2024年內(nèi)蒙古包頭市第二十九中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷

2024年內(nèi)蒙古包頭市第二十九中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題1．下列計(jì)算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3a﹣a＝3 C．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 D．（a2b）3＝a6b2．如圖所示，該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．3．若|2a﹣2|＝2﹣2a，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，多邊形ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，PA與圓相切于點(diǎn)A，則∠PAB的大小為（）A．18° B．36° C．54° D．72°5．如圖，有一電路連著三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)閉合與斷開是等可能的，若不考慮元件的故障因素，則電燈點(diǎn)亮的概率為（）A． B． C． D．6．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a2+2a+b的值等于（）A．7 B．8 C．9 D．107．如圖，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，將△BAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至△B'AC'，線段B'C'與線段AC交于點(diǎn)D，若，則線段AB的長為（）A．4 B． C． D．8．如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+19．如圖的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點(diǎn)．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，則BN的長度為何？（）A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．因式分解：mx2﹣6mxy+9my2＝．12．某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是5元、3元、2元、1元．這四種礦泉水某天的銷售量如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是元．13．已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是．14．如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是．15．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為．16．如圖，梯形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O，OA∥BC，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，已知OA＝2BC，若△OAB的面積為，則k的值為．三、解答題17．（1）先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．（2）解方程：．18．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣．崇德中學(xué)計(jì)劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動(dòng)，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學(xué)類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)圖中信息，請(qǐng)回答下列問題；（1）條形圖中的m＝，n＝，文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角等于度；（2）若該校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)；（3）甲同學(xué)從A，B，C三類書籍中隨機(jī)選擇一種，乙同學(xué)從B，C，D三類書籍中隨機(jī)選擇一種，請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．19．如圖1，是手機(jī)支架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中CD長為6cm，BC長為12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．（1）點(diǎn)D到BC的距離為cm；（2）求點(diǎn)D到AB的距離．20．保護(hù)生態(tài)環(huán)境，建設(shè)綠色社會(huì)已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng)．某化工廠2009年1月的利潤為200萬元．設(shè)2009年1月為第1個(gè)月，第x個(gè)月的利潤為y萬元．由于排污超標(biāo)，該廠從2009年1月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，導(dǎo)致月利潤明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例．到5月底，治污改造工程順利完工，從這時(shí)起，該廠每月的利潤比前一個(gè)月增加20萬元（如圖）．（1）分別求該化工廠治污期間及改造工程順利完工后y與x之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．（2）治污改造工程順利完工后經(jīng)過幾個(gè)月，該廠利潤才能達(dá)到200萬元？（3）當(dāng)月利潤少于100萬元時(shí)為該廠資金緊張期，問該廠資金緊張期共有幾個(gè)月？21．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．22．課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對(duì)角線BD⊥AC，垂足為O．求證：平行四邊形ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO．又∵BD⊥AC，垂足為O，∴AC是BD的垂直平分線．∴．∴平行四邊形ABCD是菱形．知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若，求的值．23．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，OM+ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題1．下列計(jì)算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3a﹣a＝3 C．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 D．（a2b）3＝a6b【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故A是錯(cuò)誤的；∵3a﹣a＝2a，故B是錯(cuò)誤的；∵（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故C是正確的；∵（a2b）3＝a6b3，故D是錯(cuò)誤的；故選：C．2．如圖所示，該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從左邊看，是一個(gè)矩形，矩形中間靠上有一條橫向的實(shí)線，中間有一條橫向的虛線．選項(xiàng)A符合題意．故選：A．3．若|2a﹣2|＝2﹣2a，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵|2a﹣2|＝2﹣2a，∴2a﹣2≤0，解得a≤1，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是：故選：C．4．如圖，多邊形ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，PA與圓相切于點(diǎn)A，則∠PAB的大小為（）A．18° B．36° C．54° D．72°【解答】解：如圖，連接OA、OB，∵多邊形ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，∴，∵OA＝OB，∴，∵PA為圓O的切線，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠OAB＝36°，故選：B．5．如圖，有一電路連著三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)閉合與斷開是等可能的，若不考慮元件的故障因素，則電燈點(diǎn)亮的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)K1打開用A表示，閉合用a表示，K2打開用B表示，閉合用b表示，K3打開用C表示，閉合用c表示，樹狀圖如圖所示，由圖可知，點(diǎn)燈點(diǎn)亮的可能性是（aBc）、（abC）、（abc），則電燈點(diǎn)亮的概率為，故選：B．6．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a2+2a+b的值等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，∴a＝﹣1﹣b，∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝a（a+1）+（a+b）＝a（﹣1﹣b+1）+（a+b）＝﹣ab+a+b＝8﹣1＝7．故選：A．7．如圖，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，將△BAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至△B'AC'，線段B'C'與線段AC交于點(diǎn)D，若，則線段AB的長為（）A．4 B． C． D．【解答】解：作DH⊥AB'于H，∵將△BAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至△B'AC'，∴∠CAB'＝∠BAB'＝45°，∠B＝∠B'，∵，∴DH＝AH＝2，∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝∠B'＝60°，∴B'H＝2，∴AB'＝AH+B'H＝2+2，故選：D．8．如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1【解答】解：方法一：如圖，延長DA、BC交于點(diǎn)G，∵四邊形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB?tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故選D．方法二：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四邊形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE?sin∠EBH＝2?sin30°＝2×＝1，BH＝BE?cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故選：D．9．如圖的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點(diǎn)．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，則BN的長度為何？（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形DEFG是正方形，∴DE∥BC，GF∥BN，且DE＝GF＝EF＝1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴①，②，由①可得，，解得：AE＝，將AE＝代入②，得：，解得：BN＝，故選：D．10．如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正確；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正確；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四邊形NEMF是平行四邊形，∴EM∥FN，故②正確；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝∠ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確；正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：D．二、填空題11．因式分解：mx2﹣6mxy+9my2＝m（x﹣3y）2．【解答】解：mx2﹣6mxy+9my2＝m（x2﹣6xy+9y2）＝m（x﹣3y）2，故答案為：m（x﹣3y）2．12．某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價(jià)依次是5元、3元、2元、1元．這四種礦泉水某天的銷售量如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是2.25元．【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價(jià)是：5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元）；故答案為：2.25．13．已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是﹣1或5．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+mx的對(duì)稱軸是直線x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴關(guān)于x的方程x2+mx＝5可化為x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．故答案為：﹣1或5．14．如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是2﹣．【解答】解：連接OO′，BO′，∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠OAO′＝60°，∴△OAO′是等邊三角形，∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，∴當(dāng)O′中⊙O上，∵∠AOB＝120°，∴∠O′OB＝60°，∴△OO′B是等邊三角形，∴∠AO′B＝120°，∵∠AO′B′＝120°，∴∠B′O′B＝120°，∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，∴圖中陰影部分的面積＝S△B′OB﹣S扇形O′OB＝×2×2﹣＝2﹣，故答案為2﹣．15．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為6．【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值為6，故答案為：6．16．如圖，梯形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O，OA∥BC，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，已知OA＝2BC，若△OAB的面積為，則k的值為2．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則△OAD∽△CBE，∴OA：CB＝OD：CE＝AD：BE＝2：1，設(shè)CE＝a，BE＝b，則OD＝2a，AD＝2b，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，∴k＝2a?2b＝4ab，∴B（4a，b），∴DE＝2a，∴S△OAB＝S梯形ADBE＝（AD+BE）?DE＝?（2b+b）?2a＝，解得ab＝，∴k＝4ab＝2．故答案為：2．三、解答題17．（1）先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．（2）解方程：．【解答】解：（1）（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2＝﹣8ab﹣3b2，當(dāng)a＝1，b＝﹣3時(shí)，原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2＝24﹣3×9＝24﹣27＝﹣3；（2）原方程去分母得：2+2x﹣2＝3，解得：x＝，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝時(shí)，2（x﹣1）≠0，故原方程的解為x＝．18．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣．崇德中學(xué)計(jì)劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動(dòng)，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學(xué)類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)圖中信息，請(qǐng)回答下列問題；（1）條形圖中的m＝18，n＝6，文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角等于72度；（2）若該校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)；（3）甲同學(xué)從A，B，C三類書籍中隨機(jī)選擇一種，乙同學(xué)從B，C，D三類書籍中隨機(jī)選擇一種，請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．【解答】解：（1）調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：4÷8%＝50（人），∴m＝50×36%＝18，∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，文學(xué)類書籍對(duì)應(yīng)扇形圓心角＝360°×＝72°，故答案為：18，6，72；（2）2000×＝480（人），答：估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)約為480人；（3）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，即BB、CC，∴甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率為．19．如圖1，是手機(jī)支架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中CD長為6cm，BC長為12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．（1）點(diǎn)D到BC的距離為6cm；（2）求點(diǎn)D到AB的距離．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，在Rt△CDF中，CD＝6cm，∠C＝45°，∴DF＝CDsin45°＝6×＝6cm，∴點(diǎn)D到BC的距離為6cm，故答案為：6；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，連接BD，過點(diǎn)F作FM⊥AB，垂足為M，過點(diǎn)D作DN⊥FM，垂足為N，∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，∴CF＝DF＝6cm，∵BC＝12cm，∴BF＝BC﹣CF＝12﹣6＝6cm，∴CF＝BF，∴DF是BC的垂直平分線，∴CD＝DB＝6cm，在Rt△FMB中，F(xiàn)M＝BFsin60°＝6×＝3cm，∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝90°﹣30°＝60°，在Rt△FDN中，F(xiàn)N＝FDcos60°＝6×＝3cm，∴MN＝FM﹣FN＝（3﹣3）cm，∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，∴四邊形DNMG是矩形，∴DG＝MN＝（3﹣3）cm，∴點(diǎn)D到AB的距離為（3﹣3）cm．20．保護(hù)生態(tài)環(huán)境，建設(shè)綠色社會(huì)已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng)．某化工廠2009年1月的利潤為200萬元．設(shè)2009年1月為第1個(gè)月，第x個(gè)月的利潤為y萬元．由于排污超標(biāo)，該廠從2009年1月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，導(dǎo)致月利潤明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例．到5月底，治污改造工程順利完工，從這時(shí)起，該廠每月的利潤比前一個(gè)月增加20萬元（如圖）．（1）分別求該化工廠治污期間及改造工程順利完工后y與x之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．（2）治污改造工程順利完工后經(jīng)過幾個(gè)月，該廠利潤才能達(dá)到200萬元？（3）當(dāng)月利潤少于100萬元時(shí)為該廠資金緊張期，問該廠資金緊張期共有幾個(gè)月？【解答】解：（1）根據(jù)圖象，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過（1，200），設(shè)反比例函數(shù)為y＝（k≠0），則＝200，解得k＝200，∴反比例函數(shù)為y＝（1≤x≤5），當(dāng)x＝5時(shí)，y＝40，設(shè)改造工程完工后函數(shù)解析式為y＝20x+b，則20×5+b＝40，解得b＝﹣60，∴改造工程完工后函數(shù)解析式為y＝20x﹣60（x＞5且x取整數(shù)）；（2）當(dāng)y＝200時(shí)，20x﹣60＝200，解得x＝13．13﹣5＝8．∴經(jīng)過8個(gè)月，該廠利潤才能達(dá)到200萬元；（3）當(dāng)y＝100時(shí)，＝100，解得x＝2，20x﹣60＝100，解得x＝8，∴月利潤少于100萬元有：3，4，5，6，7月份．故該廠資金緊張期共有5個(gè)月．21．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對(duì)的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．22．課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對(duì)角線BD⊥AC，垂足為O．求證：平行四邊形ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO．又∵BD⊥AC，垂足為O，∴AC是BD的垂直平分線．∴AB＝BC＝CD＝DA．∴平行四邊形ABCD是菱形．知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若，求的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，AB＝DC，∵BD⊥AC∴∠AOB＝∠COB＝90°，在△AOB，△COB中，，∴△AOB≌△COB（SAS），∴AB＝CB，同理可得△DOA≌△ODC，則DA＝DC，又∵AB＝CD，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是菱形；（2）①證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝5，AC＝8，BD＝6，∴，，在△AOD中，AD2＝25，AO2+OD2＝32+42＝25，∴AD2＝AO2+OD2，∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；②解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD∴，∴，∵