2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練3　等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式

考點規(guī)范練3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式一、基礎(chǔ)鞏固1.已知a>b,c>d,且c,d都不為0,則下列不等式成立的是()A.ad>bc B.ac>bdC.a-c>b-d D.a+c>b+d答案:D解析:由不等式的同向可加性得a+c>b+d.2.(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是橢圓C:x29+y24=1的兩個焦點,點M在橢圓C上,則|MF1|·A.13 B.12 C.9 D.6答案:C解析:由題意知|MF1|+|MF2|=2a=6,則|MF則|MF1|·|MF2|≤9,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時,等號成立.故|MF1|·|MF2|的最大值為9.3.設(shè)a,b∈[0,+∞),A=a+b,B=a+b,則A,A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B答案:B解析:由題意知B2-A2=-2ab≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故選B.4.下列函數(shù)中最小值為4的是()A.y=x2+2x+4 B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-x D.y=lnx+4答案:C解析:A項,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故該項不符合題意;B項,設(shè)t=|sinx|,則y=t+4t,t∈(0,1]因為函數(shù)y=t+4t在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=1時,y取最小值,且ymin=1+41=5,C項,y=2x+22-x=2x+42設(shè)t=2x,則t>0,于是y=t+4t≥2t×4t=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即所以該項符合題意.D項,因為當(dāng)x∈(0,1)時,lnx<0,所以存在x使y<0,故該項不符合題意.5.(多選)已知6<a<60,15<b<18,則下列結(jié)論正確的是()A.abB.a+2b∈(21,78)C.a-b∈(-12,45) D.a答案:AC解析:因為15<b<18?118<1b<115,又6<a<60,所以根據(jù)不等式的性質(zhì)可得6×118<a×1b<60×1因為30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B錯誤;因為-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正確;a+bb=ab+1∈6.若兩個正實數(shù)x,y滿足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數(shù)A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)答案:D解析:因為x>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)·2x+1y=2+4yx+xy由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.已知a>0,b>0,且ab=1,則12a+1答案:4解析:∵ab=1,∴b=1a.∴1令1a+a=t>0,則原式=t2+8t≥2t2當(dāng)且僅當(dāng)t2=16,即t=4時,等號成立,此時1a+a=4二、綜合應(yīng)用8.(多選)若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說法正確的是()A.ab有最大值1B.a+bC.1aD.a2+b2有最大值1答案:AB解析:對于選項A,ab≤a+b22=122=1對于選項B,(a+b)2=a+b+2ab≤故a+b≤2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號對于選項C,1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba·對于選項D,由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2≥12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號.故a2+b2有最小值12.故9.如圖,計劃在一塊空地上種植面積為2400m2的草坪,草坪的四周留有人行通道.設(shè)計要求草坪外側(cè)南北的人行通道寬2m,東西的人行通道寬3m,則人行通道的占地面積最小是()A.550m2 B.538m2 C.528m2 D.504m2答案:D解析:設(shè)草坪的長(東西方向)為xm,則寬為2400道路占用面積S=6×2400x+4+4x=14400x+4x+24當(dāng)且僅當(dāng)14400x=4x,即x=60時故道路占地最小面積為504m2.10.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,y都成立,則實數(shù)a的最小值為(A.1 B.2 C.3 D.4答案:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,y都成立,∴2x+a2x≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2令g(x)=-(2x)2+4×2x,則a≥g(x)max=4,∴實數(shù)a的最小值為4.11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為答案:1解析:因為2a>0,18b>0,所以2a+18b=2a+2-3b≥22a·2-3b=22因為a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18b≥22-6=14,即12.已知存在實數(shù)a滿足ab2>a>ab,則實數(shù)b的取值范圍是.

答案:(-∞,-1)解析:由ab2>a>ab,得a≠0.當(dāng)a>0時,有b2>1>b,即b2>1,當(dāng)a<0時,有b2<1<b,即b2<1綜上可得b<-1.13.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.

答案:4解析:∵5x2y2+y4=1,∴y≠0,且x2=1-∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+4y25≥215y∴x2+y2的最小值為4514.已知實數(shù)x,y滿足-1<x+y<4,2<x-y<3,則3x+2y的取值范圍是.

答案:-解析:令3x+2y=m(x+y)+n(x-y),則m+n即3x+2y=52(x+y)+12(x-y由于-1<x+y<4,2<x-y<3,則-52<52(x+y)<10,1<12(所以-32<52(x+y)+12(即-32<3x+2y<2315.已知x>0,a為大于2x的常數(shù).(1)求函數(shù)y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2解:(1)由于x>0,a>2x,則y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2x+(a-2x)22=a(2)由于x>0,a>2x,則y=1a-2x-x=1a-2x+故y=1a-2x三、探究創(chuàng)新16.(2021浙江,8)已知α,β,γ是互不相同的銳角,則在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三個值中,大于12的個數(shù)的最大值是(A.0 B.1C.2 D.3答案:C解析:由基本不等式有sinαcosβ≤sin同理sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2,sin故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于12取α=π6,β=π3,γ=則sinαcosβ=14<12,sinβcosγ=64>1