全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅲ）（含解析版）

全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標m）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合S={x|（x-2）（x-3）20},T={x|x>0},則SCT=（）

A.[2,3]B.（-8,2]U[3,+8）

C.[3,+8）D.（0,2]U[3,+8）

2.（5分）若z=l+2i,則——雪——=（）

Z*Z-1

A.1B?-1C.iD.-i

3.（5分）已知向量或=（1,區(qū)），BC=（遮，工），則NABC=（）

2222

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一中各月平均最高

氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,

B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃,下面敘述不正確的是（）

-----平均品假氣溫不均晶高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

5.（5分）若tana=3,貝!Jcos2a+2sin2a=（）

4

A.MB.48C.1D

2525-t

22

6.(5分)已知a=23，b=,c=253,則()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

7.（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的"（)

A.3B.4C.5D.6

8.（5分）在aABC中，B=—,BC邊上的高等于LBC,則cosA等于（）

43

AB逗c-叵D-

'10°~L0~°10

9.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三

視圖，則該多面體的表面積為（)

A.18+36遙B.54+18加C.90D.81

10.（5分）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB，BC,

AB=6,BC=8,AAi=3,則V的最大值是（）

A.4nB."C.6nD..5IZL

23

22

11.（5分）已知。為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：三（a>b>0）的左焦點，

a2b,2

A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF，x軸，過點A的直線I

與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的

離心率為（）

A.2B.工C.2D.￡■

3234

12.（5分）定義"規(guī)范01數(shù)歹U"廝｝如下：屈｝共有2m項，其中m項為0,m

項為1,且對任意kW2m,ai，32,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m=4,

則不同的"規(guī)范01數(shù)列"共有（）

A.18個B.16個C.14個D.12個

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

'x-y+l）0

13.（5分）若x,y滿足約束條件產(chǎn)2y<0，則z=x+y的最大值為.

x+2y-240

14.（5分）函數(shù)y=sinx-，5cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+近cosx的圖象至少向右

平移個單位長度得到.

15.（5分）已知f（x）為偶函數(shù)，當xVO時，f（x）=ln（-x）+3x,則曲線y=f

（x）在點（1,-3）處的切線方程是.

16.（5分）已知直線I：mx+y+3m-J圣0與圓x2+y2=i2交于A,B兩點，過A,

B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點，若AB|=2b，則CD=

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知數(shù)列｛a>的前n項和Sn=l+入an，其中入WO.

（1）證明｛an｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若Ss=-^l->求人.

32

18.（12分）如圖是我國至生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

注：份代碼1-7分別對應(yīng)份-.

（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以

證明；

（口）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到O.O1）,預(yù)測我國生活垃圾無害化

處理量.

附注：

111~7

參考數(shù)據(jù)：￡yi=9.32,￡的=40.17,￡（y.2=0.55,近Q2.646.

i=li=lVi=l1

n__

￡（t「t）（y「y）

參考公式：相關(guān)系數(shù)，

r=I?nn”

（ti-7）2E（y-y）2

Vi=li=l

回歸方程？=魯今中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

V

Z

=3,

D=AC

AB=A

〃BC,

,AD

ABCD

，底面

中，PA

BCD

P-A

棱錐

圖，四

分)如

(12

19.

.

的中點

為PC

N

2MD,

，AM=

一點

D上

線段A

M為

C=4,

PA=B

；

面PAB

〃平

：MN

證明

(1)

.

正弦值

成角的

N所

面PM

與平

AN

求直線

(2)

B

20.（12分）已知拋物線C：y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線k,L分

別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.

（工）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR〃FQ；

（II）若△PQF的面積是4ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,記|f(x)|

的最大值為A.

(I)求f，(x)；

<n)求A；

(HI)證明:|f(x)區(qū)2A.

請考生在第22-24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.［選修

4-1：幾何證明選講］

22.（10分）如圖，。。中窟的中點為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.

（1）若NPFB=2NPCD,求NPCD的大小;

（2）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明：OGLCD.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

23.在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為!xj^cosa為參數(shù)），以

ly=sina

坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標

方程為psin（0+-2L）=2A/2-

4

（1）寫出Ci的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）設(shè)點P在Ci上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

［選修4-5：不等式選講］

24.已知函數(shù)f(x)=|2x-a+a.

(1)當a=2時，求不等式f(x)W6的解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2x-11,當xdR時，f(x)+g(x)23,求a的取值范圍.

全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標m)

參考答案與試題解析

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合S={x|(x-2)(X-3)20},T={x|x>0},則SPT=()

A.[2,3]B.(-8,2]U[3,+8)C.[3,+00)

D.(0,2]U[3,+8)

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】37：集合思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】求出S中不等式的解集確定出S,找出S與T的交集即可.

【解答】解：由S中不等式解得：xW2或x23,即S=(-8,2]U[3,+8),

VT=(0,+8),

/.SnT=(0,2]U[3,+8),

故選：D.

【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.(5分)若z=l+2i,則—雪—=()

Z*Z-1

A.1B.-1C.iD.-i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算.

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則，化簡求解即可.

【解答】解：z=l+2i,則李=4i=4i

z7-l(l+2i)(l-2i)-l河

故選：c.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查計算能力.

3.（5分）已知向量或=（1,昱）,BC=（返，—）?則NABC=（）

2222

A.30°B.45°C.60°D.120°

【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角.

【專題】11：計算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)向量正，友的坐標便可求出瓦?茨，及|索|前|的值，從而根

據(jù)向量夾角余弦公式即可求出cosZABC的值，根據(jù)/ABC的范圍便可得出/

ABC的值.

【解答】解：嬴.正耳耳至，|瓦|=|前|=1；

,,cos/ABC=

IBA11BCI-2

又0°WNABCW180°；

，ZABC=30°.

故選：A.

【點評】考查向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量坐標求向量長度的方法，以及向

量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角.

4.（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一中各月平均最高

氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,

B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃,下面敘述不正確的是（）

——平均鼻低氣溫平均品高氣潟

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20°(:的月份有5個

【考點】F4：進行簡單的合情推理.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4A：數(shù)學模型法；5M：推理和證明.

【分析】根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖進行推理判斷即可.

【解答】解：A.由雷達圖知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，正確

B.七月的平均溫差大約在10。左右，一月的平均溫差在5。左右，故七月的平均

溫差比一月的平均溫差大，正確

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，都為10。，正確

D.平均最高氣溫高于20°(:的月份有7,8兩個月，故D錯誤，

故選：D.

【點評】本題主要考查推理和證明的應(yīng)用，根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的

雷達圖，利用圖象法進行判斷是解決本題的關(guān)鍵.

5.(5分)若tana=3,貝(!cos2a+2sin2a=()

4

A.B.毀C.1D.Al

252525

【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.

【專題】口：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】將所求的關(guān)系式的分母"1"化為（cos2a+sin2a）,再將"弦"化"切"即可得

到答案.

【解答】解：?.,tana=W,

4

3

21+4X^-

...cos2a+2sin2a=￡.晾。土士烈且色足四&二葉蟲和。=、L=64.

siNa+cos2atan20.+1-^-+125

16

故選:A.

【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，"弦"化"切"是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

22j_

6.（5分）已知2=2?，b=j3,c=25^>則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【考點】4Y：幕函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

2_￡1.2

【分析】b=43=23,c=253=53，結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性，可比較a,b,c,進而

得到答案.

4_2

【解答】解：??%=24二￡，

2_

b=>

1_2_

C=253=53，

綜上可得：b<a<c,

故選:A.

【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，幕函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象

和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔.

7.（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的n=（)

A.3B.4C.5D.6

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序，根據(jù)賦值語句的功能依次寫出每次循環(huán)得到的a,b,s,

n的值，當s=20時滿足條件s>16,退出循環(huán)，輸出n的值為4.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得

a=4,b=6,n=0,s=0

執(zhí)行循環(huán)體，a=2,b=4,a=6,s=6,n=l

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=2,b=4,a=6,s=16,n=3

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4

滿足條件s>16,退出循環(huán)，輸出n的值為4.

故選:B.

【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得

到的a,b,s的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）在^ABC中，B=2L,BC邊上的高等于LBC,則cosA等于（)

43

逗,3V10

AB.c.,VToD.

1010~10~10

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形.

a

【分析】作出圖形，令NDAC=0,依題意，可求得85。=迫=,'3=在,

A。唇產(chǎn)年-$

sine=2/￡利用兩角和的余弦即可求得答案.

5

【解答】解：設(shè)^ABC中角A、B、C、對應(yīng)的邊分別為a、b、c,ADLBC于D,

令NDAC=。,

,在aABC中，B=—,BC邊上的高AD=h=1BC=La,

433

.\BD=AD=la,CD=2a,

33

a

在RtAADC中,cosS二池二i3=故sine==f5,

ACJ-a)2+(當上55

.?iOS勺+e）=3?.』于於爭哈一堂X等一停

故選：c.

【點評】本題考查解三角形中，作出圖形，令NDAC=e,利用兩角和的余弦求cosA

是關(guān)鍵，也是亮點，屬于中檔題.

9.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三

視圖，則該多面體的表面積為（）

A.18+36遂B.54+18遙C.90D.81

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何.

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱柱，

進而得到答案.

【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱

柱，

其底面面積為：3X6=18,

側(cè)面的面積為：（3X3+3X^32+62）X2=18+18泥，

故棱柱的表面積為：18X2+18+18娓=54+18遙.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，

判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵.

10.（5分）在封閉的直三棱柱ABC-AiBiCi內(nèi)有一個體積為V的球，若ABLBC,

AB=6,BC=8,AAi=3,則V的最大值是（）

A.4nB.空C.6nD.3271

23

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何.

【分析】根據(jù)已知可得直三棱柱ABC-AiBiCi的內(nèi)切球半徑為W,代入球的體積

2

公式，可得答案.

【解答】解:VAB±BC,AB=6,BC=8,

.\AC=10.

故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑直6+8-10=2,

2

又由AAi=3,

故直三棱柱ABC-AiBiCi的內(nèi)切球半徑為工，

2

此時v的最大值,兀?弓產(chǎn)等，

故選:B.

【點評】本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，根據(jù)已知求出球的半徑，是解答

的關(guān)鍵.

22

11.(5分)已知0為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：A_+V_=l(a>b>0)的左焦點,

2,2

ab

A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF，x軸，過點A的直線I

與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的

離心率為()

A.1B.1C.2D.2

3234

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由題意可得F,A,B的坐標，設(shè)出直線AE的方程為y=k(x+a),分別

☆x=-c,x=O,可得M,E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，運用

三點共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值.

【解答】解：由題意可設(shè)F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),

設(shè)直線AE的方程為y=k(x+a),

令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),

設(shè)OE的中點為H,可得H(0,M),

2

由B,H,M三點共線，可得kBH=kBM，

ka

即為_g_=k(a-c),

-a-c-a

化簡可得轉(zhuǎn)=工，即為a=3c,

a+c2

可得e=￡=L

a3

另解：由△AMFs^AEO,

可得空￡=配，

aOE

由△BOHs^BFM,

可得」_=型=旦L

a+cFM2FM

艮口有2(a-c)=a+c艮[]a=3c>

aa

可得e=q=L

a3

故選：A.

【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線

方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于

中檔題.

12.(5分)定義"規(guī)范01數(shù)列"屈｝如下：｛aj共有2m項，其中m項為0,m

項為1,且對任意kW2m,ai，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m=4,

則不同的“規(guī)范01數(shù)列"共有()

A.18個B.16個C.14個D.12個

【考點】8B：數(shù)列的應(yīng)用.

【專題】16：壓軸題；23：新定義；38：對應(yīng)思想；4B：試驗法.

【分析】由新定義可得，"規(guī)范01數(shù)列"有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個數(shù)

相等，首項為0,末項為1,當m=4時，數(shù)列中有四個0和四個1,然后一一

列舉得答案.

【解答】解：由題意可知，"規(guī)范01數(shù)列"有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個

數(shù)相等，首項為0,末項為1,若m=4,說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有:

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,

0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;

0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,

1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;

0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,

0,1,1；0,1,0,1,0,1,0,1.共14個.

故選：C.

【點評】本題是新定義題,考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，枚舉時做到

不重不漏，是壓軸題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

x-y+l)0

13.（5分）若x,y滿足約束條件,x-2y《0，則z=x+y的最大值為_A_

x+2y-2(0

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】首先畫出平面區(qū)域，然后將目標函數(shù)變形為直線的斜截式，求在y軸的

截距最大值.

【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當直線經(jīng)過D點時，z最

大，

由卜-2y=。得口（匕工），

x+2y-2=02

所以z=x+y的最大值為1+A-z^；

2

【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃；一般步驟是：①畫出平面區(qū)域；②分析目標

函數(shù)，確定求最值的條件.

14.(5分)函數(shù)y=sinx-J§cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+近cosx的圖象至少向右

平移空個單位長度得到.

—3—

【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(u)x+4))的圖象變換.

【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】令f(x)=sinx+、/5cosx=2sin貝Uf(x-4))=2sin(x+--(1)),

33

依題意可得2sin(x+—-(t>)=2sin(x--2—),由-4)=2kn-(kGZ),

3333

可得答案.

【解答】解：,.,y=f(x)=sinx+\^cosx=2sin(x+三),y=sinx-?cosx=2sin(x--

33

.'.f(x-力)=2sin(x+—-4))(6>0),

3

令2sin(x+—-cf>)=2sin(x-2L),

33

貝-4)=2kR--(kez),

33

即(t)=22L-2kn(kGZ),

3

當k=0時，正數(shù)4)min=-^L，

3

故答案為：空.

3

【點評】本題考查函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(u)x+4))(A>0,u)>0)的

圖象，得到三-6=2kn-三(kGZ)是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題.

33

15.(5分)已知f(x)為偶函數(shù)，當xVO時，f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f

(x)在點(1,-3)處的切線方程是2X+Y+1=O.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】34：方程思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；52：導數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】由偶函數(shù)的定義，可得f(-x)=f(x),即有x>0時，f(x)=lnx-3x,

求出導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.

【解答】解：f(x)為偶函數(shù)，可得f(-x)=f(x),

當xVO時,f(x)=ln(-x)+3x,即有

x>0時，f(x)=lnx-3x,f(x)=—-3,

x

可得f(1)=lnl-3=-3,f(1)=1-3=-2,

則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程為y-(-3)=-2(x-1),

即為2x+y+l=O.

故答案為：2x+y+l=O.

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，同時考查函數(shù)的奇偶性的定義和

運用，考查運算能力，屬于中檔題.

16.(5分)已知直線I：mx+y+3m-J圣。與圓x2+y2=i2交于A,B兩點，過A,

B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點，若|AB|=2?,則|CD|=4.

【考點】J8：直線與圓相交的性質(zhì).

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5B：直線與圓.

【分析】先求出m,可得直線I的傾斜角為30。，再利用三角函數(shù)求出|CD|即可.

【解答】解:由題意,|AB|=2?,.?.圓心到直線的距離d=3,

.13m-V3|_

??—/--00，

7m2+l

/.m=-2Zl.

3

直線I的傾斜角為30。，

???過A,B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點，

/.|CD|=-^=4.

V3

2

故答案為：4.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查學生的計算能力，

比較基礎(chǔ).

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知數(shù)列分）的前n項和Sn=l+入an,其中入W0.

（1）證明｛an｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若S5=-^L求人.

32

【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式.

【專題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進行遞推，結(jié)合等比

數(shù)列的定義進行證明求解即可.

（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進行求解就可.

【解答】解：（1）?.?Sn=l+入an,入WO.

an^0.

.當n，2日寸，3n=Sn-Sn-1=1+入an-1-入an-1=入2（1-入an-1，

即（入-1）an=Aan-i>

?入WO,anWO..,.入-1W0.即入Wl,

即（n22）,

an-lXT

...{an}是等比數(shù)列，公比q=」

人-

當n=l時，Si=l+Xai=ai，

即31=*.1>

1-入

1.(>)n-1

??3n=-

1—入X—1

(2)若Ss=-^l->

32

則若S5=l+入［n?(-^-)叮=罵,

1-入X-132

即(X)5=罵_1=_工

1-X3232

則」^=-l，得入=-1.

1-X2

【點評】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)n22時，an=Sn-Sn-l的關(guān)系

進行遞推是解決本題的關(guān)鍵.考查學生的運算和推理能力.

18.（12分）如圖是我國至生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

注：份代碼1-7分別對應(yīng)份

（工）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以

證明；

（口）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測我國生活垃圾無害化

處理量.

附注：

771-71~

參考數(shù)據(jù)：￡yi=9.32,￡小=40.17,（y.2=0.55,道心2.646.

i=li=lVi=l1

n__

￡（t「t）（y「y）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=-^-------------------------------=,

Inn

22

、忙（tx-7）E（y-y）

Vi=li=l

回歸方程,魯會中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

V

Z

.

歸方程

線性回

】BK：

【考點

計.

與統(tǒng)

概率

；51：

思想

轉(zhuǎn)化

35：

題；

計算

】11：

【專題