初高中知識銜接-數學學案

第一講：數與式的運算(3課時)

第1課時絕對值

［知識要點］

絕對樓的而數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的

絕對值仍是零.即

a,a>0,

0,a=0,

-a,a<Q.

絕對值的幾何意義：一個1數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.

圖1一1(1)圖1一1⑵

兩個數的差的絕對值的幾何意義：|a—母表示在數軸上，數。和數〃之間的距離.

【典型例題】圖1一2(1)

例1解方程：

(1)|x-l|=2(2)|x-l|+|x-3|=4.

例2解不等式|2x-l|>|2x-3|

例3解不等式：(1)|x-l|+|x-3|>4(2)|2x+3|-|x-5|<5

例4解不等式欣+31<2

例5已知關于x的不等式Ix+2|+|x+3|<a有解，則實數a的取值范圍是

第2課時.二次根式

【知識要點】

一般地，形如右（a20）的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得

盡方的式子稱為無理式.例如3a+^a2+b+2b,證+b2等是無理式,而

+x+1,x2+yflxy+y2,Ju2等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有

理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的

積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如近與近，

與JZ,6+#與6-遙，26—30與26+30,等等.一般地，a&

與與。￡一久方，外后+人與。五一人互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號

的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根

號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運

算中要運用公式茄（a20,820）；而對于二次根式的除法，通常先寫

成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減

法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式G的意義

a,a>0,

=|a|="

-a,a<0.

-=^(?>0,Z?>0)

3.性質：(1)=\[a-y/b(a>0,h>(y)(2)

ayja

【典型例題】

例1.將下列式子化為最簡二次根式:

(1)712^：(2)>0)；(3)yl4x6y(x<0)

例2.化簡：⑴吊9-44(2)^x2+p-2(0<x<l).

(3)J(0一2尸+5(6-1)2

(4)血-X.+J(2T)2(x>l)

例3計算（沒有特殊說明，本節(jié)中出現的字母均為正數）:

3

(1)

2+6

例4計算:

(1)(■y/^+\/b+1)(1—yfci+—(\/fl+\[b)~

2+百______

求/+y3的值.

例52—打)-2+6

第三課時.分式

【知識要點】

1.分式的意義

AA

形如々的式子，若B中含有字母，且3/0,則稱々為分式.當A#0時，分

BB

為人口―21工AAxMAA^M

式”具有下列性質：—=—~—

BBBxM力-B三M

上述性質被稱為分式的基本性質.

2.繁分式

a

像竺畢吆這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【典型例題】

例1.化簡一—

1-X

r

X——

X

例2.若且巴=4+一日一，求常數A,8的值.

x(x+2)x尤+2

例3(1)試證：-i—=-一——(其中〃是正整數)；

〃(〃+1)n〃+1

(2)計算：-----1---------FH---------;

1x22x39x10

(3)證明：對任意大于1的正整數〃，有一一+」一++-------<-

2x33x4〃(幾+1)2

例4設e=￡,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

第二講：因式分解(2課時)

【知識要點】

因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變

形.在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技

能.

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差

公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組

分解法等等.

常用公式：平方差公式_______________________________

完全平方公式_____________________________

立方和公式_______________________________

立方差公式_______________________________

三數和平方公式___________________________

兩數和立方公式___________________________

兩數差立方公式___________________________

【典型例題】

一、公式法

例1、因式分解下列各式

(1)(x+pF_(x+g)2=

(2)(x+?+2(x+y)z+z?=

(3)27——=

(5)3?3/?-8W4=

(6)a1—abb=

二、十字相乘法

例2、把下列各式因式分解:

(1)x?—7x+6(2)X2+13x+36

(3)x2+5x—24(4)元之一2元—15

(5)12x^—5x—2(6)5x2+6xy-Sy2

(7)x2—(a+b)xy4-aby1(8)x2+xy-6y2

(9)xy—l+x—y(x2+x)~—8(r+x)+12

三、提取公因式與分組分解法

例3、把下列各式因式分解：

(1)三+9+3廠+3x(2)2ax-\Oay+5hy-hx

(3)ab(c2-d2)-(a2-kr)cd(4)x9—y2+cix+ay

(5)2x2+4xy+2y之一8z2(6)b2+c2+2ab+2ac+2bc

四、拆項、添項法

例4、分解因式V—3/+4

五、綜合應用

例5、試證明873—763能被u整除

例6、已知。+人=5,"=2,求代數式a2b+2片/+而2的值.

112131

例7、已知x+=2,求？廠+7,*+了

例8、已知a,仇c是AABC的三邊長，試比較（1+〃一°2）2與4a2〃的大小。

第三講：一元二次方程的判別式與韋達定理(2課時)

【知識要點】

現行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一

元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及

解析幾何等章節(jié)有著許多應用.本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數的關

系進行闡述.

一元二次方程ax2+bx+c-0(a^0)的判別式A=

判別式符號方程的實根情況

韋達定理：

如果一元二次方程or2+bx+c-0(a。0)的兩個根為A，/，那么

【典型例題】

一、與判別式和韋達定理有關的基本問題

例1、不解方程，判斷下列方程的實數根的個數：

(1)2x2-3x+1=0(2)4y?+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

例2、己知關于》的一元二次方程3%2一21+左=0,根據下列條件，分別求出女的

范圍：

(1)方程有兩個不相等的實數根；(2)方程有兩個相等的實數根

(3)方程有實數根；(4)方程無實數根.

例3、已知兩個數的和為4,積為一12,求這兩個數.

例4、若是方程/+2%-10=0的兩個根，試求下列各式的值:

2211

⑴Xy4-X2(2)---1---(3)(z%—5)(x)—5)

百x2

aa

(4)x1+X2(5)|七一為2I

例5、已知方程Jr?一3%+1=0

（1）求證：這個方程有兩個不相等的正根；

（2）設看,超是這個方程的兩個根

①寫出以M+1,電+1為根的一元二次方程

②寫出以22,七2為根的一元二次方程

③寫出以后，嘉"為根的一元二次方程

二、與判別式和韋達定理有關的含參問題

例6、判定下列關于x的方程的根的情況(其中“為常數)，如果方程有實數根,

寫出方程的實數根.

(1)x2-3x+3=0(2)x2-ar-l=O

(3)x2-av+(a-l)=O(4)xi-2x+a=Q

例7、已知關于x的方程/+2(m-2比+/+4=0有兩個實數根，并且這兩個實數

根的平方和比兩個根的積大21,求〃］的值.

例8、已知關于x的方程V—(A+l)x+_Lr+i=o,根據下列條件，分別求出人

4

的值.

(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根X,,%滿足|不|=馬.

例9、已知％,乙是一元二次方程4依2一4依+左+1=0的兩個實數根.

3

(1)是否存在實數*,使(2玉一々)(玉-2々)=一耳成立？若存在，求出&的值;

若不存在，請說明理由.

(2)求使出+查?-2的值為整數的實數女的整數值.

X2X]

第四講：正比例函數、反比例函數'一次函數

及簡單絕對值函數的圖象及性質（1課時）

【要點回顧】

1.函數概念、圖象及性質

[1]一次函數：稱y是x的一次函數，記為：y=kx+b（k.b

是常數，珈））

特別的，當8=0時，稱y是x的正比例函數。

[2]正比例函數的圖象與性質：函數產履（我是常數，原0）的圖象是的一

條直線，當______時，圖象過原點及第一、第三象限，y隨x的增大而；

當________時，圖象過原點及第二、第四象限，），隨x的增大而.

[3]一次函數的圖象與性質：函數y=3:+0伏、b是常數,原0）的圖象是過點（0,

切且與直線戶5平行的一條直線.設曠=依+。（嚀0）,則當_____時，?隨x的增大

而；當_____時，y隨x的增大而.

k

[4]反比例函數的圖象與性質：函數y=一（七0）是雙曲線，當_____時，圖象在第一、

x

第三象限，在每個象限中，y隨x的增大而；當時，圖象在第二、

第四象限.，在每個象限中，），隨x的增大而.雙曲線是軸對稱圖形，對稱

軸是直線y=x與y=-x；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點.

⑸分段函數：一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給

出，這種函數，叫作分段函數.

⑹絕對值的代數意義：.即|a|=.

⑺簡單絕對值函數的圖象：y=|x|是關于對稱且以_______為折點

的兩條折線；y=|x-3|呢？（絕對值函數實質上就是分段函數）

[8]平面直角坐標系內的對稱點：

對稱點或對稱直線方程對稱點的坐標

X軸______________

y軸

原點

點(a,b)

直線x=a

直線y

直線y=x

直線y=-x

【例題選講】

例1畫出下列函數的圖象：

12x-1

(1)y=-2x+1(2)y=—(3)y=——(4)y=----

xxx+2

(5)y=|x+11(6)y=\lx+1+

例2已知一次函數），=履+2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于A、

B兩點，。為原點，若。。8的面積為2,求此一次函數的表達式。

例3如圖，反比例函數y=±的圖象與一次函數y=的圖象交于A（l,3）,

x

8（〃,一1）兩點.

（1）求反比例函數與一次函數的解析式；

（2）根據圖象回答：當尤取何值時，反比例函數的值大于

一次函數的值.

第五講：二次函數的圖象及性質(1課時)

【知識要點】

1.二次函數y=0>?+如+，的圖像和性質

問題［1］函數與的圖象之間存在怎樣的關系？

問題［2］函數y=a(x+/i)2+A與,=如2的圖象之間存在怎樣的關系？

2.由上面的結論，我們可以得到研究二次函數丁=分2+法+《。。0)的圖象的

方法：

用配方法：y=cix2+-x\+c=cix+^-］+'_4ac可以得到頂點坐標且

Ia)L2a)4a

可得到y(tǒng)=ad+?！?《4/0)的圖象可以看作是將函數y=a^的圖象作左右平

移、上下平移得到的，

3.二次函數尸aF+bx+cS#))具有下列性質：

口］當a>0時，函數、=/+云+。圖象開口方向；頂點坐標為,

對稱軸為直線;當_________時，y隨著x的增大而；當

時，y隨著x的增大而；當_______時，函數取最小值__________.

⑵當a<0時，函數)，=/+法+c圖象開口方向；頂點坐標為，

對稱軸為直線；當________時，y隨著x的增大而；當時,

y隨著x的增大而；當_____時，函數取最大值.

上述二次函數的性質可以分別通過上圖直觀地表示出來.因此，在今后解決二

次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題.

2.二次函數的三種表示方式

［1］二次函數的三種表示方式：

(1).一般式：;

(2).頂點式：;

(3).交點式：.

說明：確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法，在選擇把二次函數的

關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二次函數

的關系式可設如下三種形式：

①給出三點坐標可利用一般式來求；

②給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求.

③給出三點，其中兩點為與X軸的兩個交點(x,,0).(x2,0)時可利用交點式來求.

【典型例題】

例1.用配方法迅速求出下列函數的頂點坐標，并畫出它們的圖象

(1)y=x2+4x+l(2)y=-2x2+5x4-3(3)y=x2-2mx+2

(進一步：介紹區(qū)間的概念，并畫出上列三個函數在指定區(qū)間上的圖象)

例2.求二次函數y=-3f—6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值

(或最小值)，并指出當x取何值時，)，隨尤的增大而增大(或減小)？并畫出該

函數的圖象.

例3.根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式.

(1)已知某二次函數的最大值為2,圖像的頂點在直線y=x+l上，并且圖象經

過點(3,-1)；

(2)已知二次函數的圖象過點(-3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離等于2：

(3)已知二次函數的圖象過點(一1,-22),(0,-8),(2,8).

第六講：利用二次函數的圖象求范圍（1課時）

【知識要點】

1.二次函數y=分？+/?x+c（。工0）的最值.

b

二次函數在自變量％取任意實數時的最值情況（當a>0時，函數在X=--

2a

46zc—b~b

處取得最小值”〃，無最大值；當4<0時，函數在X=-上處取得最大值

4672a

4ac-b2

--------,無取小值.

^a

2,二次函數最大值或最小值的求法.

第一步確定a的符號，a>0有最小值，“<0有最大值；

第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值.

3.求二次函數在某一范圍內的最值.

如：y=ax2+bx+c^.m<x<n（其中m<八）的最值.

第一步：先通過配方，求出函數圖象的對稱軸：x=x0；

第二步：利用圖象求出最值（或取值范圍）

【典型例題】

例1求下列函數的最大值或最小值.

（1）y=2x?一3x—5；（2）y———3x+4.

例2當14x42時，求函數y=—V—x+1的最大值和最小值.

例3二次函數,"％)=/一2》+3在下列區(qū)間上何時取到最值？最值為多少？

取最大值時X的

區(qū)間最小值取最小值時X的值最大值

值

(-00,+00)

[-13]

(26]

[-to]

(-⑸

[3,+(?)

第七講：最值的分類討論（3課時）

【知識要點】

求二次函數在某一范圍內的最值.

如：y=辦2+法在加（其中的最值.

第一步：先配方為y=a（x—。r+攵，求出函數圖象的對稱軸：x=h；

第二步：

類型I、若a,b,c與，"，"均為已知數字，利用圖象求出最值（或取值范圍）。

類型H、若a6,c與風〃不完全是已知數字，而是有未知字母，則必須討論,

圖象仍是不二的法寶。

[1]若a>0時求最小值，需分三種情況討論：

①對稱軸小于m即/z<m,即對稱軸在m<x<n的左側；

②對稱軸m<h<n,即對稱軸在〃的內部；

③對稱軸大于“即〃>〃，即對稱軸在m<x<n的右側。

,h<tn

即打加=<,m<h<n

,h>n

當a<0時求最大值，應該如何討論呢？

[2]若。>0時求最大值或。<0時求最小值，需分兩種情況討論:

n

①對稱軸光0<（一，即對稱軸在加<X<〃的中點的左側；

②對稱軸/〉W，即對稱軸在4〃的中點的右側；

說明：求二次函數在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位

置。

【典型例題】

一、對帶絕對值的二次函數分類討論

例1.設函數y=f+|x—2|—1.求函數的最小值.

二、動軸定x范圍問題

例2.已知函數-2<x<a,其中“N—2,求該函數的最大值與最小值，并

求出函數取最大值和最小值時的自變量x的值.

分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對。的取值進行討論.討

論過程中仍然要利用函數的圖象。

變式1：求關于x的函數y=/+2*+2在—54x45上的最小值。

三、定軸動X范圍問題

例3.已知函數y=￡+4X+3,其中求函數的最小值。

1，5

變式2：當fWxVf+1時，求函數>=—/一%——的最小值(其中/為常數).

22

四、綜合應用

例4.已知y=—幺+(4"-2)x—4/+4a,K0<x<2,試討論該函數最值的情

況.

第八講：二次函數最值的逆用（1課時）

【知識要點】

由二次函數的最值確定參數的值（或范圍）

【典型例題】

例1.函數y=d+2x+3在m上的最大值為3,最小值為2,求相的取值

范圍.

變式1：已知函數丁=/一2》+3,當OWx＜，〃時，函數的取值范圍是2?yW3,

求正數〃?的取值范圍.

例2.設。＞0,當一14x41時，函數y二一/一分+。+1的最小值是一4,最大

值是0,求匕的值.

第九講：二次函數的應用題（1課時）

【知識要點】

1.簡單的函數模型建立的基本步驟：

（1）審題——理解題意，分析條件和結論，理順數量關系。

（2）建立函數模型——將文字語言轉化成數學語言，建立相應的目標函數。

（3）求?！糜嘘P的函數知識，得到數學結論。

（4）還原——將用數學方法得到的結論，還原為實際問題的意義。

2.二次函數的運用

（1）利用二次函數的性質與思想方法處理方程、不等式等問題。

（2）建立二次函數模型解決實際問題。

【典型例題】

例1.某水廠要建造一個容積為8（X）0機3,深5機的長方體蓄水池，池壁每平方米的

造價為。元，池底每平方米的造價為2a元。把總造價y（元）表示為底的一邊x（m）

的函數，并指出其定義域；

例2.灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬及兩邊坡總長度為/，邊坡的傾斜角為60。

（1）求橫斷面面積y與底寬x的函數關系式；

（2）已知底寬xwd」］,求橫斷面的面積y的最大值和最小值。

例3.某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日

銷售量y（件）之間關系如下表所示：

x/元