備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題23復(fù)數(shù)經(jīng)典問(wèn)題

專題23復(fù)數(shù)經(jīng)典問(wèn)題【考點(diǎn)預(yù)料】一.基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿意，當(dāng)時(shí)，.（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，明顯，.二.基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).（3）.實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、支配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面對(duì)量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【典例例題】例1．（2024·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以的?shí)部為.故選：A.例2．（2024春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】，所以，，的實(shí)部為0．故選：C例3．（2024春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，則，其虛部為.故選：B例4．（2024·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿意：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，由得，，解得，．故選：A．例5．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，則，，∴.故選：B.例6．（2024春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為純虛數(shù)，，，故選：.例7．（2024春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，且為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以.故選：A例8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，且，故，.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A.例9．（2024·浙江·高三期末）已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），若，則（

）A．1 B． C．1或 D．或5【答案】C【解析】由題意得，則，所以，解得或，故選：C例10．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿意，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A．

B． C． D．【答案】B【解析】復(fù)數(shù)z滿意,即，其幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)的軌跡為和的垂直平分線，即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，故，故選：B例11．（2024春·河北石家莊·高三石家莊二中校考開學(xué)考試）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根,所以也是方程的根.依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得即得,所以故選:A.例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若且，則的最小值為_______．【答案】3【解析】表示圓心為，半徑為1的圓，而表示圓上的點(diǎn)到的距離，∴最小值為圓心到點(diǎn)的距離減1，即最小值為，如圖所示．故答案為：3．例13．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則______．【答案】【解析】，∴，∴.故答案為：.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意，則z的實(shí)部為（

）．A． B．3 C． D．2【答案】D【解析】，則，則z的實(shí)部為.故選：D.2．（2024·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，∵，∴，即：，∴，∴∴.故選：D.3．（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿意3z－1＝（z＋2）i，則z＝（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入，有，則，解得，∴.故選：D4．（2024·江蘇南京·高三南京師范高校附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)t，使為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)t，使為實(shí)數(shù)，a為實(shí)數(shù)，所以存在實(shí)數(shù)t，，故存在實(shí)數(shù)t，，所以，故選：A.5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，由，可知，所以，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知，（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由題意知，，則.故選：A.7．（2024春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故在?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限.故選：C.8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則a，b滿意（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，所以，解得.故選：D.9．（2024·浙江杭州·高三期末）若復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】因?yàn)?，則.故選：C．10．（2024春·河南濮陽(yáng)·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，故，所以，故選：C11．（2024·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，，.故選：A.12．（2024·浙江紹興·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿意，則（

）A． B．0 C．4 D．5【答案】D【解析】由，則有，所以.故選:D．13．（2024·山西長(zhǎng)治·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或2【答案】C【解析】或故選：C.14．（2024·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎獮樘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意，則的虛部為（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】A【解析】設(shè)，則，解得：，故的虛部為-1.故選：A．15．（2024春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由，由，故選：D16．（2024春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿意，則的實(shí)部為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，則由可得且，解得，故，其實(shí)部為.故選：C.17．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)全部點(diǎn)，，故選：D.18．（2024春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴.故選：D19．（2024·河北保定·高三統(tǒng)考期末）若，則等于（

）A．2 B．6 C． D．【答案】B【解析】,所以.故選：B20．（2024春·河南·高三商丘市回民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.21．（2024春·甘肅天水·高三校考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意．故選：C．22．（2024春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若（是虛數(shù)單位），則（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】因?yàn)?所以,則,所以,故選：A.23．（2024春·河南·高三洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.24．（2024·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，所以，所以故選：D25．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有一個(gè)復(fù)數(shù)根是，則另一個(gè)復(fù)數(shù)根是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【解析】若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，則兩復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，故該方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根是.故選：A.26．（2024春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，即，所以，所以，解得，所以，故選：C27．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿意，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由已知，則z的共軛復(fù)數(shù)為，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿意，則的虛部為A．-4 B．C．4 D．【答案】D【解析】設(shè)∴，解得考點(diǎn)：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是正確計(jì)算復(fù)數(shù)，要駕馭復(fù)數(shù)的相關(guān)概念二、多選題29．（2024·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，，若，則，解得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列各項(xiàng)正確的為（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限 D．復(fù)數(shù)的模為5【答案】BC【解析】∵，則可得：復(fù)數(shù)的虛部為1，A錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，C正確；復(fù)數(shù)的模為，D錯(cuò)誤；故選：BC．三、填空題31．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部是______．【答案】【解析】，∴的虛部為.故答案為：.32．（2024·天津南開·高三崇化中學(xué)?？计谀┮阎獮樘摂?shù)單位，若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】-2【解析】，由，所以復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，，此時(shí)，滿意.故答案為：-233．（2024·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由已知，在其次象限，∴，解得.綜上所述，實(shí)