人教版高一數(shù)學新教材同步配套教學講義5.5三角恒等變換(原卷版+解析)

5．5三角恒等變換【題型歸納目錄】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式題型二：兩角和與差的正切公式題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用題型四：給角求值題型五：給值求值題型六：給值求角題型七：利用半角公式化簡求值問題題型八：三角恒等式的證明題型九：輔助角公式的應(yīng)用題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．知識點二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差公式的特例．如當或中有一個角是的整數(shù)倍時，通常使用誘導公式較為方便；（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學中的整體原則．（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．知識點三：兩角和與差的正切函數(shù)知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對分配律不成立，即．知識點四：理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導線索，能幫助學生理解和記憶公式，是學好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時，使用誘導公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．知識點五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當及時才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識點六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1、對公式會“正著用”，“逆著用”，也會運用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項、添項、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準確運用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識點七：升（降）冪縮（擴）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識點八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等．知識點九：半角公式（以下公式只要求會推導，不要求記憶），以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．知識點十：積化和差公式知識點詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號中前后兩項的角分別為和．規(guī)律3：每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．知識點十一：和差化積公式知識點詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運算錯誤，其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時需要把某些特殊數(shù)值當作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式例1．（2022·浙江省杭州第九中學高一期末）（

）A． B． C． D．例2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·山東臨沂·高一期末）（

）A． B． C． D．變式1．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學高一期末）=（

）A． B． C． D．變式2．（2022·四川成都·高一期末）的值為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·山東濰坊·高一期末）下列各式化簡結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正切公式例4．（2022·甘肅蘭州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．例5．（2022·全國·高一課時練習）在中，，，則角（

）A． B． C． D．例6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）的值為（

）A． B． C． D．變式4．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．變式5．（2022·四川成都·高一期末）（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運用．題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用例7．（2022·河南·安陽37中高一期末）已知sinα+cosα＝，則sin2α＝（）A． B． C． D．例8．（2022·河北保定·高一階段練習）若，則（

）A． B． C． D．例9．（2022·全國·高一課時練習）若，則（

）A． B． C． D．變式6．（2022·浙江·高一期中）若，則=（

）A． B． C． D．變式7．（2022·江西省豐城中學高一期中）若，則（

）.A． B． C． D．變式8．（2022·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡（求值）的策略：化簡求值關(guān)注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．題型四：給角求值例10．（2022·全國·高一課時練習）的值為（

）A．0 B． C． D．例11．（2022·全國·高一課時練習）計算：（

）A． B． C． D．例12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）計算：（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式9．（2022·江蘇·南京航空航天大學附屬高級中學高一期中）（

）A．1 B． C． D．2變式10．（2022·河南南陽·高一階段練習）（

）A． B． C． D．變式11．（2022·四川成都·高一期中（理））（

）A． B． C． D．變式12．（2022·江蘇省沙溪高級中學高一期中）（

）A． B．1 C． D．變式13．（2022·江蘇·昆山經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)高級中學高一期中）（

）A． B． C．1 D．【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值例13．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）若，則（

）A． B． C． D．例14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高一期中（理））若，則（

）A． B． C． D．例15．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A． B． C． D．變式14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高一階段練習（理））已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式15．（2022·浙江·余姚市實驗高中高一開學考試）已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．變式16．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．變式17．（2022·全國·高一課時練習）已知，則等于（

）A． B． C． D．變式18．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則值為（

）A． B． C． D．變式19．（2022·全國·高一課時練習）已知，，且，，則（

）A．1 B．0 C．-1 D．變式20．（2022·甘肅·卓尼縣柳林中學高一期末），則（

）A． B． C． D．變式21．（2022·遼寧撫順·高一期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．變式22．（2022·四川·成都七中高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．變式23．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式24．（2022·北京·中關(guān)村中學高一階段練習）若，，則（

）A． B． C． D．變式25．（2022·山東濟寧·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．變式26．（2022·福建省廈門集美中學高三階段練習）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．變式27．（2022·重慶巴蜀中學高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．變式28．（2022·江蘇·揚州中學高一階段練習）已知、為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．變式29．（2022·廣東·順德一中高一期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．變式30．（2022·江蘇·常州市第二中學高一階段練習）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，適當?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角例16．（2022·北京市第五中學高一階段練習）若，，且，是方程的兩個根，則（

）A． B． C．或 D．或例17．（2022·江蘇·金沙中學高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．例18．（2022·陜西·西安中學高一期中）若，則角的值為（

）A． B． C． D．變式31．（2022·全國·高一專題練習）設(shè)，則的大小是（

）A． B． C． D．或變式32．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，若，則＝（

）A． B． C． D．變式33．（2022·全國·高一課時練習）已知，均為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．變式34．（2022·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．變式35．（2022·全國·高一）若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟（1）給值求角問題的步驟．①求所求角的某個三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：利用半角公式化簡求值問題例19．（2022·全國·高一課時練習）化簡：___________.例20．（2022·全國·高一課時練習）若，是第三象限角，則___________.例21．（2022·全國·高一課時練習）化簡：(1)；(2).變式36．（2022·安徽·東至縣第二中學高一期末）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【方法技巧與總結(jié)】1、化簡問題中的“三變”（1）變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時，常利用計算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號．題型八：三角恒等式的證明例22．（2022·全國·高一課時練習）已知，．(1)證明：；(2)計算：的值．例23．（2022·全國·高一課時練習）已知，，通過觀察等式的規(guī)律，寫出一般性規(guī)律的命題，并給出證明．例24．（2022·江西·豐城九中高一期末）（1）證明：（2）求值：變式37．（2022·全國·高一課時練習）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下四個式子的值等于同一個常數(shù)：①；②；③；④.(1)試從上述四個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.變式38．（2022·全國·高一課時練習）證明：(1)；(2)．【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；（3）拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立．題型九：輔助角公式的應(yīng)用例25．（2022·上?！の挥袑W高一期中）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.例26．（2022·全國·高一課時練習）當函數(shù)取得最大值時，____________．例27．（2022·全國·高一專題練習）要使有意義，則實數(shù)m的取值范圍為____________．變式39．（2022·全國·高一專題練習）A、B、C是的內(nèi)角，其中，則的取值范圍是__．變式40．（2022·山西忻州·高一期末）關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①其表達式可寫成；②曲線關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④，使得恒成立.其中正確的是______（填寫正確的序號）.變式41．（2022·遼寧實驗中學高一期中）函數(shù)的最大值為______．變式42．（2022·上海市楊浦高級中學高一期中）若函數(shù)取最小值時，則___________.【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例28．（2022·廣東·饒平縣第二中學高一開學考試）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例29．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值；(3)若，求的值．例30．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對稱中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當時，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的值變式43．（2022·安徽·渦陽縣第九中學高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間變式44．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當時，，求.變式45．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期、對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)與關(guān)于直線對稱，求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.變式46．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，直接寫出實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步驟：（1）運用和、差、倍角公式化簡；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明例31．（2022·山西省長治市第二中學校高一期末）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.例32．（2022·上海·高一課時練習）閱讀材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述結(jié)論，試求的值；(2)類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:.例33．（2022·上海·高一課時練習）如圖，矩形中，兩點分別在邊上，，設(shè)，.（1）試用該圖中提供的信息證明兩角和的余弦公式；（2）若，且，求的值.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用例34．（2022·浙江省杭州學軍中學高一競賽）如圖，是半徑為1，的扇形，C是弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，記，當時，四邊形的面積S取得最大，則的值為_________．例35．（2022·安徽安慶·高一期末）如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點M，連接，過M點分別向半徑OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個四邊形MEOF.（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.例36．（2022·山西晉中·高一期末）如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大小；(2)點在什么位置時，矩形的面積最大？并說明理由．變式47．（2022·上?！じ咭徽n時練習）已知矩形內(nèi)接于半徑為1的圓．（1）求矩形面積的最大值；（2）當矩形的面積最大時，矩形的周長也最大嗎？說明理由．【方法技巧與總結(jié)】解決這類問題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用表示，建立關(guān)于的函數(shù)，再運用倍角公式、和角公式．構(gòu)成函數(shù)，然后進行三角變換求解是解決此類問題的常用方法．注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用．【同步練習】一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高一期末）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇南通·高一期末）函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川瀘州·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高一課時練習）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．5．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高一課時練習）下列說法中正確的是（

）A．存在，使成立B．對任意都成立C．能根據(jù)公式直接展開D．在中，若為鈍角，則的值大于17．（2022·陜西·安康市教學研究室高一期末）已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．18二、多選題8．（2022·廣東·饒平縣第二中學高一階段練習）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高一課時練習）（多選）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)，則下列選項正確的有（

）A．的最小正周期為B．曲線關(guān)于點中心對稱C．的最大值為D．曲線關(guān)于直線對稱11．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，再把所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題12．（2022·上海理工大學附屬中學高一期中）函數(shù)的圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離是______；13．（2022·四川省德陽中學校高一期末）我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么______14．（2022·全國·高一單元測試）已知都是銳角，，則___________.15．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的值是___________．四、解答題16．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學高一階段練習）（1）若，求的值；（2）求的值；（3）在中,，求角.17．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在上的最值．18．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數(shù).設(shè)，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.19．（2022·江蘇南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．20．（2022·河南信陽·高一期末）已知.(1)若，且，求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.21．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，以及此時的取值.22．（2022·陜西·延安市第一中學高一期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標變)，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域.(3)對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，…，試確定的值，并求的值.5．5三角恒等變換【題型歸納目錄】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式題型二：兩角和與差的正切公式題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用題型四：給角求值題型五：給值求值題型六：給值求角題型七：利用半角公式化簡求值問題題型八：三角恒等式的證明題型九：輔助角公式的應(yīng)用題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．知識點二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差公式的特例．如當或中有一個角是的整數(shù)倍時，通常使用誘導公式較為方便；（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學中的整體原則．（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．知識點三：兩角和與差的正切函數(shù)知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對分配律不成立，即．知識點四：理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導線索，能幫助學生理解和記憶公式，是學好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時，使用誘導公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．知識點五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當及時才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識點六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1、對公式會“正著用”，“逆著用”，也會運用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項、添項、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準確運用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識點七：升（降）冪縮（擴）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識點八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等．知識點九：半角公式（以下公式只要求會推導，不要求記憶），以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．知識點十：積化和差公式知識點詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號中前后兩項的角分別為和．規(guī)律3：每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．知識點十一：和差化積公式知識點詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運算錯誤，其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時需要把某些特殊數(shù)值當作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式例1．（2022·浙江省杭州第九中學高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C例2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以（1），因為，所以（2），（1）+（2）得，∴.故選：A．例3．（2022·山東臨沂·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】；；原式.故選：C變式1．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學高一期末）=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選:B變式2．（2022·四川成都·高一期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B變式3．（2022·山東濰坊·高一期末）下列各式化簡結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，A不是；對于B，，B不是；對于C，，C是；對于D，，D不是.故選：C【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正切公式例4．（2022·甘肅蘭州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】.故選：C.例5．（2022·全國·高一課時練習）在中，，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以.又，所以由得所以，所以，所以.又，所以.故選：C.例6．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故選：B.變式4．（2022·四川成都·高一期末（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為；故，故選：D變式5．（2022·四川成都·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選：A【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運用．題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用例7．（2022·河南·安陽37中高一期末）已知sinα+cosα＝，則sin2α＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故選：A．例8．（2022·河北保定·高一階段練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，因此，故選：A例9．（2022·全國·高一課時練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，分子分母同時除以，得．故選：D.變式6．（2022·浙江·高一期中）若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.變式7．（2022·江西省豐城中學高一期中）若，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以，故選：C.變式8．（2022·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡（求值）的策略：化簡求值關(guān)注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．題型四：給角求值例10．（2022·全國·高一課時練習）的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】①②得：．故選：D例11．（2022·全國·高一課時練習）計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式.故選：C.例12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）計算：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，故選：C變式9．（2022·江蘇·南京航空航天大學附屬高級中學高一期中）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】原式

故選：C.變式10．（2022·河南南陽·高一階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故選：C．變式11．（2022·四川成都·高一期中（理））（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】；故選：B.變式12．（2022·江蘇省沙溪高級中學高一期中）（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】.故選：D變式13．（2022·江蘇·昆山經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)高級中學高一期中）（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值例13．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，則，因為，等式兩邊平方可得，即，，解得.故選：A.例14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高一期中（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，，化簡得，所以，所以，故選：A例15．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，故選：A.變式14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高一階段練習（理））已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，故選：A變式15．（2022·浙江·余姚市實驗高中高一開學考試）已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，，所以，，所以，因為，所以，，所以，故選：B變式16．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以，于是，所以．故選：B變式17．（2022·全國·高一課時練習）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，于是，從而．故選：B變式18．（2022·全國·高一課時練習）已知，且，則值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴.故選：D.變式19．（2022·全國·高一課時練習）已知，，且，，則（

）A．1 B．0 C．-1 D．【答案】B【解析】因為，,所以，,因為，所以,因為，所以,所以,故選：B變式20．（2022·甘肅·卓尼縣柳林中學高一期末），則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選：D.變式21．（2022·遼寧撫順·高一期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，故，可解得，故，故選：A變式22．（2022·四川·成都七中高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，則，，則.故選：D.變式23．（2022·廣東汕尾·高一期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以，，所以，.故選：A.變式24．（2022·北京·中關(guān)村中學高一階段練習）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，化為：，即，令，于是有，則有，即，所以.故選：D變式25．（2022·山東濟寧·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，所以，，，故選：A變式26．（2022·福建省廈門集美中學高三階段練習）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選:C．變式27．（2022·重慶巴蜀中學高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，故.故選：C.變式28．（2022·江蘇·揚州中學高一階段練習）已知、為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為、為銳角，所以，因為，所以，因為，所以，故故選：A變式29．（2022·廣東·順德一中高一期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C.變式30．（2022·江蘇·常州市第二中學高一階段練習）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以.故選：B【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，適當?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角例16．（2022·北京市第五中學高一階段練習）若，，且，是方程的兩個根，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】、是方程的兩個根，，，，，即、,，則，則，故選：B．例17．（2022·江蘇·金沙中學高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，而，，所以，，，，所以．故選：D．例18．（2022·陜西·西安中學高一期中）若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，由，，得，，若，則，與矛盾，故舍去，若，則，又，.故選：A.變式31．（2022·全國·高一專題練習）設(shè)，則的大小是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由題意，故，且由于，故故選：C變式32．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，若，則＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為若，則，即，，則，所以，，即又，所以.故選：C變式33．（2022·全國·高一課時練習）已知，均為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，均為銳角，且，，∴，，∴.又∵，均為銳角∴.∴.故選：B.變式34．（2022·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，整理得：，，，因為，所以，所以，解得：故選：D.變式35．（2022·全國·高一）若，，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，則.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟（1）給值求角問題的步驟．①求所求角的某個三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：利用半角公式化簡求值問題例19．（2022·全國·高一課時練習）化簡：___________.【答案】【解析】∵，∴，∴.又∵，且，∴.∵，∴，∴.∴.故答案為：例20．（2022·全國·高一課時練習）若，是第三象限角，則___________.【答案】【解析】，，，為第三象限角，，故答案為：例21．（2022·全國·高一課時練習）化簡：(1)；(2).【解析】（1）因為，所以，所以原式.（2）因為，所以.又因為，且，所以原式，因為，所以，所以.所以原式.變式36．（2022·安徽·東至縣第二中學高一期末）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【解析】（1）因為，所以，又因為，所以．因為，且，所以．（2）由（1）中，，可得．因為，所以，而，所以，又因為，所以，且，于是．【方法技巧與總結(jié)】1、化簡問題中的“三變”（1）變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時，常利用計算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號．題型八：三角恒等式的證明例22．（2022·全國·高一課時練習）已知，．(1)證明：；(2)計算：的值．【解析】（1）方法一：由條件，則即整理得也即，得證．方法二：由條件，即，得，從而可得得證．（2）由于所以原式例23．（2022·全國·高一課時練習）已知，，通過觀察等式的規(guī)律，寫出一般性規(guī)律的命題，并給出證明．【解析】一般形式：，證明：左邊

右邊，原式得證．例24．（2022·江西·豐城九中高一期末）（1）證明：（2）求值：【解析】（1）證明：因為左邊右邊，所以原命題成立.（2）因為，所以，所以變式37．（2022·全國·高一課時練習）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下四個式子的值等于同一個常數(shù)：①；②；③；④.(1)試從上述四個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）（2）觀察①，②，③，④，結(jié)合(1)，歸納可得證明如下：.變式38．（2022·全國·高一課時練習）證明：(1)；(2)．【解析】(1)左邊===右邊===左邊=右邊，所以原等式得證.(2)

故原式得證.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；（3）拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立．題型九：輔助角公式的應(yīng)用例25．（2022·上?！の挥袑W高一期中）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】【解析】因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在時取得最值，所以，結(jié)合輔助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案為：例26．（2022·全國·高一課時練習）當函數(shù)取得最大值時，____________．【答案】【解析】，且，∴，∴當，即時，函數(shù)取最大值2．故答案為：例27．（2022·全國·高一專題練習）要使有意義，則實數(shù)m的取值范圍為____________．【答案】【解析】因，因此，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：變式39．（2022·全國·高一專題練習）A、B、C是的內(nèi)角，其中，則的取值范圍是__．【答案】【解析】由題意得，因為，所以所以故答案為：變式40．（2022·山西忻州·高一期末）關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：①其表達式可寫成；②曲線關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④，使得恒成立.其中正確的是______（填寫正確的序號）.【答案】②③【解析】，對①，，故①錯誤.對②，，故②正確；對③，當時，有，因為，故③正確；的最小正周期，若，使得恒成立，說明是的一個周期，而，與“最小正周期為”矛盾，故④不正確.故答案為：②③變式41．（2022·遼寧實驗中學高一期中）函數(shù)的最大值為______．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當時，取得最大值．故答案為：變式42．（2022·上海市楊浦高級中學高一期中）若函數(shù)取最小值時，則___________.【答案】【解析】，其中時取最小值，，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例28．（2022·廣東·饒平縣第二中學高一開學考試）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）

所以的最小正周期（2）由，，得，．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（3）當時，∴∴故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.例29．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值；(3)若，求的值．【解析】（1）因為．所以的最小正周期，∵，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知的單調(diào)遞減區(qū)間為，∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故；另∵，∴，∵在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當時，，∴當時，；（3）∵，∴，由，得，∴，∴，．例30．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對稱中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當時，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的值【解析】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對稱中心為；（2）解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）當時，，當時，即當時，函數(shù)取得最大值，最大值為．變式43．（2022·安徽·渦陽縣第九中學高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【解析】（1）∴當時取得最大值4；（2）因為把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，所以，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．變式44．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當時，，求.【解析】（1）因為，所以的最小正周期為，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.變式45．（2022·湖南·新邵縣教研室高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期、對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)與關(guān)于直線對稱，求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由.函數(shù)的最小正周期為，令得，故對稱軸為，由得，即單調(diào)增區(qū)間為.（2）設(shè)圖像上任意一點為，點關(guān)于對稱的點在函數(shù)上，即，又，所以，則，故，所以；.變式46．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，直接寫出實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得，故最小正周期為,（2）由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）令，則，故問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，令，且，則問題等價于在有兩個根，由的圖象可知：當時，有兩個根.故【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步驟：（1）運用和、差、倍角公式化簡；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明例31．（2022·山西省長治市第二中學校高一期末）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，.連接.若把扇形繞著點旋轉(zhuǎn)角，則點分別與點重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點間的距離公式，得：，化簡得：當時，上式仍然成立.∴，對于任意角有：.(2)①公式的推導：.公式的推導：正切公式的推導：②公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.例32．（2022·上?！じ咭徽n時練習）閱讀材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有:，，由得，令,,有，，代入得.(1)利用上述結(jié)論，試求的值；(2)類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】試題分析：（1）在已知結(jié)論中令代入可得；（2）根據(jù)結(jié)論，取余弦公式和，相減并換元（令，）可得．試題解析:（1）；（2）因為……①，……②，由①②得……③，令，，有，，代入③得.例33．（2022·上?！じ咭徽n時練習）如圖，矩形中，兩點分別在邊上，，設(shè)，.（1）試用該圖中提供的信息證明兩角和的余弦公式；（2）若，且，求的值.【解析】（1）由已知，，，.（2）由已知，從而，，，，.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用例34．（2022·浙江省杭州學軍中學高一競賽）如圖，是半徑為1，的扇形，C是弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，記，當時，四邊形的面積S取得最大，則的值為_________．【答案】【解析】在直角中，，又在直角中，且，當即時，最大.即即故答案為：例35．（2022·安徽安慶·高一期末）如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點M，連接，過M點分別向半徑OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個四邊形MEOF.（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.【解析】（1），，由題意要得到四邊形MEOF，則.（2）由（1）知：，因為，所以，所以當，即時，四邊形MEOF的面積S的最大值為.例36．（2022·山西晉中·高一期末）如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大小；(2)點在什么位置時，矩形的面積最大？并說明理由．【解析】(1)設(shè)，根據(jù)扇形的面積公式可得，得.(2)連接，設(shè)，則，，在中，，則，于是矩形的面積，由于，則，當，即當時，矩形的面積最大，最大為，此時點是弧的中點．因此，當點是弧的中點時，矩形的面積最大，最大為.變式47．（2022·上?！じ咭徽n時練習）已知矩形內(nèi)接于半徑為1的圓．（1）求矩形面積的最大值；（2）當矩形的面積最大時，矩形的周長也最大嗎？說明理由．【解析】（1）如圖所示，設(shè)，在中，，，，矩形的面積是，當時，矩形的面積取得最大值．（2）矩形的周長是，當時，矩形的周長取得最大值；綜上，時，矩形面積與周長同時取得最大值，即當矩形的面積最大時，矩形的周長也最大【方法技巧與總結(jié)】解決這類問題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用表示，建立關(guān)于的函數(shù)，再運用倍角公式、和角公式．構(gòu)成函數(shù)，然后進行三角變換求解是解決此類問題的常用方法．注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用．【同步練習】一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高一期末）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，，故選：D.2．（2022·江蘇南通·高一期末）函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，即，故函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為．故選：C3．（2022·四川瀘州·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故選：C4．（2022·全國·高一課時練習）若，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】因為．所以，解得，于是．故選：C.5．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學高一期中）已知，，則