matlab軟件歐拉算法教程

改進(jìn)的Euler方法改進(jìn)的Euler方法第二節(jié)Euler格式一階方法梯形格式是顯式Euler格式與隱式Euler格式的算術(shù)平均梯形格式改進(jìn)的Euler方法Euler格式是顯式算法，計(jì)算量小，但精度低梯形格式，精度較高，但是隱式算法，需要通過迭代過程求解，計(jì)算量大預(yù)測(cè)—校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的歐拉公式。改進(jìn)的Euler方法綜合兩種方法，先用Euler法得到一個(gè)初步的近似值單步顯式格式改進(jìn)的Euler方法改進(jìn)Euler方法計(jì)算框圖開始YN例2解例題3xnYn|yn-y(xn)|Yn|yn-y(xn)|y(xn)0.11.1

0.00461.09590.00051.09540.21.1918

0.00861.18410.00091.18320.31.2774

0.01251.26620.00131.26490.41.3582

0.01661.34340.00181.34160.51.4351

0.02091.41640.00221.41420.61.5090

0.02571.48600.00281.48320.71.5803

0.03111.55250.00331.54920.81.6498

0.03731.61650.00401.61250.91.7178

0.04451.67820.00491.67331.01.7848

0.05271.73790.00581.7321Euler法改進(jìn)Euler法準(zhǔn)確解Runge-Kutta方法改進(jìn)的Euler方法第三節(jié)拉格朗日中值定理準(zhǔn)確成立尋求計(jì)算平均斜率的算法

考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長(zhǎng)一定是一個(gè)h

嗎？

考察歐拉法，以xn的斜率值作為平均斜率Runge-Kutta方法的設(shè)計(jì)思想設(shè)法在[xn,xn+1]區(qū)間內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，利用這些斜率值，將他們加權(quán)平均作為平均斜率的近似，有可能構(gòu)造出更高精度的計(jì)算格式二、二階Runge-Kutta方法（1）首先希望能確定系數(shù)

1、

2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xn,yn

)

點(diǎn)作Taylor展開Step2:將K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:將yn+1與y(xn+1)在xn

點(diǎn)的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個(gè)未知數(shù)，

個(gè)方程。32存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫(kù)塔格式。Q:

為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？三、三階Runge-Kutta方法為進(jìn)一步提高精度，設(shè)除xn+p外再考察一點(diǎn)常用的三階R-K方法.R-K法的常用公式經(jīng)典R-K公式四、四階Runge-Kutta方法繼續(xù)上述過程，可以進(jìn)一步導(dǎo)出四階Runge-Kutta格式每一步計(jì)算需要四個(gè)函數(shù)值R-K(高階)方法不唯一,選擇不同的參數(shù)能得到不同的R-K公式注意的問題R-K方法的推導(dǎo)是基于Taylor展開法，因而要求解具有較好的光滑性，如果光滑性較差精度可能不如改進(jìn)Euler方法,最好采用低階算法而將步長(zhǎng)h

取小。Runge-Kutta法的主要運(yùn)算在于計(jì)算

Ki

的值，即計(jì)算

f

的值。計(jì)算量與可達(dá)到的最高精度階數(shù)的關(guān)系：753可達(dá)到的最高精度642每步須算Ki的個(gè)數(shù)四階R-K方法實(shí)現(xiàn)開始輸出x1,y1結(jié)束YN例4解例題4xnYn|yn-y(xn)|R-K3誤差y(xn)0.11.09590.00051.095440.45e-41.09540.21.18410.00091.183220.17e-41.18320.31.26620.00131.264910.15e-41.26490.41.34340.00181.341650.48e-41.34160.51.41640.00221.414220.25e-41.41420.61.48600.00281.483260.55e-41.48320.71.55250.00331.549210.14e-41.54920.81.61650.00401.6124780.21e-41.61250.91.67820.00491.673350.54e-41.67331.01.73790.00581.732090.06e-41.7321xnYn|yn-y(xn)|R-K4誤差y(xn)0.11.09590.00051.09540.21.18410.00091.1832170.17e-41.18320.31.26620.0013

1.26490.41.34340.00181.3416420.42e-41.34160.51.41640.0022

1.41420.61.48600.00281.4832420.42e-41.48320.71.55250.0033

1.54920.81.61650.00401.6124550.45e-41.61250.91.67820.0049

1.67331.01.73790.00581.7320560.43e-41.7321改進(jìn)Euler法一步需要計(jì)算兩個(gè)函數(shù)值(h=0.1)四階Runge-Kutta方法一步需要計(jì)算四個(gè)函數(shù)值（h=0.2）總計(jì)算量大致相當(dāng)，但四階Runge-Kutta方法精度更高五、變步長(zhǎng)Runge-Kutta方法從每一步看，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差越小；但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一