第3章函數(shù)的奇偶性（教案）-高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊(cè)

專題3：函數(shù)的奇偶性

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念及性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)定義域內(nèi)一個(gè)X,都有：

(1)成立Q?x)是奇函數(shù)。/U)的圖象關(guān)于對(duì)稱=>兀￥)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)

性;

(2)成立=外)是偶函數(shù)=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱=黃方在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)

性.

注意：(1)函數(shù)具有奇偶性的前提是:.

(2)若奇函數(shù);(x)在x=0時(shí)有意義，則必有.

2.奇偶性的判定

(1)定義法判定奇偶性的一般步驟：

①求函數(shù),并判斷其是否;

②從開(kāi)始，整理并判斷其與的關(guān)系；

③根據(jù)上述關(guān)系得出函數(shù)奇偶性；

(2)結(jié)論法判定奇偶性：

①“奇士奇，是，“偶土偶”是，“奇X”奇，是,

“偶x/+偶”是,“奇x/+偶”是；

②奇(偶)函數(shù)倒數(shù)運(yùn)算或相反數(shù)運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性;

③奇(偶)函數(shù)的絕對(duì)值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為函數(shù).

※考點(diǎn)自測(cè)

1.函數(shù)八x)="A的圖象關(guān)于()

A.x軸對(duì)稱B.原點(diǎn)對(duì)稱C.y軸對(duì)稱D.y=x對(duì)稱

答案：B

2.定義在R上的偶函數(shù)?x)在(0,+8)上是增函數(shù)，貝1」()

A.次3)次一4)勺(一兀)B.人一兀)勺(一4)勺(3)

C./3)研一兀)。：一4)D.八一4)勺(一兀)勺(3)

答案：C

3.已知函數(shù);(X)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/U)=x2+3則人-1)+式0)等于()

A.-2B.0C.1D.2

答案A

4.若函數(shù)1%)=辦2+陵+3〃+匕是偶函數(shù)，定義域?yàn)椋踑—1,2a］,貝(Ja=,b=.

答案：Io

5.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤20時(shí)，八］)=%(1+%)，貝(JxvO時(shí)，“r)=.

答案x(l-X)

※題型講練

題型一判斷函數(shù)的奇偶性

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1求力=/一1；(2阿=|2X+1|+|2L1|；

x<0,

(3求x)=a+i)(4阿=

、一/十%,x>0.

解(1)奇函數(shù).(2)偶函數(shù)

(3):非奇非偶函數(shù).(4)奇函數(shù).

變式訓(xùn)練1:

⑴給出以下結(jié)論：

①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的充要條件；

②林》)=尸7+聲，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③尸(x)=?x)-A—x)(xeR)是奇函數(shù)；

④若/X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則P(x)=/(x>g(x)是奇函數(shù).

其中正確的序號(hào)是.

答案：②③④

⑵判斷函數(shù)兀0=普高的奇偶性.

解：由1—1220,得一1W九<1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

222

?"言yl1—一x=y七l1—x三y=l1X—x，

滿足y(—x)=—/(X),

故?x)是奇函數(shù)；

考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

命題點(diǎn)1利用函數(shù)奇偶性求值

例3(1)已知?x)是奇函數(shù)，&(x)是偶函數(shù)，且八一l)+g(l)=2,/u)+g(-l)=4,則g(l)等于()

A.4B.3C.2D.1

Y

(2)若函數(shù)於)="_、十1是定義在(c—1,c)上的奇函數(shù)，則a+b+c=.

IIIC/I

(3)設(shè)#x)="3—法+}1,且丸-2)=5,則?2)=.

答案(1)B(2)1(3)-3

命題點(diǎn)2利用函數(shù)奇偶性求解析式

例4⑴設(shè)了(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)；時(shí)，/⑺二必十八則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=.

(2)已知"x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，?x)=/—2x,則兀c)在R上的解析式是.

fx2-2%,冗20,

答案(1)一爐+1(2W)=2c八

1―12—2x,x<0.

變式訓(xùn)練2：

(1)已知函數(shù)4x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，兀c)=/+3則/-1)+<0)等于()

A.-2B.0C.1D.2

(2)設(shè)函數(shù)#x)=(x+l)(x+a)為定義在屹一3,2口上偶函數(shù)，

貝IIa=,b=.

(3)設(shè)函數(shù)y(x)=ar5+bx3+cx+7,若五一2021)=—17,

則/2021)=.

(4)函數(shù)/'(X)在R上為奇函數(shù)，且/(x)=5+l,x>0,則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=.

答案(1)A(2)-11(3)31(4)-V^-l

考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

例5(1)已知?x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意

XI,［0,+8)(11W12),一妝―.］―<0,貝!1()

A.犬3)勺(一2)勺(1)B.犬1)勺(一2)勺(3)

C./-2)</(1)</(3)D./3)</(1)</(-2)

(2)設(shè)於)是定義在［—2,2］上的奇函數(shù)，且在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，若角n)+/(機(jī)-1)<0,則實(shí)數(shù)根的取

值范圍為.

答案⑴A(2)(1,2］

變式訓(xùn)練3：

(1)若奇函數(shù)兀0在［-6,—2］上是減函數(shù)，且最小值是1,則它在［2,6］上是()

A.增函數(shù)且最小值是一1B.增函數(shù)且最大值是一1

C.減函數(shù)且最大值是一1D.減函數(shù)且最小值是一1

(2)設(shè)於)是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，若火用)一人根一1)<0,則加的取值范圍

為.

答案(1)C(2)［-1,1)

考點(diǎn)四函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

例6已知函數(shù)<x),當(dāng)x,yWR時(shí)，恒有式x+y)=?x)+%).

當(dāng)x>0時(shí)，“￥)>0.

⑴求證：咒￥)是奇函數(shù)；

(2)若用)=/求危)在區(qū)間［—2,6］上的最值.

解(1)證明：令x=0,y=0,則刖)=40),

.?猶0)=0.令，=一%則式0)=/(x)+/：—x),

即人x)為奇函數(shù).

(2)任取XI,X2CR,且X1VX2.

?；?x+y)=?x)+?y),二兀⑵一Axi)=/(X2—xi).

?當(dāng)x>0時(shí)，y(x)>0,且xi<X2,

：.fiX2-Xl)>0,即式X2)>/U1),為增函數(shù)，

...當(dāng)X=-2時(shí)，函數(shù)有最小值，?r)min=A-2)=—紈1)=—1.

當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值，/(x)m*=A6)=秋1)=3.

※課后練習(xí)(時(shí)間：45分鐘)

1.函數(shù)#x)=士Y一1§的圖象關(guān)于()

A.y軸對(duì)稱B.x軸對(duì)稱C.原點(diǎn)對(duì)稱D.y=x對(duì)稱

答案：C

2.設(shè)函數(shù)人的，g(x)的定義域都為R,且人幻是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.兀c)g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)

c.ywig(x)i是奇函數(shù)D.m-)&(x)i是奇函數(shù)

答案c

3.定義在R上的偶函數(shù)4x)在(一8,0)上是減函數(shù)，貝1］()

A.八3)/一4)勺(一兀)B.八一兀)勺(一4)勺(3)

C./3)勺(_兀)勺(_4)D.八一4)勺(一兀)勺(3)

答案：C

4.如果奇函數(shù)段)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，且最小值為5,那么“x)在區(qū)間［—7,—3］上是()

A.增函數(shù)且最小值為一5B.增函數(shù)且最大值為一5

C.減函數(shù)且最小值為一5D.減函數(shù)且最大值為一5

答案B

5.已知人x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí),"x)=/+2x,若12—次)次°),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,-1)U(2,+°°)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

答案C

6.設(shè)函數(shù)人幻為R上的奇函數(shù).當(dāng)x20時(shí)，/(x)=2*+2r+瓦則式-1)=.

答案一3

7.設(shè)/Cx)=O+iy+“)為區(qū)間出一4,0)U(0,切上的奇函數(shù)，貝!,b=.

答案：a=-1,5=2

8.已知於)=必+奴3+法一8且4-2)=10,那么式2)=.

答案：一26

9.已知定義在R上的偶函數(shù)1］)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且41)=0,則不等式“X—2)20的解集是

答案(一8,1］U［3,+8)

10.已知?x)的定義域?yàn)?一1,1)上的奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)，若大1—〃)+式1-2a)V0,則〃的取

值范圍是.

2

答案：(0,1)

11.已知於)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，2),則當(dāng)％VO時(shí)，危)的表達(dá)式為.

答案：?x)=-x(x+2)

12.設(shè)奇函數(shù)#x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且式1)=0,則不等式管乎2。的解集為_(kāi)

答案(T,0)U(0,1)

13.已知/(%)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且於)+g(%)=x2+x—2,求於卜g(x)的解析式.

答案fi.x)=x2—2,g(x)=x

角軍析??7(x)+ga)=%2+x—2.①

又???危)為偶函數(shù)，g(%)為奇函數(shù)，

."./(X)—g(x)=x2—x—2.②

由①②解得次力=%2—2,g(x)=x.

-x2+2x,x>0,

14.已知函數(shù)?￥)=<0,%=0,是奇函數(shù).

、<+如，x<0

⑴求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若函數(shù)於)在區(qū)間［—1,2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

解⑴設(shè)1<0,貝I—x>0,

所以大一1)=一(一元)2+2(—x)=-x2-2x

又於)為奇函數(shù)，

所以大一元)=-7(%).

于是x<0時(shí)，fix)=x2+2x=x2