gè)向量等

于加上這個(gè)向量的相反向量.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若發(fā)'=3仍，貝1]()

A.初=-g戲+方/B.?=g港一方比

C.A&=^A&+|AtD.勸=,屈祀

【答案】A

【解析】：發(fā)'=35)，；.公一篇=3(初一宿，即4/一顯=3力，.?.力=一拗+泣.

9.實(shí)數(shù)與向量的乘積

(1)定義：實(shí)數(shù)力與向量”的積是一個(gè)向量，記作相，它的長度與方向規(guī)定如下：

①間=川。|：

②當(dāng)心>0時(shí)，癡與a的方向相同；

4

當(dāng)衣。時(shí)，Aa與a的方向相反;

當(dāng)2=0時(shí)，相=0.

解讀：向量數(shù)乘定義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)條件：一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量乘積.

(2)結(jié)論：向量數(shù)乘的結(jié)果為一個(gè)向量，其模等于這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)向量模的乘積，其方向與實(shí)數(shù)的

正負(fù)有關(guān).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】已知向量a,1不共線,c=ka+b(keR),d=a—b.如果c〃d,那么()

A.%=1且c與d同向

B.Z=1且c與d反向

C.Z=-1且c與d同向

D.無=—1且c與d反向

【答案】D

\k=).,k=-l,

【解析】因?yàn)閏〃d,所以存在實(shí)數(shù)九使得c=〃，即妨+0=%(a—加，所以解得此時(shí)

2=-1,

c=-d.所以c與d反向.故選D.

10.向量共線定理

向量a(存0)與》共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯---個(gè)實(shí)數(shù)2,使

解讀：對(duì)向量共線的條件的說明

(1)在向量共線的條件中之所以限定存0,是由于若a=b=0,雖然入仍然存在，可是九不唯一.

(2)根據(jù)向量共線的條件，對(duì)于非零向量a,b,確定實(shí)數(shù)入，使b=)ia時(shí)，分兩點(diǎn)：①確定符號(hào)，a與b同向

時(shí)，入為正；a與b反向時(shí)，九為負(fù).②確定九的絕對(duì)值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】已知。，6是兩個(gè)非零向量，S.\a+b\^\a\+\b\,則下列說法正確的是()

A.a+Z>=0B.a=b

C.”與b共線反向D.存在正實(shí)數(shù)九使。=乃

【答案】D

【解析】因?yàn)閍，力是兩個(gè)非零向量，且|a+A|=|a|+網(wǎng)，則a與。共線同向，故D正確.故選D.

11.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即

>=

AIA2+—A2A3+―43A4*+...+A?-|A?—AiAn,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而

成的向量和為零向量.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】在四邊形ABC。中，Ah=a+2b,岌=一4。一"反)=一5。-38,則四邊形A8C。的形狀

是()

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對(duì)

5

【答案】C

【解析】由已知得，才方=輻+就+玩）=。+24?一。一5a—3/>=—84—2占=2（—4"-8）=2求，故不力〃就.

又因?yàn)槌跖c仍不平行，所以四邊形A8CO是梯形.故選C.

12.若P為線段A8的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則赤=；（溫+曲.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】如圖所示，設(shè)。是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且次+求=-2彷，則△ABC與△AOC的面積之比

為.

【答案】2

【解析】取AC的中點(diǎn)￡）,連接OC,

則次+求=2辦:.oh=-ob,

...0是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，：.SAABC=2SAOAC，

：.AABC與△AOC面積之比為2.

13.溫=2防+/z虎（2,〃為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)A,B,C共線，貝"+"=1.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】如圖所示，在AABC中，點(diǎn)0是3c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的

兩點(diǎn)M,N,若霜=〃以防祀=〃戲，則相+〃的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】為BC的中點(diǎn),

Ab=:（感+At）—+nA?/）=々貌+^A^,

M,0,N三點(diǎn)共線，.,.當(dāng)+?=1,.,.,“+”=2.

14求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和

用三角形法則.

6

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】在△ABC中，E,尸分別為AC,A8的中點(diǎn)，8E與C/相交于G點(diǎn)，設(shè)初=〃，&=4試

用“，》表示A&.

R

解法二：由于G是△ABC的中線BE與C尸的交點(diǎn)，所以G為△ABC的重心.延長4G交BC于H,由重心

221]I

的性質(zhì)知，左&=彳希=『2（霜+祀）=ga+?.

15.求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

12

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】設(shè)。、E分別是△A8C的邊A8、8c上的點(diǎn)，AD=^AB,BE=]BC.若踮=九霜+2次（九、

22為實(shí)數(shù)），則小+%2的值為.

【答案】;

121219

【解析】降=加+旗=5部+Q祀=5勵(lì)+Q（西+At）=—z助祀，

12?1

；?九=一不,2=?，即九+22=0

16.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且

有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】已知“，〃是不共線的向量，A^=Xa+b,/=a+〃伙兒"6R）,那么A,B,C三點(diǎn)共線的

充要條件是（）

A.2+〃=2B.A—4=1

C.>,//=—1D.z//=l

【答案】D

【解析】由屈=腦+從/=。+/必（兒〃WR）及4,B,C三點(diǎn)共線得恭=f祀，

[A=6

所以2。+）=/（@+"））=做+〃必，即可得彳所以勿=1,故選D.

U="，

17.向量用力共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)小,丸2,使九。+225=。成立，若九。十小》=0，當(dāng)且僅當(dāng)九=/2

=0時(shí)成立，則向量a,。不共線.

7

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】已知向量〃，力，c中任意兩個(gè)都不共線，但與c共線，且b+c與〃共線，則向量a

+b+c等于()

A.aB.b

C.cD.0

【答案】D

【解析】依題意，設(shè)a+6=〃?c,b+c=na,則有(a+6)—(/>+c)=〃?c—“a,即a—c=〃?c—“a.又a與c不共

線，于是有機(jī)=-1，〃=—1,a+b=~c,a+b+c=O,選D.

18.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九"2,

使.其中，不共線的向量e”e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

解讀：對(duì)平面向量基本定理的兩點(diǎn)說明

(1)作用和意義

平面向量基本定理告訴我們，平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，并

且這種分解是唯一的.

(2)基底的性質(zhì)：

①不共線性

平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以

零向量不可以作為基底.

②不唯一性

對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底由，e2線性表示，且在基底確定后，這

樣的表示是唯一的

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18］如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a,兒c滿足c=m+

yb(x,yWR),則x+y=.

【答案】號(hào)13

【解析】如圖，取單位向量i，