滬教版六年級數學下冊期中期末滿分沖刺特訓02有理數壓軸題(題型歸納)(原卷版+解析)

特訓02有理數壓軸題（題型歸納）目錄：一、分類討論化簡絕對值；二、絕對值有關的最小值問題；三、新定義的化簡絕對值問題；四、動點與數軸問題（單動點、雙動點、多動點）；五、有理數的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數運算問題、有理數運算的應用）解答題一、分類討論化簡絕對值1．已知、、是有理數，且，則的值是______．2．若，，則______．3．若、、都是非零有理數，其滿足，則的值為__________．4．三個有理數a、b、c滿足abc>0，則的值為________．5．分類討論是重要的數學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數都是不等于0的有理數，若這2023個數中有n個正數，，則m的值為______（請用含n的式子表示）二、絕對值有關的最小值問題6．信息1：點A、B在數軸上表示有理數a，b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=；信息2：數軸是一個非常重要的數學工具，揭示了數與點之間的內在聯(lián)系，它是“數形結合”的基礎．結合上面的信息回答下列問題：已知數軸上點A、B兩點對應的有理數a，b，且a，b滿足(1)填空：a=，b=，A，B之間的距離為；(2)數軸上的動點C對應的有理數為c．①式子最小值是，此時c的取值范圍是；②當時，則c=；③式子有最小值為9，則有理數d=；④式子的最小值為．7．如圖，點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之間的距離，解答下列問題：(1)數軸上表示3和7的兩點之間的距離是______，數軸上表示2和的兩點之間的距離是______．(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是______．（用含x的式子表示）(3)若x表示一個實數，則當x在什么范圍內時，有最小值？請寫出x的范圍及的最小值．(4)當x為何值時，有最小值？并求出該最小值8．數軸上表示數的點與原點的距離可記作；表示數的點與表示數的點的距離可記作．也就是說，在數軸上，如果A點表示的數記為點表示的數記為b．則兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)數軸上表示和2的兩點之間的距離是_____________，數軸上表示和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數軸上表示x與的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得的整數x；②求的最小值．9．閱讀下面材料：如圖，點A、B在數軸上分別表示有理數a，b，則A、B兩點之間的距離可以表示為．根據閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數軸上表示3與的兩點之間的距離是___________（直接寫出計算結果）；(2)若，則___________；(3)若，則___________；(4)利用數軸求出的最小值為___________，且此時整數x的值為___________；(5)利用數軸可求出：的最小值為___________．10．【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數軸上分別表示實數a，b，A，B兩點之間的距離表示為.如圖1，從數軸上看，若點A，B表示的分別是1，4則或；若點A，B表示的數分別是，4則或；若點A，B表示的數分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數分別是，則或．【知識遷移】(1)如圖1，點A，B表示的數分別是，b且，則___________；(2)如圖2，點A，B表示的數分別是，，若把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，那么___________，___________；【拓展應用】(3)一天，美羊羊去問村長爺爺的年齡，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路.(4)結合幾何意義，求最小值.11．【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到原點的距離，那么可以看作這個數在數軸上對應的點到1的距離；就可以看作這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結合數軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結合數軸研究：的最小值是；(2)請你結合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．12．（1）閱讀材料：從代數角度上看，數軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數的差的絕對值；從幾何角度上看，數軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數軸上分別對應的數為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．數軸上有三點A、B、P，分別對應的數為、2、x，如圖①，當時，；如圖②，當時，_____；如圖③，當時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應用：求的最小值．（3）應用拓展：若，當時，直接寫出S的取值范圍_______．三、新定義的化簡絕對值問題13．對于有理數，，，，若，則稱和關于的“美好關聯(lián)數”為，例如，則，則2和3關于1的“美好關聯(lián)數”為3．(1)和5關于2的“美好關聯(lián)數”為______；(2)若和2關于3的“美好關聯(lián)數”為4，求的值；(3)若和關于1的“美好關聯(lián)數”為1，和關于2的“美好關聯(lián)數”為1，和關于3的“美好關聯(lián)數”為1，…，和的“美好關聯(lián)數”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．14．對于有理數，，，，若，則稱和關于的“相對關系值”為，例如，，則2和3關于1的“相對關系值”為3．(1)和6關于2的“相對關系值”為_____；(2)若和3關于1的“相對關系值”為7，求的值；(3)若和關于1的“相對關系值”為1，和關于2的“相對關系值”為1，和關于3的“相對關系值”為1，，和關于101的“相對關系值”為1．①的最大值為_____；②直接寫出所有的值．（用含的式子表示）15．閱讀下列兩則材料：材料1：君君同學在研究數學問題時遇到一個定義：對于按固定順序排列的k個數：x1，x2，x3，……，xk，稱為數列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k為整數且k≥3．定義：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如數列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理數a，b在數軸上對應的兩點A，B之間的距離是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理數a，b在數軸上對應點A，B之間的距離，我們稱之為絕對值的幾何意義．君君同學在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5時，利用絕對值的幾何意義分析得到，該方程的左式表示在數軸上x對應點到1和-2對應點的距離之和，而當-2≤x≤1時，取到它的最小值3，即為1和-2對應點之間的距離．由方程右式的值為5可知，滿足方程的x對應點在1的右邊或一2的左邊，若x的對應點在1的右邊，利用數軸分析可以得到x=2；同理，若x的對應點在-2的左邊，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根據以上材料，回答下列問題：(1)已知數列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個整數，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，請直接寫出一種可能的數列A4．(2)已知數列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，則a的值為．(3)已知數列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5個數均為非負整數，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．16．對于數軸上的兩點給由如下定義：兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為兩點的“絕對距離”，記為．例如，兩點表示的數如圖（1）所示，則．(1)兩點表示的數如圖（2）所示．①求兩點的“絕對距離”；②若點為數軸上一點（不與點O重合），且，求點表示的數；(2)點為數軸上的兩點．（點在點左側）且，，請直接寫出點表示的為___________．四、動點與數軸問題（單動點、雙動點、多動點）17．已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數，4，6．(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向數軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數軸返回到點C，到達點C后停止運動，設運動時間為t秒．①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________18．如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數軸上原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是_____（結果保留）；（2）若大圓不動，小圓沿數軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時間記為正數，向左滾動時間記為負數，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；②當小圓結束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結果保留）19．A，B兩個動點在數軸上做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間以及對應位置所對應的數記錄如表．時間（秒）047A點位置8mB點位置n1631(1)_______；______；(2)A，B兩點在第________秒時相遇，此時A，B點對應的數是__________；(3)在運動到多少秒時，A，B兩點相距10個單位長度？20．點A，B為數軸上的兩點，點A對應的數為a，點B對應的數為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數軸上的一個動點，其對應的數記為x，試猜想當x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最?。垖懗瞿愕牟孪?，并說明理由；（3）若P，Q為數軸上的兩個動點（Q點在P點右側），P，Q兩點之間的距離為m，當點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．21．如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數軸和9的位置上，沿數軸做移動游戲．移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”，而后根據輸贏結果進行移動．①若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；②若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度；③若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度．前三局如下表：（提示：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀）第一局第二局第三局…甲的手勢石頭剪刀石頭…乙的手勢石頭布布…(1)從如圖所示的位置開始，求第一局后甲、乙兩人分別在數軸上的位置．(2)從如圖所示的位置開始，從前三局看，第幾局后甲離原點最近，離原點距離多少？(3)從如圖所示的位置開始，若進行了k局后，甲與乙的位置相距3個單位長度，請直接寫出k的值．22．數軸體現(xiàn)了數形結合的數學思想，若數軸上點A，B表示的數分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數為2，點B表示的數為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數軸上點A表示的數為?2，點B表示的數為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數為______．(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設運動時間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數為______；點Q表示的數為______；②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復運動，那么再經過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數．23．如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動4cm到達B點，然后再向右移動到達C點，數軸上一個單位長度表示1cm．(1)請你在數軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為CA，則CA=______cm．(3)若點A沿數軸以每秒3cm勻速向右運動，經過多少秒后點A到點C的距離為3cm？(4)若點A以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動．設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．24．如圖，在數軸上所對應的數為．（1）點與點相距4個單位長度，則點所對應的數為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點以每秒2個單位長度沿數軸向左運動，點以每秒2個單位長度沿數軸向右運動，當點運動到所在的點處時，求，兩點間距離．（3）如圖，若點對應的數是10，現(xiàn)有點從點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間為秒．在運動過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會有某兩段距離相等的時候？若有，請求出此時的值；若沒有，請說明理由．25．已知：b是最小的正整數，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在A、B之間運動時，請化簡式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（請寫出化簡過程）（3）在（1）的條件下，數軸上的A，B，M表示的數為a，b，y，是否存在點M，使得點M到點A，點B的距離之和為5？若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由．（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設經過t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．五、有理數的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數運算問題、有理數運算的應用）26．觀察式子，，，…(1)猜想并寫出：＝；(2)填空：＝；(3)嘗試解決：．27．求1+2+22+23+…+22016的值，令S＝1+2+22+23+…+22016，則2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．參照以上推理，計算5+52+53+…+52016的值．28．觀察下列解題過程：計算：的值解：設①，則②，由②－①，得.即原式通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請你用學到的方法計算：29．我們已知道：，事實上：（為正整數）成立，故有：當時，成立．由以上結論填寫下列代數式結果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．30．材料一：對任意有理數a，b定義運算“”，，如：，．材料二：規(guī)定表示不超過a的最大整數，如，，．(1)______，=______；(2)求的值：(3)若有理數m，n滿足，請直接寫出的結果．31．我們常用的數是十進制數，計算機程序使用的是二進制數（只有數碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進制數為：；；兩個二進制數可以相加減，相加減時，將對應數位上的數相加減．與十進制中的“逢十進一”、“退一還十”相類似，應用“逢二進一”、“退一還二”的運算法則，如：；，用豎式運算如右側所示．．(1)按此方式，將二進制換算成十進制數的結果是．(2)計算：（結果仍用二進制數表示）；（結果用十進制數表示）．32．概念學習：規(guī)定：求若干個相同有理數（不等于0）的商的運算叫做除方，如，等．類比有理數的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”；記作，讀作“的圈4次方”．一般地，把n個相除記作，讀作“a的圈n次方”．初步探究：(1)直接寫出計算結果：______，______；(2)下列關于除方的說法錯誤的是______；A．對于任何正整數n，B．C．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數深入思考：我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？除方→→乘方冪的形式．(3)仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．＿＿＿，＿＿＿；(4)計算：．33．現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數字，利用所學過的加、減、乘、除、乘方運算按要求解答下列問題（每張卡片上的數字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數字運算結果為24．寫出兩個不同的等式，分別為，．34．利用圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數字從左到右一次記為，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，（規(guī)定）如圖2第一行數字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班的學生．(1)圖3中所來示學生所在班級序號是_____________．(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運用數字“”、“”，結合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運算（每個數字和符號使用次數不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．35．曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉變就是化歸的實質．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式．從字面上看，化歸就是轉化和歸結的意思．例如：我們在七年級數學上冊第二章中引入“相反數”這個概念后，正負數的減法就化歸為已經解決的正負數的加法了；而引入“倒數”這個概念后，正負數的除法就化歸為已經解決的正負數的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數學問題，計算(其中是正整數，且，)．探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據第n次分割圖可得等式：．探究二：計算．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據第n次分制圖可得等式：，兩邊同除2，得，探究三：計算．(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算．(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓廣應用：計算___________．特訓02有理數壓軸題（題型歸納）目錄：一、分類討論化簡絕對值；二、絕對值有關的最小值問題；三、新定義的化簡絕對值問題；四、動點與數軸問題（單動點、雙動點、多動點）；五、有理數的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數運算問題、有理數運算的應用）解答題一、分類討論化簡絕對值1．已知、、是有理數，且，則的值是______．【答案】【分析】由a+b+c=0和abc為負數可知這三個數中只能有一個負數，另兩個為正數；然后把a+b+c=0變形，最后代入代數式計算即可．【解析】解：∵，∴，，中只能有一個負數，另兩個為正數，不妨設，，，∵∴，，，∴原式．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是有理數的混合運算．根據題意得到這三個數中只能有一個負數成為解答本題的關鍵．2．若，，則______．【答案】-2或0或4【分析】對a和b，以及的正負進行分類討論，然后去絕對值求出對應的值．【解析】解：①當，時，，，原式；②當，時，，，原式；③當，，且時，，原式；④當，，且時，，原式；⑤當，，且時，，原式；⑥當，，且時，，原式．故答案是：-2或0或4．【點睛】本題考查絕對值的性質，解題的關鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值．3．若、、都是非零有理數，其滿足，則的值為__________．【答案】【分析】分中有一個數為負數和中有兩個數為負數兩種情況，再化簡絕對值求值即可得．【解析】都是非零有理數，且，中有一個或兩個數為負數，因此，分以下兩種情況：（1）當中有一個數為負數時，則，①若為負數，為正數，則；②若為負數，為正數，則；③若為負數，為正數，則；（2）當中有兩個數為負數時，則，①若為負數，為正數，則；②若為負數，為正數，則；③若為負數，為正數，則；綜上，的值為0，故答案為：0．【點睛】本題考查了化簡絕對值、有理數的乘方與加減乘除法，依據題意，正確分情況討論是解題關鍵．4．三個有理數a、b、c滿足abc>0，則的值為________．【答案】3或－1【分析】a、b、c為三個非零有理數，若，則a、b、c中有兩個為負數或者三個都是正數，分兩種情況進行討論即可．【解析】a、b、c為三個非零有理數，若，則a、b、c中有一個為負數或者三個都是負數，若a、b、c中有兩個為負數，則原式a、b、c三個都是正數，則原式故答案為3或－1．【點睛】考查有理數的乘法以及絕對值的化簡，注意分類討論，不要漏解．5．分類討論是重要的數學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數都是不等于0的有理數，若這2023個數中有n個正數，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負，根據（1）的結論解即可；（3）個正數，負數有個，式子中有個正1，個，相加得答案．【解析】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負性可能為：①當為正數，，為負數時：原式；②當為正數，，為負數時，原式；③當為正數，，為負數時，原式，原式或3．（3）∵有個正數，負數的個數為，．故答案為：．【點睛】本題考查的是數字的規(guī)律，有理數的混合運算，解題的關鍵是一個不等于0的數除以它的絕對值等于1或，將題目轉化為由幾個正1和幾個的問題．二、絕對值有關的最小值問題6．信息1：點A、B在數軸上表示有理數a，b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=；信息2：數軸是一個非常重要的數學工具，揭示了數與點之間的內在聯(lián)系，它是“數形結合”的基礎．結合上面的信息回答下列問題：已知數軸上點A、B兩點對應的有理數a，b，且a，b滿足(1)填空：a=，b=，A，B之間的距離為；(2)數軸上的動點C對應的有理數為c．①式子最小值是，此時c的取值范圍是；②當時，則c=；③式子有最小值為9，則有理數d=；④式子的最小值為．【答案】(1)3；；7(2)①7；；②或4；③-6或5；④2450【分析】（1）根據絕對值的非負性，求出a、b的值，然后根據數軸上兩點之間的距離公式，求出A，B之間的距離即可；（2）①根據動點C在A、B之間時最小，即可確定c的取值范圍；②分兩種情況：當或，分別求出c的值即可；③根據時，的最小值為7，得出或，然后分兩種情況求出d的值即可；④根據c取中間的數50時，有最小值，求出最小值即可．（1）解：，，，，，．故答案為：3；；7．（2）解：①∵點C在A、B之間時最小，即最小，∴時，的值最小，∵，，∴即的最小值為7．故答案為：7；．②∵當時，，∴或，當時，，解得：；當時，，解得：；故答案為：或4．③∵當時，的最小值為7，∴或，當，時，的值最小，此時，，即，解得：；當，時，的值最小，此時，，即，解得：；故答案為：-6或5．④∵c取中間的數50時，有最小值，∴的最小值為：故答案為：2450．【點睛】本題主要考查了數軸上兩點間的距離，絕對值的意義，有理數的混合運算，熟練掌握絕對值的意義，是解題的關鍵．7．如圖，點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之間的距離，解答下列問題：(1)數軸上表示3和7的兩點之間的距離是______，數軸上表示2和的兩點之間的距離是______．(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是______．（用含x的式子表示）(3)若x表示一個實數，則當x在什么范圍內時，有最小值？請寫出x的范圍及的最小值．(4)當x為何值時，有最小值？并求出該最小值【答案】(1)4，7(2)(3)當時，有最小值，且最小值為4．(4)當時，有最小值，且最小值為6．【分析】（1）根據A、B兩點之間的距離，進行計算可得答案；（2）根據A、B兩點之間的距離，進行計算可得答案；（3），該式子表示實數x到1和的距離之和，當時，有最小值，且最小值為1和之間的距離4；（4），該式子表示實數x到1、、的距離之和，當時，有最小值，且最小值為1和之間的距離6．【解析】（1）解：∵，∴數軸上表示3和7的兩點之間的距離是4．∵，∴數軸上表示2和的兩點之間的距離是7．故答案為：4，7（2）解：數軸上表示x和的兩點之間的距離是，故答案為：（3）解：∵，∴當實數x滿足時，實數x到1與的距離和有最小值，最小值為1與之間的距離，即，故當時，有最小值，且最小值為4．（4）解：∵，∴當時，有最小值，且最小值為與1之間的距離，即最小值為．故當時，有最小值，且最小值為6．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，充分理解絕對值的幾何意義，運用數形結合的思想進行分析是解題的關鍵．8．數軸上表示數的點與原點的距離可記作；表示數的點與表示數的點的距離可記作．也就是說，在數軸上，如果A點表示的數記為點表示的數記為b．則兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)數軸上表示和2的兩點之間的距離是_____________，數軸上表示和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數軸上表示x與的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得的整數x；②求的最小值．【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2．

②4【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入計算即可；（2）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入可得之間的距離為；當時，即時，可求得x的值；（3）①從數軸上可以看出只要x取和2之間的數（包括，2）就有，可得這樣的整數是；②對x進行討論，可得的最小值．【解析】（1）表示和2的兩點之間的距離是，表示和3的兩點之間的距離是；故答案為：5，5；（2）由題意可得，，∴或，∴或；故答案為：3，．（3）①從數軸上可以看出只要x取和2之間的數（包括，2），就有，因此這樣的整數是；②對x進行討論：當時，，恒成立；當時，；當時，；綜上，的最小值為4．【點睛】本題主要考查數軸上兩點間的距離，絕對值的性質等內容，根據題意進行分類討論是解決本題的關鍵．9．閱讀下面材料：如圖，點A、B在數軸上分別表示有理數a，b，則A、B兩點之間的距離可以表示為．根據閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數軸上表示3與的兩點之間的距離是___________（直接寫出計算結果）；(2)若，則___________；(3)若，則___________；(4)利用數軸求出的最小值為___________，且此時整數x的值為___________；(5)利用數軸可求出：的最小值為___________．【答案】(1)5；(2)6或4；(3)(4)3；，，0，1；(5)2023【分析】（1）根據題意可得3與的兩點之間的距離是，計算即可；（2）表示x到5的距離為1，據此可解；（3）表示x到1的距離和到的距離相等，據此可解；（4）根據絕對值的意義可知表示x到的距離與x到1的距離之和，根據點在數軸上的位置求解即可；（5）根據絕對值的意義可知表示x到的距離，x到的距離與x到1011的距離之和，根據點在數軸上的位置求解即可．【解析】（1）解：由題意可得：，故答案為：5；（2）解：表示x到5的距離為1，根據數軸可得，到數軸上表示5的數距離為1的點表示的數為6或4故答案為：6或4；（3）解：表示x到1的距離和到的距離相等，根據數軸上點的位置可得到1的距離和到的距離相等的點表示的數為，即，故答案為：；（4）解：根據絕對值的意義可知表示x到的距離與x到1的距離之和，∵表示的數與表示1的數之間的距離為，根據數軸可知，當時，，當時，，當時，，綜上，當時，有最小值為3，且此時整數x的值為，，0，1；故答案為：3；，，0，1；（5）解：如圖，根據絕對值的意義可知表示x到的距離，x到的距離與x到1011的距離之和，∵表示的數與表示1011的數之間的距離為，根據數軸可知，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，綜上，當時，有最小值為2023，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了絕對值及數軸，解題的關鍵是理解兩點間的距離表達式，注意數形結合思想的應用．10．【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數軸上分別表示實數a，b，A，B兩點之間的距離表示為.如圖1，從數軸上看，若點A，B表示的分別是1，4則或；若點A，B表示的數分別是，4則或；若點A，B表示的數分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數分別是，則或．【知識遷移】(1)如圖1，點A，B表示的數分別是，b且，則___________；(2)如圖2，點A，B表示的數分別是，，若把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，那么___________，___________；【拓展應用】(3)一天，美羊羊去問村長爺爺的年齡，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路.(4)結合幾何意義，求最小值.【答案】(1)或(2)?10；30(3)村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲(4)的最小值為6【分析】（1）根據題意可得，求出b的值即可；（2）由題意可得，再分別求出，即可；（3）設美羊羊現(xiàn)在x歲為數軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數軸上的一個點，40年前在數軸上表示的數為，村長爺爺116歲時，在數軸行的點表示的數為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，得出，然后分別求出結果即可；（4）由絕對值的幾何意義可得，當時，的值最?。窘馕觥浚?）解：∵點A，B表示的數分別是，b，∴，解得或，故答案為：或；（2）解：∵把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，∴把向右平移個單位得到，把向右平移個單位得到，向右平移個單位得到70，∴，∴，，故答案為：?10，30；（3）解：設美羊羊現(xiàn)在x歲為數軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數軸上的一個點，40年前在數軸上表示的數為，村長爺爺116歲時，在數軸行的點表示的數為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，根據題意得：，，，∴，∴，，答：村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲．（4）解：∵表示數軸上表示x的點與表示數1、2、3、4、5的距離和，∴當時，的值最小，∴，∴的最小值為6．【點睛】本題主要考查實數與數軸，數軸上點的特征，兩點間的距離求法，絕對值的幾何意義，熟練掌握數軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．11．【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到原點的距離，那么可以看作這個數在數軸上對應的點到1的距離；就可以看作這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結合數軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結合數軸研究：的最小值是；(2)請你結合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．【答案】(1)a在數軸上對應的點到4和7兩個點的距離之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)【分析】（1）由的幾何意義以及有最小值1即可直接求得結果；（2）當a取中間值即a＝2時，求得最小值；（3）由題意可得出，取中間數即a=3時，絕對值最??；（4）由題意可得出，取中間值a＝1011時，求得最小值；（5）由已知得：，解出絕對值不等式即為a的取值范圍．【解析】（1）由題可知，的幾何意義是a這個數在數軸上對應點到4和7兩個點的距離之和當a在4和7之間時（包括4，7上），a到4和7的距離之和等于3，此時取得最小值是3故答案為：a在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3（2）當a取中間數2時，絕對值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案為：2；2（3）當a取最中間數時，絕對值最小的最小值是；（4）當a取中間數1011時，絕對值最小，的最小值為：故答案為：1021110（5）a使它到－1，2的距離之和小于4①當時，則有解得：；②當時，則有③當時，則有解得：綜上，a的取值范圍為：故答案為：【點睛】此題主要考查了絕對值的性質，解這類問題的基本步驟是：求零點、分區(qū)間、定性質、去符號，即令各絕對值代數式為0，得若干個絕對值為零的點，這些點把數軸分成幾個區(qū)間，再在各區(qū)間內化簡求值即可．12．（1）閱讀材料：從代數角度上看，數軸上兩點間的距離等于這兩點所對應的數的差的絕對值；從幾何角度上看，數軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數軸上分別對應的數為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．數軸上有三點A、B、P，分別對應的數為、2、x，如圖①，當時，；如圖②，當時，_____；如圖③，當時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應用：求的最小值．（3）應用拓展：若，當時，直接寫出S的取值范圍_______．【答案】（1）I、，；II、5；（2）9；（3）．【分析】（1）I根據絕對值的意義即可得到答案；II根據I比較三種情況即可得到答案；（2）根據（1）可得到當x在兩點之間時最短即可得到答案；（3）根據（1）可得到當時最小值，即可得到答案．【解析】（1）I．解：由題意可得，當時，，當時，故答案為，；II．由題意可得，在時有最小值為5，故答案為5；（2）解：由（1）可得，當x在，4兩點之間時最短，即當時，的最小值，最小值為，故的最小值為9；（3）由（1）可得，表示到1，6，三點的距離之和，∴可得到當時最小值，最小值為：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值的意義，解題的關鍵是根據題意找到最小距離的點在最小與最大亮點之間．三、新定義的化簡絕對值問題13．對于有理數，，，，若，則稱和關于的“美好關聯(lián)數”為，例如，則，則2和3關于1的“美好關聯(lián)數”為3．(1)和5關于2的“美好關聯(lián)數”為______；(2)若和2關于3的“美好關聯(lián)數”為4，求的值；(3)若和關于1的“美好關聯(lián)數”為1，和關于2的“美好關聯(lián)數”為1，和關于3的“美好關聯(lián)數”為1，…，和的“美好關聯(lián)數”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義計算即可；（2）利用新定義計算求未知數x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距離和為1的時候兩點表示的數的和的最小值，最后得出最小值．【解析】（1）解：，故答案為：8；（2）解：∵x和2關于3的“美好關聯(lián)數”為4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和關于1的“美好關聯(lián)數”為1，∴，∴在數軸上可以看作數到1的距離與數到1的距離和為1，∴只有當時，有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案為：840．【點睛】本題考查了絕對值的應用，解題的關鍵是掌握絕對值的意義，數軸上點與點的距離．14．對于有理數，，，，若，則稱和關于的“相對關系值”為，例如，，則2和3關于1的“相對關系值”為3．(1)和6關于2的“相對關系值”為_____；(2)若和3關于1的“相對關系值”為7，求的值；(3)若和關于1的“相對關系值”為1，和關于2的“相對關系值”為1，和關于3的“相對關系值”為1，，和關于101的“相對關系值”為1．①的最大值為_____；②直接寫出所有的值．（用含的式子表示）【答案】(1)；(2)或；(3)①3；②或或【分析】（1）根據“相對關系值”的定義，求解即可；（2）根據“相對關系值”的定義，列方程，求解即可；（3）①根據題意列出方程，再分為四種情況，分別討論，根據絕對值的性質，把絕對值方程轉化為常規(guī)方程進行解答便可；②分五種情況計算即可．【解析】（1）解：根據“相對關系值”的定義，可得故答案為：；（2）由題意可得：，即，解得或；（3）①根據題意得，，分四種情況：當時，，則；當時，，則，得到；當時，，則，得到；當時，，則，由此可知的最大值為3；②分五種情況，當時，，解得，由可得，，……可得，；當時，，，此種情形不存在；當時，，，……，∴，，……，，∴，即，，即，同理可得：，……，，∴，，，……，，；當時，由可得，即，此種情形不存在；當時，可得，，……，，∴，，，，；綜上，的值為或或．【點睛】此題考查了絕對值的應用，解題的關鍵是理解“相對關系值”的定義，熟練掌握絕對值的性質．15．閱讀下列兩則材料：材料1：君君同學在研究數學問題時遇到一個定義：對于按固定順序排列的k個數：x1，x2，x3，……，xk，稱為數列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k為整數且k≥3．定義：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如數列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理數a，b在數軸上對應的兩點A，B之間的距離是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理數a，b在數軸上對應點A，B之間的距離，我們稱之為絕對值的幾何意義．君君同學在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5時，利用絕對值的幾何意義分析得到，該方程的左式表示在數軸上x對應點到1和-2對應點的距離之和，而當-2≤x≤1時，取到它的最小值3，即為1和-2對應點之間的距離．由方程右式的值為5可知，滿足方程的x對應點在1的右邊或一2的左邊，若x的對應點在1的右邊，利用數軸分析可以得到x=2；同理，若x的對應點在-2的左邊，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根據以上材料，回答下列問題：(1)已知數列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個整數，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，請直接寫出一種可能的數列A4．(2)已知數列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，則a的值為．(3)已知數列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5個數均為非負整數，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)(3)0【分析】（1）根據材料1列出算式，再根據絕對值的意義可求解，答案不唯一．（2）根據材料1列出算式，再分類討論，再根據絕對值的意義可求解．（3）因為x1，x2，x3，x4，x5，5個數均為非負整數，所以>||，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．【解析】（1）解：V（A4）=||+||+||=4，∴||+||+||=4，當，，V（A4）=||+||+||=4（2）解：||+||+||=3，即||+||+||=3①2≤a<3時，||+||+||=3，所以，解得以a=1，但不符合題意，舍去．②a≤2時，||+||+||=3所以，解得以，符合題意．③a>3時，||+||+||=3所以，，解得以，符合題意．綜上所述，或．（3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5個數均為非負整數∴>||，>||，>||，>||，>0，∴0≤||+||+||+||≤∴0≤V（A5）≤a∴V（A5）的最小值為0．【點睛】本題是一道綜合題，正確理解題意、熟練掌握去絕對值的方法是解決本題的關鍵．16．對于數軸上的兩點給由如下定義：兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為兩點的“絕對距離”，記為．例如，兩點表示的數如圖（1）所示，則．(1)兩點表示的數如圖（2）所示．①求兩點的“絕對距離”；②若點為數軸上一點（不與點O重合），且，求點表示的數；(2)點為數軸上的兩點．（點在點左側）且，，請直接寫出點表示的為___________．【答案】(1)①2；②2或；(2)或【分析】（1）①根據絕對距離的定義即可解題；②由題意可求出，再根據絕對距離的定義即可解題；（2）由題意可知，即得出或．再分類討論：①當M，N都在原點的左側時，②當M，N都在原點的右側時和③當M點在原點的左側，N點在原點的右側時，結合，即可求解；【解析】（1）①；②∵，，∴，∴，∴或，解得：或2，∵C點不與O點重合，∴點C表示的數為2或；（2）由題可知，∴或．∵點M在點N左側，故可分類討論：①當M，N都在原點的左側時，∴．∵，∴，∴此情況不存在；②當M，N都在原點的右側時，∵，∴，∴此情況不存在；③當M點在原點的左側，N點在原點的右側時，∵，∴．∵或，∴或，∴點M表示的數為或．故答案為：或．【點睛】本題考查絕對值的實際應用，數軸上兩點之間的距離．讀懂題意，理解絕對距離的概念是解題關鍵．四、動點與數軸問題（單動點、雙動點、多動點）17．已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數，4，6．(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向數軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數軸返回到點C，到達點C后停止運動，設運動時間為t秒．①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________【答案】(1)見解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根據題意畫出數軸即可；（2）①先求出當時，P點表示的數為6-4=2，然后根據數軸上兩點距離公式求解即可；②分當P從C向A運動和當P從A向C運動兩種情況討論求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①當時，P點表示的數為6-4=2，∴，，，故答案為：4、2、4；②當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；綜上所述，t的值為或或或．【點睛】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，數軸上的動點問題，解題的關鍵在于能夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解．18．如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數軸上原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是_____（結果保留）；（2）若大圓不動，小圓沿數軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時間記為正數，向左滾動時間記為負數，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；②當小圓結束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結果保留）【答案】（1）；（2）①6，②【分析】（1）該圓與數軸重合的點所表示的數，就是大圓的周長；（2）①分別計算出第幾次滾動后，小圓離原點的距離，比較作答；②根據計算總路程即可．【解析】解：（1）若大圓沿數軸向左滾動一周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是．（2）①第1次滾動后，，第2次滾動后，，第3次滾動后，，第4次滾動后，，第5次滾動后，，第6次滾動后，，則第6次滾動后，小圓離原點最遠．②，∴當小圓結束運動時，小圓運動的路共有．【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，明確向右移動坐標加的關系，向左移動坐標減的關系，是解題的關鍵．19．A，B兩個動點在數軸上做勻速運動，運動方向不變，它們的運動時間以及對應位置所對應的數記錄如表．時間（秒）047A點位置8mB點位置n1631(1)_______；______；(2)A，B兩點在第________秒時相遇，此時A，B點對應的數是__________；(3)在運動到多少秒時，A，B兩點相距10個單位長度？【答案】(1)-13，(2)，(3)或【分析】（1）由表格信息分別求解的運動速度與運動方向，從而可得答案；（2）先表示運動后對應的數，在利用相遇時，兩數相同列方程，再解方程可得答案；（3）先利用絕對值的含義求解再解方程可得答案．【解析】（1）解：A由0秒在8對應的點，4秒時在對應的點，A以每秒3個單位長度的速度向左運動，∴可得A點7秒時對應的數為：B由4秒在16對應的點，7秒時在對應的點，B以每秒5個單位長度的速度向右運動，所以可得B點0秒時對應的數為：，故答案為：-13；-4；（2）解：由（1）可得A點運動后對應的數為，點運動后對應的數為當相遇時，則，解得：，此時：則對應的數為：，故答案為：，；（3）解：由A點運動后對應的數為，點運動后對應的數為，，或解得：或．【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，數軸上的動點問題，絕對值方程的應用，一元一次方程的應用，掌握“利用絕對值方程解決數軸上的動點問題”是解題的關鍵．20．點A，B為數軸上的兩點，點A對應的數為a，點B對應的數為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數軸上的一個動點，其對應的數記為x，試猜想當x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最?。垖懗瞿愕牟孪耄⒄f明理由；（3）若P，Q為數軸上的兩個動點（Q點在P點右側），P，Q兩點之間的距離為m，當點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．【答案】（1）5；（2）當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據立方根的定義求出a，再根據兩點之間的距離公式即可求解；（2）當點C在數軸上A、B兩點之間時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，依此即可求解；（3）分兩種情況：點P在點A的左邊，點P在點B的右邊，進行討論即可求解．【解析】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）點C到A的距離為|x+2|，點C到B的距離為|x﹣3|，∴點C到A點的距離與點C到B點的距離之和為|x+2|+|x﹣3|，當距離之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此時的最小值為3﹣（﹣2）＝5，∴當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5；（3）設點P所表示的數為x，∵PQ＝m，Q點在P點右側，∴點Q所表示的數為x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和為：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|當x在﹣2與3﹣m之間時，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值為|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4時，解得，m＝1，故答案為：1或9．【點睛】本題考查了數軸，絕對值的性質，讀懂題目信息，理解數軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．21．如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數軸和9的位置上，沿數軸做移動游戲．移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”，而后根據輸贏結果進行移動．①若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；②若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度；③若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度．前三局如下表：（提示：剪刀勝布，布勝石頭，石頭勝剪刀）第一局第二局第三局…甲的手勢石頭剪刀石頭…乙的手勢石頭布布…(1)從如圖所示的位置開始，求第一局后甲、乙兩人分別在數軸上的位置．(2)從如圖所示的位置開始，從前三局看，第幾局后甲離原點最近，離原點距離多少？(3)從如圖所示的位置開始，若進行了k局后，甲與乙的位置相距3個單位長度，請直接寫出k的值．【答案】(1)甲在數軸上的位置為，乙在數軸上的位置為8(2)從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0(3)6或9【分析】（1）根據第一局平局，根據規(guī)則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；得出甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8；（2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲勝，甲的位置在-5+5=0；第三局乙勝，甲的位置在0-3=-3．從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0；（3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之間距離縮短1+1=2；第二局甲勝，甲乙同向東而行，甲乙之間距離縮短5-3=2；第三局乙勝，甲乙同向西而行，甲乙之間距離縮短-3+5=2；無論誰勝或平局，兩人之間是距離總是縮短2．∵甲乙之間原來的距離為9+6=15，∴當甲乙之間的距離縮短到3時，或．【解析】（1）解：∵第一局為平局，∴甲向東移動1個單位長度，甲在數軸上的位置為，同時乙向西移動1個單位長度，乙在數軸上的位置為8．（2）解：∵第二局甲贏，∴甲向東移動5個單位長度，甲在數軸上的位置為0，∵第三局乙贏，∴甲向西移動3個單位長度，甲在數軸上的位置為，∴從前三局看，第二局后甲離原點最近，離原點距離為0．（3）解：k的值為6或9．由題意可得剛開始兩人之間的距離為15個單位長度，∵若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度，∴若平局，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵若甲贏，則甲向東移動5個單位長度，同時乙向東移動3個單位長度，∴若甲贏，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵若乙贏，則甲向西移動3個單位長度，同時乙向西移動5個單位長度，∴若乙贏，移動后甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∴甲、乙每移動一次，甲、乙之間的距離縮小2個單位長度．∵最終甲與乙的位置相距3個單位長度，∴共需縮小12個單位長度或18個單位長度．∵，，∴k的值為6或9．【點睛】本題主要考查了數軸上的動點，數軸上兩點之間的距離等，解決問題的關鍵是熟練掌握數軸上動點表示的數等于原來表示的數加上或減去動點移動的距離，左移減，右移加，數軸上兩點之間的距離一般取兩點表示的數的差，用較大的數減去較小的數．22．數軸體現(xiàn)了數形結合的數學思想，若數軸上點A，B表示的數分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數為2，點B表示的數為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數軸上點A表示的數為?2，點B表示的數為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數為______．(2)拓展探究：若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點Q從點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設運動時間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數為______；點Q表示的數為______；②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復運動，那么再經過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數．【答案】(1)；(2)①；；②當t為3時，P、Q兩點相遇；相遇點所表示的數是7(3)所需要的時間為9秒；相遇點所表示的數是1【分析】（1）由A表示的數為?2，點B表示的數為13，即得AB＝15，線段AB的中點表示的數為；（2）①t秒后，點P表示的數為?2＋3t，點Q表示的數為

13?2t；②根據題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點所表示的數為?2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的數是13?3（t?5），Q表示的數是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點所表示的數為：13?3×（9?5）＝1．【解析】（1）∵A表示的數為?2，點B表示的數為13，∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點表示的數為；故答案為：15；．（2）①t秒后，點P表示的數為?2＋3t，點Q表示的數為13?2t；故答案為：?2＋3t；13?2t．②根據題意得：?2＋3t＝13?2t，解得t＝3，相遇點所表示的數為?2＋3×3＝7；答：當t為3時，P，Q兩點相遇，相遇點所表示的數是7．（3）由已知得：P運動5秒到B，Q運動秒到A，返回途中，P表示的數是13?3（t?5），Q表示的數是?2＋2（t?），根據題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），解得t＝9，第二次相遇點所表示的數為：13?3×（9?5）＝1，答：所需要的時間為9秒，相遇點所表示的數是1．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，用含t的代數式表示運動后的點所表示的數．23．如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動4cm到達B點，然后再向右移動到達C點，數軸上一個單位長度表示1cm．(1)請你在數軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為CA，則CA=______cm．(3)若點A沿數軸以每秒3cm勻速向右運動，經過多少秒后點A到點C的距離為3cm？(4)若點A以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動．設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)經過或秒后點A到點C的距離為3cm(4)的值不會隨著t的變化而變化，【分析】（1）根據題意，在數軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側或點A在點C的右側；（4）表示出BA、CB，再相減即可解題．【解析】（1）解：由題意得：A點對應的數為，B點對應的數為1，點C對應的數為，點A，B，C在數軸上表示如圖：（2）解：設原點為O，如圖，∴，，∴．故答案為：．（3）解：①當點A在點C的左側時，設經過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：，解得：．②當點A在點C的右側時，設經過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：，解得：．綜上，經過或秒后點A到點C的距離為3cm．（4）解：的值不會隨著t的變化而變化，．由題意：，，∵移動t秒后，，，∴．∴的值不會隨著t的變化而變化，．【點睛】本題考查數軸、數軸上兩點間的距離等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．24．如圖，在數軸上所對應的數為．（1）點與點相距4個單位長度，則點所對應的數為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點以每秒2個單位長度沿數軸向左運動，點以每秒2個單位長度沿數軸向右運動，當點運動到所在的點處時，求，兩點間距離．（3）如圖，若點對應的數是10，現(xiàn)有點從點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間為秒．在運動過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會有某兩段距離相等的時候？若有，請求出此時的值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3【分析】（1）分類討論，分別求出點B在點A左側以及點B在點A右側時點B所對應的數即可．（2）分類討論，分別求出點B對應的數為2和－6時，A、B兩點之間的距離即可．（3）由題可知：點表示的數為，點表示的數為，分別表示出AP、BQ、PQ、PB，分三類討論，分別求出①當時，②當時，③當時對應的t的值．【解析】（1）點在點左側時，為：，點在點右側時，為：，綜上所述，點對應的數為或2．（2）①當對應的數為時，：個單位，（秒），：，∴；②當對應的數為2時，：個單位，（秒），：，．綜上所述，，兩點之間的距離為4或12．（3）在運動過程中，會有兩段距離相等的時候，由題可知：點表示的數為，點表示的數為，∴，，，，分三種情況：①當時，為中點或與重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若與重合，如圖，則，即，解得．②當時，為中點或，重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若，重合，則（不合題意）③當時，為中點或，重合，若為中點，如圖，則，即，解得，若，重合，則，即，解得．綜上所述，當或4或或6或3時，線段，，中存在兩條線段相等．【點睛】本題主要考查數軸上兩點間距離的表示方法，熟記數軸上兩點間距離的表示方法以及分類討論思想的運用是解題關鍵．25．已知：b是最小的正整數，且a、b滿足（c-6）2+|a+b|=0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在A、B之間運動時，請化簡式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（請寫出化簡過程）（3）在（1）的條件下，數軸上的A，B，M表示的數為a，b，y，是否存在點M，使得點M到點A，點B的距離之和為5？若存在，請求出y的值；若不存在，請說明理由．（4）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒n（n>0）個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2n個單位長度和5n個單位長度的速度向右運動，假設經過t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）-1、1、6；（2）-10；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不變，BC-AB=3．【分析】（1）據最小正整數的意義和非負數的性質作答；（2）先去絕對值號，再去括號，最后合并即可；（3）據絕對值的性質用y表示出點M到點A，點B的距離之和，再令其等于5，列方程求解；（4）結合題意，用t和n表示出BC-AB再化簡即可判斷．【解析】解：（1）由b是最小正整數得b=1；由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．故a=-1，b=1，c=6．（2）∵點P在A、B之間運動∴-1＜x＜1∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10．（3）由題意知AB=2，所以M不可能在AB之間，下面討論M在AB之外的情況第一種情況，當M在A點左側時由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1∴y=-2.5；第二種情況，當M在B點右側時由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1∴y=2.5；故存在這樣的點M，對應的y=2.5或y=-2.5．(4)如下圖用A1、B1、C1分別表示A、B、C的初始位置由題意得，當t秒時，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5∴BC-AB=(3nt+5)-(3nt+2)=3故BC-AB的值不變，且BC-AB的值為3．【點睛】此題綜合考查了絕對值的意義和數軸上兩點之間的距離．弄清數軸上點及點的運動與所表示的數之間的關系是解決本題的關鍵．五、有理數的運算（裂項相消法、規(guī)律類問題、新定義的有理數運算問題、有理數運算的應用）26．觀察式子，，，…(1)猜想并寫出：＝；(2)填空：＝；(3)嘗試解決：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據所給的等式特點，直接寫出即可；（2）通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為，再求和即可；（3）通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為，再求和即可．【解析】（1）解：＝，故答案為：；（2）解：，（3）解：．【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式運算的一般規(guī)律是解題的關鍵．27．求1+2+22+23+…+22016的值，令S＝1+2+22+23+…+22016，則2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．參照以上推理，計算5+52+53+…+52016的值．【答案】【分析】仿照例題可令，從而得出，二者做差后即可得出結論．【解析】解：令，則，∴∴．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，理解題意并能找出是解題的關鍵．28．觀察下列解題過程：計算：的值解：設①，則②，由②－①，得.即原式通過閱讀，你一定學會了這種解決問題的方法，請你用學到的方法計算：【答案】【分析】利用所給的解答方式進行求解即可．【解析】解：設①，則②，由②①，得．∴，即原式．【點睛】本題主要考查數字的變化規(guī)律和有理數的乘方，解答的關鍵是理解清楚題目所給的解答方式并靈活運用．29．我們已知道：，事實上：（為正整數）成立，故有：當時，成立．由以上結論填寫下列代數式結果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）添加一項1后，根據題干中的結論計算，即可得到結果．（2）提取后，根據題干中的結論計算，即可得到結果．（3）多次使用題干中的結論計算，即可得到結果．【解析】（1）根據已知有：當時，成立所以所以所以故答案為：（2）因為故答案為：（3）根據已知有：當時，成立所以；；；所以又因為所以上式故答案為：【點睛】本題考查了觀察、類比、數字累規(guī)律探索的知識；解題關鍵是熟練掌