2023-2024學(xué)年廣東省珠海二中高一（下）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省珠海二中高一（下）第二次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z?11+2i=2i，則A.?5?2i B.5?2i C.?5+2i D.5+2i2.如圖是水平放置的△ABC的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)，∠A′D′C′=45°，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC，那么(

)A.最短的是AC

B.最短的是AB

C.最短的是AD

D.無法確定誰最短3.將一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開，得到的扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為4π，外弧長(zhǎng)為8π，若該圓臺(tái)的體積為285π3A.4 B.3 C.2 D.14.設(shè)α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α?β=π2 B.3α+β=π2 C.5.下列命題正確的為(

)A.已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面

B.已知a，b，c為三條直線，若a⊥c，b⊥c，則a/?/b

C.若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交α于P，Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)共線

D.底面是等邊三角形，三個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐6.如圖圓O中，若BA=4，BC=5，則BO?AC的值等于(

)A.?92

B.3

C.927.如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AC=AD=BC=BD=5，若用一個(gè)與AB，CD都平行的平面α截該四面體，下列說法中錯(cuò)誤的A.異面直線AB與CD所成的角為90°

B.平面α截四面體ABCD所得截面周長(zhǎng)不變

C.平面α截四面體ABCD所得截面不可能為正方形

D.該四面體的外接球半徑為68.△ABC中，b=2，b=2c?cos(B+C)，當(dāng)B取最大值時(shí)，△ABC的面積為A.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于△ABC中，有如下判斷，其中正確的判斷是(

)A.若a=8，c=10，A=60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

B.若sin2A+sin2B>sin2C，則△ABC是銳角三角形

C.若a=2，A=60°，則當(dāng)△ABC周長(zhǎng)最大時(shí)，△ABC面積為3

D.若點(diǎn)P在△ABC10.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與f(x)的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說法中正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的最小正周期是2π

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4π3,0)成中心對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)在(?5π12,?π6)單調(diào)遞增

D.函數(shù)f(x)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，A.當(dāng)0<CQ<12時(shí)，S為四邊形

B.當(dāng)CQ=12時(shí)，S為等腰梯形

C.當(dāng)CQ=34時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.方程x2+4x+6=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解是______．13.已知A，B，C三點(diǎn)都在表面積為100π的球O的表面上，若AB=43，∠ACB=60°，則球心O到平面ABC的距離等于______．14.如圖，在邊長(zhǎng)為2的棱形ABCD中，∠ABC=60°，BP=23BD，點(diǎn)Q是△BCD內(nèi)部(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，則AP

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知向量a=(2cosθ,sinθ)，b=(1,?2)；

(1)若a//b，求3sinθ?2cosθ2sinθ+cosθ的值；

(2)若θ=90°16.(本小題15分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是1．

(1)求證：B1D⊥平面AC17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=23sinxcosx+sin2x?cos2x．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變18.(本小題15分)

如圖在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，D是邊AB上的一點(diǎn)．

(1)若b=2a=4，∠ACD=π3，∠BCD=π4，CD=2，求△ABC的面積．

(2)試?yán)谩癆B+BC=AC”證明：“ccosB+bcosC=a”；

(3)已知ccosB+bcosC=2acosC，CD19.(本小題17分)

如圖1，等腰△AFA1中，F(xiàn)A=FA1=5，AA1=8，點(diǎn)B，C，D為線段AA1的四等分點(diǎn)，且BE//CF//DG.現(xiàn)沿BE，CF，DG折疊成圖2所示的幾何體，使∠BCD=60°．

(1)證明：AE/?/平面參考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.CD

10.BC

11.ABC

12.{?2+13.3

14.[0,2]

15.解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(2cosθ,sinθ)，b=(1,?2)，a/?/b，

所以sinθ=?4cosθ，即tanθ=?4，

則3sinθ?2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ?22tanθ+1=2．

(2)因?yàn)棣?90°16.解：(1)證明：連接B1D、BD，如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AC⊥BD，

∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

∵BD∩BB1=B，BD?平面BB1D，BB1?平面BB1D，

∴AC⊥平面BB1D，

∵B1D?平面BB1D，

∴B1D⊥AC，

四邊形ABCD為正方形，則AD1⊥A1D，

∵B1A1⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，

∴AD1⊥B1A1，

∵A1D∩B1A1=A1，A1D?平面DA1B1，BB1?平面DA1B1，

17.解：(Ⅰ)f(x)=23sinxcosx+sin2x?cos2x=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

∵T=2πω=2π2=π，∴f(x)的最小正周期為π，

令2kπ+π2≤2x?π6≤2kπ+32π,k∈Z，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，

函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+π3,kπ+5π6],k∈Z；

(Ⅱ)y=f(x)的圖象先向左平移π6個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin(2x+π318.解：(1)因?yàn)閎=2a=4，所以a=22，

又∠ACD=π3，∠BCD=π4，CD=2，

所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×2×4×32+12×22×2×22=23+2，

所以△ABC的面積為23+2；

(2)證明：因?yàn)锳B+BC=AC，所以BC=AC?AB，

所以BC?BC=(AC?AB)?BC，

即|BC|2=AC?BC?AB?BC=b?a?cosC?c?a?cos(π?B)，

所以a2=b?a?cosC+c?a?cosB，

即a=bcosC+ccosB，

所以ccosB+bcosC=a；

(3)因?yàn)?9.解：(1)證明：由AB=BC=CD=DA，可知四邊形ABCD是菱形，

所以AB//DC，

又AB?平面DCFG，DC?平面DCFG，

所以AB/?/平面DCFG，

因?yàn)锽E/?/FC，BE?平面DCFG，F(xiàn)C?平面DCFG，

所以BE//平面DCFG，

又AB∩BE=B，所以平面ABE/?/平面DCFG，

又AE?平面ABE，所以AE/?/平面DCFG．

(2)解：連接BD，GE，取FC的中點(diǎn)P，連接EP，GP，

則BE=CP=DG=12FC，

由圖(1)知FC⊥