2024八年級數(shù)學下冊專題6.22反比例函數(shù)折疊問題培優(yōu)篇新版浙教版

Page1專題6.22反比例函數(shù)（折疊問題）（培優(yōu)篇）一、單選題1．如圖，正方形OABC的邊長為4，點D是OA邊的中點，連接CD，將△OCD沿著CD折疊得到△ECD，CE與OB交于點F．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點F，則m的值為（）A． B． C． D．2．如圖，已知矩形的邊在軸上，，，雙曲線與矩形相交于點，，沿折疊，點恰好落在上的點處，則的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．133．如圖，矩形的邊，，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和．給出以下命題：①若，則的面積為；②若，則點關(guān)于直線的對稱點在軸上；③滿足題設的的取值范圍是；④若，則；其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．點關(guān)于y軸的對稱點在反比例函數(shù)的圖像上，下列說法不正確的是（

）A．y隨x的增大而減小B．點在該函數(shù)的圖像上C．當時，D．該函數(shù)圖像與直線的交點是（，）和（-，-）5．如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，2），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點P（0，t），過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，點B經(jīng)軸對稱變換得到的點B'在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+6．如圖，點A與點B關(guān)于原點對稱，點C在第四象限，∠ACB=90°．點D是軸正半軸上一點，AC平分∠BAD，E是AD的中點，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點A,E．若△ACE的面積為6，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱下列命題：①圖象C與函數(shù)的圖象交于點；②在圖象C上；③圖象C上的點的縱坐標都小于4；④，是圖象C上隨意兩點，若，則，其中真命題是（

）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空題8．如圖，矩形ABCO的頂點B（10，8），點A，C在坐標軸上，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，點B剛好與OC邊上點D重合，過點E的反比例函數(shù)y＝的圖象與邊AB交于點F，則線段BF的長為_____．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD與菱形GFED關(guān)于點D成中心對稱，點C，G在x軸的正半軸上，點A，F(xiàn)在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，延長AB交x軸于點P（1，0），若∠APO＝120°，則k的值是_____________．10．如圖，矩形的頂點坐標分別為、、、，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和，給出下列命題：①若，則的面積為；②若，則點關(guān)于直線的對稱點在軸上；③滿足題設的的取值范圍是；④若，則．其中正確的命題的序號是________．（寫出全部正確命題的序號）11．如圖，四邊形是平行四邊形，對角線在y軸正半軸上，位于第一象限的點A和其次象限內(nèi)的點C分別在雙曲線和的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①陰影部分的面積為；②若B點坐標為，A點坐標為，則；③當時，；④若是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱．其中正確的結(jié)論是_______（填寫正確結(jié)論的序號）．12．如圖，Rt△AOB的頂點O是坐標原點，點B在x軸上，∠OAB=90°，反比例函數(shù)（）的圖象關(guān)于AO所在的直線對稱，且與AO、AB分別交于D、E兩點，過點A作AH⊥OB交x軸于點H，過點E作EFOB交AH于點G，交AO于點F，則四邊形OHGF的面積為_________13．如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上．將線段AB沿直線y=kx+b進行對折得到對應線段A′B′，且點A′始終在直線OA上，當線段A′B′與x軸有交點時，(1),m=____;(2),b的取值范圍是____．14．如圖，是反比例函數(shù)上的一個動點，過作軸，軸．（1）若矩形的對角線，則矩形周長為________；（2）如圖，點在上，且，若關(guān)于直線的對稱點恰好落在坐標軸上，連結(jié)，則的面積為___________．15．如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形的對稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，邊在軸上，點在軸上，已知．若該反比例函數(shù)圖象與交于點，則點的橫坐標是_________．三、解答題16．已知，矩形的頂點、分別在軸、軸的正半軸上，為邊上的點，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過點和邊上的點．（1）求反比例函數(shù)的表達式和的值；（2）若將矩形進行折疊，使點與點重合，折痕分別與軸、軸正半軸交于點、，求折痕所在直線的函數(shù)表達式．17．如圖，點A在反比例函數(shù)圖象上一點，B在反比例函數(shù)圖象上，是等腰直角三角形，，AB交y軸于C，，將沿y軸折疊得.（1）試推斷點D是否在的圖象上，并說明理由；（2）連接BD，求四邊形BCOD的面積.（3）將直線OB向上平移，分別交于E，交于F.問：是否存在某一位置使？若存在，求E、F兩點的坐標，若不存在，說明理由.18．如圖(1)我們知道等腰直角三角形的三邊的比AC:BC:AB=1:1：，含有30度的直角三角形的三邊之比AC:BC:AB=1∶∶2.如圖(2)，分別取反比例函數(shù)，圖象的一支，Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y軸于C，∠AOC=60°，點A,點B分別在這兩個圖像上．（1）填空:K1=-__________，K2=______________.（2）將△AOC沿y軸折疊得△DOC，如圖所示．①試推斷D點是否存在的圖象上，并說明理由．②在y軸上找一點N，使得|BN-DN|的值最大，求出點N的坐標．③連接BD，求S四邊形OCBD．（3）將Rt△AOB圍著原點順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度是5°/秒．問：經(jīng)過多少秒，直線AB與圖中分支的對稱軸或者與圖中分支的對稱軸平行．干脆寫出結(jié)果．19．如圖，在平面直角坐標系中，，四邊形是矩形，D、E分別是邊上的點，沿著折疊矩形，點A恰好落往y軸上的點C處，點B落在點B'處．（1）求D、E兩點的坐標；（2）反比例函數(shù)在第一象限的圖像經(jīng)過E點，推斷B′是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？并說明理由；（3）點F是(2)中反比例函數(shù)的圖像與原矩形的邊的交點，點G在平面直角坐標系中，以點D、E、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點的坐標．(干脆寫出答案)20．已知平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點和點，與軸交于點，與軸交于點．(1)求反比例函數(shù)的表達式和直線的表達式；(2)若在軸上有一異于原點的點，使為等腰三角形，求點的坐標；(3)若將線段沿直線進行對折得到線段，且點始終在直線上，當線段與軸有交點時，求的取值的最大值．21．如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上．（1）求m，k的值；（2）假如M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式；（3）將線段AB沿直線y＝kx+b進行對折得到線段A1B1，且點A1始終在直線OA上，當線段A1B1與x軸有交點時，則b的取值范圍為（干脆寫出答案）22．已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以OB、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，F(xiàn)是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與AC邊交于點E.（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等.（2）記S＝S△OEF－S△ECF，求當k為何值時，S有最大值，最大值為多少？（3）請?zhí)骄浚菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，請干脆寫出點F的坐標，若不存在，請說明理由.23．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求和的值．(2)若點與點關(guān)于直線對稱，連接．①求點的坐標；②若點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，以點為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，干脆寫出點的坐標；若不能，請說明理由．24．如圖，矩形的面積為8，它的邊位于x軸上．雙曲線經(jīng)過點A，與矩形的邊交于點E，點B在雙曲線上，連接并延長交x軸于點F，點G與點О關(guān)于點C對稱，連接，．求k的值；求的面積；求證：四邊形AFGB為平行四邊形．25．如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線與相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．(1)當時，求k的值；(2)點B關(guān)于y軸的對稱點為C，連接；①推斷的形態(tài)，并說明理由；②當?shù)拿娣e等于16時，雙曲線上是否存在一點P，連接，使的面積等于面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案1．B【分析】先依據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，設，利用兩點間的距離公式得到，，解關(guān)于、的方程組得到點的坐標為，，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，易得直線的解析式為，解方程組得，，然后依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求的值．解：正方形的邊長為4，點是邊的中點，，，，，沿著折疊得到，，，設，，，，，點的坐標為，，設直線的解析式為，把，，分別代入得，解得，直線的解析式為，易得直線的解析式為，解方程組得，，，點，在反比例函數(shù)的圖象上，．故選：B．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是駕馭反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．也考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．2．C【分析】依據(jù)折疊求出EC=1.5，再設A點坐標為（m，4），則E點坐標為（m+5，1.5），依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出方程即可．解：由翻折可知，AF=AD=5，DE=EF，∵四邊形是矩形，∴，CF=5-3=2，設EC為x，則DE=EF=4-x，，解得，x=1.5，設A點坐標為（m，4），則E點坐標為（m+5，1.5），則4m=1.5(m+5)，解得m=3，把（3，4）代入得，，解得；故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求出EC長，設出點的坐標，依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出方程．3．B【分析】①若，則計算，故命題①正確；②如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題②正確；③因為點不經(jīng)過點，所以，即可得出的范圍；④求出直線的解析式，得到點、的坐標，然后求出線段、的長度；利用算式，求出，故命題④錯誤．解：命題①正確．理由如下：，，，，，，故①正確；命題②正確．理由如下：，，，，．如答圖，過點作軸于點，則，；在線段上取一點，使得，連接．在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：．，又，直線為線段的垂直平分線，即點與點關(guān)于直線對稱，故②正確；命題③錯誤．理由如下：由題意，點與點不重合，所以，，故③錯誤；命題④錯誤．理由如下：設，則，．設直線的解析式為，則有，解得，．令，得，；令，得，．如答圖，過點作軸于點，則，．在中，，，由勾股定理得：；在中，，，由勾股定理得：．，解得，，故命題④錯誤．綜上所述，正確的命題是：①②，共2個，故選：B．【點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征等，綜合性比較強，難度較大．4．A【分析】先確定對稱點坐標為（-1，-3），將其代入反比例函數(shù)中求得k=3，得到函數(shù)解析式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.解：點關(guān)于y軸的對稱點坐標為（-1，-3），將（-1，-3）代入，得k=，∴反比例函數(shù)解析式為，∵k=3>0，∴在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，故A錯誤；當x=1時，y=3，故B正確；當時，，故C正確；解方程組，得或，故函數(shù)圖像與直線的交點是（，）和（-，-），故D正確，故選：A.【點撥】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點問題.5．A【分析】依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征由A點坐標為（-2，2）得到k=-4，即反比例函數(shù)解析式為y=-，且OB=AB=2，則可推斷△OAB為等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后軸對稱的性質(zhì)得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y軸，則點B的坐標可表示為（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到滿足條件的t的值．解：如圖，∵點A坐標為（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函數(shù)解析式為y=-，∵OB=AB=2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵點B和點B′關(guān)于直線l對稱，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y軸，∴點B′的坐標為（-，t），∵PB=PB′，∴t-2=|-|=，整理得t2-2t-4=0，解得t1=，t2=1-（不符合題意，舍去），∴t的值為．故選A．【點撥】本題是反比例函數(shù)的綜合題，解決本題要駕馭反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)及會用求根公式法解一元二次方程．6．C【分析】過A作,連接OC、OE，依據(jù)點A與點B關(guān)于原點對稱，∠ACB=90°，AC平分∠BAD得出，從而得出三角形AEC的面積與三角形AOE的面積相等，設，依據(jù)E是AD的中點得出得出三角形OAE的面積等于四邊形AFGE的面積建立等量關(guān)系求解．解：過A作,連接OC，連接OE：∵點A與點B關(guān)于原點對稱，∠ACB=90°∴又∵AC平分∠BAD∴∴∴設，依據(jù)E是AD的中點得出:∴解得：故答案選：C．【點撥】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，有確定的難度．將三角形AEC的面積轉(zhuǎn)化與三角形AOE的面積相等是解題關(guān)鍵．7．A【分析】依據(jù)題意畫出圖形，①將代入得，從而可推斷①正確；②令時，，即關(guān)于時的對稱點為，從而可推斷②正確；③依據(jù)圖形分析可得C右側(cè)圖與x軸間距離小于4，但y軸左側(cè)與x軸距離大于4，從而可推斷③錯誤；④由圖像即可推斷④錯誤．解：由圖像C與反比例函數(shù)關(guān)于對稱可得如下圖，①當時，，故①正確；②當時，，即關(guān)于時的對稱點為，故②正確；③如圖：與之間距離小于2，即C與x軸間距離小于4（C右側(cè)圖），但y軸左側(cè)與x軸距離大于4，故③錯誤；④當時，，則；當時，，則；∴當x1＞0＞x2時，y2＞y1故④錯誤．故答案為：A．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)；嫻熟駕馭函數(shù)關(guān)于直線對稱時，對應點關(guān)于直線對稱是解題的關(guān)鍵．8．【分析】首先依據(jù)翻折變換的性質(zhì)，可得AD=AB=10，DE=BE；然后設點E的坐標是（10，b），在Rt△CDE中，依據(jù)勾股定理，求出CE的長度，進而求出k的值，再把F點的縱坐標代入解析式可求得F點的坐標，即可求得BF的長．解：∵△ABE沿AE折疊，點B剛好與OC邊上點D重合，∴AD=AB=10，DE=BE，∵AO=8，AD=10，∴OD==6，∴CD=10-6=4，設點E的坐標是（10，b），則CE=b，DE=10-b，∵CD2+CE2=DE2，∴42+b2=（8-b）2，解得b=3，∴點E的坐標是（10，3），設反比例函數(shù)y=，∴k=10×3=30，∴反比例函數(shù)解析式為y=，∵F點縱坐標為8，∴8=，解得x=，即AF=，∴BF=AB-AF=10-=，故答案為．【點撥】（1）此題主要考查了翻折變換（折疊問題），要嫻熟駕馭，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形態(tài)和大小不變，位置變更，對應邊和對應角相等．（2）此題還考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，要嫻熟駕馭，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在xk圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．9．【分析】連接、交于點，作軸于點，設線段，得，由菱形和菱形關(guān)于點成中心對稱結(jié)合可得點和點的坐標，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征列出方程，求，最終求得．解：連接、交于點，作軸于點，設，，，，菱形和菱形關(guān)于點成中心對稱，點，在軸的正半軸上，軸，，，，，，，點，，，點和點在反比例函數(shù)圖象上，，解得：（舍或，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形三邊關(guān)系、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)表達出點和點的坐標．10．①②【分析】①若k＝4，則計算S△OEF＝，故命題①正確；②若，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；③因為點F不經(jīng)過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；④求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式，求出k＝1，故命題④錯誤．解：命題①正確．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F(xiàn)（4，1），∴CE＝4?＝，CF＝3?1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△CEF＝S矩形AOBC?OA?AE?OB?BF?CE?CF＝4×3?×3×?×4×1?××2＝12?2?2?＝，故命題①正確；命題②正確．理由如下：∵，∴E（，3），F(xiàn)（4，），∴CE＝4?＝，CF＝3?＝．如圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則EM＝3，OM＝；在線段BM上取一點N，使得EN＝CE＝，連接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2?EM2=，∴MN＝，∴BN＝OB?OM?MN＝4??＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2=，∴NF＝．∴NF＝CF，又EN＝CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關(guān)于直線EF對稱，故命題②正確；命題③錯誤．理由如下：由題意，得點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命題③錯誤；命題④正確．理由如下：設k＝12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．設直線EF的解析式為y＝ax＋b，則，解得，∴y＝x＋3m＋3．令x＝0，得y＝3m＋3，令y＝0，得x＝4m＋4，∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．如圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD?OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG?OM＝（4m＋4）?4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE?EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命題④錯誤．綜上所述，正確的命題是：①②，故答案為：①②．【點撥】本題綜合考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法求解析式、矩形的性質(zhì)及勾股定理等學問點，本題計算量較大，正確的計算實力是解決問題的關(guān)鍵．11．②④【分析】作軸于點，軸于點，①由，，得到；②由平行四邊形的性質(zhì)求得點的坐標，依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求得系數(shù)的值．③當，得到四邊形是矩形，由于不能確定與相等，則不能推斷，所以不能推斷，則不能確定；④若是菱形，依據(jù)菱形的性質(zhì)得，可推斷，則，所以，即，依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得兩雙曲線既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱．解：作軸于，軸于，如圖，①，，，而，，，故①錯誤；②四邊形是平行四邊形，點坐標為，點坐標為，的坐標為．．又點位于上，．故②正確；③當，四邊形是矩形，不能確定與相等，而，不能推斷，不能推斷，不能確定，故③錯誤；④若是菱形，則，而，，，，，兩雙曲線既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，故④正確．故答案是：②④．【點撥】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．留意精確作出幫助線是解此題的關(guān)鍵．12．【分析】先依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得直線的解析式為，從而可得，再依據(jù)等腰直角三角形的判定可得是等腰直角三角形，從而可得，然后設點的坐標為，點的坐標為，由此可得，，，從而可得，最終利用面積減去面積即可得．解：反比例函數(shù)的圖象關(guān)于所在的直線對稱，直線的解析式為，，，，，是等腰直角三角形，（等腰三角形的三線合一），設點的坐標為，點的坐標為，，，，，即，則四邊形的面積為，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、等腰直角三角形的三線合一等學問點，嫻熟駕馭反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．

m=3

≤b≤．【分析】（1）由題可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解這個方程就可求出m的值;(2)由于點A關(guān)于直線y=kx+b的對稱點點A1始終在直線OA上，因此直線y=kx+b必與直線OA垂直，只需考慮兩個臨界位置（A1在x軸上、B1在x軸上）對應的b的值，就可以求出b的取值范圍．解：（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y=的圖象上．∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．解得：m=3．(2)①當點B1落到x軸上時，如圖1，設直線OA的解析式為y=ax，∵點A的坐標為（3，4），∴3a=4，即a=．∴直線OA的解析式為y=x．∵點A1始終在直線OA上，∴直線y=kx+b與直線OA垂直．∴k=-1．∴k=-．由于BB1∥OA，因此直線BB1可設為y=x+c．∵點B的坐標為（6，2），∴×6+c=2，即c=-6．∴直線BB1解析式為y=x-6．當y=0時，x-6=0．則有x=．∴點B1的坐標為（，0）．∵點C是BB1的中點，∴點C的坐標為（，）即（，1）．∵點C在直線y=-x+b上，∴-×+b=1．解得：b=．②當點A1落到x軸上時，如圖2，此時，點A1與點O重合．∵點D是AA1的中點，A（3，4），A1（0，0），∴D（，2）．∵點D在直線y=-x+b上，∴-×+b=2．解得：b=．綜上所述：當線段A1B1與x軸有交點時，則b的取值范圍為≤b≤．故答案為≤b≤．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,中點坐標公式等學問，本題還考查了分類探討的思想方法，是一道好題．14．

4或【分析】（1）設矩形的兩邊為、，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，再依據(jù)勾股定理得到，依據(jù)完全平分公式變形得到，則可計算出，從而得到矩形的周長；（2）當關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖2，與相交于點，利用三角形面積公式得到，再依據(jù)對稱軸的性質(zhì)得垂直平分，，接著證明垂直平分得到，所以，則；當關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖3，證明四邊形為正方形得到，，則可計算出，而，于是得到．解：（1）設矩形的兩邊為、，則，矩形的對角線，，，，，矩形的周長為，故答案為；（2）當關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖2，與相交于點，矩形的面積，而，，點與點關(guān)于對稱，垂直平分，，，，，，，垂直平分，，，；當關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖3，點與點關(guān)于對稱，，，為等腰直角三角形，平分，四邊形為正方形，，，，，而，，綜上所述，的面積為4或，故答案為4或．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：嫻熟駕馭反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的幾何意義和軸對稱的性質(zhì)；靈敏運用矩形的性質(zhì)進行幾何計算；理解坐標與圖形性質(zhì)．15．【分析】過點P作x軸垂線PG，連接BP，可得BP＝2，G是CD的中點，所以P（2，），從而求出反比例函數(shù)的解析式，易求D（3，0），，待定系數(shù)法求出DE的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)即可求點Q的坐標．解：過點P作x軸垂線PG，連接BP，∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中點，∴CG=1，CP=2，∴PG＝=，∴P（2，），∵P在反比例函數(shù)上，∴k＝2，∴，∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,∴D（3，0），E（4，），設DE的解析式為y＝mx＋b，∴，∴，∴，聯(lián)立方程解得∵Q點在第一象限，∴點橫坐標為，故答案為：．【點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)；將正六邊形的邊角關(guān)系與反比例函數(shù)上點的坐標將結(jié)合是解題的關(guān)系．16．（1），；（2）【分析】（1）依據(jù)題意由點E的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值，再由點B在反比例函數(shù)圖象上，代入即可求出m值；（2）依據(jù)題意設OG=x，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點G的坐標，進而得出點F的坐標，結(jié)合點G、F的坐標利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論．解：（1）∵反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點E（4，1），∴k=4×1=4，∴反比例函數(shù)的表達式為．又∵點D（m，2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴2m=4，解得：m=2．（2）如圖，設OG=x，則CG=OC-OG=2-x，∵點D（2，2），∴CD=2．在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2-x，CD=2，DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即4+（2-x）2=x2，解得：x=2，∴點G（0，2）．∴點F的坐標為（2，0）．設折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，∴則有，解得．∴折痕FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為．【點撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，翻折變換等學問，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈敏運用所學學問解決問題．17．（1）在，理由見分析；（2）；（3）存在，E點坐標為：，F(xiàn)的坐標為：.【分析】（1）分別過點A、B作AP⊥x軸，BG⊥y軸，垂足分別為P、G，依據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理分別求出A、B的坐標，再將A、B坐標分別代入其解析式中，再利用A、D關(guān)于y軸對稱求出D點坐標，去推斷是否滿足解析式即可；（2）過點B作BH⊥OD，垂足為H，利用A、B坐標求出AB所在直線的解析式，即可求出C點坐標，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半可求出BH的長，然后求△OBC和△OBD的面積從而求出四邊形BCOD的面積；（3）利用E、F所在的圖像分別設出其坐標，再分別過E、F作x軸，y軸的平行線交于點M利用△EFM是直角三角形并證明其中一個角是30°，再用E、F坐標表示出EM和FM的長度利用即可求出E、F的坐標.解：（1）分別過點A、B作AP⊥x軸，BG⊥y軸，垂足分別為P、G∵是等腰直角三角形，，∴∠AOP=∠BOG=30°∴AP=AO=1，BG=OB=1依據(jù)勾股定理：∵點A在其次象限，點B在第一象限∴點A坐標為，點B的坐標為：∵點A在反比例函數(shù)圖象上，B在反比例函數(shù)圖象上，將A、B坐標分別代入其對應解析式得：解得：∴點A在反比例函數(shù)圖象上，B在反比例函數(shù)圖象上∵A、D關(guān)于y軸對稱∴點D的坐標為將代入反比例函數(shù)，解得：故點D在的圖象上.（2）過點B作BH⊥OD，垂足為H設直線AB的解析式為：y=kx＋b將A、B坐標代入得：解得：∴直線AB的解析式為：將x=0代入得：∴C點坐標為：即OC=∵沿y軸折疊得，∴∠DOC=∠AOC=60°，OD=OA=2∴∠BOH=∠DOC－∠GOB=30°∴BH=BO=1∴S△BOC=OC·BG=，S△BOD=OD·BH=∴S四邊形BCOD=S△BOC＋S△BOD=（3）存在，∵E、F分別在反比例函數(shù)和圖像上，I為x軸正半軸上一點，設E點坐標為，點F的坐標為分別過E、F作x軸，y軸的平行線交于點M∴EM=，F(xiàn)M=∵EF∥OB，EM∥x軸，EM∥y軸，∠BOI=90°－∠BOC=60°∴∠FEM=∠BOI=60°∴∠EFM=30°∴EM=EF=1，∴解得：，將，分別代入其對應解析式中，，∴E點坐標為：，F(xiàn)的坐標為：【點撥】此題考查的是（1）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和30°所對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理；（2）利用坐標求面積；（3）利用坐標表示線段長度；此題難度較大，找到等量關(guān)系列方程及利用坐標表示出各個線段的長度是解決此題的關(guān)鍵.18．（1）K1=，K2=（2）①算出D（），在圖像上②N（0，）③（3）12,48，30,66試題分析：（1）如圖1，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，由已知條件即可求得AE、OD、BF和OF的長，結(jié)合點A和點B所處象限即可得到點A、B的坐標，這樣即可求得k1和k2的值了；（2）①由點A的坐標可得點D的坐標，將點D的坐標代入中檢驗即可得出結(jié)論；②如圖2，延長DB交y軸于點N，此時|BN-DN|的值最大，由B、D的坐標用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，再由解析式即可求得直線BD與y軸的交點N的坐標了；③由AB的坐標求出直線AB的解析式，由此求出點C的坐標，再過點B作y軸的垂線，過點D作x軸的垂線，利用兩垂線與兩坐標軸圍成一個矩形結(jié)合已知條件即可求出四邊形OCBD的面積了；（3）如圖3，兩個反比例函數(shù)圖象的分支的對稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數(shù)都是45°，由圖可知，當△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°和240°時，AB與l2平行，當旋轉(zhuǎn)150°和330°時，AB和l1平行，由此結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度為5°/秒即可求得對應的時間了.解：（1）如圖1，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，∴∠AEO=∠BFO=90°，∵∠AOC=60°，∴∠AOE=30°，∠BOF=30°，∴AE：OE：OA=BF：OF：OB=1∶∶2，又∵∵OA=OB=2，∴AE=BF=1，OE=OF=，∴點A、B的坐標分別為和，∴，；（2）①∵點D和點A關(guān)于y軸對稱，∴點D的坐標為，∴，∴點D在的圖象上；②延長DB交y軸于點N，此時|BN-DN|的值最大，設直線BD的解析式為，則由B、D的坐標可得：，解得：，∴BD的解析式為：，∴點N的坐標為；③設直線AB的解析式為，∵點A、B的坐標分別為和，∴，解得，∵直線AB與y軸相交于點C，∴點C的坐標為，如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，過點D作DQ⊥x軸于點Q，F(xiàn)B與DQ相交于點P，∵點B、D的坐標分別為，，∴S四邊形OCBD=S矩形OFPQ-S△CFB-S△BDP-S△ODQ===；（3）如圖3，由題意可知，兩個反比例函數(shù)圖象的分支的對稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數(shù)都是45°，由圖結(jié)合∠AOC=60°可知，當△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°和240°時，AB與l2平行，當旋轉(zhuǎn)150°和330°時，AB和l1平行，又∵△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的速度為5°/秒，∴60÷5=12（秒），150÷5=30（秒），240÷5=48（秒），330÷5=66（秒），∴當△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)12秒、30秒、48秒和66秒時，AB和兩個反比例函數(shù)圖象的一個分支的對稱軸平行.【點撥】本題的解題要點是：（1）解第1小題時，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，從而可構(gòu)造出兩個含30°角的直角三角形，這樣由已知條件即可求得點A、B的坐標，使問題得到解決；（2）解第2題第②問的關(guān)鍵是要明白“當點B、D、N在同始終線上時，|BN-DN|的值最大”，由此延長DB與y軸相交，交點即為所求的點N.19．（1）（2）不在；（3）【分析】（1）設，則，在中，由勾股定理可得，即可得D的坐標，再依據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，可得E的坐標；（2）過作于M，易得與的長，進而可得k的值，依據(jù)題意，可得答案；（3）依據(jù)題意，分三種狀況探討，可得在平面直角坐標系中存在的坐標，進而可得答案．解：（1）∵，設，則，在中，，∵∴解得，∴∵四邊形是矩形∴∴∵∴∴（2）如圖，過作于M∵∴，，∵∴，又∵∴點不在這個反比例函數(shù)的圖象上（3）當時，∴有三種狀況如圖：①把線段先向右平移10個單位長度，再向上平移5個單位，端點E落在處，；②把線段先向左平移4個單位長度，再向下平移8個單位，端點F落在處，；③把線段DF先向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位，端點D落在處，．綜上所述，在平面直角坐標系中存在使得以點D、E、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及其與直線的關(guān)系，平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是特殊有效的方法．20．(1)反比例函數(shù)的表達式為，直線的解析式為；(2)為等腰三角形時，點的坐標為或；(3)當線段與軸有交點時，的取值的最大值為【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設，表示出，，，依據(jù)為等腰三角形，則或或，分別建立方程求解即可得出答案；（3）由于點A關(guān)于直線的對稱點點始終在直線上，因此直線必與直線垂直，當點落到x軸上時，n的取值的最大，依據(jù)，求出點的坐標，再將的中點坐標代入，即可求得n的最大值．解：（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，，，，反比例函數(shù)的表達式為，設直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為；（2）設，則，，，為等腰三角形，或或，當時，，，解得：，；當時，，，，此方程無解；當時，，，解得：，，或（舍去）；綜上所述，為等腰三角形時，點的坐標為或；（3）當點落到軸上時，的取值的最大，如圖，設直線的解析式為，點的坐標為，，即．直線的解析式為點始終在直線上，直線與直線垂直．．．，由于，因此直線可設為．點的坐標為，，即．直線解析式為．當時，則有．點的坐標為．的中點坐標為即，點在直線上，．解得：．故當線段與軸有交點時，的取值的最大值為．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、中點坐標公式等學問，分類探討思想是本題解題的關(guān)鍵．21．（1）m=3，k=12；（2）yx+2或yx﹣2；（3）．【分析】（1）由題可得m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k，解這個方程就可求出m、k的值．（2）由于點A、點B是定點，可對線段AB進行分類探討：AB是平行四邊形的邊、AB是平行四邊形的對角線，再利用平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式及直線的相關(guān)學問就可解決問題．（3）由于點A關(guān)于直線y=kx+b的對稱點點A1始終在直線OA上，因此直線y=kx+b必與直線OA垂直，只需考慮兩個臨界位置（A1在x軸上、B1在x軸上）對應的b的值，就可以求出b的取值范圍．解：（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函數(shù)y的圖象上，∴m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k．解得：m=3，k=12，∴m、k的值分別為3、12．（2）設點M的坐標為（m，0），點N的坐標為（O，n）．①若AB為平行四邊形的一邊．Ⅰ．點M在x軸的正半軸，點N在y軸的正半軸，連接BN、AM交于點E，連接AN、BM，如圖1．∵四邊形ABMN是平行四邊形，∴AE=ME，NE=BE．∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），∴由中點坐標公式可得：xE，yE，∴m=3，n=2，∴M（3，0）、N（0，2）．設直線MN的解析式為y=kx+b．則有解得：，∴直線MN的解析式為yx+2．Ⅱ．點M在x軸的負半軸，點N在y軸的負半軸，連接BM、AN交于點E，連接AM、BN，如圖2，同理可得：直線MN的解析式為yx﹣2．②若AB為平行四邊形的一條對角線，連接AN、BM，設AB與MN交于點F，如圖3．同理可得：直線MN的解析式為yx+6，此時點A、B都在直線MN上，故舍去．綜上所述：直線MN的解析式為yx+2或yx﹣2．（3）①當點B1落到x軸上時，如圖4．設直線OA的解析式為y=ax．∵點A的坐標為（3，4），∴3a=4，即a，∴直線OA的解析式為yx．∵點A1始終在直線OA上，∴直線y=kx+b與直線OA垂直，∴k=﹣1，∴k．由于BB1∥OA，因此直線BB1可設為yx+c．∵點B的坐標為（6，2），∴6+c=2，即c=﹣6，∴直線BB1解析式為yx﹣6．當y=0時，x﹣6=0．則有x，∴點B1的坐標為（，0）．∵點C是BB1的中點，∴點C的坐標為（）即（，1）．∵點C在直線yx+b上，∴b=1．解得：b．②當點A1落到x軸上時，如圖5．此時，點A1與點O重合．∵點D是AA1的中點，A（3，4），A1（0，0），∴D（，2）．∵點D在直線yx+b上，∴b=2．解得：b．綜上所述：當線段A1B1與x軸有交點時，則b的取值范圍為．故答案為．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、中點坐標公式[若點A（a，b）、B（c，d），則線段AB的中點坐標為（）等學問，本題還考查了分類探討的思想方法，是一道好題．22．（1）證明：設E