新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

8.6空間直線、平面的垂直直線與直線垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．(直觀想象)2．駕馭兩異面直線所成的角的求法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)視察下面兩個(gè)圖形．問題：(1)教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線的位置關(guān)系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？CD與BE的位置關(guān)系是什么？學(xué)問點(diǎn)1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線__________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍是________________．1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問點(diǎn)2兩條異面直線垂直(1)定義：假如兩條異面直線所成的角是____，那么我們就說這兩條異面直線相互垂直．(2)表示：直線a與直線b垂直，記作______．2．兩條直線垂直，確定相交嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知正方體ABCD-EFGH，則AH與FG所成的角是________．2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點(diǎn)，則在長方體全部的棱中和EF垂直且異面的有________條．類型1異面直線所成的角【例1】如圖，空間四邊形ABCD的各個(gè)棱長都相等，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求異面直線所成角的一般步驟“一作”即過空間一點(diǎn)作兩條異面直線的______，而空間一點(diǎn)一般取在兩異面直線中的一條上，特殊是某些特殊點(diǎn)處，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處．“二求”即通過解三角形，計(jì)算所作的角的大小．“三結(jié)論”即假如所構(gòu)造的角的大小為α，若0°＜α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大小；若90°＜α＜180°，則____________即為所求．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，求異面直線A1C與B1C1所成的角的大?。甠______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2直線與直線垂直的證明【例2】如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________證明兩條直線垂直的策略(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可依據(jù)勾股定理證明．(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，則線段AA1的長為________．(2)空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝5，EF＝求證：AC⊥BD._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多選)假如空間兩條直線相互垂直，那么它們可能是()A．相交直線 B．異面直線C．共面直線 D．平行直線2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱所在的直線中與直線BC1所成角為π4A．6 B．8C．10 D．124．如圖，已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝23，AD(1)BC和A′C′所成的角為________；(2)AA′和BC′所成的角為________．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？2．用平移法求異面直線所成角的一般步驟是什么？3．用平移法求異面直線所成角時(shí)應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想？直線與直線垂直[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)1(1)a′與b′(2)0°≤α≤90°思索1提示：依據(jù)等角定理可知，異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān).學(xué)問點(diǎn)2(1)直角(2)a⊥b思索2提示：不愿定．當(dāng)兩條異面直線所成的角為90°時(shí)，兩條異面直線垂直，但不愿定相交．課前自主體驗(yàn)1．45°[如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因?yàn)樗倪呅蜝CGF為正方形，所以∠BGF＝45°.]2．2[長方體全部的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．][關(guān)鍵實(shí)力·合作探究釋疑難]例1解：如圖，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，又E為BC的中點(diǎn)，∴EF綉12CD∴∠AEF為異面直線AE與CD所成的角(或補(bǔ)角)．設(shè)空間四邊形ABCD的棱長為a，則AE＝AF＝32a，EF＝a∴cos∠AEF＝AE2+EF2故異面直線AE與CD所成角的余弦值為36發(fā)覺規(guī)律平行線180°－α跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：因?yàn)閹缀误w是棱柱，BC∥B1C1，則直線A1C與BC所成的角就是異面直線A1C與B1C1所成的角．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，連接BA1(圖略)，∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝2，CA1＝2.∴△BCA1是等邊三角形，∴異面直線A1C與B1C1所成的角為60°.例2解：法一：如圖，連接A1C1，B1D1，設(shè)交點(diǎn)為O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，GA1，GC1.則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.法二：如圖，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，則HE∥DB1，且HE＝12DB1.于是∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．連接HF，設(shè)AA1＝1，則EF＝22，HE＝32，取A1D1的中點(diǎn)I，連接IF，HI，則HI⊥∴HF2＝HI2＋I(xiàn)F2＝54，∴HF2＝EF2＋HE2∴∠HEF＝90°，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.法三：如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體，連接B1Q，DQ，則B1Q∥EF.于是，直線DB1與B1Q所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．通過計(jì)算，不難得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，從而異面直線DB1與EF所成的角為90°，所以DB1⊥EF.跟進(jìn)訓(xùn)練2．(1)6[連接CD1，AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角．∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，∴∠AD1C＝90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝23，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC∵底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，AD1＝22AC＝32∴AA1＝AD12-A(2)證明：∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，滿意FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．ABC[由平面幾何學(xué)問和異面垂直的定義可知，相互垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選ABC.]2．B[取A1B1中點(diǎn)I，連接IG，IH，則EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]3．B[因?yàn)檎襟w中∠CBC1＝π4，所以BC與直線BC1所成角為π4，又BC∥AD∥A1D1∥B1C所以AD，A1D1，B1C1與直線BC1所成角為π4同理可得BB1，CC1，DD1，AA1與直線BC1所成角為π4又AB，CD，C1D1，A1B1與直線BC1所成角為π2所以與直線BC1所成角為π4故選B.]4．(1)45°(2)60°[(1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝6