2025蘇教版高一數(shù)學(xué)第1章 1.1 第1課時(shí)　集合的概念

2025蘇教版高一數(shù)學(xué)1.1集合的概念與表示第1課時(shí)集合的概念1．通過(guò)實(shí)例了解集合的含義．(難點(diǎn))2．掌握集合中元素的三個(gè)特性．(重點(diǎn))3．體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1．通過(guò)集合概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助集合中元素的互異性的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．在生活與學(xué)習(xí)中，為了方便，我們經(jīng)常要對(duì)事物進(jìn)行分類．例如，圖書館中的書是按照所屬學(xué)科等分類擺放的(如圖所示)，作文學(xué)習(xí)可按照文體如記敘文、議論文等進(jìn)行，整數(shù)可以分成正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零這三類……你能說(shuō)出數(shù)學(xué)中其他分類實(shí)例嗎？試著分析為什么要進(jìn)行分類．知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念(1)一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性．假如在軍訓(xùn)時(shí)教官喊“全體高個(gè)子同學(xué)集合”，你會(huì)去集合嗎？[提示]不去，不清楚自己是不是高個(gè)子．集合中的元素必須同時(shí)具備確定性、互異性、無(wú)序性．反過(guò)來(lái)一組對(duì)象若不具備這三個(gè)特性中任何一個(gè)，則這組對(duì)象不能構(gòu)成集合．集合中元素的三個(gè)特性是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的重要依據(jù)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)接近于－1的數(shù)可以組成集合． ()(2)一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素． ()(3)組成集合的元素一定是數(shù)． ()[答案](1)×(2)×(3)×知識(shí)點(diǎn)2元素與集合1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關(guān)系(1)屬于(符號(hào)：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號(hào)：或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作aA或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．2．已知集合A中有兩個(gè)元素2和a－1且3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________．4[由題意知a－1＝3，即a＝4．]知識(shí)點(diǎn)3常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR3．用“∈”或“”填空．3.5________N；－4________Z；0.5________R；eq\r(2)________N*；eq\f(1,3)________Q．∈∈∈[因?yàn)?.5不是自然數(shù)，故3.5N；因?yàn)椋?是整數(shù)，故－4∈Z；因?yàn)?.5是實(shí)數(shù)，故0.5∈R；因?yàn)閑q\r(2)不是正整數(shù)，故eq\r(2)N*；因?yàn)閑q\f(1,3)是有理數(shù)，故eq\f(1,3)∈Q．]類型1集合的概念【例1】(1)考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于3的自然數(shù)；④截至2022年1月1日，參加一帶一路的國(guó)家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④(2)下列說(shuō)法中，正確的有________．(填序號(hào))①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；②集合M中有3個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合．(1)B(2)②[(1)①中“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，②③④中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選B．(2)①不正確．book的字母o有重復(fù)，共有3個(gè)不同字母，元素個(gè)數(shù)是3．②正確．集合M中有3個(gè)元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無(wú)關(guān)．]判斷一組對(duì)象為集合的依據(jù)1確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合.2互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個(gè)數(shù).3無(wú)序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無(wú)關(guān).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合．(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某校2021年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)eq\r(3)的近似值的全體．[解](1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合．(2)能構(gòu)成集合．(3)“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無(wú)法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)(如“2”)是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．類型2元素與集合的關(guān)系【例2】(1)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①π∈R；②eq\r(3)∈R；③eq\r(6)Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．A．2B．3C．4D．5(2)已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6，當(dāng)a∈A，有6－a∈A．則a的值為_(kāi)_______．(1)C(2)2或4[(1)π是無(wú)理數(shù)，∴π∈R，故①正確．eq\r(3)是無(wú)理數(shù)，∴eq\r(3)∈R，②正確．eq\r(6)是無(wú)理數(shù)，∴eq\r(6)Q，③正確．0是自然數(shù)是非負(fù)整數(shù)，0∈N，故④錯(cuò)誤．|－2|＝2∈Z，⑤正確．故選C．(2)集合A含有三個(gè)元素2,4,6且當(dāng)a∈A，有6－a∈A．a(chǎn)＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4．綜上所述，a＝2或4．]判斷元素與集合關(guān)系的方法1直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.2推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3[∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素個(gè)數(shù)為3．]類型3集合中元素的特性及應(yīng)用【例3】已知集合A中含有兩個(gè)元素1和a2，若a∈A，求實(shí)數(shù)a的值．若集合A中含有兩個(gè)元素a，b，則a，b滿足什么關(guān)系？若1∈A，則元素1與集合A中元素a，b存在怎樣的關(guān)系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1．[解]由題意可知，a＝1或a2＝a．(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)．又當(dāng)a＝0時(shí)，A中含有元素1和0滿足集合中元素的互異性，符合題意．綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為0．[母題探究]1．(變條件)本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1．2．(變條件)已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1．當(dāng)a＝1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，所以a≠1．當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A含有兩個(gè)元素1，－1，符合集合中元素的互異性．所以a＝－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值．[解]因?yàn)椋?∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3和－1．符合要求．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3．符合要求．綜上所述，a的值為0或－1．1．下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是()A．一切很大的數(shù)B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的實(shí)數(shù)根[答案]D2．下列結(jié)論不正確的是()A．0∈N B．eq\r(2)QC．0Q D．8∈ZC[0是有理數(shù)，故0∈Q，所以C錯(cuò)誤．]3．若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形A[由于a，b，c，d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解構(gòu)成的，若集合A中的元素是a，b，則a＋b＝________．2[因?yàn)榉匠蘹2－2x－3＝0的解為3和－1，所以a＋b＝2．]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素，且2∈A，求m的值．[解]由2∈A可知，若m＝2，則m2－3m＋2＝0．這與m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當(dāng)m＝0時(shí)與m≠0相矛盾．當(dāng)m＝3時(shí)，集合中含有3個(gè)元素0,2,3．故m的值為3．回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．元素與集合是怎樣定義的？它們之間的關(guān)系是什么？[提示]一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素．元素與集合之間為屬于(或不屬于)關(guān)系．2．利用集合中元素的特性解題時(shí)應(yīng)注意什么？[提示]不要忽視集合中元素的互異性．第2課時(shí)集合的表示1．掌握集合的兩種常用表示方法(列舉法和描述法)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．通過(guò)實(shí)例選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解決問(wèn)題．(重點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)描述法表示集合的方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助描述法轉(zhuǎn)化為列舉時(shí)的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．集合是數(shù)學(xué)中最基本的語(yǔ)言，在今后的數(shù)學(xué)中，我們都要用到它，要研究集合要在集合的基礎(chǔ)上研究其他問(wèn)題，首先要表示集合，為此我們來(lái)學(xué)習(xí)集合的表示方法．當(dāng)集合中元素較少時(shí)，如何直觀地表示集合？當(dāng)集合中的元素具有一定的規(guī)律性，又該如何直觀地表示集合？當(dāng)集合中的元素具有一定的規(guī)律性，又該如何表示這類集合？知識(shí)點(diǎn)1集合的表示方法表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來(lái)，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi){a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來(lái){x|p(x)}Venn圖法用一個(gè)封閉曲線圍成的平面區(qū)域的內(nèi)部表示一個(gè)集合(1)中國(guó)的五岳組成的集合適合用什么方法表示？如何表示？(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？[提示](1)列舉法，表示為{泰山，華山，衡山，恒山，嵩山}．(2)元素的共同特征為x∈R，且x<3．列舉法通常適用于元素個(gè)數(shù)有限的集合．若集合中的元素有無(wú)限個(gè)，但有一定的規(guī)律性也可用列舉法．描述法通常適用于元素個(gè)數(shù)較多而元素的排列又不呈現(xiàn)明顯規(guī)律的集合，或者根本就不能一一列舉的集合．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)0與{0}表示的是同一個(gè)集合． ()(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1,2}． ()(3)集合A＝{x|x>5，x∈N}是用描述法表示的一個(gè)集合． ()[答案](1)×(2)√(3)√知識(shí)點(diǎn)2集合的分類(1)集合的分類有限集含有有限個(gè)元素的集合無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等．2．(1)集合{1,2,3}與{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}與集合{2，b}相等，則a＋b＝________．(1)是(2)3[(1)集合{1,2,3}與{3,2,1}元素完全相同，故兩集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]類型1用列舉法表示集合【例1】用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根組成的集合C．[解](1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10．所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根為2，－1，所以C＝{2，－1}．用列舉法表示集合的步驟1求出集合的元素；2把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；3用花括號(hào)括起來(lái).提醒：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫成實(shí)數(shù)對(duì)的形式，元素與元素之間用“,”隔開(kāi).如{2,3，5,－1}.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．[解](1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根為－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的交點(diǎn)為(1,3)，所以D＝{(1,3)}．類型2用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．[解](1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0，即xy＝0，故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．利用描述法表示集合的關(guān)注點(diǎn)1寫清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{x|x<1，x∈R}不能寫成{x<1}.2所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)花括號(hào)內(nèi)，即{x|x＝2k，k∈Z}.3不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.4在通常情況下，集合中元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫.例如，方程x2－2x＋1＝0的實(shí)數(shù)解集可表示為{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；(3)如圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合．[解](1)函數(shù)y＝－2x2＋x的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(3)圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1))))．(4)3和4的最小公倍數(shù)是12，因此3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．類型3集合表示法的綜合應(yīng)用【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．[解](1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；(2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個(gè)元素，則方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時(shí)集合A＝{4}，滿足題意．綜上所述，k＝0或k＝1，故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}．[母題探究]1．(變條件)本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0．所以實(shí)數(shù)k組成的集合為{k|k<1，且k≠0}．2．(變條件)本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“至少有一個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根．①當(dāng)k＝0時(shí)，由－8x＋16＝0得x＝2，符合題意；②當(dāng)k≠0時(shí)，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0．綜合①②可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤1}．1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題．2．在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]集合A中有兩個(gè)元素，即關(guān)于x的方程ax2－3x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0．類型4集合相等【例4】(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}與B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且A＝B，則a＝________，b＝________．[思路點(diǎn)撥](1)解出集合A，并判斷與B是否相等；(2)找到相等的對(duì)應(yīng)情況，解方程即可．(1)是(2)－11[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．(2)由題意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．∴eq\f(b,a)＝－1，∴a＝－1，b＝1．]已知集合相等求參數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)集合相等的定義，建立關(guān)于參數(shù)的方程組，求解時(shí)還要注意集合中元素的互異性.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求實(shí)數(shù)x的值．[解]若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax，,a＋2b＝ax2，))消去b，則a＋ax2－2ax＝0，∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．當(dāng)a＝0時(shí)，集合B中的元素均為0，故舍去；當(dāng)x＝1時(shí)，集合B中的元素均為a，故舍去．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax2，,a＋2b＝ax，))消去b，則2ax2－ax－a＝0．又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．又∵x≠1，∴x＝－eq\f(1,2)．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，A＝B成立．綜上所述，x＝－eq\f(1,2)．1．下列四個(gè)集合中，是空集的為()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x|x2－1＝0，x∈N} D．{x|x>4}B[滿足x>8且x<5的實(shí)數(shù)不存在，故{x|x>8，且x<5}＝?．]2．(多選題)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集可表示為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))))))C．{1,2} D．{(1,2)}ABD[方程組的解應(yīng)為有序數(shù)對(duì)，故A、B、D正確．]3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集為_(kāi)_______．{x|x>1}[由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示為{x|x>1}．]4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，則a＋b＝________．1或eq\f(3,4)[∵M(jìn)＝N，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))∴a＋b＝1或eq\f(3,4)．]5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它們?nèi)齻€(gè)集合相等嗎？試說(shuō)明理由．[解]三個(gè)集合不相等，這三個(gè)集合都是描述法給出的，但各自的意義不一樣．集合A表示y＝x2＋3中x的范圍，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范圍，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的點(diǎn)組成的集合．回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特點(diǎn)？[提示]列舉法、描述法．列舉法通常適用于元素個(gè)數(shù)較少或元素有規(guī)律的集合．描述法通常適用于元素個(gè)數(shù)較多或無(wú)規(guī)律的集合．2．對(duì)集合的表示有什么要求？[提示]要根據(jù)集合元素的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希话阋献詈?jiǎn)原則．3．通過(guò)本節(jié)課培養(yǎng)了哪些核心素養(yǎng)和思想方法？[提示]培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．思想方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的思想．1.2子集、全集、補(bǔ)集第1課時(shí)子集、真子集1．理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合間是否有包含關(guān)系．(重點(diǎn))2．能通過(guò)分析元素的特點(diǎn)判斷集合間的關(guān)系．(難點(diǎn))3．能根據(jù)集合間的關(guān)系確定一些參數(shù)的取值．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助子集和真子集的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．如果一個(gè)班級(jí)中，所有同學(xué)組成的集合記為S，而所有女同學(xué)組成的集合記為F，你覺(jué)得集合S和F之間有怎樣的關(guān)系？你能從集合元素的角度分析它們的關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)1子集的概念及其性質(zhì)(1)子集定義如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱為集合B的子集符號(hào)表示A?B(或B?A)讀法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)圖示(2)子集的性質(zhì)①A?A，即任何一個(gè)集合是它本身的子集．②??A，即空集是任何集合的子集．③若A?B，B?C，則A?C，即子集具備傳遞性．(3)集合相等若A?B且B?A，則A＝B．1．(1)任何兩個(gè)集合之間是否一定有包含關(guān)系？(2)符號(hào)“∈”與“?”有何不同？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,2}與B＝{3,4}這兩個(gè)集合之間沒(méi)有包含關(guān)系．(2)符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系；而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系．不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)榧螦可能是空集，也可能是集合B．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)空集中只有元素0，而無(wú)其余元素． ()(2)任何一個(gè)集合都有子集． ()(3)若A＝B，則A?B且B?A． ()(4)若a∈A，則{a}?A． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√知識(shí)點(diǎn)2真子集的概念與性質(zhì)(1)真子集的概念如果A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA，讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性質(zhì)①?是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，則AC．2．{0}與?相等嗎？[提示]不相等．{0}表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?．2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3[集合A＝{0,1}，其真子集分別為?，{0}，{1}，共3個(gè)．]類型1確定集合的子集、真子集【例1】設(shè)A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫出集合A的子集與真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為：?；由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4}，{－1}，{4}；由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1,4}；故集合A的子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8個(gè)子集．真子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7個(gè)．確定子集、真子集的關(guān)鍵點(diǎn)和規(guī)律1．有限集的子集的確定問(wèn)題，求解關(guān)鍵有三點(diǎn)：(1)確定所求集合；(2)合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出，一般按元素從少到多的順序逐個(gè)寫出滿足條件的集合；(3)注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身．2．與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的三個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：(1)A的子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)；(2)A的真子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；(3)A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2個(gè)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知集合M滿足{1,2}M?{1,2,3,4,5}，寫出集合M所有的可能情況．[解]由題意可以確定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有3個(gè)元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4個(gè)元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5個(gè)元素：{1,2,3,4,5}．故滿足條件的集合M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．類型2集合關(guān)系的判斷【例2】指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列舉法表示集合B＝{1}，故BA．(2)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是實(shí)數(shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系．(3)∵P表示3的整數(shù)倍少1的數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，Q表示3的整數(shù)倍多2的數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，∴P＝Q．(4)等邊三角形是三邊相等的三角形，故AB．(5)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可發(fā)現(xiàn)AB．判斷集合關(guān)系的方法1觀察法：一一列舉觀察.2元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.3數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.提醒：若A?B和AB同時(shí)成立，則AB更能準(zhǔn)確表達(dá)集合A，B之間的關(guān)系.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．判斷下列各組中集合之間的關(guān)系：(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}．[解](1)因?yàn)槿魓是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以AB．(2)由圖形的特點(diǎn)可畫出Venn圖如圖所示，從而DBAC．類型3集合之間的包含關(guān)系【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？集合B中的元素有何特點(diǎn)？可能為空集嗎？m滿足什么條件時(shí)B＝?？[提示]集合B中的元素不確定，隨m的變化而變化.B可能為空集.,當(dāng)m＋1>2m－1時(shí)B＝?.[解](1)當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m<2．(2)當(dāng)B≠?時(shí)，如圖所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個(gè)不等式組，得2≤m≤3．綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．[母題探究]1．(變條件)若本例條件“A＝{x|－2≤x≤5}”改為“A＝{x|－2<x<5}”，其他條件不變，求m的取值范圍．[解](1)當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m<2．(2)當(dāng)B≠?時(shí)，如圖所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解