浙江省縣城教研聯(lián)盟2023-2024學年高三下學期模擬考試數(shù)學試題

【新結構】2023-2024學年浙江省縣城教研聯(lián)盟高三下學期模擬考試數(shù)學試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則(

)A. B. C. D.2.若復數(shù)z滿足為虛數(shù)單位，則z在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.的展開式中的系數(shù)為(

)A.4 B. C.6 D.4.清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地.為了核準糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內邊長為25cm，下底也為正方形，內邊長為50cm，斛內高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?(

)

A.10500 B.12500 C.31500 D.525005.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，，，則(

)A.2 B.3 C. D.6.雙曲線的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為(

)A. B.2 C. D.37.已知實數(shù)a，b，c構成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為(

)A. B.

C. D.8.已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，若直線l交C于A，B兩點，且，點O關于l的對稱點為D，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知向量，的夾角為，且，，則(

)A. B.

C. D.在的方向上的投影向量為10.已知函數(shù)，則(

)A.當時，的圖象關于對稱

B.當時，在上的最大值為

C.當為的一個零點時，的最小值為1

D.當在上單調遞減時，的最大值為111.已知函數(shù)的定義域為R，，，則(

)A. B.

C.為奇函數(shù) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一組數(shù)據5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據的方差是__________.13.若，則__________.14.三棱錐的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點，M，N分別為線段AE與CF上的動點，若平面ABD，則線段MN長度的最小值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列.求的通項公式;若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和16.本小題15分將號碼為1，2，3，4的4個小球等可能地放入號碼為1，2，3，4的4個盒子中，每個盒子恰放1個小球.求1號球不在1號盒中的概率;記所放小球號碼與盒子號碼相同的個數(shù)為X，不同的個數(shù)為Y，求證：17.本小題15分

如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，E為線段PB的中點，平面底面

求證：平面求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.18.本小題17分已知函數(shù)，若在點處的切線方程為，求a，b的值;當時，存在極小值點，求證：19.本小題17分記點繞原點O按逆時針方向旋轉角得到點的變換為已知，將上所有的點按變換后得到的點的軌跡記為求的方程;已知過點，記與的公共點為M，N，點P為上的動點，過P作OM，ON的平行線，分別交直線ON，OM于G，H兩點，若外接圓的半徑r恒為，求四邊形OGPH面積的取值范圍.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調性解不等式與集合的運算問題，是基礎題．

解不等式化簡集合A、B，根據交集的定義求出【解答】

解：，，，

，

根據，，所以

故選：2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查復數(shù)的四則運算，復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎題.

利用復數(shù)的運算法則求出z，再根據復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對應的點，進而求解．【解答】

解：設，則，

則，即，

所以，，

解得，，

故，對應的點在第四象限.

故選：3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查求二項展開式中的指定項系數(shù)，屬于基礎題．

根據二項展開式的通項解答即可.【解答】

解：含的項為：，即的展開式中的系數(shù)為6，

故選：4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了棱臺的體積，屬于基礎題.

根據棱臺的體積公式即可計算得出答案.【解答】

解：一斛米的體積為

，

因為五斗為一斛，所以一斗米的體積為，

故選：5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用正弦定理解三角形，同角三角函數(shù)關系，兩角和的正弦公式，屬于基礎題.

根據同角三角函數(shù)關系求得，，利用兩角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，進而求出a的值.【解答】

解：由，可得，進而求出，，

由可得，，

則，

由正弦定理可知，

又因為，

解得，，

由正弦定理可得

故選：6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系及其應用，屬于中檔題．

設，通過題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計算即可得出答案．【解答】

解：如圖，設，由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令P點在x軸下方，如圖所示：

根據題意可得、，，

雙曲線其中一條漸近線為，

直線的方程為，①

，，

即直線的斜率為，

即直線方程為，②

又點在雙曲線上，

，③

聯(lián)立①③，得，

聯(lián)立①②，得，

，

即，

，

故選：7.【答案】A

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

由題意設，，求出，構造函數(shù)，求導判斷其單調性，可得值域.【解答】

解：由實數(shù)a，b，c構成公差為d的等差數(shù)列，所以設，，，

所以，構造函數(shù)，

，當時，，所以此時單調遞減，當時，，所以此時單調遞增，

所以的最小值為，當b趨近于時，趨近于，

所以

所以

故選：8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查的是直線與拋物線的位置關系，平面向量的數(shù)量積運算，點、直線間的對稱問題，拋物線的幾何性質，與圓有關的軌跡方程，定點問題，點到圓上點的最值問題，屬于中檔題.

設點，，由平面向量的數(shù)量積運算可得，根據直線l與拋物線有兩個交點，可設，聯(lián)立直線與拋物線，根據可得直線經過點，由O，D關于直線l對稱即可得到D點的軌跡方程，結合點與圓的位置關系求的取值范圍即可.【解答】

解：由A，B兩點在拋物線上，所以可以設點，，

則，

由直線l交C于A，B兩點，故直線l不與x軸平行或重合，

故可設直線l解析式為，聯(lián)立直線與拋物線方程得，，

所以，解得，所以直線l與x軸的交點為，

由O，D關于直線l對稱，所以，且D點不與O點重合，故可知D的軌跡方程為：不經過原點，所以，

，即

故選：9.【答案】AB

【解析】【分析】本題考查了平面向量的數(shù)量積、向量的模、投影向量，屬于中檔題.

根據向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量對各個選項逐一判定即可.【解答】

解：，，故A正確;

，所以，故B正確;

，所以，又因為，

所以，故C錯誤;

在上的投影向量為，故D錯誤;

故選：10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查余弦型函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.

根據三角函數(shù)性質分別判斷余弦函數(shù)的對稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調性，余弦函數(shù)的零點對選項逐一判定即可.【解答】

解：時，，因為，

所以關于對稱，故A正確;

時，由可得，

根據余弦函數(shù)的單調性可知的最大值為，故B錯誤;

若，則，，所以，，且，

所以的最小值為1，故C正確;

因為在上單調遞減，且，

根據余弦函數(shù)的單調性可知的單調遞減區(qū)間為：

，，，，

所以，，所以，故D正確.

故選：11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查求函數(shù)值，函數(shù)的奇偶性，數(shù)列與不等式，等比數(shù)列的判定與證明，等比數(shù)列的前n項和，屬于中檔題.

利用賦值法求得即可判斷A；利用賦值可得，并且判斷出，由不等式的性質可得，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及的值即可判斷C；利用等比數(shù)列的判定可得的通項公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得，即可判斷【解答】

解：令，，則，將代入得，即，故A錯誤;

由，令可得，若存在x使得，則上式變?yōu)?，顯然不成立，所以，又，因為，所以，

將整理為，因為，即，所以，故B正確;

令，則，且，，所以為奇函數(shù)，故C正確;

當時，，，

所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，

由可知，因為，所以，

所以，故D正確;

故選：12.【答案】

【解析】【分析】本題考查一組數(shù)據方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎知識，屬于基礎題．

先求出這一組數(shù)據5，6，7，7，8，9的平均數(shù)，由此再求出該組數(shù)據的方差．【解答】

解：一組數(shù)據5，6，7，7，8，9的平均數(shù)為：，

該組數(shù)據的方差為：

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角余弦公式的應用，屬于基礎題.

根據，，解得，結合二倍角余弦公式進行解答即可.【解答】

解：因為可得，因為，

可得，

解得或舍去

所以

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了線面平行的性質，考察了點線、點面、線面、面面的距離，考察了余弦定理，考察了二次函數(shù)性質，是中檔題.

延長CM交AB于點I，設，由余弦定理得，根據角平分線定理以及平行線性質可知，運用換元法和二次函數(shù)性質可得線段MN長度的最小值.【解答】

解：延長CM交AB于點I，因為平面ABD，

由線面平行性質定理可知，

設，

因為三棱錐的所有棱長均為2，所以，且E為線段BC的中點，

所以AE平分，由角平分線定理可知，

所以，因為F為線段AD的中點，所以，

由余弦定理可知，

所以，

令，，化簡可得，

因為，所以

則在時取得最小值，

所以，

綜上當，即時MN取得最小值

故答案為

15.【答案】解：因為為等差數(shù)列，設公差為d，由，得，

可得或，

由，，成等比數(shù)列，則，

得，

化簡得，因為，所以

所以

綜上

由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，

所以，即，

所以，，

所以

綜上

【解析】本題主要考查的是等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式，等比數(shù)列的性質，等比數(shù)列的通項公式，分組求和，屬于中檔題.

設公差為d，根據等差數(shù)列的前n項和公式與等比數(shù)列的性質列出關于和d的方程，求解即可得的通項公式；

由等比數(shù)列的通項公式可求得，再得到的通項公式，利用分組求和求16.【答案】解：記事件“1號球不在1號盒中”為A，

則；

的取值為0，1，2，4，且，

，

，

，

所以，

，

時，，時，，此時，則，

時，，此時，，

時，，此時，，

，

因為，

所以

【解析】本題考查了古典概型及其計算、離散型隨機變量的期望，屬于中檔題.

根據古典概型公式計算1號球不在1號盒中的概率;

分析易得X的取值為0，1，2，4，且，再分別得出對應概率，可得、，再研究XY的取值和對應概率，可得，比較即可得證.17.【答案】解因為平面平面ABCD，且平面平面，

，平面ABCD，

所以平面AEC，平面AEC，

所以，

又因為，E為PB中點，所以，

又，PB、平面PBD，

所以平面PBD；

設點P在底面ABCD的射影為點Q，

則平面ABCD，

又平面ABCD，

所以，取AD中點M，

因為，所以，

又，PQ、平面PQM，

所以平面PQM，

因為平面PQM，

所以，即Q在AD的中垂線上，

如圖建立空間直角建系，不妨取，

則設P為，，，，

所以，，，

由可知，計算得，，所以，

又，，

設平面PBC的法向量為，

則，即，取，

所以，

【解析】本題考查了線面垂直的判定和直線與平面所成角的向量求法，是中檔題.

先證明平面AEC，所以，又因為，E為PB中點，所以，由線面垂直的判定即可得證；

建立空間直角建系，不妨取，得出平面PBC的法向量，利用空間向量求解即可.18.【答案】解：因為，由在點處的切線方程為，

所以，即，

解得，

綜上，

當時，，

因為存在極小值點，所以，解得，

此時，所以，

即，，

所以，

令，則，

因為，

所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

又時，，所以，所以，即

因為，

當時，恒成立，即在時單調遞增，

所以，

綜上得證.

【解析】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了利用導數(shù)證明不等式，考查了已知切線斜率、傾斜角求參數(shù)，考查了利用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性，考查了函數(shù)極值點的概念是中檔題.

由導數(shù)的幾何意義以及已知切線的斜率和傾斜角可得，解出即可求a，b的值;

易得，所以，所以，令，則，利用導數(shù)研究單調性，再求出的最大值即可得證.19.【答案】解：取上任意一點為，

經過變換后得到上的對應點為，

由題意可知為：，變形后得，

即，將點A的坐標代入的方程得，，

所以的方程為：

綜上的方程為：

因為經過點，且，則也在上，所以為與的公共點，

則也為與的公共點.

所以不妨取，，則的解析式為：，的解析式為：，

設上的動點P為，則有，移項得

又因為過點，所以，

聯(lián)立，得，，

所以H的坐標為，

聯(lián)立，得，，