滬教版六年級數(shù)學下冊期中期末滿分沖刺特訓(xùn)02有理數(shù)壓軸題(題型歸納)(原卷版+解析)

特訓(xùn)02有理數(shù)壓軸題（題型歸納）目錄：一、分類討論化簡絕對值；二、絕對值有關(guān)的最小值問題；三、新定義的化簡絕對值問題；四、動點與數(shù)軸問題（單動點、雙動點、多動點）；五、有理數(shù)的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數(shù)運算問題、有理數(shù)運算的應(yīng)用）解答題一、分類討論化簡絕對值1．已知、、是有理數(shù)，且，則的值是______．2．若，，則______．3．若、、都是非零有理數(shù)，其滿足，則的值為__________．4．三個有理數(shù)a、b、c滿足abc>0，則的值為________．5．分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）二、絕對值有關(guān)的最小值問題6．信息1：點A、B在數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=；信息2：數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．結(jié)合上面的信息回答下列問題：已知數(shù)軸上點A、B兩點對應(yīng)的有理數(shù)a，b，且a，b滿足(1)填空：a=，b=，A，B之間的距離為；(2)數(shù)軸上的動點C對應(yīng)的有理數(shù)為c．①式子最小值是，此時c的取值范圍是；②當時，則c=；③式子有最小值為9，則有理數(shù)d=；④式子的最小值為．7．如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離，解答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和7的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是______．（用含x的式子表示）(3)若x表示一個實數(shù)，則當x在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出x的范圍及的最小值．(4)當x為何值時，有最小值？并求出該最小值8．數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離可記作；表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離可記作．也就是說，在數(shù)軸上，如果A點表示的數(shù)記為點表示的數(shù)記為b．則兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2的兩點之間的距離是_____________，數(shù)軸上表示和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數(shù)軸上表示x與的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得的整數(shù)x；②求的最小值．9．閱讀下面材料：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，則A、B兩點之間的距離可以表示為．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3與的兩點之間的距離是___________（直接寫出計算結(jié)果）；(2)若，則___________；(3)若，則___________；(4)利用數(shù)軸求出的最小值為___________，且此時整數(shù)x的值為___________；(5)利用數(shù)軸可求出：的最小值為___________．10．【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為.如圖1，從數(shù)軸上看，若點A，B表示的分別是1，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數(shù)分別是，則或．【知識遷移】(1)如圖1，點A，B表示的數(shù)分別是，b且，則___________；(2)如圖2，點A，B表示的數(shù)分別是，，若把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，那么___________，___________；【拓展應(yīng)用】(3)一天，美羊羊去問村長爺爺?shù)哪挲g，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路.(4)結(jié)合幾何意義，求最小值.11．【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離；就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結(jié)合數(shù)軸研究：的最小值是；(2)請你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．12．（1）閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．數(shù)軸上有三點A、B、P，分別對應(yīng)的數(shù)為、2、x，如圖①，當時，；如圖②，當時，_____；如圖③，當時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應(yīng)用：求的最小值．（3）應(yīng)用拓展：若，當時，直接寫出S的取值范圍_______．三、新定義的化簡絕對值問題13．對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，例如，則，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．(1)和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為______；(2)若和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求的值；(3)若和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，和的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．14．對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“相對關(guān)系值”為，例如，，則2和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為3．(1)和6關(guān)于2的“相對關(guān)系值”為_____；(2)若和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為7，求的值；(3)若和關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于2的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于3的“相對關(guān)系值”為1，，和關(guān)于101的“相對關(guān)系值”為1．①的最大值為_____；②直接寫出所有的值．（用含的式子表示）15．閱讀下列兩則材料：材料1：君君同學在研究數(shù)學問題時遇到一個定義：對于按固定順序排列的k個數(shù)：x1，x2，x3，……，xk，稱為數(shù)列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k為整數(shù)且k≥3．定義：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如數(shù)列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點A，B之間的距離是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點A，B之間的距離，我們稱之為絕對值的幾何意義．君君同學在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5時，利用絕對值的幾何意義分析得到，該方程的左式表示在數(shù)軸上x對應(yīng)點到1和-2對應(yīng)點的距離之和，而當-2≤x≤1時，取到它的最小值3，即為1和-2對應(yīng)點之間的距離．由方程右式的值為5可知，滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或一2的左邊，若x的對應(yīng)點在1的右邊，利用數(shù)軸分析可以得到x=2；同理，若x的對應(yīng)點在-2的左邊，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)已知數(shù)列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個整數(shù)，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，請直接寫出一種可能的數(shù)列A4．(2)已知數(shù)列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，則a的值為．(3)已知數(shù)列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5個數(shù)均為非負整數(shù)，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．16．對于數(shù)軸上的兩點給由如下定義：兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為兩點的“絕對距離”，記為．例如，兩點表示的數(shù)如圖（1）所示，則．(1)兩點表示的數(shù)如圖（2）所示．①求兩點的“絕對距離”；②若點為數(shù)軸上一點（不與點O重合），且，求點表示的數(shù)；(2)點為數(shù)軸上的兩點．（點在點左側(cè)）且，，請直接寫出點表示的為___________．四、動點與數(shù)軸問題（單動點、雙動點、多動點）17．已知數(shù)軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數(shù)，4，6．(1)畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C，到達點C后停止運動，設(shè)運動時間為t秒．①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________18．如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數(shù)軸上原點重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是_____（結(jié)果保留）；（2）若大圓不動，小圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時間記為正數(shù)，向左滾動時間記為負數(shù)，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；②當小圓結(jié)束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結(jié)果保留）19．A，B兩個動點在數(shù)軸上做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間以及對應(yīng)位置所對應(yīng)的數(shù)記錄如表．時間（秒）047A點位置8mB點位置n1631(1)_______；______；(2)A，B兩點在第________秒時相遇，此時A，B點對應(yīng)的數(shù)是__________；(3)在運動到多少秒時，A，B兩點相距10個單位長度？20．點A，B為數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數(shù)軸上的一個動點，其對應(yīng)的數(shù)記為x，試猜想當x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最?。垖懗瞿愕牟孪?，并說明理由；（3）若P，Q為數(shù)軸上的兩個動點（Q點在P點右側(cè)），P，Q兩點之間的距離為m，當點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．21．如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和9的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲．移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”，而后根據(jù)輸贏結(jié)果進行移動．①若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；②若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度；③若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度．前三局如下表：（提示：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀）第一局第二局第三局…甲的手勢石頭剪刀石頭…乙的手勢石頭布布…(1)從如圖所示的位置開始，求第一局后甲、乙兩人分別在數(shù)軸上的位置．(2)從如圖所示的位置開始，從前三局看，第幾局后甲離原點最近，離原點距離多少？(3)從如圖所示的位置開始，若進行了k局后，甲與乙的位置相距3個單位長度，請直接寫出k的值．22．數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數(shù)為______．(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．23．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動4cm到達B點，然后再向右移動到達C點，數(shù)軸上一個單位長度表示1cm．(1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為CA，則CA=______cm．(3)若點A沿數(shù)軸以每秒3cm勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為3cm？(4)若點A以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動．設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．24．如圖，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為．（1）點與點相距4個單位長度，則點所對應(yīng)的數(shù)為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，當點運動到所在的點處時，求，兩點間距離．（3）如圖，若點對應(yīng)的數(shù)是10，現(xiàn)有點從點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒．在運動過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會有某兩段距離相等的時候？若有，請求出此時的值；若沒有，請說明理由．25．已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a(chǎn)=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在A、B之間運動時，請化簡式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（請寫出化簡過程）（3）在（1）的條件下，數(shù)軸上的A，B，M表示的數(shù)為a，b，y，是否存在點M，使得點M到點A，點B的距離之和為5？若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由．（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設(shè)經(jīng)過t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．五、有理數(shù)的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數(shù)運算問題、有理數(shù)運算的應(yīng)用）26．觀察式子，，，…(1)猜想并寫出：＝；(2)填空：＝；(3)嘗試解決：．27．求1+2+22+23+…+22016的值，令S＝1+2+22+23+…+22016，則2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．參照以上推理，計算5+52+53+…+52016的值．28．觀察下列解題過程：計算：的值解：設(shè)①，則②，由②－①，得.即原式通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請你用學到的方法計算：29．我們已知道：，事實上：（為正整數(shù)）成立，故有：當時，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．30．材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“”，，如：，．材料二：規(guī)定表示不超過a的最大整數(shù)，如，，．(1)______，=______；(2)求的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足，請直接寫出的結(jié)果．31．我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，計算機程序使用的是二進制數(shù)（只有數(shù)碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進制數(shù)為：；；兩個二進制數(shù)可以相加減，相加減時，將對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)相加減．與十進制中的“逢十進一”、“退一還十”相類似，應(yīng)用“逢二進一”、“退一還二”的運算法則，如：；，用豎式運算如右側(cè)所示．．(1)按此方式，將二進制換算成十進制數(shù)的結(jié)果是．(2)計算：（結(jié)果仍用二進制數(shù)表示）；（結(jié)果用十進制數(shù)表示）．32．概念學習：規(guī)定：求若干個相同有理數(shù)（不等于0）的商的運算叫做除方，如，等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”；記作，讀作“的圈4次方”．一般地，把n個相除記作，讀作“a的圈n次方”．初步探究：(1)直接寫出計算結(jié)果：______，______；(2)下列關(guān)于除方的說法錯誤的是______；A．對于任何正整數(shù)n，B．C．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？除方→→乘方冪的形式．(3)仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式．＿＿＿，＿＿＿；(4)計算：．33．現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學過的加、減、乘、除、乘方運算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運算結(jié)果為24．寫出兩個不同的等式，分別為，．34．利用圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為，（規(guī)定）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班的學生．(1)圖3中所來示學生所在班級序號是_____________．(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運用數(shù)字“”、“”，結(jié)合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運算（每個數(shù)字和符號使用次數(shù)不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．35．曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數(shù)學問題，計算(其中是正整數(shù)，且，)．探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：．探究二：計算．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分制圖可得等式：，兩邊同除2，得，探究三：計算．(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算．(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓廣應(yīng)用：計算___________．特訓(xùn)02有理數(shù)壓軸題（題型歸納）目錄：一、分類討論化簡絕對值；二、絕對值有關(guān)的最小值問題；三、新定義的化簡絕對值問題；四、動點與數(shù)軸問題（單動點、雙動點、多動點）；五、有理數(shù)的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數(shù)運算問題、有理數(shù)運算的應(yīng)用）解答題一、分類討論化簡絕對值1．已知、、是有理數(shù)，且，則的值是______．【答案】【分析】由a+b+c=0和abc為負數(shù)可知這三個數(shù)中只能有一個負數(shù)，另兩個為正數(shù)；然后把a+b+c=0變形，最后代入代數(shù)式計算即可．【解析】解：∵，∴，，中只能有一個負數(shù)，另兩個為正數(shù)，不妨設(shè)，，，∵∴，，，∴原式．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的混合運算．根據(jù)題意得到這三個數(shù)中只能有一個負數(shù)成為解答本題的關(guān)鍵．2．若，，則______．【答案】-2或0或4【分析】對a和b，以及的正負進行分類討論，然后去絕對值求出對應(yīng)的值．【解析】解：①當，時，，，原式；②當，時，，，原式；③當，，且時，，原式；④當，，且時，，原式；⑤當，，且時，，原式；⑥當，，且時，，原式．故答案是：-2或0或4．【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值．3．若、、都是非零有理數(shù)，其滿足，則的值為__________．【答案】【分析】分中有一個數(shù)為負數(shù)和中有兩個數(shù)為負數(shù)兩種情況，再化簡絕對值求值即可得．【解析】都是非零有理數(shù)，且，中有一個或兩個數(shù)為負數(shù)，因此，分以下兩種情況：（1）當中有一個數(shù)為負數(shù)時，則，①若為負數(shù)，為正數(shù)，則；②若為負數(shù)，為正數(shù)，則；③若為負數(shù)，為正數(shù)，則；（2）當中有兩個數(shù)為負數(shù)時，則，①若為負數(shù)，為正數(shù)，則；②若為負數(shù)，為正數(shù)，則；③若為負數(shù)，為正數(shù)，則；綜上，的值為0，故答案為：0．【點睛】本題考查了化簡絕對值、有理數(shù)的乘方與加減乘除法，依據(jù)題意，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．4．三個有理數(shù)a、b、c滿足abc>0，則的值為________．【答案】3或－1【分析】a、b、c為三個非零有理數(shù)，若，則a、b、c中有兩個為負數(shù)或者三個都是正數(shù)，分兩種情況進行討論即可．【解析】a、b、c為三個非零有理數(shù)，若，則a、b、c中有一個為負數(shù)或者三個都是負數(shù)，若a、b、c中有兩個為負數(shù)，則原式a、b、c三個都是正數(shù)，則原式故答案為3或－1．【點睛】考查有理數(shù)的乘法以及絕對值的化簡，注意分類討論，不要漏解．5．分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個正數(shù)，負數(shù)有個，式子中有個正1，個，相加得答案．【解析】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負性可能為：①當為正數(shù)，，為負數(shù)時：原式；②當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式；③當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式，原式或3．（3）∵有個正數(shù)，負數(shù)的個數(shù)為，．故答案為：．【點睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是一個不等于0的數(shù)除以它的絕對值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個正1和幾個的問題．二、絕對值有關(guān)的最小值問題6．信息1：點A、B在數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=；信息2：數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．結(jié)合上面的信息回答下列問題：已知數(shù)軸上點A、B兩點對應(yīng)的有理數(shù)a，b，且a，b滿足(1)填空：a=，b=，A，B之間的距離為；(2)數(shù)軸上的動點C對應(yīng)的有理數(shù)為c．①式子最小值是，此時c的取值范圍是；②當時，則c=；③式子有最小值為9，則有理數(shù)d=；④式子的最小值為．【答案】(1)3；；7(2)①7；；②或4；③-6或5；④2450【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性，求出a、b的值，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式，求出A，B之間的距離即可；（2）①根據(jù)動點C在A、B之間時最小，即可確定c的取值范圍；②分兩種情況：當或，分別求出c的值即可；③根據(jù)時，的最小值為7，得出或，然后分兩種情況求出d的值即可；④根據(jù)c取中間的數(shù)50時，有最小值，求出最小值即可．（1）解：，，，，，．故答案為：3；；7．（2）解：①∵點C在A、B之間時最小，即最小，∴時，的值最小，∵，，∴即的最小值為7．故答案為：7；．②∵當時，，∴或，當時，，解得：；當時，，解得：；故答案為：或4．③∵當時，的最小值為7，∴或，當，時，的值最小，此時，，即，解得：；當，時，的值最小，此時，，即，解得：；故答案為：-6或5．④∵c取中間的數(shù)50時，有最小值，∴的最小值為：故答案為：2450．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值的意義，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握絕對值的意義，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離，解答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和7的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是______．（用含x的式子表示）(3)若x表示一個實數(shù)，則當x在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出x的范圍及的最小值．(4)當x為何值時，有最小值？并求出該最小值【答案】(1)4，7(2)(3)當時，有最小值，且最小值為4．(4)當時，有最小值，且最小值為6．【分析】（1）根據(jù)A、B兩點之間的距離，進行計算可得答案；（2）根據(jù)A、B兩點之間的距離，進行計算可得答案；（3），該式子表示實數(shù)x到1和的距離之和，當時，有最小值，且最小值為1和之間的距離4；（4），該式子表示實數(shù)x到1、、的距離之和，當時，有最小值，且最小值為1和之間的距離6．【解析】（1）解：∵，∴數(shù)軸上表示3和7的兩點之間的距離是4．∵，∴數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是7．故答案為：4，7（2）解：數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是，故答案為：（3）解：∵，∴當實數(shù)x滿足時，實數(shù)x到1與的距離和有最小值，最小值為1與之間的距離，即，故當時，有最小值，且最小值為4．（4）解：∵，∴當時，有最小值，且最小值為與1之間的距離，即最小值為．故當時，有最小值，且最小值為6．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，充分理解絕對值的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行分析是解題的關(guān)鍵．8．數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離可記作；表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離可記作．也就是說，在數(shù)軸上，如果A點表示的數(shù)記為點表示的數(shù)記為b．則兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2的兩點之間的距離是_____________，數(shù)軸上表示和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數(shù)軸上表示x與的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得的整數(shù)x；②求的最小值．【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2．

②4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式直接代入計算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式直接代入可得之間的距離為；當時，即時，可求得x的值；（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取和2之間的數(shù)（包括，2）就有，可得這樣的整數(shù)是；②對x進行討論，可得的最小值．【解析】（1）表示和2的兩點之間的距離是，表示和3的兩點之間的距離是；故答案為：5，5；（2）由題意可得，，∴或，∴或；故答案為：3，．（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取和2之間的數(shù)（包括，2），就有，因此這樣的整數(shù)是；②對x進行討論：當時，，恒成立；當時，；當時，；綜上，的最小值為4．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)題意進行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．9．閱讀下面材料：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，則A、B兩點之間的距離可以表示為．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3與的兩點之間的距離是___________（直接寫出計算結(jié)果）；(2)若，則___________；(3)若，則___________；(4)利用數(shù)軸求出的最小值為___________，且此時整數(shù)x的值為___________；(5)利用數(shù)軸可求出：的最小值為___________．【答案】(1)5；(2)6或4；(3)(4)3；，，0，1；(5)2023【分析】（1）根據(jù)題意可得3與的兩點之間的距離是，計算即可；（2）表示x到5的距離為1，據(jù)此可解；（3）表示x到1的距離和到的距離相等，據(jù)此可解；（4）根據(jù)絕對值的意義可知表示x到的距離與x到1的距離之和，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置求解即可；（5）根據(jù)絕對值的意義可知表示x到的距離，x到的距離與x到1011的距離之和，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置求解即可．【解析】（1）解：由題意可得：，故答案為：5；（2）解：表示x到5的距離為1，根據(jù)數(shù)軸可得，到數(shù)軸上表示5的數(shù)距離為1的點表示的數(shù)為6或4故答案為：6或4；（3）解：表示x到1的距離和到的距離相等，根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得到1的距離和到的距離相等的點表示的數(shù)為，即，故答案為：；（4）解：根據(jù)絕對值的意義可知表示x到的距離與x到1的距離之和，∵表示的數(shù)與表示1的數(shù)之間的距離為，根據(jù)數(shù)軸可知，當時，，當時，，當時，，綜上，當時，有最小值為3，且此時整數(shù)x的值為，，0，1；故答案為：3；，，0，1；（5）解：如圖，根據(jù)絕對值的意義可知表示x到的距離，x到的距離與x到1011的距離之和，∵表示的數(shù)與表示1011的數(shù)之間的距離為，根據(jù)數(shù)軸可知，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，綜上，當時，有最小值為2023，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了絕對值及數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是理解兩點間的距離表達式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為.如圖1，從數(shù)軸上看，若點A，B表示的分別是1，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數(shù)分別是，則或．【知識遷移】(1)如圖1，點A，B表示的數(shù)分別是，b且，則___________；(2)如圖2，點A，B表示的數(shù)分別是，，若把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，那么___________，___________；【拓展應(yīng)用】(3)一天，美羊羊去問村長爺爺?shù)哪挲g，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路.(4)結(jié)合幾何意義，求最小值.【答案】(1)或(2)?10；30(3)村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲(4)的最小值為6【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出b的值即可；（2）由題意可得，再分別求出，即可；（3）設(shè)美羊羊現(xiàn)在x歲為數(shù)軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數(shù)軸上的一個點，40年前在數(shù)軸上表示的數(shù)為，村長爺爺116歲時，在數(shù)軸行的點表示的數(shù)為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，得出，然后分別求出結(jié)果即可；（4）由絕對值的幾何意義可得，當時，的值最?。窘馕觥浚?）解：∵點A，B表示的數(shù)分別是，b，∴，解得或，故答案為：或；（2）解：∵把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，∴把向右平移個單位得到，把向右平移個單位得到，向右平移個單位得到70，∴，∴，，故答案為：?10，30；（3）解：設(shè)美羊羊現(xiàn)在x歲為數(shù)軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數(shù)軸上的一個點，40年前在數(shù)軸上表示的數(shù)為，村長爺爺116歲時，在數(shù)軸行的點表示的數(shù)為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，根據(jù)題意得：，，，∴，∴，，答：村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲．（4）解：∵表示數(shù)軸上表示x的點與表示數(shù)1、2、3、4、5的距離和，∴當時，的值最小，∴，∴的最小值為6．【點睛】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上點的特征，兩點間的距離求法，絕對值的幾何意義，熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．11．【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離；就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結(jié)合數(shù)軸研究：的最小值是；(2)請你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．【答案】(1)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到4和7兩個點的距離之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)【分析】（1）由的幾何意義以及有最小值1即可直接求得結(jié)果；（2）當a取中間值即a＝2時，求得最小值；（3）由題意可得出，取中間數(shù)即a=3時，絕對值最?。唬?）由題意可得出，取中間值a＝1011時，求得最小值；（5）由已知得：，解出絕對值不等式即為a的取值范圍．【解析】（1）由題可知，的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點到4和7兩個點的距離之和當a在4和7之間時（包括4，7上），a到4和7的距離之和等于3，此時取得最小值是3故答案為：a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到3和6兩個點的距離之和；3（2）當a取中間數(shù)2時，絕對值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案為：2；2（3）當a取最中間數(shù)時，絕對值最小的最小值是；（4）當a取中間數(shù)1011時，絕對值最小，的最小值為：故答案為：1021110（5）a使它到－1，2的距離之和小于4①當時，則有解得：；②當時，則有③當時，則有解得：綜上，a的取值范圍為：故答案為：【點睛】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，解這類問題的基本步驟是：求零點、分區(qū)間、定性質(zhì)、去符號，即令各絕對值代數(shù)式為0，得若干個絕對值為零的點，這些點把數(shù)軸分成幾個區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡求值即可．12．（1）閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．數(shù)軸上有三點A、B、P，分別對應(yīng)的數(shù)為、2、x，如圖①，當時，；如圖②，當時，_____；如圖③，當時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應(yīng)用：求的最小值．（3）應(yīng)用拓展：若，當時，直接寫出S的取值范圍_______．【答案】（1）I、，；II、5；（2）9；（3）．【分析】（1）I根據(jù)絕對值的意義即可得到答案；II根據(jù)I比較三種情況即可得到答案；（2）根據(jù)（1）可得到當x在兩點之間時最短即可得到答案；（3）根據(jù)（1）可得到當時最小值，即可得到答案．【解析】（1）I．解：由題意可得，當時，，當時，故答案為，；II．由題意可得，在時有最小值為5，故答案為5；（2）解：由（1）可得，當x在，4兩點之間時最短，即當時，的最小值，最小值為，故的最小值為9；（3）由（1）可得，表示到1，6，三點的距離之和，∴可得到當時最小值，最小值為：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到最小距離的點在最小與最大亮點之間．三、新定義的化簡絕對值問題13．對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，例如，則，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．(1)和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為______；(2)若和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求的值；(3)若和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，和的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義計算即可；（2）利用新定義計算求未知數(shù)x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距離和為1的時候兩點表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【解析】（1）解：，故答案為：8；（2）解：∵x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，∴，∴在數(shù)軸上可以看作數(shù)到1的距離與數(shù)到1的距離和為1，∴只有當時，有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案為：840．【點睛】本題考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的意義，數(shù)軸上點與點的距離．14．對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“相對關(guān)系值”為，例如，，則2和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為3．(1)和6關(guān)于2的“相對關(guān)系值”為_____；(2)若和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為7，求的值；(3)若和關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于2的“相對關(guān)系值”為1，和關(guān)于3的“相對關(guān)系值”為1，，和關(guān)于101的“相對關(guān)系值”為1．①的最大值為_____；②直接寫出所有的值．（用含的式子表示）【答案】(1)；(2)或；(3)①3；②或或【分析】（1）根據(jù)“相對關(guān)系值”的定義，求解即可；（2）根據(jù)“相對關(guān)系值”的定義，列方程，求解即可；（3）①根據(jù)題意列出方程，再分為四種情況，分別討論，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為常規(guī)方程進行解答便可；②分五種情況計算即可．【解析】（1）解：根據(jù)“相對關(guān)系值”的定義，可得故答案為：；（2）由題意可得：，即，解得或；（3）①根據(jù)題意得，，分四種情況：當時，，則；當時，，則，得到；當時，，則，得到；當時，，則，由此可知的最大值為3；②分五種情況，當時，，解得，由可得，，……可得，；當時，，，此種情形不存在；當時，，，……，∴，，……，，∴，即，，即，同理可得：，……，，∴，，，……，，；當時，由可得，即，此種情形不存在；當時，可得，，……，，∴，，，，；綜上，的值為或或．【點睛】此題考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解“相對關(guān)系值”的定義，熟練掌握絕對值的性質(zhì)．15．閱讀下列兩則材料：材料1：君君同學在研究數(shù)學問題時遇到一個定義：對于按固定順序排列的k個數(shù)：x1，x2，x3，……，xk，稱為數(shù)列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k為整數(shù)且k≥3．定義：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如數(shù)列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點A，B之間的距離是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點A，B之間的距離，我們稱之為絕對值的幾何意義．君君同學在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5時，利用絕對值的幾何意義分析得到，該方程的左式表示在數(shù)軸上x對應(yīng)點到1和-2對應(yīng)點的距離之和，而當-2≤x≤1時，取到它的最小值3，即為1和-2對應(yīng)點之間的距離．由方程右式的值為5可知，滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或一2的左邊，若x的對應(yīng)點在1的右邊，利用數(shù)軸分析可以得到x=2；同理，若x的對應(yīng)點在-2的左邊，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)已知數(shù)列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個整數(shù)，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，請直接寫出一種可能的數(shù)列A4．(2)已知數(shù)列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，則a的值為．(3)已知數(shù)列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5個數(shù)均為非負整數(shù)，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)(3)0【分析】（1）根據(jù)材料1列出算式，再根據(jù)絕對值的意義可求解，答案不唯一．（2）根據(jù)材料1列出算式，再分類討論，再根據(jù)絕對值的意義可求解．（3）因為x1，x2，x3，x4，x5，5個數(shù)均為非負整數(shù)，所以>||，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．【解析】（1）解：V（A4）=||+||+||=4，∴||+||+||=4，當，，V（A4）=||+||+||=4（2）解：||+||+||=3，即||+||+||=3①2≤a<3時，||+||+||=3，所以，解得以a=1，但不符合題意，舍去．②a≤2時，||+||+||=3所以，解得以，符合題意．③a>3時，||+||+||=3所以，，解得以，符合題意．綜上所述，或．（3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5個數(shù)均為非負整數(shù)∴>||，>||，>||，>||，>0，∴0≤||+||+||+||≤∴0≤V（A5）≤a∴V（A5）的最小值為0．【點睛】本題是一道綜合題，正確理解題意、熟練掌握去絕對值的方法是解決本題的關(guān)鍵．16．對于數(shù)軸上的兩點給由如下定義：兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為兩點的“絕對距離”，記為．例如，兩點表示的數(shù)如圖（1）所示，則．(1)兩點表示的數(shù)如圖（2）所示．①求兩點的“絕對距離”；②若點為數(shù)軸上一點（不與點O重合），且，求點表示的數(shù)；(2)點為數(shù)軸上的兩點．（點在點左側(cè)）且，，請直接寫出點表示的為___________．【答案】(1)①2；②2或；(2)或【分析】（1）①根據(jù)絕對距離的定義即可解題；②由題意可求出，再根據(jù)絕對距離的定義即可解題；（2）由題意可知，即得出或．再分類討論：①當M，N都在原點的左側(cè)時，②當M，N都在原點的右側(cè)時和③當M點在原點的左側(cè)，N點在原點的右側(cè)時，結(jié)合，即可求解；【解析】（1）①；②∵，，∴，∴，∴或，解得：或2，∵C點不與O點重合，∴點C表示的數(shù)為2或；（2）由題可知，∴或．∵點M在點N左側(cè)，故可分類討論：①當M，N都在原點的左側(cè)時，∴．∵，∴，∴此情況不存在；②當M，N都在原點的右側(cè)時，∵，∴，∴此情況不存在；③當M點在原點的左側(cè)，N點在原點的右側(cè)時，∵，∴．∵或，∴或，∴點M表示的數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查絕對值的實際應(yīng)用，數(shù)軸上兩點之間的距離．讀懂題意，理解絕對距離的概念是解題關(guān)鍵．四、動點與數(shù)軸問題（單動點、雙動點、多動點）17．已知數(shù)軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數(shù)，4，6．(1)畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C，到達點C后停止運動，設(shè)運動時間為t秒．①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________【答案】(1)見解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根據(jù)題意畫出數(shù)軸即可；（2）①先求出當時，P點表示的數(shù)為6-4=2，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式求解即可；②分當P從C向A運動和當P從A向C運動兩種情況討論求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①當時，P點表示的數(shù)為6-4=2，∴，，，故答案為：4、2、4；②當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；綜上所述，t的值為或或或．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解．18．如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數(shù)軸上原點重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是_____（結(jié)果保留）；（2）若大圓不動，小圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時間記為正數(shù)，向左滾動時間記為負數(shù)，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；②當小圓結(jié)束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結(jié)果保留）【答案】（1）；（2）①6，②【分析】（1）該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)，就是大圓的周長；（2）①分別計算出第幾次滾動后，小圓離原點的距離，比較作答；②根據(jù)計算總路程即可．【解析】解：（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動一周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是．（2）①第1次滾動后，，第2次滾動后，，第3次滾動后，，第4次滾動后，，第5次滾動后，，第6次滾動后，，則第6次滾動后，小圓離原點最遠．②，∴當小圓結(jié)束運動時，小圓運動的路共有．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，明確向右移動坐標加的關(guān)系，向左移動坐標減的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．19．A，B兩個動點在數(shù)軸上做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間以及對應(yīng)位置所對應(yīng)的數(shù)記錄如表．時間（秒）047A點位置8mB點位置n1631(1)_______；______；(2)A，B兩點在第________秒時相遇，此時A，B點對應(yīng)的數(shù)是__________；(3)在運動到多少秒時，A，B兩點相距10個單位長度？【答案】(1)-13，(2)，(3)或【分析】（1）由表格信息分別求解的運動速度與運動方向，從而可得答案；（2）先表示運動后對應(yīng)的數(shù)，在利用相遇時，兩數(shù)相同列方程，再解方程可得答案；（3）先利用絕對值的含義求解再解方程可得答案．【解析】（1）解：A由0秒在8對應(yīng)的點，4秒時在對應(yīng)的點，A以每秒3個單位長度的速度向左運動，∴可得A點7秒時對應(yīng)的數(shù)為：B由4秒在16對應(yīng)的點，7秒時在對應(yīng)的點，B以每秒5個單位長度的速度向右運動，所以可得B點0秒時對應(yīng)的數(shù)為：，故答案為：-13；-4；（2）解：由（1）可得A點運動后對應(yīng)的數(shù)為，點運動后對應(yīng)的數(shù)為當相遇時，則，解得：，此時：則對應(yīng)的數(shù)為：，故答案為：，；（3）解：由A點運動后對應(yīng)的數(shù)為，點運動后對應(yīng)的數(shù)為，，或解得：或．【點睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，絕對值方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，掌握“利用絕對值方程解決數(shù)軸上的動點問題”是解題的關(guān)鍵．20．點A，B為數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數(shù)軸上的一個動點，其對應(yīng)的數(shù)記為x，試猜想當x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小．請寫出你的猜想，并說明理由；（3）若P，Q為數(shù)軸上的兩個動點（Q點在P點右側(cè)），P，Q兩點之間的距離為m，當點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．【答案】（1）5；（2）當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據(jù)立方根的定義求出a，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）當點C在數(shù)軸上A、B兩點之間時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，依此即可求解；（3）分兩種情況：點P在點A的左邊，點P在點B的右邊，進行討論即可求解．【解析】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）點C到A的距離為|x+2|，點C到B的距離為|x﹣3|，∴點C到A點的距離與點C到B點的距離之和為|x+2|+|x﹣3|，當距離之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此時的最小值為3﹣（﹣2）＝5，∴當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5；（3）設(shè)點P所表示的數(shù)為x，∵PQ＝m，Q點在P點右側(cè)，∴點Q所表示的數(shù)為x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和為：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|當x在﹣2與3﹣m之間時，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值為|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4時，解得，m＝1，故答案為：1或9．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．21．如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和9的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲．移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”，而后根據(jù)輸贏結(jié)果進行移動．①若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；②若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度；③若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度．前三局如下表：（提示：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀）第一局第二局第三局…甲的手勢石頭剪刀石頭…乙的手勢石頭布布…(1)從如圖所示的位置開始，求第一局后甲、乙兩人分別在數(shù)軸上的位置．(2)從如圖所示的位置開始，從前三局看，第幾局后甲離原點最近，離原點距離多少？(3)從如圖所示的位置開始，若進行了k局后，甲與乙的位置相距3個單位長度，請直接寫出k的值．【答案】(1)甲在數(shù)軸上的位置為，乙在數(shù)軸上的位置為8(2)從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0(3)6或9【分析】（1）根據(jù)第一局平局，根據(jù)規(guī)則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；得出甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8；（2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲勝，甲的位置在-5+5=0；第三局乙勝，甲的位置在0-3=-3．從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0；（3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之間距離縮短1+1=2；第二局甲勝，甲乙同向東而行，甲乙之間距離縮短5-3=2；第三局乙勝，甲乙同向西而行，甲乙之間距離縮短-3+5=2；無論誰勝或平局，兩人之間是距離總是縮短2．∵甲乙之間原來的距離為9+6=15，∴當甲乙之間的距離縮短到3時，或．【解析】（1）解：∵第一局為平局，∴甲向東移動1個單位長度，甲在數(shù)軸上的位置為，同時乙向西移動1個單位長度，乙在數(shù)軸上的位置為8．（2）解：∵第二局甲贏，∴甲向東移動5個單位長度，甲在數(shù)軸上的位置為0，∵第三局乙贏，∴甲向西移動3個單位長度，甲在數(shù)軸上的位置為，∴從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0．（3）解：k的值為6或9．由題意可得剛開始兩人之間的距離為15個單位長度，∵若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度，∴若平局，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度，∴若甲贏，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度，∴若乙贏，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∴甲、乙每移動一次，甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵最終甲與乙的位置相距3個單位長度，∴共需縮小12個單位長度或18個單位長度．∵，，∴k的值為6或9．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的動點，數(shù)軸上兩點之間的距離等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上動點表示的數(shù)等于原來表示的數(shù)加上或減去動點移動的距離，左移減，右移加，數(shù)軸上兩點之間的距離一般取兩點表示的數(shù)的差，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)．22．數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數(shù)為2，點B表示的數(shù)為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數(shù)為______．(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設(shè)運動時間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數(shù)為______；點Q表示的數(shù)為______；②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數(shù)．【答案】(1)；(2)①；；②當t為3時，P、Q兩點相遇；相遇點所表示的數(shù)是7(3)所需要的時間為9秒；相遇點所表示的數(shù)是1【分析】（1）由A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，即得AB＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為

13?2t；②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1．【解析】（1）∵A表示的數(shù)為?2，點B表示的數(shù)為13，∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點表示的數(shù)為；故答案為：15；．（2）①t秒后，點P表示的數(shù)為?2＋3t，點Q表示的數(shù)為13?2t；故答案為：?2＋3t；13?2t．②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，解得t＝3，相遇點所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；答：當t為3時，P，Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是7．（3）由已知得：P運動5秒到B，Q運動秒到A，返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），根據(jù)題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），解得t＝9，第二次相遇點所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1，答：所需要的時間為9秒，相遇點所表示的數(shù)是1．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示運動后的點所表示的數(shù)．23．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動4cm到達B點，然后再向右移動到達C點，數(shù)軸上一個單位長度表示1cm．(1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為CA，則CA=______cm．(3)若點A沿數(shù)軸以每秒3cm勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為3cm？(4)若點A以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動．設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)經(jīng)過或秒后點A到點C的距離為3cm(4)的值不會隨著t的變化而變化，【分析】（1）根據(jù)題意，在數(shù)軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數(shù)軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側(cè)或點A在點C的右側(cè)；（4）表示出BA、CB，再相減即可解題．【解析】（1）解：由題意得：A點對應(yīng)的數(shù)為，B點對應(yīng)的數(shù)為1，點C對應(yīng)的數(shù)為，點A，B，C在數(shù)軸上表示如圖：（2）解：設(shè)原點為O，如圖，∴，，∴．故答案為：．（3）解：①當點A在點C的左側(cè)時，設(shè)經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：，解得：．②當點A在點C的右側(cè)時，設(shè)經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：，解得：．綜上，經(jīng)過或秒后點A到點C的距離為3cm．（4）解：的值不會隨著t的變化而變化，．由題意：，，∵移動t秒后，，，∴．∴的值不會隨著t的變化而變化，．【點睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．24．如圖，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為．（1）點與點相距4個單位長度，則點所對應(yīng)的數(shù)為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，當點運動到所在的點處時，求，兩點間距離．（3）如圖，若點對應(yīng)的數(shù)是10，現(xiàn)有點從點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒．在運動過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會有某兩段距離相等的時候？若有，請求出此時的值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3【分析】（1）分類討論，分別求出點B在點A左側(cè)以及點B在點A右側(cè)時點B所對應(yīng)的數(shù)即可．（2）分類討論，分別求出點B對應(yīng)的數(shù)為2和－6時，A、B兩點之間的距離即可．（3）由題可知：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，分別表示出AP、BQ、PQ、PB，分三類討論，分別求出①當時，②當時，③當時對應(yīng)的t的值．【解析】（1）點在點左側(cè)時，為：，點在點右側(cè)時，為：，綜上所述，點對應(yīng)的數(shù)為或2．（2）①當對應(yīng)的數(shù)為時，：個單位，（秒），：，∴；②當對應(yīng)的數(shù)為2時，：個單位，（秒），：，．綜上所述，，兩點之間的距離為4或12．（3）在運動過程中，會有兩段距離相等的時候，由題可知：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∴，，，，分三種情況：①當時，為中點或與重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若與重合，如圖，則，即，解得．②當時，為中點或，重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若，重合，則（不合題意）③當時，為中點或，重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若，重合，則，即，解得．綜上所述，當或4或或6或3時，線段，，中存在兩條線段相等．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點間距離的表示方法，熟記數(shù)軸上兩點間距離的表示方法以及分類討論思想的運用是解題關(guān)鍵．25．已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a(chǎn)=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在A、B之間運動時，請化簡式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（請寫出化簡過程）（3）在（1）的條件下，數(shù)軸上的A，B，M表示的數(shù)為a，b，y，是否存在點M，使得點M到點A，點B的距離之和為5？若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由．（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設(shè)經(jīng)過t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）-1、1、6；（2）-10；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不變，BC-AB=3．【分析】（1）據(jù)最小正整數(shù)的意義和非負數(shù)的性質(zhì)作答；（2）先去絕對值號，再去括號，最后合并即可；（3）據(jù)絕對值的性質(zhì)用y表示出點M到點A，點B的距離之和，再令其等于5，列方程求解；（4）結(jié)合題意，用t和n表示出BC-AB再化簡即可判斷．【解析】解：（1）由b是最小正整數(shù)得b=1；由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．故a=-1，b=1，c=6．（2）∵點P在A、B之間運動∴-1＜x＜1∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10．（3）由題意知AB=2，所以M不可能在AB之間，下面討論M在AB之外的情況第一種情況，當M在A點左側(cè)時由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1∴y=-2.5；第二種情況，當M在B點右側(cè)時由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1∴y=2.5；故存在這樣的點M，對應(yīng)的y=2.5或y=-2.5．(4)如下圖用A1、B1、C1分別表示A、B、C的初始位置由題意得，當t秒時，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5∴BC-AB=(3nt+5)-(3nt+2)=3故BC-AB的值不變，且BC-AB的值為3．【點睛】此題綜合考查了絕對值的意義和數(shù)軸上兩點之間的距離．弄清數(shù)軸上點及點的運動與所表示的數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．五、有理數(shù)的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數(shù)運算問題、有理數(shù)運算的應(yīng)用）26．觀察式子，，，…(1)猜想并寫出：＝；(2)填空：＝；(3)嘗試解決：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所給的等式特點，直接寫出即可；（2）通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為，再求和即可；（3）通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為，再求和即可．【解析】（1）解：＝，故答案為：；（2）解：，（3）解：．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式運算的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．27．求1+2+22+23+…+22016的值，令S＝1+2+22+23+…+22016，則2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．參照以上推理，計算5+52+53+…+52016的值．【答案】【分析】仿照例題可令，從而得出，二者做差后即可得出結(jié)論．【解析】解：令，則，∴∴．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，理解題意并能找出是解題的關(guān)鍵．28．觀察下列解題過程：計算：的值解：設(shè)①，則②，由②－①，得.即原式通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請你用學到的方法計算：【答案】【分析】利用所給的解答方式進行求解即可．【解析】解：設(shè)①，則②，由②①，得．∴，即原式．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律和有理數(shù)的乘方，解答的關(guān)鍵是理解清楚題目所給的解答方式并靈活運用．29．我們已知道：，事實上：（為正整數(shù)）成立，故有：當時，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）添加一項1后，根據(jù)題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果．（2）提取后，根據(jù)題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果．（3）多次使用題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果．【解析】（1）根據(jù)已知有：當時，成立所以所以所以故答案為：（2）因為故答案為：（3）根據(jù)已知有：當時，成立所以；；；所以又因為所以上式故答案為：【點睛】本題考查了觀察、類比、數(shù)字累規(guī)律探索的知識；解題關(guān)鍵是熟練掌