《微積分（第4版）》 教案 7.2、7.3多元函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)

課題：7.2、7.3多元函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)識(shí)知目標(biāo)理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，并掌握其計(jì)算方法.能力目標(biāo)通過對(duì)一元函數(shù)與二元函數(shù)極限、連續(xù)概念對(duì)比分析，提高學(xué)生運(yùn)用對(duì)比分析的方法分析歸納、概括推廣的能力.通過二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的之間的轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：多元函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)概念.處理方法是對(duì)比一元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)概念尋同求異，借助幾何直觀加深理解.難點(diǎn)：二元函數(shù)極限概念.三、教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)思想教學(xué)方法：以對(duì)比分析教學(xué)為主，將二元函數(shù)與一元函數(shù)相關(guān)概念對(duì)比，尋同求異，既把握概念形式上的一致，又區(qū)分內(nèi)在的差異；既掌握從一元函數(shù)到多元函數(shù)的推廣，又了解從多元函數(shù)向一元函數(shù)的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生通過比較分析教學(xué)，掌握問題比較研究的方法.教學(xué)手段：利用多媒體課件輔助教學(xué)..四、教學(xué)基本流程開 始二元函數(shù)引例定義域二元函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系與圖形一元函數(shù)與二元函數(shù)極限對(duì)比一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)對(duì)比多元函數(shù)、極限、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)引例幾何意義偏導(dǎo)數(shù)概念與連續(xù)關(guān)系鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)多元函數(shù)、極限、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)引例幾何意義偏導(dǎo)數(shù)概念與連續(xù)關(guān)系鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖多元函數(shù)極限與連續(xù)問題提出第一節(jié)多元函數(shù)一、二元函數(shù)1.引例1，例2提出引例，引出二元函數(shù)概念教師講解論述（課件）提出問題，引發(fā)學(xué)生思考二元函數(shù)概念形成2.二元函數(shù)的概念師生歸納概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)概念（課件）通過抽象概括出二元函數(shù)概念，提高概括和數(shù)學(xué)表達(dá)能力二元函數(shù)的兩個(gè)基本要素例3，例4，例5教師講解與學(xué)生練習(xí)相結(jié)合通過例題分析，強(qiáng)化對(duì)概念基本特征的把握二元函數(shù)極限連續(xù)概念形成二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)一元函數(shù)與二元函數(shù)極限對(duì)比教師對(duì)比分析，學(xué)生對(duì)比思考師生對(duì)比概括（課件）通過對(duì)比的方法，把握二元函數(shù)極限的概念與特征一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)對(duì)比教師對(duì)比分析，學(xué)生對(duì)比思考師生對(duì)比概括（課件）通過對(duì)比的方法，把握二元函數(shù)連續(xù)的概念與特征極限計(jì)算與存在性討論例6，例7教師講解與學(xué)生練習(xí)相結(jié)合通過例題分析，強(qiáng)化對(duì)極限概念的把握多元函數(shù)概念歸納三、多元函數(shù)函數(shù)u=f(P)極限limf(P)=AP→P連續(xù)limf(P)=f(P0)P→P教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納推廣（課件）通過概念的推廣與統(tǒng)一，明確概念屬性，把握概念結(jié)構(gòu)特征，揭示概念內(nèi)涵，促進(jìn)概念的深化偏導(dǎo)數(shù)問題提出第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)1.問題的引入（課件）提出問題，引出二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)概念形成2.偏導(dǎo)數(shù)概念師生歸納概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述偏導(dǎo)數(shù)概念（課件）通過轉(zhuǎn)化的方法，把握二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與特征偏導(dǎo)概念強(qiáng)化偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算教師啟發(fā)學(xué)生探討強(qiáng)化對(duì)概念的理解二、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)?連續(xù)教師講解論述（課件）強(qiáng)化對(duì)概念的理解概念鞏固三、例題與練習(xí)123教師講解與學(xué)生練習(xí)相結(jié)合通過例題分析、練習(xí)訓(xùn)練鞏固、消化教學(xué)內(nèi)容概念應(yīng)用四、偏導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用教師啟發(fā)學(xué)生探討（課件）將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題，培養(yǎng)實(shí)際問題數(shù)學(xué)表述能力歸納總結(jié)五、歸納總結(jié)主要知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容結(jié)構(gòu)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)把握教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，形成整體認(rèn)識(shí)布置作業(yè)六、書面作業(yè)教師布置作業(yè)，學(xué)生課下練習(xí)鞏固知識(shí)，反饋教學(xué)教案：6-1多元函數(shù)教案：6-1多元函數(shù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說明第七章多元函數(shù)微積分◎多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的推廣，多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究的對(duì)象，同一元函數(shù)類似對(duì)于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)等概念.◎多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)，應(yīng)注意與一元函數(shù)微積分進(jìn)行對(duì)比，把握兩者之間的聯(lián)系、區(qū)別和轉(zhuǎn)化，求同存異，處理好一般與特殊之間辯證關(guān)系.第一節(jié) 多函數(shù)一、二元函數(shù)在許多自然現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，經(jīng)常遇到多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系.例1設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為x和y，則矩形的面積S為S=xy2CobbDouglasQcKαLβ，cαβL為勞動(dòng)力數(shù)量，K為產(chǎn)量．1DR2fD個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y)，都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱映射fDf：D→Rx,y?zx,yD zfx,y)x,y稱為自變量，zx,y)的變化范DDf)zfD)，即f(D)={zz=f(x,y),(x,y)∈D}?R y f(x,y) zx z二元函數(shù)的定義域：使解析式f(x,y)有意義的自變量所組成的平面點(diǎn)集。例3二元函數(shù)z=a2?x2?y2的定義域?yàn)樗羞m合于x2+y2≤a2的點(diǎn)(x,y)的集合，即D={(x,y)x2+y2≤a2}4z=1lnxy)xy>0,x>0的點(diǎn)x,y的集x合，D(x,y)x+y>0,x>0}. y yx2+y2≤a2Dx x通過引例闡明多元函數(shù)研究背景主要知識(shí)點(diǎn)函數(shù)定義域的確定zfx,y的圖像x,y,z)zfx,yx,yD}，一般表示空xOy上的投影區(qū)域，就是zfx,y. zz=f(x,y) zOy yD xx例5函數(shù)z=1?x2?y2的定義域?yàn)槠矫鎴A域D={(x,y)x2+y2≤1}函數(shù)z=1?x2?y2圖像為上半球面. 二、二元函數(shù)的極限與連續(xù) 數(shù)的極限與連續(xù)概念推廣的二元函數(shù)上則有：與一元函數(shù)極限與連續(xù)概念對(duì)比，求同存異.一元函數(shù)二元函數(shù)極限x→x0fx總趨向于一AA是一元函數(shù)fxx→x0時(shí)的極限，記為limf(x)=Ax→x如果當(dāng)x,yx0,y0)fx,y總趨向于一個(gè)確定的常數(shù)AA是fx,y當(dāng)x,yx0,y0時(shí)的極限，記為limf(x,y)=A(x,y)→(x,y)極限逼近條件x→x0具有雙向性極限存在充要條件：limf(x)?limf(x)=limf(x)x→x x→xx→x極限逼近條件(x,y)→(x0,y0)多向性極限不存在條件：一個(gè)方向不存在或兩個(gè)方向不等.連續(xù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限limf(x)=f(x0)x→x則稱一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限lim f(x,y)=f(x0,y0)(x,y)→(x,y)則稱一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)一元初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域上連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)最值定理例6求極限（1） lim sin(xy)；（2） lim arcsinx2+y2(x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,1)例7證明f(x,y)=xy 在(0,0)處極限不存在.x2+y2三、多元函數(shù)（1）n維空間 n元有序?qū)崝?shù)組x2?xn

)的全體組成的集合稱為n維空間，記作Rn1 2 n i 1 2 n即Rn={(x,x,?,x)x∈R,i=1,2,?,n}其中每個(gè)有序數(shù)組(x,x,1 2 n i 1 2 n

)稱為Rn的一個(gè)點(diǎn)（或坐標(biāo)）,維空間Rn中任意兩點(diǎn)M(x,x,?,x),N(y,y,?,y)1 2 n間的距離定義為1 1 2 2 n nMN=(x?y)2+(x?y)2+?+(x?y)1 1 2 2 n n

1 2 n（2）nRn上的函數(shù)、極限與連續(xù)概念 nufxx,?x

)，(x,x,?,x

)∈D?Rn,稱為Rn上的n元函數(shù)．

12 n

12 n n元有序?qū)崝?shù)組x2,?xnPx2,?xnn元函數(shù)u=f(x2,?,xn)也可以表示為u=f(P)，稱其為點(diǎn)函數(shù). 二元函數(shù)及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)，同二元函數(shù)類似，可以定義多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念并將其統(tǒng)一為點(diǎn)函數(shù)形式

多元函數(shù)、極限與連續(xù)概念 多元函數(shù)的極限定義limP→P 多元函數(shù)的連續(xù)定義limP→P

f(P)=A；f(P)=f(P0)

的統(tǒng)一由于這種形式上的統(tǒng)一，使得多元函數(shù)的一些主要概念、性質(zhì)與二元函數(shù)教案：6-2偏導(dǎo)數(shù)教案：6-2偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié) 偏數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù) 1問題的引入 CobbDouglasQcKαLβ，cαβL為勞動(dòng)力數(shù)量，K為產(chǎn)量． 當(dāng)勞力投入保持不變，而資本投入變化時(shí)產(chǎn)量的變化率 dQ=cαKα?1Lβ=αQdK K 當(dāng)資本投入保持不變，而勞力投入變化時(shí)產(chǎn)量的變化率 dQ=cβKαLβ?1=βQdL L該問題是求多元函數(shù)在特定條件下對(duì)某個(gè)變量的變化率. 對(duì)于二元函數(shù)在其中一個(gè)自變量固定不變時(shí)，二元函數(shù)實(shí)際上轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).因此，可以利用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念，得到二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的變化率，或者說將二元函數(shù)對(duì)某個(gè)變量的變化率轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.偏導(dǎo)數(shù)概念 對(duì)比一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念引導(dǎo)轉(zhuǎn)化建立二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念.由具體問題出發(fā),提出問題,指明研究意義.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)y=f在x的某0個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限limΔy=limf(x0+Δx)?f(x0)ΔxΔx存在，則稱其極限值為fx在x處0的導(dǎo)數(shù)，記為f'(x)=limf(x0+Δx)?f(x0)0 Δx定義 設(shè)函數(shù)z=fy在(x,y0)的某0個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限limf(x0+Δx,y0)?f(x0,y0)Δxfy在(x,y處0 0對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為f(x,y)=limf(x0+Δx,y0)?f(x0,y0)0 0 Δx類似地，對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)=limf(x0,y0+Δy)?f(x0,y0)0 0 Δy通過對(duì)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的回顧，對(duì)比給出二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念.求導(dǎo)數(shù)的方法：求偏導(dǎo)數(shù)的方法：將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，按照一元函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo).fx(x0,y0)=f'(x,y0)x=xz=f(x,y)偏導(dǎo)數(shù)幾何意義：曲線 在點(diǎn) y=y 0(x0,y0)處切線對(duì)于x軸的斜率.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)基本公式與求導(dǎo)法則求導(dǎo).將二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與幾何特征轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)幾何意義：曲線y=f(x)在為一元函數(shù)導(dǎo)點(diǎn)x0處切線對(duì)于x軸的斜率，即數(shù)的計(jì)算與幾f'(x0)=tanα何特征類似的可定義多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). ufx,yz的偏導(dǎo)數(shù)，為 f(x,y,z)=limf(x+Δx,y,z)?f(x,y,z)x Δx以及 fy(x,y,z)，fz(x,y,z)二、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)關(guān)系問題：多元函數(shù)的連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系如何？是否同一元函數(shù)類似？注意強(qiáng)調(diào)二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系,以及與一元函數(shù)兩個(gè)概念之間關(guān)系的差異和形成差異的原因.連續(xù)未必偏導(dǎo)不存在偏導(dǎo)存在未必連續(xù)例函數(shù)f(x,y)= x2+y2在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在.解 因?yàn)?lim x2+y2=f(0,0)(x,y)→(0,0)故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)；而(Δx)2+02?0 Δxlim =limΔx Δx極限不存在，所以偏導(dǎo)數(shù)不存在.例函數(shù)f(x,y)=1 xy≠0在點(diǎn)(0,0)0 xy=0處偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù).解 因?yàn)?lim f(x,y)不存在，所以(x,y)→(0,0)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)，而f(0,0)==lim0?0=0Δxf(0,0)==lim0?0=0Δy故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在說明：連續(xù)只說明以任何方式(x,y)→(x0,y0)時(shí)，f(x,y)→f(x0,y0)但不保證沿坐標(biāo)軸方向變化率存在說明：偏導(dǎo)存在只說明沿坐標(biāo)軸方向x,yx0,y0時(shí)變化率存在，但不能保證其它方向f(x,y)→f(x0,y0)三、例題與練習(xí)例1求z=xy的偏導(dǎo)數(shù)?z，?z．?x ?y 2求zexy在1,1處的偏導(dǎo)數(shù)． 3fx,y)=1xy)y，求fx,yf1,1x y 四、偏導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用xy總成本為C(x,y)=3x2+7x+1.5xy+6y+2y2(1)求兩種不同產(chǎn)品的邊際成本；