初中數(shù)學(xué)幾何模型

初中數(shù)學(xué)幾何模型

【模型11倍長(zhǎng)

1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)相交

E

【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連

【例1】在菱形A8C。和正三角形8EF中，ZABC=6Q°,G是。尸的中點(diǎn)，連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，若AB=10,BF=4,求GE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫(xiě)出

你的猜想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)/在。的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)問(wèn)中關(guān)系還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想，并給予

證明.

【例2】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別是BC、CD上一點(diǎn)，連接DE、EF,且AE=AF,

ZDAE=ZBAF.

(1)求證：CE=CF；

(2)若NABC=120°,點(diǎn)G是線段AF的中點(diǎn)，連接。G,EG.求證：OG上GE.

【例3】如圖，在四邊形A5C。中，AB=CD,E、尸分別為BC、中點(diǎn)，BA交所延長(zhǎng)線

于G,CD交EF于H.求證：ZBGE=ZCHE.

【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例4】如圖，平行四邊形ABC。中，AE平分NBAO交BC邊于E,EP_L4E交CZ)邊于F,

交AD邊于H,延長(zhǎng)54到點(diǎn)G,使AG=CR連接GE若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF

的長(zhǎng)為.

【條件】OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

【結(jié)論】口。4c印OBD；ZAEB=ZOAB=NCOD（即都是旋轉(zhuǎn)角）；OE平分NAED；

【例5】如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)，點(diǎn)E在C。上,

且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CPLBE,垂足為R連接。F，則OF的長(zhǎng)為

【例6】如圖，口ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC邊上，連

結(jié)BE,AG_L8E于尸，交8C于點(diǎn)G,求NDFG

A

【例7】如圖，在邊長(zhǎng)為6行的正方形ABC。中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，BE=DG,連接EG,CFLEG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接CE、BH,若BH=8,則

FG=

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABC。中，ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°

【結(jié)論】AC平分ZBCD

【模型2】

［條件】如圖，四邊形ABCD中,AB^AD,ZBAD=Z.BCD=90°

【結(jié)論】①Z4Cfi=NACD=45°②BC+CD=OAC

【例8】如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=5,G為CD中點(diǎn)，DE=DG,FGLBE于F,則

DF為.

【例9】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,使BM=1,

連接AM,過(guò)點(diǎn)8作BNLAM,垂足為N,。是對(duì)角線AC、B。的

交點(diǎn)，連接ON,則ON的長(zhǎng)為.

【例10］如圖，正方形ABC。的面積為64,口是等邊三角形，尸是CE的中點(diǎn)，AE,

BF交于點(diǎn)、G,則。G的長(zhǎng)為.

半角模型

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中,AB^AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,

1A

NEAF=—NBAD,點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)R在直線CD上

2

【結(jié)論】BE、DF、所滿足截長(zhǎng)補(bǔ)短關(guān)系?//\

【模型2】

【條件】在正方形ABC。中，已知E、歹分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足/￡AF=45。，AE、

AF分別與對(duì)角線瓦)交于點(diǎn)加、N.

【結(jié)論】

BE+DF=EF?,(2)S^ABE+S^ADF=S^AEF^(3)AH=AB；(4)CA￡CF=2AB；

(5)BM^+DN^MN；

(6)AANMs/\DNF^ABEMsAAEF^叢BNAs^DAM；

(由A。：AH=AO；AB=1：后可得到△AMW和△4EP的相似比為1：行)；

(7)SAAMN=S四邊彩MNFE;(8)AAOM^AADF,^AON^AABE；

(9)AAEN為等腰直角三角形，ZAEN=45°；A4FM為等腰直角三角形，ZAFM=45°.

(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=1：V2)；

(10)A>M、F、。四點(diǎn)共圓，A、B、E、N四點(diǎn)共圓，M.N、F、C、E五點(diǎn)共圓.

【模型2變型】

【條件】在正方形ABC。中，已知E、尸分別是邊CB、OC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿足NEAQ45。

【結(jié)論】BE+EF=DF

【模型2變型】

【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊CB、OC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且滿足NEAF=45。

【結(jié)論】DF+EF=BE

【例11］如圖，AABC和AD姓是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=90。,

ADEF的頂點(diǎn)E與AABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合.將ADM繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于點(diǎn)Q.若

AQ=12,BP=3,貝!JPG=.

Q

【例12］如圖，在菱形ABC。中，AB=BD,點(diǎn)E、

BF與DE交于點(diǎn)G,連接CG與8。交于點(diǎn)H,若CG=1,貝IS四邊形如*=.

【條件】ZEDF=ZB=ZC,5.DE=DF

【結(jié)論】-CED

【例13］如圖，正方形ABCO中，點(diǎn)、E、F、G分別為A3、BC、C。邊上的點(diǎn)，EB=3,GC=4,

連接EGFG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則正方形的邊長(zhǎng)為.

1、將軍飲馬

2、費(fèi)馬點(diǎn)

【垂線段最短】

【兩邊之差小于第三邊】

【例16]

如圖，矩形ABC。是一個(gè)長(zhǎng)為1000米，寬為600米的貨場(chǎng)，A、。是入口.現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)

建一個(gè)收費(fèi)站尸，在鐵路線8c段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)X,設(shè)鋪設(shè)公路AP、DP以及PH之

長(zhǎng)度和為/.求/的最小值.

【例17】

如圖，E、尸是正方形ABC。的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足連接CP交BD于G,連

接8E交AG于點(diǎn)71,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段長(zhǎng)度的最小值是.

【例18]

如圖所示，在矩形ABC。中，AB=4,AD=442,E是線段AB的中點(diǎn)，尸是線段BC上的

動(dòng)點(diǎn)，ABEP沿直線所翻折到AB'M,連接DB，，加最短為.

《三垂直模型》

1、三垂直+一對(duì)應(yīng)邊相等一三角形全等

例2若點(diǎn)M為正方形ABCD邊AB上任意一點(diǎn)，作DM=MN交NABC外角的平分

線于點(diǎn)N,求證DMJLMN。

DCDC

例4在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD1MN于D,BEJLMN于E,?

<1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位費(fèi)時(shí)，顯然有：DE=AD+BE;。

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE=AD-BEj?>

<3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？

例3、ZkABC中，A8=AC,D為8c的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作/MDN=/8

<1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所

有與ZXADE相似的三角形.

<2）如圖（2）,將NMDN畿點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，DM,DN分別交線段AC,AB于E,

F點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合〉，不添加輔助線,寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)^DEF的面積等于^ABC的面積的工時(shí)，求

4

線段EF的長(zhǎng).

課后練習(xí)題

【練習(xí)1】如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE,4班=90。，AC、

BD交于O。已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3cm、5cm,求三角形。8E的面積.

C_____________________B

【練習(xí)2】----------------

問(wèn)題1：如圖1,在等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=BC=CD,點(diǎn)M,N分別在A。，CD

上，ZMBN=-ZABC,試探究線段MN,AM,CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜

2

想；

問(wèn)題2：如圖2,在四邊形A3C。中，AB=BC,NABC+NADC=180。，點(diǎn)”，N分別在D4,

C。的延長(zhǎng)線上，若/MBN=L/ABC仍然成立,請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段MV,AM,CN又有

2N

怎