高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練20科赫曲線學(xué)生版

專題20科赫曲線一、單選題1．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖①，將線段AB等分為AC，CD，DB，如圖②，以CD為底向外作等邊三角形CMD，并去掉線段CD，在圖②的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成圖③的曲線，設(shè)線段AB的長度為1，則圖③曲線的長度為（

）A．2 B． C． D．32．2024年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中心，特殊壯麗．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（

）A．24 B．6 C． D．3．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為，，，如圖2以為底向外作等邊三角形，并去掉線段.在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3曲線的長度為（

）A．2 B． C． D．34．2024年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中心，特殊壯麗．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為3，則圖③中的值為（

）A． B． C．6 D．5．北京年冬奧會(huì)開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運(yùn)共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進(jìn)行“次分形”．規(guī)定：一個(gè)分形圖中全部線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個(gè)長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．6．瑞典人科赫提出了聞名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個(gè)正三角形(如圖①)起先，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段，這樣就得到一個(gè)六角形(如圖②)，所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段.反復(fù)進(jìn)行這一分形，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線，這樣的曲線叫作科赫曲線或“雪花”曲線.已知點(diǎn)O是六角形的對(duì)稱中心，A，B是六角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在六角形上(內(nèi)部以及邊界).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則=（）A． B． C． D．8．分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為探討對(duì)象的幾何學(xué)，科赫曲線是比較典型的分形圖形，1904年瑞典數(shù)學(xué)家科赫第一次描述了這種曲線，因此將這種曲線稱為科赫曲線.其生成方法是：（I）將正三角形（圖（1））的每邊三等分，以每邊三等分后的中間的那一條線段為一邊，向形外作等邊三角形，并將這“中間一段”去掉，得到圖（2）；（II）將圖（2）的每邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖（3）；（Ⅲ）再按上述方法接著做下去……，設(shè)圖（1）中的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖（1）、圖（2）、圖（3）、…、圖（n）、…中的圖形依次記作，，，…，，…，設(shè)的周長為，則為A． B． C． D．9．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到：任畫…條線段，然后把它分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了由4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟，得到由16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”；…；如此進(jìn)行“n次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度大于初始線段的100倍，則至少須要構(gòu)造的次數(shù)是（

）（取，）A．16 B．17 C．24 D．2510．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟，得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進(jìn)行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達(dá)到原來的100倍，至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是（

）．（取）A．15 B．16 C．17 D．1811．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到，任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟，得到16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進(jìn)行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達(dá)到初始線段的1000倍，則至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是（

）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．2512．雪花曲線是在1906年由瑞典數(shù)學(xué)家科赫第一次作出.如圖所示，由等邊三角形ABC起先，然后把三角形的每條邊三等分，并在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形（并去掉與原三角形疊合的邊）；接著對(duì)新圖形的每條邊再接著上述操作，即在每條邊三等分后的中段，向外畫新的尖形.不斷重復(fù)這樣的過程，便產(chǎn)生了雪花曲線.雪花曲線的周長可以無限長，然而圍成的面積卻是有限的.設(shè)初始三角形ABC的邊長為a，不斷重復(fù)上述操作，雪花曲線圍成的面積趨于定值為（

）A． B． C． D．13．2024年其次十四屆北京冬奧會(huì)開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵漂亮的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，隨意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．始終重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．二、多選題14．年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線.如圖，取一個(gè)邊長為的正三角形，在每個(gè)邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個(gè)正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第個(gè)圖形，重復(fù)上面的步驟，得到第個(gè)圖形.這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線.云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來探討，這門學(xué)科叫“分形幾何學(xué)”.下列說法正確的是（

）A．第個(gè)圖形的邊長為B．記第個(gè)圖形的邊數(shù)為，則C．記第個(gè)圖形的周長為，則D．記第個(gè)圖形的面積為，則對(duì)隨意的，存在正實(shí)數(shù)，使得三、填空題15．分形幾何號(hào)稱“大自然的幾何”，是探討和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的強(qiáng)有力的理論工具，其應(yīng)用已涉及自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、美學(xué)等眾多領(lǐng)域.圖1展示了“科赫雪花”的分形過程.現(xiàn)在向圖2的“科赫雪花”中隨機(jī)撒1000粒豆子（豆子的大小忽視不計(jì)），有340粒豆子落在內(nèi)部的黑色正六邊形中，已知正六邊形的面積約為，依據(jù)你所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)問，估計(jì)圖2中“科赫雪花”的面積為______.16．2024年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中心，特殊壯麗.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年探討的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程．若第1個(gè)圖形中的三角形的邊長為2，則第4個(gè)圖形的周長為______．四、解答題17．分形幾何號(hào)稱“大自然的幾何”，是探討和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的強(qiáng)有力的理論工具，其應(yīng)用已涉及自然科學(xué)?社會(huì)科學(xué)?美學(xué)等眾多領(lǐng)域.圖1展示了“科赫雪花曲線”的分形過程.其生成方法是：（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；（ii）將圖②的每邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；（ⅲ）再按上述方法接著做下去，就得到了“科赫雪花曲線”.設(shè)圖①的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖①?②?③…中的圖形依次記作???…?…請(qǐng)解決如下問題：（1）設(shè)中的邊數(shù)為，中每條邊的長度為，寫出數(shù)列和的遞推公式與通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的周長為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．2024北京冬奧會(huì)開幕式上，每個(gè)代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值．19．2024北京冬奧會(huì)開幕式上，每個(gè)代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)干脆寫出，的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．20．1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了一種曲線．如圖①，取一個(gè)邊長為1的正三角形，在每個(gè)邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個(gè)正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第2個(gè)圖形(如圖②)，重復(fù)上面的步驟，得到第3個(gè)圖形(如圖③)．這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線．云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來探討，這門學(xué)科叫“分形幾何學(xué)”．則第5個(gè)圖形的邊長為__________；第n個(gè)圖形的周長為__________．21．雪花曲線是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從圖①的正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊得到圖②，重復(fù)進(jìn)行這一過程可依次得到圖③、圖④等一系列“雪花曲線”．①

②

③

④若第①個(gè)圖中的三角形的邊長為1，則第②個(gè)圖形的面積為___________；第n個(gè)圖中“雪花曲線”的周長Cn為___________．22．如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案.圖案的作法是：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，這樣的過程稱為一次操作.反復(fù)進(jìn)行這種操作過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，并記次操作后的曲線為，周長為.設(shè)原正三角形的邊長為1，即對(duì)應(yīng)圖1，則進(jìn)行二次操作后，曲線（對(duì)應(yīng)圖3）的頂點(diǎn)數(shù)為___________；若進(jìn)行次操作后，則___________.23．如圖（1），畫一個(gè)邊長為1的正三角形，并把每一邊三等分，在每個(gè)邊上以中間一段為一邊，向外側(cè)凸出作正三角形，再把原來邊上中間一段擦掉，得到第（2）個(gè)圖形，重復(fù)上面的步驟，得到第（3）個(gè)圖形，這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線．云層的邊緣、山脈的輪廓、海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來探討，這門學(xué)科叫“分形幾何學(xué)”．設(shè)第（n）個(gè)圖形的周長為，則與的遞推關(guān)系式為______，當(dāng)時(shí)，n