高考數(shù)學一輪復習考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向39隨機事件的概率與古典概型(十二大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向39隨機事件的概率與古典概型經(jīng)典題型一：隨機事件的關系與運算經(jīng)典題型二：頻率與概率經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計算概率經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計的綜合經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(2023·全國·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.(2023·全國·高考真題（文））從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為____________．答案：【解析】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：知識點1、隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．知識點2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．知識點3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件．知識點4、事件的關系與運算①包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：知識點5、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識點6、概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．知識點7、隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.知識點8、古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.知識點9、概率的基本性質（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：(1)本試驗是否具有等可能性；(2)本試驗的基本事件有多少個；(3)事件是什么．2、解題實現(xiàn)步驟：(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；(3)分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；(4)利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和．②求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．經(jīng)典題型一：隨機事件的關系與運算1．(2023·浙江省桐廬中學高三階段練習）拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習（文））一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③3．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D經(jīng)典題型二：頻率與概率4．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%5．(2023·全國·高三專題練習）將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個小組，如下表所示：組號12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率分別為（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，6．(2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.337．(2023·全國·模擬預測）甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)定：甲、乙兩人同時擲骰子，若甲擲兩次骰子的點數(shù)之和小于，則甲得一分；若乙擲兩次骰子的點數(shù)之和大于，則乙得一分，最先得到10分者獲勝.為確保游戲的公平性，正整數(shù)的值應為（

）A． B． C． D．8．(2023·全國·高三專題練習）某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行了調查．調查中使用了下面兩個問題：問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？問題二：你是否經(jīng)常吸煙？調查者設計了一個隨機化裝置：一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，每個被調查者隨機從袋子中摸取1個球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計算，且最后盒子中有60個小石子，則可以估計出該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為（

）A．7% B．8% C．9% D．30%經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件9．(2023·全國·高三專題練習）“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設備之一，黑匣子有兩個，為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內部構造進行相關課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑厘子”，事件C為“至多研究一個黑厘子”，事件D為“兩個黑厘子都研究”.則（

）A．A與C是互斥事件 B．B與D是對立事件C．B與C是對立事件 D．C與D是互斥事件10．(2023·全國·高三專題練習）設靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個正整數(shù)，脫靶計為0環(huán)．某人射擊一次，設事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關系正確的是（

）A．B與C互斥 B．B與C互為對立C．A與D互為對立 D．A與D互斥11．(2023·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的是（

）A．“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”B．“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”C．“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計算概率12．(2023·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）甲?乙兩人向同一目標各射擊一次，已知甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為，已知目標至少被命中1次，則乙命中目標的概率為___________.13．(2023·湖北·天門市教育科學研究院模擬預測）為落實國務院提出的“雙減”政策，某校在課后服務時間開展了豐富多彩的興趣小組活動，其中有個課外興趣小組制作了一個正十二面體模型，并在十二個面分別雕刻了十二生肖的圖案，作為2022年春節(jié)的吉祥物，2個興趣小組各派一名成員將模型隨機拋出，兩人都希望能拋出虎的圖案朝上，寓意虎虎生威.2人各拋一次，則在第一人拋出虎的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為__________.14．(2023·全國·高三專題練習）產(chǎn)品質量檢驗過程主要包括進貨檢驗（），生產(chǎn)過程檢驗（），出貨檢驗（）三個環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品單獨通過率為，單獨通過率為，規(guī)定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立.若該產(chǎn)品能進入的概率為，則___________.15．(2023·湖南長沙·高三階段練習）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A與B互斥，令；如果A與B相互獨立，令，則___________.16．(2023·全國·高三專題練習）已知某電腦賣家只賣甲?乙兩個品牌的電腦，其中甲品牌的電腦占，甲品牌的電腦中，優(yōu)質率為；乙品牌的電腦中，優(yōu)質率為，從該電腦賣家中隨機購買一臺電腦，則買到優(yōu)質電腦的概率為___________.17．(2023·江蘇淮安·一模）集合，，從，中各任意取一個數(shù)，則這兩個數(shù)之和等于4的概率是__________．經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題18．(2023·云南師大附中高三階段練習）甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10，4張3，乙手里有4張5和6張2，現(xiàn)從兩人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點數(shù)之和的概率為（

）A． B． C． D．19．(2023·廣西南寧·高三階段練習（文））設有5個大小和質地相同的小球，其中甲袋中裝有標號分別為1，2的兩個小球，乙袋中裝有標號分別為1，2，3的三個小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個小球，則這兩小球標號之和為4的概率為（

）A． B． C． D．20．(2023·浙江·高三階段練習）某小組九名學生在一次數(shù)學測驗中的得分（單位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，這九人成績的第70百分位數(shù)是.若在該小組隨機選取兩名學生，則得分一個比高，另一個比低的概率為（

）A． B． C． D．21．(2023·廣西·模擬預測（理））4個人排成一排，則甲不站兩邊的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題22．(2023·山東淄博·三模）正邊形內接于單位圓，任取其兩個不同頂點、，則的概率是（

）A． B． C． D．23．(2023·全國·高三專題練習（理））已知為整數(shù)，且，設平面向量與的夾角為，則的概率為（

）A． B． C． D．24．(2023·全國·高三專題練習（理））在平面直角坐標系中，已知點，在圓上任取一點，則的概率為（

）A． B． C． D．25．(2023·全國·高三專題練習（理））已知為內的一點，滿足，且的面積與的面積之比為，若在內任取一點，則該點取自的概率為（

）A． B． C． D．26．(2023·江西·九江市柴桑區(qū)第一中學高三階段練習（理））如圖，在中，D，E是AB邊上兩點，，且，，，的面積成等差數(shù)列.若在內隨機取一點，則該點取自的概率是（

）A． B． C． D．27．(2023·湖南·高三階段練習（理））如圖，在平面直角坐標系中，為正十邊形的中心，在軸正半軸上，任取不同的兩點、（其中，，且，），點滿足，則點落在第二象限的概率是（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題28．(2023·云南師大附中高三階段練習（文））正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角.在古希臘已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體有且僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體、如圖，有一個棱長為2的正八面體（每一個面都是正三角形），其六個頂點都在球的球面上，在球內任選一個點，則該點落在正八面體內部的概率是（

）A． B． C． D．29．(2023·寧夏·吳忠中學三模（文））有一個底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點的距離都大于1的概率為（

）A． B． C． D．30．(2023·山西·模擬預測（文））如圖，棱長為2的正方體．E，F(xiàn)分別為棱的中點，過E，F(xiàn)，三點作正方體的截面，點P是該截面內任意一點，則點P在內的概率為（

）A． B． C． D．31．(2023·陜西咸陽·二模（理））魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖），通過計算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比為3：2.若在該正方體的外接球內任取一點，此點取自“牟合方蓋”內的概率為（

）A． B． C． D．32．(2023·吉林·東北師大附中模擬預測（文））在棱長為4的正方體內任取一點，則這個點到該正方體的中心距離不超過1的概率為（

）A． B． C． D．33．(2023·全國·高三專題練習）在《九章算術·商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.若從鱉臑的六條棱中任取兩條棱，則它們互相垂直的概率是；若從鱉臑的六條棱和四個面中取一條棱和一個面（要求棱不在面上），則它們互相垂直的概率是；若從鱉臑的四個面中任取兩個面，則它們互相垂直的概率是.則，，的值分別是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，34．(2023·全國·高三專題練習（理））從正方體的條棱中任選條棱，則這條棱兩兩異面的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題35．(2023·全國·高三專題練習）首位數(shù)定理：在進位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計數(shù)據(jù)都滿足這個定理.已知某銀行10000名儲戶的存款金額調查結果符合上述定理，則下列結論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%36．(2023·全國·高三專題練習（文））設a是從1、2、3、4中隨機取出的一個數(shù)，b是從1、2、3中隨機取出的一個數(shù)，構成一個基本事件．記“這些基本事件中，滿足”的事件為E，則E發(fā)生的概率為（

）.A．； B．； C．； D．．37．(2023·廣東·金山中學高三階段練習）設函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．38．(2023·安徽合肥·一模（文））從冪函數(shù)，，，，中任意選取個函數(shù)，其中一個函數(shù)是奇函數(shù)?另一個函數(shù)是增函數(shù)的概率等于（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題39．(2023·全國·高三專題練習）某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員進行傳球訓練，從甲開始隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，則＝（

）A． B． C． D．40．(2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的首項為1，公比為-2，在該數(shù)列的前六項中隨機抽取兩項，，則的概率為（

）A． B． C． D．41．(2023·江西·高三階段練習（文））現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是（

）A． B．C． D．42．(2023·全國·高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B．C． D．43．(2023·全國·高三專題練習）我國占代圖書之一的《周髀算經(jīng)》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次是一個等差數(shù)列．已知立春與驚蟄兩個節(jié)氣的日影長分別為11尺和10尺，現(xiàn)在隨機選出3個節(jié)氣，至少有一個節(jié)氣的日影長大于9尺的概率為（

）A． B． C． D．44．(2023·甘肅張掖·高三階段練習（文））意大利數(shù)學家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題:已知-對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對數(shù)依次為:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，若從該數(shù)列的前120項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計的綜合45．(2023·四川省開江中學高三開學考試（理））在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則（

）A．這種疾病患者的年齡小于等于30的概率為0.2B．這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲C．這種疾病患者的年齡的眾數(shù)為45歲D．這種疾病患者的平均年齡為48歲46．(2023·安徽·高三開學考試）下圖是國家統(tǒng)計局年月發(fā)布的規(guī)模以上工業(yè)日均原油產(chǎn)量（單位：萬噸）的月度走勢情況，現(xiàn)有如下說法：①年月至年月，規(guī)模以上工業(yè)原油的日均產(chǎn)量的極差為；②從年月至年月中隨機抽取個月份，月增速超過的概率為；③年月份，規(guī)模以上工業(yè)原油總產(chǎn)量約為萬噸；則說法錯誤的個數(shù)為（

）A． B． C． D．47．(2023·河南·高三開學考試（理））現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，若將這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為（

）．A． B． C． D．48．(2023·全國·高三專題練習）某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況，在轄區(qū)內高三年級在校學生中抽取100名學生，調查他們課后完成作業(yè)的時間，根據(jù)調查結果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結論中不正確的是（

）A．所抽取的學生中有25人在2小時至小時之間完成作業(yè)B．該地高三年級學生完成作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為C．估計該地高三年級學生的平均做作業(yè)的時間超過小時D．估計該地高三年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率49．(2023·貴州·高三階段練習（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．50．(2023·江蘇南京·高三階段練習）從分別寫有的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．51．(2023·全國·高三專題練習）一個袋子中放大小相同的9個小球，其中5個紅色球，4個白色球，若從中摸出1個球后放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，從中摸出1個球后不放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，則（

）A． B． C． D．52．(2023·全國·高三專題練習（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只藍色6只紅色，小朋友花花想從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機取出一只小球，卻是藍色，不放回，再取第二次.則小朋友花花第二次取到紅色小球的概率是（

）A． B． C． D．53．(2023·遼寧沈陽·三模）盒子中有4個球，其中3個白球，1個紅球，現(xiàn)在從盒中隨機無放回地取球，每次取出一個，直到取出紅球為止．則取出3個球停止的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十二：概率的基本性質54．(2023·浙江·高三專題練習）甲?乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫(yī)用外科口罩，甲?乙購買A，B，C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：購買A種醫(yī)用口罩購買B種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩甲0.20.4乙0.30.3則甲?乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（

）A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.3255．(2023·江蘇·高三專題練習）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．56．(2023·全國·高三專題練習）已知消費者購買家用小電器有兩種方式：網(wǎng)上購買和實體店購買．經(jīng)工商局抽樣調查發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上家用小電器合格率約為，而實體店里家用小電器的合格率約為，工商局12315電話接到關于家用小電器不合格的投訴，統(tǒng)計得知，被投訴的是在網(wǎng)上購買的概率約為．那么估計在網(wǎng)上購買家用小電器的人約占（

）A． B． C． D．57．(2023·全國·高三專題練習）設A、B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列論述正確的是（

）A．事件A?B，則P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，則A和B一定相互獨立C．若A和B相互獨立，則A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤158．(2023·全國·高三專題練習（文））甲、乙兩人比賽下中國象棋，若甲獲勝的概率是，下成和棋的概率是，則乙獲勝的概率是（

）A． B． C． D．59．(2023·海南·嘉積中學高三階段練習）下列敘述錯誤的是（

）．A．若事件發(fā)生的概率為，則B．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件C．某事件發(fā)生的概率是隨著試驗次數(shù)的變化而變化的D．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎的可能性相同60．(2023·福建·莆田錦江中學高三階段練習）有一道數(shù)學難題，在半小時內，甲、乙能解決的概率都是，丙能解決的概率是，若3人試圖獨立地在半小時內解決該難題，則該難題得到解決的概率為___．1．(2023·全國·高考真題（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.83．（2023·全國·高考真題（理））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2023·山東·高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題（文））設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（

）A． B．C． D．6．(2023·全國·高考真題（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．7．（2023·江蘇·高考真題）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是_____.8．（2023·天津·高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．經(jīng)典題型一：隨機事件的關系與運算1．答案：D【解析】對于A：事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項A不正確；對于B：事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為或”一定發(fā)生，所以，故選項B不正確；對于C：事件和事件不能同時發(fā)生，，故選項C不正確；對于D：事件“向上的點數(shù)為”或事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，故選項D正確；故選：D2．答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A3．答案：ABC【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.故選：ABC.經(jīng)典題型二：頻率與概率4．答案：ABC【解析】對于A，由分層抽樣可得，老年患者應抽取人，正確；對于B，青年患者所占的頻率為，正確；對于C，平均治愈率為，正確；對于D，由C知錯誤.故選：ABC.5．答案：A【解析】由表可知，第3組的頻率為，累積頻率為。故選：A6．答案：D【解析】由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，取到優(yōu)秀成績的概率為，故選：D7．答案：C【解析】對于甲，擲兩次骰子的點數(shù)之和為時，甲能夠得一分，則由對稱性可知，擲兩次的骰子的點數(shù)之和為分別與擲兩次骰子的點數(shù)之和為對應的概率相等，為確保游戲的公平性，需，此時甲乙得分概率相等.故選：C.8．答案：C【解析】因為一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子中，隨機摸出1個球，摸到白球和紅球的概率都為，因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人，而一年365天中，陽歷為奇數(shù)的有186天，所以對第一個問題回答“是”的概率為，所以這100個回答第一個問題的學生中，約有51人回答了“是”，從而可以估計，在回答第二個問題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計出該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為9%．故選：C經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件9．答案：D【解析】事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”；事件B為“至少研究一個黑厘子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個黑厘子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個黑匣子都不研究；事件D為“兩個黑厘子都研究”.即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；所以對于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B，事件B與事件D不是對立事件，故B不正確；對于C，事件B與事件C不是對立事件，故C不正確；對于D，事件C和事件D不能同時發(fā)生，故C與D是互斥事件.故選：D.10．答案：A【解析】對于AB，事件和不可能同時發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對立，所以A正確，B錯誤，對于CD，事件A與D有可能同時發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對立，所以CD錯誤，故選：A11．答案：C【解析】從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，可能有個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“至多有一個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“至多有兩個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，即“至多有一個是偶數(shù)”包含于“至多有兩個是偶數(shù)”，故A錯誤；“恰有一個是奇數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，“恰有一個是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，所以“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故B錯誤；同理可得“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故D錯誤；“至少有一個是奇數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，所以“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對立事件，故C正確；故選：C經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計算概率12．答案：【解析】記事件為“乙命中目標”，事件為“目標至少被命中1次”，則，，．故答案為：．13．答案：【解析】設第一人拋出虎的圖案的事件為A事件，第二人拋出虎的圖案的事件為事件，則，，所以，即在第一人拋出虎的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為.故答案為：14．答案：【解析】設：第次通過，：第次通過.由題意知，即，解得或（舍去）.故答案為：.15．答案：0.4【解析】∵A與B互斥，∴,∵A與B相互獨立，∴，∴.故答案為：.16．答案：【解析】隨機購買一臺電腦，買到甲品牌優(yōu)質電腦的概率為，隨機購買一臺電腦，買到乙品牌優(yōu)質電腦的概率為，則買到優(yōu)質電腦的概率為故答案為：17．答案：【解析】集合，從中各任意取一個數(shù)有種，其兩數(shù)之和為4的情況有兩種：，∴這兩數(shù)之和等于4的概率．故答案為．經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題18．答案：D【解析】一開始兩人手中牌的點數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點數(shù)之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點數(shù)之和應更?。艏妆怀槿〉膬蓮埮浦杏悬c數(shù)為10的牌，則這兩張牌的點數(shù)之和肯定更大，不合題意．故甲只能被抽取兩張3，故其抽取的兩張牌的點數(shù)之和為6，而乙抽取的兩張牌點數(shù)之和要大于6，則必然要至少有一張5，綜上.故選：D．19．答案：B【解析】從甲袋和乙袋中各任取一個小球，標號共有6種情況，分別為，其中這兩個小球標號之和為4的有，2種情況，則概率為.故選：B20．答案：A【解析】因為，第70百分位數(shù)是從小到大的第七位數(shù)，所以第70百分位數(shù)是90，所以在該小組隨機選取兩名學生，則得分一個比90高，另一個比90低的概率為.故選:A.21．答案：C【解析】依題意4個人排成一排基本事件總數(shù)為種，其中滿足甲不站兩邊的有種，所以所求概率.故選：C經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題22．答案：B【解析】，可得，因為，所以，，對于任意給定的向量，滿足條件的向量的取法有，因此，的概率為.故選：B.23．答案：D【解析】因為平面向量與的夾角為，且，所以，即，所以，因為為整數(shù)，且，，所以共有種可能，又因為，，所以或，①當時，由，即，所以或或或，滿足題意；②當時，由，即，所以或，滿足題意；故或或或或或共種情況符合題意，所以的概率為；故選：D24．答案：B【解析】由數(shù)量積的定義可得，，又，所以，即當動點在上運動時，才滿足，所以的概率為．故選：B．25．答案：B【解析】，變?yōu)椋鐖D，，分別是對應邊的中點，由平行四邊形法則，知，，故，在上，為的中位線，故底邊上的高是底邊上高的一半，則，∵，，則，故在內任取一點，則該點取自的概率為．故選：B．26．答案：A【解析】因為，所以，，因為，，，的面積成等差數(shù)列.設面積依次為，則，則，所以，，，的面積依次為，所求概率為．故選：A．27．答案：B【解析】由題可知：任取不同的兩點的方法有；其中滿足題意的有如下種：.故滿足題意的概率.故選：B.經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題28．答案：B【解析】設球O的半徑是，根據(jù)對稱性知，球O的球心為中間截面的中心，如圖，即正方形ABCD的中心，于是，則，故，所以正八面體的體積是，球O的體積是，則.故選：B．29．答案：A【解析】由題設，到的距離都大于1的部分為圓柱體去掉以底面為最大軸截面的兩個半球體，所以的距離都大于1的部分的體積為，故P到點的距離都大于1的概率.故選：A30．答案：D【解析】連接，則過E、F、的正方體的截面為等腰梯形，所以所求概率，故選：D．31．答案：B【解析】設正方體棱長為1，則正方體體對角線，外接球半徑，所以牟合方蓋的體積，外接球的體積，所以，所求概率.故選：B32．答案：D【解析】因為棱長為4的正方體的體積為，以正方體的中心為球心，1為半徑的球的體積為，所以在棱長為4的正方體內任取一點，則這個點到該正方體的中心距離不超過1的概率為，故選：D33．答案：A【解析】如圖所示，連接長方體的四個頂點A，B，C，D，可得鱉臑ABCD.（1）從鱉臑ABCD的六條棱中任取兩條，有種取法，其中互相垂直的取法有5種：，，，，，所以.（2）從鱉臑ABCD的六條棱和四個面中取一條棱和一個面（要求棱不在面上），有種取法，它們互相垂直的取法有2種：平面BCD，平面ABC，所以.（3）從鱉臑ABCD的四個面中任取兩個面，有種取法，它們互相垂直的取法有3種：平面平面BCD，平面平面ACD，平面平面ABD，所以.故選：A.34．答案：A【解析】從正方體的條棱中任選條棱，共有種，其中，每條棱都有4條棱與其異面，例如，與異面，有和兩組構成兩兩異面，對于構成的平面，每條棱都可以構成2組兩兩異面，因此共有種組合公式構成兩兩異面，故這條棱兩兩異面的概率為.故選：A.經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題35．答案：D【解析】因此存款金額用十進制計算，故，對于A，存款金額的首位數(shù)字是1的概率為，故A錯誤.對于B，存款金額的首位數(shù)字是5的概率為，故不約為9.7%，故B錯誤.對于C，存款金額的首位數(shù)字是6的概率為，存款金額的首位數(shù)字是7的概率為，因為，故，故C錯誤.對于D，存款金額的首位數(shù)字是8的概率為，存款金額的首位數(shù)字是9的概率為，故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為，故D正確.故選：D.36．答案：B【解析】試驗發(fā)生包含的事件是分別從兩個集合中取兩個數(shù)字，共有種結果,滿足條件的事件是滿足，可以列舉出所有的事件,當時,，當時,，共有個，所以根據(jù)古典概型的概率公式得到概率是,故選：B37．答案：A【解析】當時，當且僅當時，取“＝”，∴，于是恒成立就轉化為成立；當時，，設事件A：“恒成立”，則基本事件總數(shù)為15個，即（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9個所以.故選：A.38．答案：C【解析】冪函數(shù)中是奇函數(shù)的有，，，增函數(shù)的有，，，基本事件總數(shù)為，其中一個函數(shù)是奇函數(shù)、另一個函數(shù)是增函數(shù)的事件有：共種，故滿足條件的概率為，故選C.經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題39．答案：C【解析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有的概率將球傳給甲，所以，即，設，則，所以，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以，故選：C.40．答案：C【解析】由題意知：，，，，，，由，則m，n奇偶相同，若m，n都為偶數(shù)時，符合題意，情況數(shù)為種；若m，n都為奇數(shù)時，僅有不符題意，情況數(shù)為種，綜上，符合題意的情況數(shù)為種，而總情況數(shù)為種，∴概率．故選：C.41．答案：A【解析】由題意得，易知前10項中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以小于8的項為第一項和偶數(shù)項，共6項，即6個數(shù)，所以所求概率，故選：A.42．答案：B【解析】由題設，斐波那契數(shù)列從第一項開始，每三項的最后一項為偶數(shù)，而，∴前2021項中有個偶數(shù)，故從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：B43．答案：C【解析】由題意，令冬至影長為，公差為，則，故.∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次為，∴隨機選出3個節(jié)氣至少有一個節(jié)氣的日影長大于9尺的概率.故選：C44．答案：A【解析】因為奇數(shù)加奇數(shù)結果是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)結果是奇數(shù)，偶數(shù)加奇數(shù)結果是奇數(shù)，所以數(shù)列中任意相鄰的三項，其中一項為偶數(shù)，兩項為奇數(shù)，所以前項中偶數(shù)有項，所以這個數(shù)是偶數(shù)的概率為.故選：A.經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計的綜合45．答案：C【解析】小于等于30的概率為?，故A不對；小于等于45的概率為，所以中位數(shù)大于45，故B錯誤；??（歲），故D錯誤；而眾數(shù)為最高矩形的中點，所以眾數(shù)為45，故選：C.46．答案：B【解析】對于①，年月至年月，規(guī)模以上工業(yè)原油的日均產(chǎn)量的極差為，①正確；對于②，年月至年月中，月增速超過超過的月份有月、月和月，隨機抽取個月，月增速超過超過的概率為，②錯誤；對于③，年月份，規(guī)模以上工業(yè)原油總產(chǎn)量約為萬噸，③正確.故選：B.47．答案：A【解析】這組數(shù)據(jù)各數(shù)之和為36，設刪去的兩數(shù)之和為x．若剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5，則，解得，則刪去的兩個數(shù)可以為{1，2}、{1，3}、{1，4}、{2，3}，故所求概率為．故選：A48．答案：D【解析】對A，直方圖中2小時至小時之間的頻率為，故所抽取的學生中有25人在2小時至小時之間完成作業(yè)，故A正確；對B，由直方圖得超過3小時的頻率為,所以B正確；對C，直方圖可計算學生做作業(yè)的時間的平均數(shù)為：，所以C正確；對D，做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間的頻率為，所以D錯誤.故選:D．經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率49．答案：B【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15種結果，其中數(shù)字之和為3的倍數(shù)的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5種結果，故抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為.故選：B.50．答案：A【解析】根據(jù)題意，從六張卡片中無放回隨機抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率；故選：．51．答案：B【解析】9個小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法數(shù)為（種），其中摸出的2個球都是紅色球的方法數(shù)為（種），故；9個小球不放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法數(shù)為（種），其中摸出的2個球都是紅色球的方法數(shù)為（種），故；所以，即.故選：B．52．答案：C【解析】第一次從袋子里隨機取出一只藍球，不放回，還剩下9個小球，其中藍球3個，紅球6個，所以第二次取到紅色小球的概率，故選：C53．答案：B【解析】由于是不放回地抽取，第3次結束，故前兩次抽到白球，第3次抽到紅球.第1次抽到白球的概率，第2次抽到白球的概率，第3次抽到紅球的概率.所以直到取到紅球為止，取出3個球停止的概率為.故選：B.經(jīng)典題型十二：概率的基本性質54．答案：D【解析】由表可知，甲購買A種醫(yī)用口罩的概率為0.4，乙購買B種醫(yī)用口罩的概率為0.4，所以甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為.故選：D.55．答案：D【解析】隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故選：D．56．答案：A【解析】設在網(wǎng)上購買的人數(shù)占比為，實體店購買的人數(shù)占比為，由題意可得，網(wǎng)上購買的合格率為，則網(wǎng)上購買被投訴的人數(shù)占比為，實體店里購買的被投訴的人數(shù)占比為，所以，解得.故選：A．57．答案：C【解析】若事件B包含事件A，則P（A）≤P（B），故A錯誤；若事件A、B互斥，則P（AB）＝0，若事件A、B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B錯誤，C正確；若事件A，B相互獨立，且P（A），P（B），則P（A）+P（B）＞1，故D錯誤．故選：C．58．答案：D【解析】甲、乙兩人比賽下中國象棋，結果有三種：甲勝，和局，乙勝.由概率性質可知，三種情況的概率和為1，所以乙獲勝的概率為，故選：D.59．答案：C【解析】根據(jù)概率的定義可得若事件發(fā)生的概率為，則，故A正確；根據(jù)互斥事件和對立事件的定義可得，互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件，且兩個對立事件的概率之和為1，故B正確；某事件發(fā)生的概率不會隨著試驗次數(shù)的變化而變化，故C錯誤；5張獎券中有一張有獎，先抽，后抽中獎的可能性相同，與次序無關，故D正確，故選：C．60．答案：【解析】設“在半小時內，甲、乙、丙能解決該難題”分別為事件A，B，C，“在半小時內解該難題得到解決”為事件D，則，，，表示事件“在半小時內沒有解決該難題”，，所以，；故答案為：.1．答案：C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；2．答案：C【解析】將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.3．答案：C【解析】將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.4．答案：B【解析】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B5．答案：A【解析】如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.6．答案：.【解析】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．7．答案：【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.8．答案：

【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.考向39隨機事件的概率與古典概型經(jīng)典題型一：隨機事件的關系與運算經(jīng)典題型二：頻率與概率經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計算概率經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計的綜合經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(2023·全國·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.(2023·全國·高考真題（文））從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為____________．答案：【解析】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：知識點1、隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．知識點2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．知識點3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件．知識點4、事件的關系與運算①包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：知識點5、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識點6、概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．知識點7、隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.知識點8、古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.知識點9、概率的基本性質（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：(1)本試驗是否具有等可能性；(2)本試驗的基本事件有多少個；(3)事件是什么．2、解題實現(xiàn)步驟：(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；(3)分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；(4)利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和．②求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．經(jīng)典題型一：隨機事件的關系與運算1．(2023·浙江省桐廬中學高三階段練習）拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為”，“向上的點數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．答案：D【解析】對于A：事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項A不正確；對于B：事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點數(shù)為或”一定發(fā)生，所以，故選項B不正確；對于C：事件和事件不能同時發(fā)生，，故選項C不正確；對于D：事件“向上的點數(shù)為”或事件“向上的點數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點數(shù)為或”發(fā)生，故選項D正確；故選：D2．(2023·全國·高三專題練習（文））一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A3．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案：ABC【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.故選：ABC.經(jīng)典題型二：頻率與概率4．（多選題）(2023·全國·高三專題練習）支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%答案：ABC【解析】對于A，由分層抽樣可得，老年患者應抽取人，正確；對于B，青年患者所占的頻率為，正確；對于C，平均治愈率為，正確；對于D，由C知錯誤.故選：ABC.5．(2023·全國·高三專題練習）將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個小組，如下表所示：組號12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率分別為（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，答案：A【解析】由表可知，第3組的頻率為，累積頻率為。故選：A6．(2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩所學校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33答案：D【解析】由題意得：將兩所學校的成績放到一起，從中任取一個學生成績，取到優(yōu)秀成績的概率為，故選：D7．(2023·全國·模擬預測）甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)定：甲、乙兩人同時擲骰子，若甲擲兩次骰子的點數(shù)之和小于，則甲得一分；若乙擲兩次骰子的點數(shù)之和大于，則乙得一分，最先得到10分者獲勝.為確保游戲的公平性，正整數(shù)的值應為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】對于甲，擲兩次骰子的點數(shù)之和為時，甲能夠得一分，則由對稱性可知，擲兩次的骰子的點數(shù)之和為分別與擲兩次骰子的點數(shù)之和為對應的概率相等，為確保游戲的公平性，需，此時甲乙得分概率相等.故選：C.8．(2023·全國·高三專題練習）某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行了調查．調查中使用了下面兩個問題：問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？問題二：你是否經(jīng)常吸煙？調查者設計了一個隨機化裝置：一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，每個被調查者隨機從袋子中摸取1個球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計算，且最后盒子中有60個小石子，則可以估計出該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為（

）A．7% B．8% C．9% D．30%答案：C【解析】因為一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子中，隨機摸出1個球，摸到白球和紅球的概率都為，因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人，而一年365天中，陽歷為奇數(shù)的有186天，所以對第一個問題回答“是”的概率為，所以這100個回答第一個問題的學生中，約有51人回答了“是”，從而可以估計，在回答第二個問題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計出該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為9%．故選：C經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件9．(2023·全國·高三專題練習）“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設備之一，黑匣子有兩個，為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內部構造進行相關課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑厘子”，事件C為“至多研究一個黑厘子”，事件D為“兩個黑厘子都研究”.則（

）A．A與C是互斥事件 B．B與D是對立事件C．B與C是對立事件 D．C與D是互斥事件答案：D【解析】事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”；事件B為“至少研究一個黑厘子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個黑厘子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個黑匣子都不研究；事件D為“兩個黑厘子都研究”.即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；所以對于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B，事件B與事件D不是對立事件，故B不正確；對于C，事件B與事件C不是對立事件，故C不正確；對于D，事件C和事件D不能同時發(fā)生，故C與D是互斥事件.故選：D.10．(2023·全國·高三專題練習）設靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個正整數(shù)，脫靶計為0環(huán)．某人射擊一次，設事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關系正確的是（

）A．B與C互斥 B．B與C互為對立C．A與D互為對立 D．A與D互斥答案：A【解析】對于AB，事件和不可能同時發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對立，所以A正確，B錯誤，對于CD，事件A與D有可能同時發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對立，所以CD錯誤，故選：A11．(2023·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的是（

）A．“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”B．“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”C．“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”答案：C【解析】從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，可能有個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“至多有一個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“至多有兩個是偶數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，即“至多有一個是偶數(shù)”包含于“至多有兩個是偶數(shù)”，故A錯誤；“恰有一個是奇數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，“恰有一個是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，所以“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故B錯誤；同理可得“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故D錯誤；“至少有一個是奇數(shù)”包括個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，個奇數(shù)和個偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即個奇數(shù)和個偶數(shù)，所以“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對立事件，故C正確；故選：C經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計算概率12．(2023·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）甲?乙兩人向同一目標各射擊一次，已知甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為，已知目標至少被命中1次，則乙命中目標的概率為___________.答案：【解析】記事件為“乙命中目標”，事件為“目標至少被命中1次”，則，，．故答案為：．13．(2023·湖北·天門市教育科學研究院模擬預測）為落實國務院提出的“雙減”政策，某校在課后服務時間開展了豐富多彩的興趣小組活動，其中有個課外興趣小組制作了一個正十二面體模型，并在十二個面分別雕刻了十二生肖的圖案，作為2022年春節(jié)的吉祥物，2個興趣小組各派一名成員將模型隨機拋出，兩人都希望能拋出虎的圖案朝上，寓意虎虎生威.2人各拋一次，則在第一人拋出虎的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為__________.答案：【解析】設第一人拋出虎的圖案的事件為A事件，第二人拋出虎的圖案的事件為事件，則，，所以，即在第一人拋出虎的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為.故答案為：14．(2023·全國·高三專題練習）產(chǎn)品質量檢驗過程主要包括進貨檢驗（），生產(chǎn)過程檢驗（），出貨檢驗（）三個環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品單獨通過率為，單獨通過率為，規(guī)定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立.若該產(chǎn)品能進入的概率為，則___________.答案：【解析】設：第次通過，：第次通過.由題意知，即，解得或（舍去）.故答案為：.15．(2023·湖南長沙·高三階段練習）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A與B互斥，令；如果A與B相互獨立，令，則___________.答案：0.4【解析】∵A與B互斥，∴,∵A與B相互獨立，∴，∴.故答案為：.16．(2023·全國·高三專題練習）已知某電腦賣家只賣甲?乙兩個品牌的電腦，其中甲品牌的電腦占，甲品牌的電腦中，優(yōu)質率為；乙品牌的電腦中，優(yōu)質率為，從該電腦賣家中隨機購買一臺電腦，則買到優(yōu)質電腦的概率為___________.答案：【解析】隨機購買一臺電腦，買到甲品牌優(yōu)質電腦的概率為，隨機購買一臺電腦，買到乙品牌優(yōu)質電腦的概率為，則買到優(yōu)質電腦的概率為故答案為：17．(2023·江蘇淮安·一模）集合，，從，中各任意取一個數(shù)，則這兩個數(shù)之和等于4的概率是__________．答案：【解析】集合，從中各任意取一個數(shù)有種，其兩數(shù)之和為4的情況有兩種：，∴這兩數(shù)之和等于4的概率．故答案為．經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題18．(2023·云南師大附中高三階段練習）甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10，4張3，乙手里有4張5和6張2，現(xiàn)從兩人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點數(shù)之和的概率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】一開始兩人手中牌的點數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點數(shù)之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點數(shù)之和應更?。艏妆怀槿〉膬蓮埮浦杏悬c數(shù)為10的牌，則這兩張牌的點數(shù)之和肯定更大，不合題意．故甲只能被抽取兩張3，故其抽取的兩張牌的點數(shù)之和為6，而乙抽取的兩張牌點數(shù)之和要大于6，則必然要至少有一張5，綜上.故選：D．19．(2023·廣西南寧·高三階段練習（文））設有5個大小和質地相同的小球，其中甲袋中裝有標號分別為1，2的兩個小球，乙袋中裝有標號分別為1，2，3的三個小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個小球，則這兩小球標號之和為4的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】從甲袋和乙袋中各任取一個小球，標號共有6種情況，分別為，其中這兩個小球標號之和為4的有，2種情況，則概率為.故選：B20．(2023·浙江·高三階段練習）某小組九名學生在一次數(shù)學測驗中的得分（單位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，這九人成績的第