導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算習(xí)題課

綜合題型分析基本題型分析要點(diǎn)解析課題：導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算習(xí)題課綜合題型分析基本題型分析要點(diǎn)解析一、教學(xué)目標(biāo)識(shí)知目標(biāo)使學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)及知識(shí)點(diǎn)間相互關(guān)系，明確教學(xué)要點(diǎn)、解決教學(xué)疑難，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解、導(dǎo)數(shù)基本計(jì)算方法的掌握.通過對(duì)典型題型的分析和訓(xùn)練，使學(xué)生掌握基本教學(xué)內(nèi)容，理清解題思路、把握常見題型.能力目標(biāo)通過對(duì)典型題型的分析和研究，提高學(xué)生進(jìn)行綜合運(yùn)用能力、分析解決問題的能力、構(gòu)建變化率模型的能力，并受到解題技能的基本訓(xùn)練.二、教學(xué)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念的理解，各種求導(dǎo)方法.三、教學(xué)方法、教學(xué)手段教學(xué)方法：以綜合概括把握整體結(jié)構(gòu)和知識(shí)點(diǎn)相互關(guān)系為基礎(chǔ)，通過典型題型分析，講練結(jié)合，逐步深化，深化對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，提高解題能力.教學(xué)手段：利用多媒體課件輔助教學(xué).四、教學(xué)基本流程教學(xué)基本要求內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容概括練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí)評(píng)價(jià)歸納總結(jié)測(cè)試練習(xí)五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖內(nèi)容結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)與計(jì)算內(nèi)容整體結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系教師講述(課件)使學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)及知識(shí)點(diǎn)間相互關(guān)系內(nèi)容概括導(dǎo)數(shù)與計(jì)算內(nèi)容歸納與概括教師歸納概括與學(xué)生復(fù)習(xí)相結(jié)合(課件)歸納復(fù)習(xí)課程教學(xué)內(nèi)容要點(diǎn)解析導(dǎo)數(shù)與計(jì)算內(nèi)容要點(diǎn)分析、疑難解析教師引發(fā)學(xué)生思考使學(xué)生明確教學(xué)要點(diǎn)、解決教學(xué)疑難基本題型分析基本概念、基本計(jì)算、基本方法典型題分析教師啟發(fā)、分析、歸納、講述(課件)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解、導(dǎo)數(shù)基本計(jì)算方法的掌握基礎(chǔ)練習(xí)基本概念、基本計(jì)算、基本方法練習(xí)學(xué)生練習(xí)，教師糾正、指導(dǎo)對(duì)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)訓(xùn)練，掌握基本教學(xué)內(nèi)容綜合題型分析知識(shí)點(diǎn)的綜合、知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用、解題技能技巧的強(qiáng)化教師啟發(fā)、分析、歸納、講述(課件)提高學(xué)生綜合運(yùn)用能力、分析問題能力及解題技能提高練習(xí)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用專題練習(xí)學(xué)生練習(xí)，教師糾正、指導(dǎo)對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合運(yùn)用能力、解題技能的訓(xùn)練講評(píng)指導(dǎo)練習(xí)、作業(yè)中的問題講評(píng)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)教師講述及時(shí)反饋、糾正、解決教學(xué)中存在的問題歸納總結(jié)解題思路、方法的歸納與總結(jié)師生共同歸納總結(jié)使學(xué)生理清思路、把握題型模擬測(cè)試專題教學(xué)內(nèi)容綜合測(cè)試學(xué)生課下自測(cè)練習(xí)，教師評(píng)判了解專題教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，調(diào)整教學(xué)教案：導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算習(xí)題課教案：導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算習(xí)題課教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說明導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算習(xí)題課導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算是一元函數(shù)微分學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)作為變化率模型在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)計(jì)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算必須熟練的掌握.一、教學(xué)基本要求1.理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式. 掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式. 掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法. n階導(dǎo)數(shù)的方法.二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)幾何意義 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 函數(shù)變化率四則反函復(fù)合隱函參數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算數(shù)求函數(shù)數(shù)求方程求導(dǎo)求導(dǎo)導(dǎo)法求導(dǎo)導(dǎo)法求導(dǎo)法則法則則法則則法則高階導(dǎo)數(shù)三、內(nèi)容概括使學(xué)生明確教學(xué)基本要求，把握教學(xué)要點(diǎn)使學(xué)生從整體上了解教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系導(dǎo)數(shù)概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=limΔy=limf(x0+Δx)?f(x0)0 Δx→0ΔxΔx→0 Δx通過表格形式導(dǎo)數(shù)使學(xué)生清晰的定義了解教學(xué)內(nèi)容要點(diǎn)幾何幾何特征為曲線y=f(x)在x0處的切線斜率為f'(x0)，其切線方程為y–y0=f'(x0)(x–x0)意義導(dǎo)數(shù)平均變化率 Δy=f(x+Δx)?f(x)；Δx Δx變化率 limΔy=limf(x+Δx)?f(x)Δx→0ΔxΔx→0 Δx模型單側(cè)f'(x)存在?f?'(x)=f+'(x)存在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)?連續(xù)；連續(xù)?可導(dǎo)連續(xù)求導(dǎo)法則四則運(yùn)算求導(dǎo)法則定理若函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則（1）[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);（3）u(x)'=u'(x)v(x)?u(x)v'(x)(v(x)≠0)v(x) v2(x)進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)知識(shí)要點(diǎn)的理解和掌握反函數(shù)求導(dǎo)法則定理若單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=φ(y)在點(diǎn)y處可導(dǎo)，而且φ(y)≠0，則它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有f'(x)=1 φ'(y)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則uφxx處可導(dǎo)，而函數(shù)yfuu處可導(dǎo)，則yfφx在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有fφxf'u'x)求導(dǎo)方法1234隱函數(shù)求導(dǎo)法；(5)參變量函數(shù)求導(dǎo)法；(6)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；高階導(dǎo)數(shù)f''(x)=limf'(x+Δx)?f'(x)；f(n)(x)=[f(n?1)(x)]'Δx→0 Δx四、要點(diǎn)解析導(dǎo)數(shù)概念1導(dǎo)數(shù)概念源于兩個(gè)最典型的問題：速度與切線，解決這兩類問題的思想是在局部強(qiáng)調(diào)勻速與變速、直線與曲線之間的辯證關(guān)系，重點(diǎn)在于把握勻與變、直與曲、近似與精確之間的轉(zhuǎn)換.2導(dǎo)數(shù)概念是一個(gè)構(gòu)造性局部概念，對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念要明確定義的結(jié)構(gòu)特征，把握其解決問題的類型；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義可以推導(dǎo)求導(dǎo)法則、基本公式；對(duì)于函數(shù)（分段函數(shù)）可導(dǎo)性的討論一般需要利用導(dǎo)數(shù)定義.導(dǎo)數(shù)表達(dá)式的主要結(jié)構(gòu)形式為f'(x)=limf(x0+Δx)?f(x0)=limf(x)?f(x0)=limf(x0+h)?f(x0)0 Δx x→x x?x h→0 h03導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率模型在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，當(dāng)函數(shù)有不同實(shí)際含義時(shí)，變化率的含義也不同，如瞬時(shí)速度是物體位移對(duì)時(shí)間的變化率；化學(xué)反應(yīng)速度是液體的濃度對(duì)時(shí)間的變化率；人口的增長(zhǎng)速度是人口總量對(duì)時(shí)間的變函數(shù)變化率（導(dǎo)數(shù)）在每門學(xué)科中有不同的解釋，當(dāng)徹底地理解了導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)后，將這些抽象數(shù)學(xué)結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問題中才能發(fā)揮出更大的作用.導(dǎo)數(shù)計(jì)算導(dǎo)數(shù)計(jì)算是一元函數(shù)微分學(xué)的重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)計(jì)算的核心是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的要點(diǎn)是：明確復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)與復(fù)合順序，求導(dǎo)時(shí)從外層到內(nèi)層逐層求導(dǎo)，層層不漏，直到求到自變量一層為止.對(duì)于各類求導(dǎo)方法，要注意把握其解決問題的類型和特征，明確典型題型的求解思路和方法.五、基本題型分析（一）導(dǎo)數(shù)概念題型1根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)題型特點(diǎn)與解題技巧：利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)主要用于：對(duì)于抽象函數(shù)記號(hào)，僅知其連續(xù)，不知其是否可導(dǎo)，需要用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)；對(duì)于分段函數(shù)（或絕對(duì)值函數(shù)）在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，需要用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)；某些函數(shù)在特殊點(diǎn)處，也可以用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù).例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx，求f'(0)；（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x(x?1)(x?2)?(x?100)，求f'(0)；（3）設(shè)f(x)=φ(a+bx)?φ(a?bx)，其中φ(x)在x=a處可導(dǎo)，求f'(0).

指明用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的常見類型（1）f0=lim

xsinx?0=lim

xlimsinx=0

(1)絕對(duì)值函數(shù)需x→0

x?0

x→0

x→0x

用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)（2）由導(dǎo)數(shù)定義 f'(0)=limx(x?1)(x?2)?(x?100)?0x=lim(x?1)(x?2)?(x?100)=100!x→0（3）fx)φabxφabxf0φaφa)=0f'(0)=limφ(a+bx)?φ(a?bx)

(2)用定義求導(dǎo)比用求導(dǎo)法則簡(jiǎn)單(3)因不知φ(x)在x=0處是否可x→0

x?0

導(dǎo)，所以需用導(dǎo)=lim[φ(a+bx)?φ(a)]?[φ(a?bx)?φ(a)]

數(shù)定義x=blimφ(a+bx)?φ(a)+blimφ(a?bx)?φ(a)=2bφ'(a)bx

x→0

?bx類題練習(xí)：設(shè)f(x)=arcsinx 1?sinx1+sinx

，試用定義求f'(0)；題型2利用導(dǎo)數(shù)定義求極限題型特點(diǎn)與解題技巧：如果導(dǎo)數(shù)f'(x0)存在，則可以利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

f(x0+Δx)?f(x0)=lim

f(x)?f(x0)=f'(x)Δx

x→x

x?x0000用導(dǎo)數(shù)定義求極限時(shí)，需要把極限湊成導(dǎo)數(shù)定義形式，它解決的是型未定式.0例設(shè)f'(x0)存在，求下列極限

注意強(qiáng)調(diào)定義的(1)limΔx→0

f(x0+3Δx)?f(x0)Δx

；(2)limh→0

f(x0+h)?f(x0?h)h

結(jié)構(gòu)特征fx

)存在，求極限limnfx

+1

?fx

?1n0 n→∞ 0 n

02nlim

題型3討論函數(shù)的可導(dǎo)性題型特點(diǎn)與解題技巧：判斷函數(shù)的可導(dǎo)性可直接利用導(dǎo)數(shù)定義判斷極限f(x0+Δx)?f(x0)是否存在？對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性，可以通Δx過左右極限是否存在且相等進(jìn)行判別，即f'(x)存在?f?'(x)=f+'(x)存在x2+2x+3 x≤0例abfx)=

ax+b x>0

在(?∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo).解顯然fx在∪(0,內(nèi)可導(dǎo)，只需討論fxx=0處的可fxx=0處的可導(dǎo)必須連續(xù)由 limf(x)=lim(ax+b)=b=f(0)=3,所以b=3

注意可導(dǎo)條件中隱含著連續(xù)條件x→0x→0fxx=0處的可導(dǎo)，則有f0f0

分段函數(shù)的在?但 f'(0)=(x2+2x+3)'?

x=0=2

分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性必須利用f'(0)=lim

f(x)?f(0)=limax+b?3=a

導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行+ x→0x

x→0x討論所以，a=2；故當(dāng)a=2；b=3時(shí)f(x)在(?∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)sinx x≤0fx)=

ex?1 x>0

在(?∞,+∞)內(nèi)的可導(dǎo)性.例設(shè)f(x)在(?∞,+∞)內(nèi)有定義，對(duì)?x,y∈(?∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)且f'(0)=1,證明：當(dāng)x∈(?∞,+∞)時(shí)，f'(x)=f(x)證明 因?yàn)閷?duì)?x,y∈(?∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，取y=0，有f(x)=f(x)f(0)即 f(x)[1?f(0)]=0由f'(0)=1，得f(0)=1；對(duì)x∈(?∞,+∞)，有

注意：由f'(0)=1知f(x)≠0f'(x)=lim

f(x+Δx)?f(x)=lim

f(x)f(Δx)?f(x)Δx Δx=lim

f(x)[f(Δx)?1]=f(x)lim

f(Δx)?f(0)Δx Δx=f(x)f'(0)=f(x)題型4導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用題型特點(diǎn)與解題技巧：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求平面曲線在點(diǎn)x0處的切線方程 y–y0=f'(x0)(x–x0)3例ycosx3

，122

處的切線方程和法線方程.2yxsin2x2

,1+22

處的切線方程和法線方程.（二）各類函數(shù)求導(dǎo)法題型一利用四則運(yùn)算求導(dǎo)法則求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'(1)y=cos(x2)?sin21； (2)y=arctanx+1；x題型二復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

x?1

以復(fù)合函數(shù)求題型特點(diǎn)與解題技巧：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵在于搞清復(fù)合關(guān)系，從外層到里層逐層求導(dǎo)，層層不漏；對(duì)于由四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)，要先分清運(yùn)算次序，再用相應(yīng)的求導(dǎo)法則.例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'(1)y=x[cos(lnx)+sin(lnx)]；(2)y=f2[φ2(sinx2)]；

導(dǎo)法為核心，熟練掌握法則的使用過程及導(dǎo)數(shù)符號(hào)含義1例 設(shè)f2x

=sinx，求f'[f(x)],{f[f(x)]}' 解 令t=x，則f(t)=f'(t)=2cos2t，于是2f'[f(x)]=2cos2[f(x)]=2cos(2sin2x)；{f[f(x)]=f'[f(x)]?f'(x)=2cos()=4cos()類題練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

明確求導(dǎo)符號(hào)的含義(1)y=xsin2

1?lnx；x x (2)若f(u)可導(dǎo)，y=f(sin2x)+f(cos2x)，求y'題型三隱函數(shù)求導(dǎo)法題型特點(diǎn)與解題技巧：求由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是y的函數(shù)是x的復(fù)合函數(shù)，如siny=sinf(x),ey=ef(x)等是x的復(fù)合函數(shù)，因此，求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，然后將含有y'的項(xiàng)放到等式的一端，不含y'的項(xiàng)移到另一端，解出y'.例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1sinxy)lnyx)xyfx，f02eyxye在點(diǎn)0,1處的切線方程.解(1)方程sin(xy)+ln(y?x)=x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得cos(xy)?(y+xy')+1(y'?1)=1 （*）y?x將x=0代入sin(xy)+ln(y?x)=x解得y=1所以，將x=0，y=1代入（*）式，解得f'(0)=1類題練習(xí)：（1）求由方程y=1+xey確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'（2）求曲線e2x+y?cos(xy)=e?1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程與法線方程.

注意指明y是x的復(fù)合函數(shù)題型四參數(shù)方程求導(dǎo)法

x=x(t)題型特點(diǎn)與解題技巧：求由參數(shù)方程

y=y(t)

yyx的導(dǎo)

了解求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程數(shù)可以直接利用公式dy=y'(t)例求曲線

dxx=y=etcost

x'(t)在點(diǎn)(0,1)處的法線方程.解 由x=0,y=1得t=0dy=etcost?etsint

=cost?sintdx +dy =cost?sintdx t=0

sin2t+2cos2t=12t=0所以，法線方程為y?1=?2(x?0)即y+2x?1=0類題練習(xí)：求參數(shù)方程

x=t(1?sint)y=tcost

所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

dy.dx題型五對(duì)數(shù)求導(dǎo)法題型特點(diǎn)與解題技巧：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要適用于冪指函數(shù)、函數(shù)的積、商、乘方、開方等函數(shù)形式，解題方法是先取對(duì)數(shù)，然后對(duì)x求導(dǎo)，注意其中y是x的函數(shù).例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

使學(xué)生明確對(duì)數(shù)求導(dǎo)法解決問題的類型及要點(diǎn)x(1)y=1+x

；(2)y=

x+2(3?x)4(x+1)5 xx解 (1)對(duì)函數(shù)y=1+x

取對(duì)數(shù)，得 lny=x[lnx?ln(1+x)]上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得1y'=[lnx?ln(1+x)]+x

x1?1x

=lnx+1yxxx

1

1+x

1?x

1+x所以，y=1x

n1?x++x （2）取對(duì)數(shù)得lny=1ln(x+2)+4ln(3?x)?5ln(x+1)2x求導(dǎo)數(shù)，解得y=

x+2(3?x)4(x+1)5

12(x+2)

? 4 ?3?x

5x+1類題練習(xí)：求由方程xy=yx確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'（三）高階導(dǎo)數(shù)題型1顯函數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)題型特點(diǎn)與解題技巧：以求一階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)，逐階求導(dǎo).例求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y''(1)y=ln(x+1+x2)；(2)y=1+xey；(3)題型2求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

x=acosty=bsint題型特點(diǎn)與解題技巧：逐階求導(dǎo)，歸納規(guī)律，寫出一般表達(dá)式，用歸納法進(jìn)行證明.例求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).(1)y=ln(1?x)； (2)y=

x3+x2+1x2+x?2解(1)y'=?1=1；y(n)=(?1)n?1 1 (2)y=

1?xx3+x2+1x2+x?2

x?1=x+1x?1

+1x+2

(x?1)ny(n)=1x?1

(n)

+1x+2

(n) =(?1)n n! +(?1)n n!

(x?1)n+1

(x+2)n+1fxx=0f0=1x有3f(x+3)=3f(x)，求f'(3)

設(shè)f'x0

存在，求極限limΔx→0

f(x0?2Δx)?f(x0+3Δx)Δxyx2axb2yxy31在點(diǎn)1,1ab的值.fx可導(dǎo)，F(xiàn)x)fx)(1+sintx=0f0x2sin1

x>0已知函數(shù)f(x)=x

在x=0處可導(dǎo)，求a,b的值.ax+b x≤0y'(1)y=xln[cos(1+x3)]；(2)y=f[ln(x+1+x2)](3)y=x

sinx

+(sinx)

x； (4)

x=t2lnty=etsint(5)ex+y+cos(xy)=0；七、講評(píng)指導(dǎo)根據(jù)基礎(chǔ)練習(xí)、作業(yè)中反映出的問題進(jìn)行講評(píng)指導(dǎo).八、綜合題型分析0fx)gxsinαxxfxx0處可導(dǎo).0證 因?yàn)閒(x0)=0，所以

α1gxx0

處連續(xù)，證明：

只知g(x)的連續(xù)，所以不能直接用乘積求導(dǎo)公式，只f(x)?f(x)

g(x)sinα(x?x)

g(x

) α=1

能用導(dǎo)數(shù)的定f'(x

)=lim 0=lim 0=00 x→x

x?x0

x→x

x?x0

0 α>0

義證明所以，f(x)在x0處可導(dǎo).fx)xxx?1)的可導(dǎo)性.解 由x(x?1)≥0，得x≤0或x≥1；由x(x?1)<0，得0<x<1

首先要去掉絕對(duì)值，化為分所以f(x)=

x3?x2x≤0或x≥1x2?x3 0<x<1

且f'(x)=

3x22x x0x≥12x?3x2 0<x<1

段函數(shù)，分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性一般又 x→0

f(x)?f(0)x?0

=limx→0

x3?x2x

=0；limx→0

f(x)?f(0)x?0

=limx→0

x2?x3x =0

要考慮左、右導(dǎo)數(shù)所以f'(0)=0而 limf(x)?f(1)

=lim

x3?x2

=1；lim

f(x)?f(1)

=lim

x2?x3

=?1x→1

x?1

x→1

x?1

x→1

x?1

x→1

x?1故f(x)在x=1處不可導(dǎo)，因此f(x)在(?∞,1),(1,+∞)上可導(dǎo).

x=t2+2tt2?y+asiny=1

yfxdydxx'=2t+2

先用隱函數(shù)求導(dǎo)法，然后利用參數(shù)方程求t求導(dǎo)，得

2t?y'+acosy?y'=0

導(dǎo)公式即 x'=2t+2 所以 dy=y'= t y'=

1?acosy

dx

(t+1)(1?acosy)4fx)=12x2，求f?1x'f?13'.13

利用反函數(shù)求2解令t=1?2x2,則t=2

1?x

導(dǎo)法則?1 1

21 123 ?1 1[f (x)]'=

= 2=? ，[f (3)=?f'(t)

?6t

61?x6 t=f(x)5.設(shè)f(x)在(?∞,+∞)上可導(dǎo)，f'(0)=e，且對(duì)任何a,b∈(?∞,+∞)有f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)，證明：f'(x)?f(x)=ex+1證 令a=b=0，則得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，于是

使用導(dǎo)數(shù)定義，注意結(jié)構(gòu)f'(x)=limΔx→0

f(x+Δx)?f(x)Δx

=lim

exfΔx)eΔxfxfx) 特征Δx=limΔx→0

ex[f(0+Δx)?f(0)]+f(x)[e0+Δx?e0]Δx=exf'(0)+f(x)=ex+1+f(x)所以f'(x)?f(x)=ex+1九、提高練習(xí)1.設(shè)f(x)在(1,1)內(nèi)可導(dǎo)，且limx0

f(x)?cosx=2，求f'(0)sin2x

加強(qiáng)綜合性訓(xùn)練，提高綜合yyxy2fx)xfy)x2fxdydx3.設(shè)f(x)=x?aφ(x)，其中φ(x)在x=a點(diǎn)連續(xù)，試問在什么條件下f(x)在x=a處可導(dǎo)ufφx)eyyyxeyx的函數(shù)，且函數(shù)f,φ均可導(dǎo)，求dudxfxx恒有fxy)=fx)+fy，且f0=a0，試fx.答案與提示：1.f(0)=0；

分析問題和求解問題的能力2.dydx

2x?y2f(x)?f(y)；2yf(x)+xf(y)(x?a)φ(x) x≥a3.f'(a)=0；提示f(x)=

(a?x)φ(x) x<a

用左右導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論du y

ey4.dx=f[φ(x)+e]φ(x)+1+ey； 5.f(x)=ax；提示：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0，由導(dǎo)數(shù)定義得f(0)=limx0

f(x)x

=a，f(x)=limx0

f(x)=a，x所以f(x)=ax+b，由f(0)=0，得f(x)=ax填空題：（1）設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則limx2

模擬測(cè)試f(4?x)?f(2)= ；x?2（2 已知ln(1（2 已知 y=arctant

dy= ；dx（3）設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，y=sinf(x)，則y''= ；（4）設(shè)函數(shù)f(x)=1?x1+x

，則f(n)(x)= ；（5）設(shè)y=y(x)是由方程ex+ycosxy0所確定的隱函數(shù)，則y'(0)=單項(xiàng)選擇題：（1）函數(shù)y=xx在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為（ ）（B）2； （D）不存在；（2）設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且limx0

f(x)=a(a≠0)，則f(x)在點(diǎn)x=0處（ ）