計(jì)算理論與算法分析設(shè)計(jì)課件：分支限界法

分支限界法

2024/7/42

of158人1234

A21097

B154148

C13141611

D4

1513922A做1B做1C做1D做1274133243624342831A做2B做2C做2A做3C做3283739B做2C做2D做2A→3,B→2,C→4,D→1,總時(shí)間為28例1：用分支限界法求解分配問(wèn)題2024/7/43

of158例2：同順序任務(wù)加工問(wèn)題：設(shè)有4項(xiàng)待加工的任務(wù)J1,J2,J3,J4,它們的工序相同：每個(gè)任務(wù)必須先在機(jī)器M1上加工，然后在機(jī)器M2上加工，最后在M3上加工。各加工時(shí)間已知。求一最佳加工順序使得盡早完工。2024/7/44

of158設(shè)tij為任務(wù)Ji在機(jī)器Mj上的加工時(shí)間，且加工時(shí)間矩陣T為：T=J1J2J3J457910529957810M1M2M3

=(tij)4*32024/7/45

of158如若加工順序是：

J2→J3→J1→J4則從開(kāi)始到結(jié)束所需的時(shí)間可計(jì)算如下圖：2024/7/46

of158理想的加工安排是：M2無(wú)空閑，最后一個(gè)在M3上加工的任務(wù)時(shí)間最短。估計(jì)下界：比如從Ji開(kāi)始的加工順序，估計(jì)加工所需的最短時(shí)間為：

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

2024/7/47

of158M1先加工J1

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t11+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠1T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=5+(7+5+9+8)+2=362024/7/48

of158M1先加工J2

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t21+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠2T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=10+(7+5+9+8)+5=442024/7/49

of158M1先加工J4

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t41+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠4T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=7+(7+5+9+8)+2=382024/7/410

of1582024/7/411

of158一般從Ji開(kāi)始，繼以Jj的任務(wù)安排，理想時(shí)間為：ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+10+(5+9+8)+5=422024/7/412

of158ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J3

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+9+(5+9+8)+2=38J1

→J4:

36

J1

→J2:422024/7/413

of158Ji→Jj

→Jk的下界：ti1+tj1+tk1+Σtp2+tq3

p≠i,jJ1

→J4

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+7+10+(5+9)+5=41J1

→J4

→J3:

37

2024/7/414

of1582024/7/415

of1582024/7/416

of158例3：貨郎擔(dān)問(wèn)題

首先考慮根結(jié)點(diǎn)，即求所有路線的下界。對(duì)D的每行減去該行的最小元素或每列減去該列的最小元素，得到一個(gè)新的矩陣，使得每行和每列至少有一個(gè)零元素。這叫做行規(guī)約和列規(guī)約。∞143056∞11436∞561013∞2133411∞D(zhuǎn)=2024/7/417

of158規(guī)定：先做行規(guī)約，再做列規(guī)約5∞143056∞11436∞561013∞2133411∞D(zhuǎn)=1∞925017∞81002∞1213811∞010018∞先行規(guī)約∞924017∞71002∞1213810∞010008∞18(=5+3+4+2+3+1)記作

D’再列規(guī)約183423首先計(jì)算第一個(gè)0所對(duì)應(yīng)的邊142024/7/418

of158h～14=20h～25=19

h～31=26h～45=26h～52=20h～53=25∞924∞17∞71002∞1213810∞010008∞1811v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞823∞07∞70002∞0213810∞010007∞20(=18+1+1)1826~31?312024/7/419

of158走31的計(jì)算方法

18v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞924017∞71002∞1213810∞010008∞189∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v518182631~312024/7/420

of158

h～14=20h～25=19h～45=26h～52=26h～53=25

26~459∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v51818182631~31?459∞∞1∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v5189∞0∞7100∞

v1

v2v5

v2v3v4

182024/7/421

of158

26~4518182631~3119452528∞000v2v5

v2v3

2514~1453不能選選擇23，5231，45，14，23，521→4→5→2→3→1總花費(fèi)是：252024/7/422

of158方法概述:基本思想在解空間樹(shù)中,以廣度優(yōu)先BFS或最佳優(yōu)先方式搜索最優(yōu)解,利用部分解的最優(yōu)信息,裁剪那些不能得到最優(yōu)解的子樹(shù)以提高搜索效率。搜索策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支），然后再?gòu)漠?dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。2024/7/423

of158方法概述:基本思想為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹(shù)上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。2024/7/424

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別求解目標(biāo)不同：一般而言，回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解；搜索方法不同：回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索，而分枝限界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來(lái)搜索；

2024/7/425

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別對(duì)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展方式不同：分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)；存儲(chǔ)空間的要求不同：相對(duì)而言，分枝限界法的存儲(chǔ)空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大

2024/7/426

of158方法概述:求解步驟①定義解空間(對(duì)解編碼);②確定解空間的樹(shù)結(jié)構(gòu);③按BFS等方式搜索:

a.每個(gè)活結(jié)點(diǎn)僅有一次機(jī)會(huì)變成擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)；

b.由擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)生成一步可達(dá)的新結(jié)點(diǎn)；

c.在新結(jié)點(diǎn)中,刪除不可能導(dǎo)出最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)；

//剪枝策略

d.將余下的新結(jié)點(diǎn)加入活動(dòng)表(隊(duì)列)中；

e.從活動(dòng)表中選擇結(jié)點(diǎn)再擴(kuò)展；

//選擇策略

f.直至活動(dòng)表為空；2024/7/427

of158方法概述:

兩種常見(jiàn)的活結(jié)點(diǎn)擴(kuò)充方式先進(jìn)先出隊(duì)列（FIFO）:即從活結(jié)點(diǎn)表中取出結(jié)點(diǎn)的順序與加入結(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活結(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同；優(yōu)先隊(duì)列（耗費(fèi)用小根堆,受益用大根堆）:每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。

-如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活結(jié)點(diǎn)表可用最小堆來(lái)建立，下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活結(jié)點(diǎn)；

-如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來(lái)構(gòu)造活結(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活結(jié)點(diǎn)。2024/7/428

of158堆（Heap)堆給定一個(gè)序列A[]={A[1],A[2],…,A[n]},可以按如下的方式構(gòu)造一棵二叉樹(shù)：A[1]為根對(duì)任何一個(gè)A[i],它的左兒子是A[2i],右兒子是A[2i+1]如果2i或2i+1超過(guò)n，則A[i]沒(méi)有相對(duì)應(yīng)的那個(gè)兒子2024/7/429

of158堆堆A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7]A[8]A[9]2024/7/430

of158堆堆所構(gòu)造的樹(shù)有如下性質(zhì)所有葉子在樹(shù)的最底層或倒數(shù)第二層如果最底層的節(jié)點(diǎn)不能完全填滿，則總是在最左邊這樣的樹(shù)叫左-完全二叉樹(shù)2024/7/431

of158堆堆如果一個(gè)左-完全二叉樹(shù)有下列性質(zhì)：任何一個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)的值都大于等于（或小于等于）它的兒子的值則這個(gè)樹(shù)稱為大（?。╉敹岩粋€(gè)堆對(duì)應(yīng)的序列顯然有如下性質(zhì)：大頂堆小頂堆2024/7/432

of158堆堆96，83，27，38，11，99683273811912，36，24，85，47，30，53，9112362485473053912024/7/433

of158堆堆—堆調(diào)整假設(shè)已經(jīng)有一個(gè)現(xiàn)成的（大頂）堆，調(diào)整的目的是把堆頂（根）的最大元素和序列的最后一個(gè)元素交換，然后把剩下是元素繼續(xù)建成堆2024/7/434

of158堆50243020211831256堆—堆調(diào)整

假設(shè)已經(jīng)有一個(gè)堆，把堆頂元素和最后一個(gè)元素交換624302021183125500)剩下的序列中，堆的性質(zhì)被破壞，調(diào)整堆就是把剩余的序列重新建成堆2024/7/435

of158堆堆—堆調(diào)整1)新的堆頂元素小于它的兒子，所以不能構(gòu)成堆，調(diào)整它的位置把它和較大的兒子交換62430202118312550302462021183125502)調(diào)整后，右子樹(shù)的根仍小于它的兒子，所以把它和它的大兒子交換2024/7/436

of158堆堆—堆調(diào)整3)新堆構(gòu)成302418202163125502024/7/437

of158堆排序（HeapSort)堆—堆調(diào)整voidHeapAdjust(int*h,introot,intm){

//已知h[root..m]除根root以外都滿足堆的定義，目的成為大頂堆

int

rc;rc=h[root];intj;

for(j=2*root;j<=m;j*=2){//沿較大兒子向下篩選

if(j<m&&h[j]<h[j+1])j++;//j為較大兒子的下標(biāo)

if(rc>=h[j])break;//rc應(yīng)該插入在位置root上

h[root]=h[j];root=j;}

h[root]=rc; }2024/7/438

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無(wú)序的序列建成一個(gè)堆的過(guò)程它是思想是從最底層的子樹(shù)進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹(shù)建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹(shù)構(gòu)成堆20213561830125024202135241830125062024/7/439

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無(wú)序的序列建成一個(gè)堆的過(guò)程它是思想是從最底層的子樹(shù)進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹(shù)建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹(shù)構(gòu)成堆20213502418301256202130502418312562024/7/440

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無(wú)序的序列建成一個(gè)堆的過(guò)程它是思想是從最底層的子樹(shù)進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹(shù)建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹(shù)構(gòu)成堆20503021241831256502430212018312562024/7/441

of158堆堆—堆建立最后一個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)是從[n/2]開(kāi)始的，所以從這個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始向前調(diào)整

for(inti=length/2;i>0;i--){

HeapAdjust(h,i,length);}2024/7/442

of158方法概述:示例1示例1（FIFO隊(duì)列分枝限界法）問(wèn)題：0-1背包問(wèn)題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價(jià)值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價(jià)值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹(shù):DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/443

of158方法概述:示例1③BFS搜索（FIFO隊(duì)列）擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列(可行結(jié)點(diǎn))可行解(葉結(jié)點(diǎn))解值

AB,CBCBD,E(D死結(jié)點(diǎn))CECF,GEFGEJ,K(J死結(jié)點(diǎn))FGK40FL,MGL,M50,25GN,OφN,O25,0

∴最優(yōu)解為L(zhǎng),即(0,1,1);解值為50DBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/444

of158方法概述:示例2示例2（優(yōu)先隊(duì)列分枝限界法）問(wèn)題：0-1背包問(wèn)題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價(jià)值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價(jià)值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹(shù):DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/445

of158方法概述:示例2BFS搜索（優(yōu)先隊(duì)列：按價(jià)值率優(yōu)先）擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn)堆(可行結(jié)點(diǎn))可行解(葉結(jié)點(diǎn))解值

AB,CBD,E(D死結(jié)點(diǎn))EJ,K(J死結(jié)點(diǎn))K40CF,G

FL,ML

50(最優(yōu))GN,OφBCECFGCGDBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/446

of1586.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。2024/7/447

of1586.1 分支限界法的基本思想常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。2024/7/448

of1586.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述單源最短路徑問(wèn)題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

2024/7/449

of1586.2 單源最短路徑問(wèn)題

下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。2024/7/450

of1586.2 單源最短路徑問(wèn)題：基本思想

解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。2024/7/451

of1586.2 單源最短路徑問(wèn)題剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。2024/7/452

of158

while(true){//搜索問(wèn)題的解空間

for(intj=1;j<=n;j++)

if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;

HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列

}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)2024/7/453

of1586.3裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

2024/7/454

of1586.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。2024/7/455

of1586.3裝載問(wèn)題：隊(duì)列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(newInteger(-1));//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;//進(jìn)入下一層

}}2024/7/456

of1586.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r

bestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。2024/7/457

of1586.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)queue.put(newInteger(wt));}提前更新bestw

//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優(yōu)解

queue.put(newInteger(ew));

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

右兒子剪枝

2024/7/458

of1586.3裝載問(wèn)題4.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。活結(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。

2024/7/459

of1586.50-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。2024/7/460

of1586.50-1背包問(wèn)題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間

{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/