第13講 等腰三角形的性質(zhì)與判定2個知識點(diǎn)+9個考點(diǎn)+易錯分析-新八年級《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（人教版）解析版

第第頁第13講等腰三角形的性質(zhì)與判定(2個知識點(diǎn)+9個考點(diǎn)+易錯分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)．(重點(diǎn))2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))3．掌握等腰三角形的判定定理及其推論．(重點(diǎn))4．掌握等腰三角形判定定理的運(yùn)用．(難點(diǎn))知識點(diǎn)1.等腰三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．4.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．知識點(diǎn)2.等腰三角形的判定（重點(diǎn)）如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點(diǎn)歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.易錯點(diǎn)1：利用等腰三角形的性質(zhì)解題時(shí)考慮問題不全面在解決有關(guān)等腰三角形的角或邊的問題時(shí),如果沒有明確已知角是頂角還是底角,已知邊是底邊還是腰,已知三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形時(shí),一定要分類討論,防止漏解.易誤點(diǎn)2：忽略分類討論致錯若等腰三角形的形狀不確定,則腰上的高有可能在三角形內(nèi)部,也有可能在三角形外部,還可能在三角形的邊上,因此解答此類問題時(shí)需分類討論，畫圖分析易誤點(diǎn)3：誤用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)注意：等腰三角形的“三線合一”指的是頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合,但對于底角平分線、腰上的中線、腰上的高卻不一定相互重合考點(diǎn)1.利用等腰三角形的概念求邊長或周長【例1】如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是()A．9cmB．12cmC．15cm或12cmD．15cm解析：當(dāng)腰為3cm時(shí)，3＋3＝6，不能構(gòu)成三角形，因此這種情況不成立．當(dāng)腰為6cm時(shí)，6－3＜6＜6＋3，能構(gòu)成三角形；此時(shí)等腰三角形的周長為6＋6＋3＝15(cm)．故選D.方法總結(jié)：在解決等腰三角形邊長的問題時(shí)，如果不明確底和腰時(shí)，要進(jìn)行分類討論，同時(shí)要養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．【變式1-1】已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm、7cm，則該三角形的周長是（）A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm【分析】題中沒有指出哪個底哪個是腰，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，注意應(yīng)用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)3cm是腰時(shí)，3+3＜7，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去；當(dāng)7cm是腰時(shí)，周長＝7+7+3＝17（cm）．故它的周長為17cm．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊．【答案與解析】解：(1)3為腰長時(shí)，則另一腰長也為3，底邊長＝13－3－3＝7；(2)3為底邊長時(shí)，則兩個腰長的和＝13－3＝10，則一腰長．這樣得兩組：①3，3，7②5，5，3．而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3＋3＜7，故不能組成三角形，應(yīng)舍去．∴等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5．【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類討論．同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗(yàn)證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案．【變式1-3】若等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成了15cm和18cm兩部分，則它的腰長為cm．【分析】等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為15和6兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長，哪個是15，哪個是18，因此，有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)等腰三角形的腰長AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，∵BD是腰上的中線，∴AD＝DC＝x，若AB+AD的長為15，則2x+x＝15，解得x＝5，則x+y＝18，解得y＝13，所以2x＝10；若AB+AD的長為18，則2x+x＝18，解得x＝6，則x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9，所以2x＝12，10、10、13和12、12、9均能構(gòu)成三角形，所以等腰三角形的腰長為10或12．故答案為：10或12．【點(diǎn)評】主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的兩腰相等和中線的性質(zhì)求出腰長，再利用周長的概念求得邊長．最后要注意利用三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證．考點(diǎn)2.利用“等邊對等角”求角度【例2】等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.方法總結(jié)：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．【變式2-1】在等腰三角形中，有一個角為40°，求其余各角．【思路點(diǎn)撥】唯獨(dú)等腰三角形的角有專用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒有，然而此題沒有指明40°的角是頂角還是底角，所以要分類討論.【答案與解析】解：(1)當(dāng)40°的角為頂角時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)；(2)當(dāng)40°的角為底角時(shí)，另一個底角也為40°，則頂角的度數(shù)＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角為70°，70°或40°，100°．【總結(jié)升華】條件指代不明，做此類題應(yīng)分類討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏.【變式2-2】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答．(1)頂角為銳角如圖①，按題意頂角的度數(shù)為60°；(2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意；(3)頂角為鈍角如圖②，則頂角度數(shù)為120°，故此題應(yīng)選D．【總結(jié)升華】這是等腰三角形按頂角分類問題，對于等腰三角形按頂角分：等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，故解此題按分類畫出相應(yīng)的圖形再作答.【變式2-3】．（2023秋·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）中，，為上的高，且為等腰三角形，則等于（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，應(yīng)該考慮兩種情況，①在內(nèi)部；在外部．分別結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示，在內(nèi)部，∵，為上的高，∴，，∵是等腰三角形，∴，∴，∴，如圖所示，在外部，∵，為上的高，∴，，∵是等腰三角形，∴，∴，∴，所以等于或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角的計(jì)算．注意分類討論．此類題一般是利用等腰三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．考點(diǎn)3.利用方程思想求等腰三角形角的度數(shù)【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．解析：設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.【變式3-1】（2023秋?中山市期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，求各角的度數(shù)．【分析】設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)．，；，；，，；，，，．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；利用了三角形的內(nèi)角和定理得到相等關(guān)系，通過列方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（2023秋?濱城區(qū)期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，求：（1）圖中有哪些等腰三角形？（2）各角的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知和等腰三角形的定義，即可解答；（2）設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）圖中的等腰三角形有：，，，，，，，都是等腰三角形；（2）設(shè)，，，是的一個外角，，，，，，，，解得：，，，各角的度數(shù)分別為，，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】．（2023秋?南崗區(qū)校級月考）填空及解答：【教材例題展示】如圖1，在中，，點(diǎn)在上，且，求各角度數(shù)．解：，，，（等邊對等角），設(shè)，則，從而．于是在中，有，解得，所以，在中，，．【教材習(xí)題展示】①如圖2，在中，，若，則；若，則．（用含的式子表示）②如圖3，在中，，，延長至，使，延長至，使，連接，．則．【教材習(xí)題變式】①如圖4，在中，，，，則．②如圖5，在中，，，點(diǎn)，分別為邊，上的點(diǎn)，，若，則．【邊角規(guī)律再探】①如圖6，，連接、、，求證：．②如圖7，，點(diǎn)、、、、、．依次向右在的邊和上，并且依次有，請解決以下問題：（1）若依次到點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，則；（2）若此規(guī)律恰好最多可以進(jìn)行到字母，則的取值范圍是．【分析】【教材例題展示】由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理可求解；【教材習(xí)題展示】①由等腰三角形的性質(zhì)可求的度數(shù)，即可求解；②由等腰三角形的性質(zhì)可求，的度數(shù)，即可求解；【教材習(xí)題變式】①由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理列出方程，即可求解；②由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)列出方程可求解；【邊角規(guī)律再探】①由等腰三角形的性質(zhì)可設(shè)，由三角形的內(nèi)角和定理可得，即可求解；②（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，，，，即可求解；（2）由此規(guī)律恰好最多可以進(jìn)行到字母，可得，，即可求解．【解答】【教材例題展示】解：如圖1，，，，（等邊對等角），設(shè)，則，．，，在中，，，故答案為：；【教材習(xí)題展示】①解：如圖2，，，，，，；若，，，，；故答案為：，；②解：如圖3，，，，，，，，，，故答案為：；【教材習(xí)題變式】①解：如圖4，，，，，，，，故答案為：；②解：如圖5，，，，，，，，，，故答案為：；【邊角規(guī)律再探】①證明：如圖，設(shè)，設(shè)，，設(shè)，在和中，，，，，；②解：，，，，，，，為直角三角形，，，，故答案為：；（2）解：此規(guī)律恰好最多可以進(jìn)行到字母，，，即：，，．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4.利用“等邊對等角”的性質(zhì)進(jìn)行證明【例4】如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.解析：先由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)角平分線定義得到∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代換得到∠ECB＝∠F，于是根據(jù)平行線的判定得出EC∥DF.證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.方法總結(jié)：證明線段的平行關(guān)系，主要是通過證明角相等或互補(bǔ)．【變式4-1】已知：如圖，中，，是的外角，平分．求證：．【分析】由角平分線定義可得，再由三角形外角性質(zhì)可得，然后利用平行線的判定定理即可證明題目結(jié)論．【解答】證明：平分，．又，，，．．所以．【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，也利用了平行線的判定．【變式4-2】（2022春?海州區(qū)校級期中）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，連接并延長交于點(diǎn)，證明：．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，，，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，從而得出，即可證得結(jié)論．【解答】證明：，是等腰三角形，，是的中點(diǎn)，，，，，，即，，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】．已知，如圖，中，，是三角形外一點(diǎn)，于，于，且，求證：．【分析】由，得到，由于，于是得到，推出，求得，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：，，于，于，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5.利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行證明【例5】如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：AF⊥BC.解析：(1)過A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可證明；(2)先證BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．【變式5-1】如圖①所示，點(diǎn)，在的邊上，．（1）若，求證：．（2）如圖②所示，若，為的中點(diǎn)，，求的度數(shù)．【分析】（1）過作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，即可求出答案；（2）證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】（1）證明：如圖，過作于，，，，，，；（2）解：，為的中點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：等腰三角形的底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合．【變式5-2】如圖，中，點(diǎn)在延長線上，且，是的中線，平分，交于點(diǎn)，求證：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)三線合一定理證明平分，然后根據(jù)平分，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可證得；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)（1）題得到，從而得到結(jié)論．【解答】證明：（1），是的中點(diǎn)，．平分，．，．即．；（2），是的中線，，，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，頂角的平分線、底邊上的中線和高線、三線合一．【變式5-3】如圖，點(diǎn)，在的邊上，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）作于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）過點(diǎn)作于．，．，，．（2），是等邊三角形，．，．．同理可求得，．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高與頂角的平分線三線合一．考點(diǎn)6.與等腰三角形的性質(zhì)有關(guān)的探究性問題【例6】如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形；(2)請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE為角平分線，可證得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形；由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也符合題意；(2)BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，可得出BE⊥AD；(3)根據(jù)(2)，可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC.(2)AD與BE垂直．證明：由BE為∠ABC的平分線，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合，∴A、D是對稱點(diǎn)，∴AD⊥BE.(3)∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DE，,BE＝BE，))∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AB＝BD.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE為等腰直角三角形，∴DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.【變式6-1】（2024春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知等腰，，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），是線段延長線上一點(diǎn)，．（1）說明的理由；（2）小華在研究這個問題時(shí)，提出了一個新的猜想：點(diǎn)在運(yùn)動的過程中（不與點(diǎn)、重合），與是否會相等？，小麗思考片刻后，提出了自己的想法：可以在線段上取一點(diǎn)，使得，聯(lián)結(jié)，然后通過學(xué)過的知識就能得到與相等．你能否根據(jù)小麗同學(xué)的想法，說明的理由．【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理得，，則，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)及三角形內(nèi)角和定理得，再依據(jù)“”判定和全等得，，進(jìn)而得，然后根據(jù)及三角形內(nèi)角和定理得，由此即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，又，，；（2）解：在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，如下圖所示：，，由（1）可知：，在和中，，，，，，即，，，．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-2】．（2023秋?龍泉驛區(qū)期末）如圖，，，，．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）結(jié)論：．證明，即可；（2）求出，，可得結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：．理由：，，，，，，，，，；（2），，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)平行線的性質(zhì)．【變式6-3】．（2023秋?濰城區(qū)期中）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以，為底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點(diǎn)，使，連接，．（1）如圖1，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，延長交于點(diǎn)，探究與的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）先證，進(jìn)而得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，由此得，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出與的數(shù)量關(guān)系；（2）由（1）可知：，，則，利用三角形的內(nèi)角和定理和對頂角的性質(zhì)可得，即，據(jù)此可得得出與的關(guān)系．【解答】解：（1）與的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：、分別是以，為底邊的等腰三角形，，，，，，，，，，，在和，，；（2）與的關(guān)系是：，理由如下：由（1）可知：，，，，，，又，，，．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7.確定等腰三角形的個數(shù)【例7】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有()A．5個B．4個C．3個D．2個解析：共有5個．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD也是等腰三角形．故選A.方法總結(jié)：確定等腰三角形的個數(shù)要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，再按順序不重不漏地?cái)?shù)出等腰三角形的個數(shù)．【變式7-1】（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，和分別是和的平分線，且相交于點(diǎn)P．在圖中，等腰三角形（不再添加線段和字母）的個數(shù)為（

）

A．9個 B．8個 C．7個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角關(guān)系直接求出，，，，，，即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∵和分別是和的平分線，∴，∴，，∴，，，，，，，，是等腰三角形，故選：B；．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理與內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出角度．【變式7-2】如圖，在中，，，是的角平分線，則圖中的等腰三角形共有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由是的角平分線，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．【解答】解：是的角平分線，，，是等腰三角形①．，，是等腰三角形②．，，，，是等腰三角形③．故圖中的等腰三角形有3個．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，3)，在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有()A．3個B．4個C．5個D．6解析：因?yàn)椤鰽OP為等腰三角形，所以可分三類討論：(1)AO＝AP(有一個)．此時(shí)只要以A為圓心AO長為半徑畫圓，可知圓與y軸交于O點(diǎn)和另一個點(diǎn)，另一個點(diǎn)就是點(diǎn)P；(2)AO＝OP(有兩個)．此時(shí)只要以O(shè)為圓心AO長為半徑畫圓，可知圓與y軸交于兩個點(diǎn)，這兩個點(diǎn)就是P的兩種選擇；(3)AP＝OP(一個)．作AO的中垂線與y軸有一個交點(diǎn)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)P的最后一種選擇．綜上所述，共有4個．故選B.方法總結(jié)：解決此類問題的方法主要是線段垂直平分線與輔助圓的靈活運(yùn)用以及分類討論時(shí)做到不重不漏．考點(diǎn)8.判定一個三角形是等腰三角形【例8】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點(diǎn)F，求證：△CEF是等腰三角形．解析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠CEF＝∠CFE，根據(jù)等角對等邊求得CE＝CF，從而求得△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法總結(jié)：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．【變式8-1】如圖，已知是等腰直角三角形，，是的平分線，，垂足為．（1）是等腰三角形嗎？請說明理由；（2）與垂直嗎？請說明理由？【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)等腰三角形的定義解答；（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上解答．【解答】（1）解：是等腰三角形．理由如下：，是的平分線，，，是等腰三角形；（2）．理由如下：在和中，，，，又，．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】已知：如圖，在中，，是的角平分線，是高，與相交于點(diǎn)．（1）若，，，求上的高．（2）求證：．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可求上的高．（2）根據(jù)余角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義可證．【解答】（1）解：．故上的高是4.8．（2）證明：，，是的角平分線，，，．【點(diǎn)評】考查了三角形的面積，余角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是熟練掌握并且靈活運(yùn)用．【變式8-3】如圖，在中，，是邊上的高，（1）尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（要求：先用鉛筆作圖，再用黑色筆把它涂黑，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）求證：為等腰三角形．【分析】（1）以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、，分別以、為圓心大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，直線射線交于，線段即為所求；（2）只要證明，即可推出．【解答】解：（1）如圖線段即為所求；（2），，，，，，，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考查作圖基本作圖，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．考點(diǎn)9.等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用【例9】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A＝50°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．解析：(1)根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝EF，再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF.(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CE，,∠B＝∠C，,BE＝CF，))∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.方法總結(jié)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．【變式9-1】已知：如圖，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，．求證：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路點(diǎn)撥】此題由等腰三角形的判定知AD＝DC，易證△ABD≌△CFD，要證BE⊥AC，只需證∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.【答案與解析】證明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.∵，∴∴AD＝CD∵，∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴BD＝FD.∵∠FDB＝90°，∴.∵，∴.∴BE⊥AC．【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵在于熟練的綜合運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過求證△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．【變式9-2】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接ME．求證：ME⊥BC．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【答案與解析】證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．【總結(jié)升華】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并證明出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】．（2023春·江蘇南通·八年級?？奸_學(xué)考試）已知：在中，，，點(diǎn)D邊上運(yùn)動，以為邊作且，與交于點(diǎn)G，連結(jié)．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)且時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意證明出，然后得到，進(jìn)而得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）首先根據(jù)題意證明出，然后得到，然后利用垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵在和中∴∴∴∴∵∴；（2）∵∴，即∴在和中∴∴∵，∴垂直平分∴∵∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?保定期末）如圖，在中，，是中線，是上一點(diǎn)，若，則A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由，為中線，利用三線合一得到垂直于，，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得解．【解答】解：，是中線，，，垂直平分，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?新鄉(xiāng)期末）已知等腰三角形一邊長為2，周長為8，則它的腰長為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】如果等腰三角形的腰長是2，得到等腰三角形的底邊長是4，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，因此等腰三角形的腰長不能是2；如果等腰三角形的底邊長是2，求出等腰三角形的腰長是3，滿足三角形三邊關(guān)系定理，等腰三角形的腰長是3．【解答】解：如果等腰三角形的腰長是2，等腰三角形的底邊長是，，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，等腰三角形的腰長不能是2；如果等腰三角形的底邊長是2，等腰三角形的腰長是，，滿足三角形三邊關(guān)系定理，等腰三角形的腰長是3，綜上所述，等腰三角形的腰長是3．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是要分兩種情況討論，由三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行判斷．3．（2023秋?無錫期末）已知一個等腰三角形的頂角等于，則它的底角等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：一個等腰三角形的頂角等于，且等腰三角形的底角相等，它的底角，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的兩個底角相等是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023秋?湘西州期末）生物小組的同學(xué)想用18米長的籬笆圍成一個等腰三角形區(qū)域作為苗圃，如果苗圃的一邊長是4米，那么苗圃的另外兩邊長分別是A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米【分析】分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：當(dāng)4米為腰時(shí)，另兩邊為，4米，10米，，不合題意舍去，當(dāng)4米為底邊時(shí)，另兩邊為：7米，7米，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?龍華區(qū)校級期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，則等于A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，即可解答．【解答】解：，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?惠濟(jì)區(qū)校級月考）如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，交于，若，，則的長是A．4 B．2.5 C．3 D．2【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)證明，則，同理可證，即可得到．【解答】解：平分，，，，，，同理可證，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?順義區(qū)期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知線段是等腰三角形的一邊，的三個頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則這樣的等腰三角形的個數(shù)為A．4個 B．6個 C．8個 D．10個【分析】分三種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為，；，，，；綜上所述：這樣的等腰三角形的個數(shù)為10，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．8．（2024春?中原區(qū)校級月考）如圖，已知中，，，在直線或射線取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造等腰三角形的方法，分三種情況：①構(gòu)造中垂線；②以為圓心，長為半徑作圓；③以為圓心，長為半徑作圓；他們與直線或射線的交點(diǎn)即是點(diǎn)，從而得到結(jié)論．【解答】解：分三種情況：①構(gòu)造中垂線，、即為所求，如圖所示：②以為圓心，長為半徑作圓，、即為所求，如圖所示：③以為圓心，長為半徑作圓，即為所求，如圖所示：綜上所述，在直線或射線取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)有、、、、共5個，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是等腰三角形判定的應(yīng)用．二．填空題（共6小題）9．（2024春?兩江新區(qū)期末）已知等腰三角形的一邊長等于6，一邊長等于12，則它的周長等于30．【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，即可得第三邊的長，據(jù)此即可求解．【解答】解：設(shè)第三邊長為x，則6＜x＜18，故此等腰三角形的第三邊長為12，故它的周長為：6+12+12＝30，故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，確定出第三邊的長是解決本題的關(guān)鍵．10．（2023秋?冠縣期末）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以每秒速度向點(diǎn)運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個動點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動的時(shí)間是4秒．【分析】設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為，則，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，則，解得即可．【解答】解：設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，，即，解得．故答案為：4．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，此題涉及到動點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于中檔題．11．（2024春?松江區(qū)期末）如圖，在中，，、分別是、的平分線，且，，點(diǎn)、在邊上，則的周長為3．【分析】分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得和為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得，，那么的周長就轉(zhuǎn)化為邊的長，即為．【解答】解：、分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，的周長．故答案為：3．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及等腰