北京市東城區(qū)2023-2024學年八年級下學期期末數(shù)學試題（解析版）

東城區(qū)2023—2024學年度第二學期期末統(tǒng)一檢測初二數(shù)學2024.7考生須知1．本試卷共8頁，共三部分，共28題，滿分100分．考試時間100分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和教育ID號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題(本題共30分，每小題3分)下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.計算的結果是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)求解.根據(jù)得=3故答案為A【點睛】考核知識點：算術平方根性質(zhì).理解定義是關鍵.2.下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式：1、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2、被開方數(shù)不含分母，根據(jù)最簡二次根式的定義即可求解．A、，不是最簡二次根式，不符合題意；B、，是最簡二次根式，符合題意；C、，不是最簡二次根式，不符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：B．3.某運動品牌專營店店主對上一周新進的某款T恤衫銷售情況統(tǒng)計如下：尺碼39404142434445平均每天銷售數(shù)量/件1023303528218該店主決定本周進貨時，增加一些42碼的T恤衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.眾數(shù)【答案】D【解析】【分析】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故影響該店主決策的統(tǒng)計量是眾數(shù)．故選：D．4.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理依次判斷．解：A、，不能組成直角三角形，故不符合題意；B、，能組成直角三角形，故符合題意；C、，不能組成直角三角形，故不符合題意；D、，不能組成直角三角形，故不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握定理的判斷方法是解題的關鍵．5.下列命題中正確的是（）A.對角線互相垂直平分且相等四邊形是正方形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】A【解析】【分析】本題主要考查正方形、矩形、菱形、平行四邊形的判定，根據(jù)正方形、矩形、菱形、平行四邊形的判定定理進行判定即可得到結論解：A.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，說法正確，故選項A符合題意；B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，原說法錯誤，故選項B不符合題意；C.對角線相等的平行四邊形是矩形，原說法錯誤，故選項C不符合題意；D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原說法錯誤，故選項D不符合題意；故選：A6.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.解：∵k＝3>0，∴一次函數(shù)y＝3x+2的圖象經(jīng)過第一、三象限，∵b＝2＞0，∴一次函數(shù)y＝3x+2的圖象與y軸的交點在x軸上方，∴一次函數(shù)y＝3x+2的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，即一次函數(shù)y＝3x+2的圖象不經(jīng)過第四象限．故選D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知一次函數(shù)k、b的符號與其經(jīng)過的象限是解題的關鍵.7.如圖，一根長的吸管置于底面直徑為，高為的杯子中，則吸管露在杯子外面的長度不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求出吸管露在杯子外面的長度的最短距離，再求出吸管露在杯子外面的長度的最長距離，進而可得出結論．解：如圖，當吸管、底面直徑、杯子的高恰好構成直角三角形時，吸管露在杯子外面的長度最短，此時，故吸管露在杯子外面的長度的最短距離；當吸管垂直杯子底面時，吸管露在杯子外面的長度為，即吸管在杯子外端的長度范圍是，選項D不符合題意，故選：D8.如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為（）A.8 B.16 C.32 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，最后由菱形的面積公式計算即可得出答案．解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積為，故選：B．9.如圖，在四邊形中，P是對角線的中點，點E，F(xiàn)分別是的中點，，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形中位線定理得到，，得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．解：∵P是的中點，E是的中點，∴是的中位線，∴，,∴∴同理，，∵，∴，∴，故選：B．10.下面的四個問題中都有兩個變量：①正方形的面積與邊長；②等腰三角形周長為20，底邊長與腰長；③汽車從地勻速行駛到地，汽車行駛的路程與行駛時間；④用長度為10的繩子圍成一個矩形，矩形的面積與一邊長．其中，變量與變量之間的函數(shù)關系可以用形如(其中是常數(shù)，)的式子表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】本題考查了用關系式表示變量之間的關系，根據(jù)題意分別表示出變量之間的關系，逐項判斷即可得出答案．解：①正方形的面積與邊長，則，故不符合題意；②等腰三角形周長為20，底邊長與腰長，則，即，故符合題意；③汽車從地勻速行駛到地，汽車行駛的路程與行駛時間，則，故符合題意；④用長度為10的繩子圍成一個矩形，矩形的面積與一邊長，則，故不符合題意；綜上所述，符合題意的有②③，故選：C．二、填空題(本題共16分，每小題2分)11.已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二，四象限，請寫出一個符合條件的函數(shù)表達式______．【答案】y=-2x（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得出k<0求解即可．解：∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過第二，四象限，∴k<0，∴函數(shù)解析式為：y=-2x，故答案為：y=-2x（答案不唯一）【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．12.若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．由題意知，，計算求解即可．解：由題意知，，解得，，故答案為：．13.如圖，點A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為3，，且，以原點O為圓心，以為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】直接利用勾股定理得出的長，進而得出答案．解：由題意可得：故弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)為：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確得出的長是解題關鍵．14.一次函數(shù)中兩個變量x，y的部分對應值如下表所示：x…0y…97531那么關于x的不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，由表格得到函數(shù)的增減性后，再得出時，對應的x的值即可．解：當時，，根據(jù)表可以知道函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴不等式的解集是．故答案為：．15.某招聘考試分筆試和面試兩部分．其中筆試成績按、面試成績按計算加權平均數(shù)作為總成績．小明筆試成績?yōu)?0分，面試成績?yōu)?5分，那么小明的總成績?yōu)開__________分；【答案】81【解析】【分析】本題考查了加權平均數(shù)的計算，熟練掌握加權平均數(shù)的計算公式是解題的關鍵．解：∵筆試成績按、面試成績按，∴總成績是（分），故答案：81．16.我國漢代數(shù)學家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”．如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接．若正方形的面積為5，，則的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，證明得出，再結合正方形的面積公式即可得出答案．解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵正方形的面積為5，∴，故答案為：．17.如圖，在矩形中，E為上一點，將矩形的一角沿向上折疊，點B的對應點F恰好落在邊上．若的周長為12，的周長為24，則的長為________．【答案】4【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，找出線段之間的數(shù)量關系是解題關鍵．由矩形和折疊的性質(zhì)可知，，，，再根據(jù)三角形周長，求得，，然后利用勾股定理，求出的長，即可得到答案．解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，的周長為12，的周長為24，，，，，，，在中，，，解得：，，，故答案為：4．18.碳是碳元素的一種同位素，具有放射性．活體生物其體內(nèi)的碳含量大致不變，當生物死亡后，機體內(nèi)的碳含量會按確定的比例衰減(如圖所示)，機體內(nèi)原有的碳含量衰減為原來的一半所用的時間稱為“半衰期”．考古學者通常可以根據(jù)碳的衰變程度計算出樣品的大概年代．以下幾種說法中，正確的有：________．①碳半衰期為5730年；②碳的含量逐漸減少，減少的速度開始較快，后來較慢；③經(jīng)過六個“半衰期”后，碳的含量不足死亡前的百分之一；④若某遺址一生物標本2023年出土時，碳的剩余量所占百分比為，則可推斷該生物標本大致屬于我國的春秋時期(公元前770年一公元前475年)．【答案】①②【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象中獲取信息，根據(jù)函數(shù)圖象提供的信息逐項判斷即可得出答案，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．解：由圖象可得：碳的半衰期為5730年，碳的含量逐漸減少，減少的速度開始較快，后來較慢；故①②正確；∵每經(jīng)過一個半衰期，剩余量變?yōu)樵瓉淼?，∴?jīng)過六個半衰期后，碳的含量不足死亡前的，故③錯誤；由圖象可得：碳的剩余量所占百分比為所花時間為：，∴，∴若某遺址一生物標本2023年出土時，碳的剩余量所占百分比為，則可推斷該生物標本大致屬于我國的公元后年，故④錯誤，綜上所述，正確的有①②，故答案為：①②．三、解答題(本題共54分，第19題4分，第20—24題每小題5分，第25題6分，第26題5分，第27-28題，每小題7分)解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．19.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法和除法，再將二次根式化簡，最后計算加減即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．解：．20.已知：如圖，在中，．求作：以為對角線的矩形．作法：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P，作射線與交于點D；②以點A為圓心，的長為半徑畫弧；再以點C為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在的右側交于點E；③連接．四邊形為所求的矩形．（1）根據(jù)以上作法，使用直尺和圓規(guī)補全圖形(保留作圖痕跡)；（2）完成以下證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形()．(填推理的依據(jù))由作圖可知，平分，又∵，∴()．(填推理的依據(jù))∴．∴平行四邊形是矩形()．(填推理的依據(jù))【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定，角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形三線合一：（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理和等腰三角形三線合一定理證明即可．【小問1】解：如圖所示，即為所求；【小問2】證明：∵，∴四邊形為平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．由作圖可知，平分，又∵，∴(三線合一定理)．∴．∴平行四邊形是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)．21.如圖，平行四邊形的對角線，相交于點O，E、F分別是、的中點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分得出，，利用中點的定義得出，從而利用平行四邊形的判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定是平行四邊形，從而得出．證明：連接，，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形,∴,∵分別是的中點,，∴,∴是平行四邊形，∴.22.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）一次函數(shù)的圖象與x軸交于點B，求的面積．【答案】（1），詳見解析（2）的面積2，詳見解析【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)與系數(shù)的關系，三角形的面積等知識點，(1)先根據(jù)直線平移時k的值不變得出，再將點代入，求出b的值，即可得到一次函數(shù)的解析式；(2)求得B的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；熟練掌握其性質(zhì)，靈活利用數(shù)形結合是解決此題的關鍵．【小問1】∵一次函數(shù)的圖象由直線平移得到，∴，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴∴，∴一次函數(shù)的解析式為；【小問2】如圖，令，則，∴，∴，∴的面積為2．23.數(shù)學興趣小組的同學想要自制彈簧測力計，為此他們需要了解彈簧在彈性限度內(nèi)的彈簧長度與拉力的關系，再根據(jù)實驗數(shù)據(jù)制作彈簧測力計．經(jīng)過實驗測量，他們得到了6組拉力與彈簧長度之間的數(shù)據(jù)，如表所示：彈簧受到的拉力(單位：)0510152025彈簧的長度(單位：)6810121416（1）在平面直角坐標系中，描出以上述試驗所得數(shù)據(jù)為坐標的各點并順次連線；（2）結合表中數(shù)據(jù)，求出彈簧長度關于彈簧受到的拉力的函數(shù)表達式；（3）若彈簧的長度為，求此時彈簧受到的拉力的值．【答案】（1）見解析（2）（3）若彈簧的長度為，此時彈簧受到的拉力的值為【解析】【分析】本題考查了畫函數(shù)圖象、一次函數(shù)的應用，正確求出一次函數(shù)解析式是解此題的關鍵．（1）先描點、再連線，即可得出函數(shù)圖象；（2）利用待定系數(shù)法計算即可得出答案；（3）求出當時的的值即可．【小問1】解：描點、連線如圖所示：；【小問2】解：設彈簧長度關于彈簧受到的拉力的函數(shù)表達式為，將，代入函數(shù)解析式得：，解得：，∴彈簧長度關于彈簧受到的拉力的函數(shù)表達式為；【小問3】解：由題意得：當時，，解得：，∴若彈簧的長度為，此時彈簧受到的拉力的值為．24.某校舞蹈隊共有12名學生，測量并獲取了所有學生的身高(單位：)，數(shù)據(jù)整理如下：a．12名學生的身高∶160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b．12名學生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.3（1）寫出表中，的值；（2）現(xiàn)將12名學生分成如下甲乙兩組．對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好．據(jù)此推斷：在下列兩組學生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是(填“甲組”或“乙組”)；甲組學生的身高165167167168168171乙組學生的身高160164164166167169（3）該舞蹈隊要選六名學生參加藝術節(jié)比賽，已經(jīng)確定甲組四名參賽的學生的身高分別為165，167，168，168．在乙組選擇另外兩名參賽學生時，要求所選的兩名學生與已確定的四名學生所組成的參賽隊身高的方差最小，則乙組選出的另外兩名學生的身高分別為和．【答案】（1），（2）甲組（3）、【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的求法是解此題的關鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可得出答案；（2）分別計算出甲組、乙組學生身高的方差，進行比較即可得出答案；（3）先計算出已經(jīng)選擇的4名學生的身高的平均數(shù)，結合題意分析即可得出答案．【小問1】解：由題意得：中位數(shù)，眾數(shù)；【小問2】解：甲組學生身高的平均值是，甲組學生身高的方差是，乙組學生身高的平均值是，乙組學生身高的方差是，∵，∴舞臺呈現(xiàn)效果更好的是甲組；【小問3】解：∵，∴在乙組選擇另外兩名參賽學生時，要求所選的兩名學生與已確定的四名學生所組成的參賽隊身高的方差最小，則選擇的乙組的學生的身高接近，故乙組選出的另外兩名學生的身高分別為和．25.如圖，矩形中，點E為邊上任意一點，連結，點F為線段的中點，過點F作，與、分別相交于點M、N，連結、．（1）求證：四邊形為菱形；（2）若，，當時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知證明，證得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形是平行四邊形，然后證明，即可證得結論；（2），，則，設，則，利用勾股定理求出x即可解答．【小問1】證明：矩形中，，∴，，∵點F為的中點，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵于點F，，∴，∴四邊形為菱形；【小問2】解：∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，設，則，在中，，即，解得，∴的長為5．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．26.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數(shù)：的值小于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）（2）的取值范圍為【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）當時，，然后結合題意，得不等式，即可求出的取值范圍．【小問1】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴，解得：，∴這個一次函數(shù)的解析式為；【小問2】解：當時，，根據(jù)題意得：當時，，解得：，∵當時，對于的每一個值，函數(shù)：的值小于函數(shù)的值，∴的取值范圍為．27.如圖，正方形中，點在延長線上，點是的中點，連接，在射線上方作，且．連接．（1）補全圖形；（2）用等式表示與的數(shù)量關系并證明；（3）連接，若正方形邊長為5，直接寫出線段的長．【答案】（1）見解析（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；（2）作交的延長線于，則，證明，得出，從而得到，進而得出，作交的延長線于，連接，則四邊形為正方形，再證明得出，證明出為等腰直角三角形，最后由等腰直角三角形的性質(zhì)結合勾股定理即可得出答案；（3）由（2）可得：四邊形為正方形，，，由正方形的性質(zhì)結合題意得出，，計算出，即可得解．【小問1】解：補全圖形如圖所示：；【小問2】解：，證明如下：如圖，作交的延長線于，則，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∵點是的中點，∴，∴，即，作交的延長線于，連接，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，∴，∴；【小問3】解：如圖所示：，由（2）可得：四邊形為正方形，，，∵正方形邊長為5，，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．28.在平面直