重慶市北碚區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page20高2025屆高二下期5月測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，，則（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，利用集合的包含關(guān)系可出關(guān)于的等式，結(jié)合集合元素滿(mǎn)意互異性可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋?，，則，所以，或，若，則，此時(shí)，，集合中的元素不滿(mǎn)意互異性，故；若，可得，因?yàn)?，則，此時(shí)，，合乎題意.因此，.故選：B.2.已知a，，，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)相等求得，再求.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故選：D3.的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B.20 C. D.160【答案】C【解析】【分析】求出綻開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于0，從而可得出答案.【詳解】二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，

所以綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為故選：C．4.五一勞動(dòng)節(jié)前夕，4名同學(xué)各自由周六、周日兩天中等可能地任選一天參與公益活動(dòng)，且周六、周日都有同學(xué)參與公益活動(dòng)，則周六恰有2位同學(xué)參與公益活動(dòng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題計(jì)算出4名同學(xué)參與公益活動(dòng)的總狀況數(shù)，及周六恰有2名同學(xué)參與的狀況數(shù)，即可得答案.【詳解】由題意知，4名同學(xué)各自由周六、周日兩天中任選一天參與公益活動(dòng)的總狀況數(shù)為，4人選擇一天的狀況數(shù)為2，則周六、周日都有同學(xué)參與公益活動(dòng)共有種不同的結(jié)果．又周六恰有2位同學(xué)參與公益活動(dòng)共有種不同的結(jié)果，故所求的概率為．故選：A5.算盤(pán)起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，是中國(guó)古代的一項(xiàng)宏大的獨(dú)創(chuàng).在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前，算盤(pán)是世界廣為運(yùn)用的計(jì)算工具.下圖一展示的是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個(gè)位?十位?百位?千位，上面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如圖二，個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠?兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤(pán)的個(gè)位?十位?百位?千位?萬(wàn)位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，則表示的五位數(shù)至多含3個(gè)5的狀況有（）A.10種 B.25種 C.26種 D.27種【答案】C【解析】【分析】分類(lèi)狀況探討結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算可得種類(lèi).

【詳解】方法一：至多含3個(gè)5，有以下四種狀況：不含5，有種；含1個(gè)5，有種；含2個(gè)5，有種；含3個(gè)5，有種，所以，全部的可能狀況共有種方法二：全部可能的狀況有種，其中不符合條件有含有4個(gè)5，有種；含有5個(gè)5，有種；所以，全部的可能狀況共有種故選：C.

6.若函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分別得到，，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，依題意在上恒成立，所以，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D7.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)隨意的，有，且在上．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和條件得到在上單調(diào)遞減，再將變形成，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，得到，令，所以，則為奇函數(shù)，且，又當(dāng)時(shí)，，所以由奇函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以，即.故選：A.8.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，可設(shè)，可得，推斷與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】設(shè)，令可得：,對(duì)于，，故在處切線(xiàn)的斜率值為，設(shè)與相切于點(diǎn)，切線(xiàn)斜率，則切線(xiàn)方程為：，即，解得：；由于，故作出與圖象如下圖所示，與有四個(gè)不同交點(diǎn)，即與有四個(gè)不同交點(diǎn)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可知：，作出函數(shù)的圖象如圖，由此可知與無(wú)交點(diǎn)，與有三個(gè)不同交點(diǎn)，與各有兩個(gè)不同交點(diǎn)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類(lèi)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常接受換元的方法，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分）9.對(duì)隨意實(shí)數(shù)，有.則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】求得的值推斷選項(xiàng)A；求得的值推斷選項(xiàng)B；求得的值推斷選項(xiàng)C；求得的值推斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由二項(xiàng)式定理可得，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，D選項(xiàng)正確.故選：CD10.某班組織由甲、乙、丙等5名同學(xué)參與的演講競(jìng)賽，現(xiàn)接受抽簽法確定演講依次，記事務(wù)A：“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，學(xué)生乙不是最終一個(gè)出場(chǎng)”，事務(wù)B：“學(xué)生丙最終一個(gè)出場(chǎng)”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.事務(wù)A包含78個(gè)樣本點(diǎn) B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用分步分類(lèi)計(jì)數(shù)，結(jié)合組合排列數(shù)求事務(wù)A、事務(wù)B、事務(wù)樣本點(diǎn)數(shù)，再應(yīng)用古典概率求法求、，最終由條件概率公式求.【詳解】問(wèn)題等價(jià)于5個(gè)人支配到5個(gè)座位，事務(wù)A：甲不在首位，乙不在末位，支配甲（除首位）到其中4個(gè)座位上，分兩種狀況：若甲不在末位有種，再支配乙有種，其它同學(xué)作全排有，共有；若甲在末位有1種，余下同學(xué)（含乙）作全排有，共有；所以，事務(wù)A包含78個(gè)樣本點(diǎn)；事務(wù)B：除丙以外的其它同學(xué)作全排有；事務(wù)：把丙支配在末位，再支配甲在中間3個(gè)位置有種，其它同學(xué)作全排有，共有；而5位同學(xué)全部可能支配有.所以，，而，綜上，A、B正確，C、D錯(cuò)誤.故選：AB11.函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，且，則（）A.為偶函數(shù)B.C.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)D.若，則為奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)簡(jiǎn)潔復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及奇偶性的定義推斷A、D，利用特別值推斷B，依據(jù)周期性及奇偶性推斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可推斷C.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在定義域上可導(dǎo)，即，所以?xún)蛇厡?duì)取導(dǎo)可得，即，所以為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B：令，明顯為奇函數(shù)，且最小正周期，即滿(mǎn)意，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榍覟樯系钠婧瘮?shù)，所以，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，則，即為奇函數(shù)，由A可知為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC12.已知，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由題設(shè)知，特別值推斷A；依據(jù)指對(duì)數(shù)的單調(diào)性推斷B、C；由基本不等式知，進(jìn)而推斷是否成立推斷D.詳解】由，故，當(dāng)時(shí)，A錯(cuò)；由在定義域上遞減，而，故，B錯(cuò)；由，而在定義域上遞增，故，C對(duì)；因?yàn)?，則，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，只需，而，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D對(duì).故選：CD三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)，解不等式即可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，則，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.14.函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線(xiàn)的斜率，即可得切線(xiàn)方程.【詳解】則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的斜率為，得切線(xiàn)方程為，即.故答案為：15.在2024年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)擊敗法國(guó)隊(duì)，最終獲得世界杯冠軍.某嬉戲公司據(jù)此推出了一款“AR點(diǎn)球大戰(zhàn)”的嬉戲，規(guī)則如下：嬉戲分為進(jìn)攻方和防守方，進(jìn)攻方最多連續(xù)點(diǎn)球5次，若進(jìn)球則進(jìn)攻方得1分，若沒(méi)進(jìn)則防守方得1分，先得3分者獲勝，本次嬉戲結(jié)束.已知某用戶(hù)作為進(jìn)攻方時(shí)，若某次點(diǎn)球進(jìn)球，則下次進(jìn)球的概率為；若沒(méi)有進(jìn)球，則下次進(jìn)球的概率為，在某次嬉戲中，該用戶(hù)第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)，則該用戶(hù)獲勝的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】先分析出該用戶(hù)獲勝分為點(diǎn)球4次后獲勝或點(diǎn)球5次后獲勝兩類(lèi)，再分析出每一類(lèi)中包含的狀況，計(jì)算出每種狀況的概率，相加即得該用戶(hù)獲勝的概率.【詳解】該用戶(hù)第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)球且該用戶(hù)獲勝可分為點(diǎn)球4次后獲勝或點(diǎn)球5次后獲勝，記事務(wù)該用戶(hù)第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)球且點(diǎn)球4次后獲勝，該用戶(hù)第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)球且點(diǎn)球5次后獲勝若第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)球且點(diǎn)球4次后獲勝，則只有一種狀況，第2次、第3次和第4次均進(jìn)球，所以；若第1次點(diǎn)球沒(méi)進(jìn)球且點(diǎn)球5次后獲勝，則共有3種狀況，①第2次沒(méi)進(jìn)，第3次、第4次和第5次進(jìn)球；②第3次沒(méi)進(jìn)，第2次、第4次和第5次進(jìn)球；③第4次沒(méi)進(jìn)，第2次、第3次和第5次進(jìn)球，所以.故該用戶(hù)獲勝概率為.故答案為：.16.如圖，某景區(qū)共有五個(gè)景點(diǎn)，相鄰景點(diǎn)之間僅設(shè)置一個(gè)檢票口供出入，共有7個(gè)檢票口，工作人員為了檢測(cè)檢票設(shè)備是否正常，須要對(duì)每個(gè)檢票口的檢票設(shè)備進(jìn)行檢測(cè).若不重復(fù)經(jīng)過(guò)同一個(gè)檢票口，依次對(duì)全部檢票口進(jìn)行檢測(cè)，則共有____________種不同的檢測(cè)依次.【答案】【解析】【分析】將個(gè)景區(qū)抽象為個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)個(gè)檢票口抽象為條路途，將問(wèn)題化歸為不重復(fù)走完條路途，即一筆畫(huà)問(wèn)題，分析可得只能從或處動(dòng)身才能不重復(fù)走完條路途，再用列舉法列出全部可能結(jié)果，即可得解.【詳解】如圖將個(gè)景區(qū)抽象為個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)個(gè)檢票口抽象為條路途，將問(wèn)題化歸為不重復(fù)走完條路途，即一筆畫(huà)問(wèn)題，從或處動(dòng)身的線(xiàn)路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以推斷只能從或處動(dòng)身才能不重復(fù)走完條路途，由于對(duì)稱(chēng)性，只列出從處動(dòng)身的路途情形即可.①走路途：，，，，，，共種；②走路途：，，，，，，共種；③走路途：，，，，共種；綜上，共有種檢測(cè)依次.故答案為：四、解答題（共6小題，共70分）17.一只口袋中裝有形態(tài)、大小都相同的10個(gè)小球，其中有紅球1個(gè)，黑球4個(gè)，白球5個(gè)．（1）從中1次隨機(jī)摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布；（2）從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球是黑球，求另一個(gè)小球也是黑球的概率.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出的可能值，并求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列作答.（2）依據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】可能的取值為0，1，2，3，，，，，概率分布列為：0123【小問(wèn)2詳解】設(shè)“從袋子中任取兩個(gè)小球，其中一個(gè)小球是黑球”為事務(wù)，“另一個(gè)小球也是黑球”為事務(wù)，則，由條件概率公式可得，所以從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球是黑球，另一個(gè)小球也是黑球的概率為.18.用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的五位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)有多少？（2）在組成的五位數(shù)中，全部奇數(shù)的個(gè)數(shù)有多少?（3）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個(gè)數(shù)有多少?（4）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30421排第幾個(gè)?【答案】（1）24（2）36（3）36（4）第54個(gè)【解析】【分析】（1）能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0，其它位置隨意排.（2）先排個(gè)位數(shù)，從兩個(gè)奇數(shù)里選，然后排萬(wàn)位數(shù)，不能為零，剩下其它位置隨意排，再按分步乘法計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果.（3）把數(shù)字1和3捆綁在一起，1和3可以交換位置，又最高位不為0，先支配0，有3個(gè)位置，其余位置隨意排；（4）計(jì)算出比30421小的五位數(shù)的狀況，即可知道30421排第幾個(gè).【小問(wèn)1詳解】能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0，其它位置隨意排，則有個(gè)；【小問(wèn)2詳解】在組成的五位數(shù)中，先排個(gè)位數(shù)，從兩個(gè)奇數(shù)里選，然后排萬(wàn)位數(shù)，不能為零，剩下其它位置隨意排.全部奇數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)；【小問(wèn)3詳解】在組成的五位數(shù)中，把數(shù)字1和3捆綁在一起，1和3可以交換位置，又最高位不為0，先支配0，有3個(gè)位置，其余位置隨意排，則有個(gè)；【小問(wèn)4詳解】比30421小的五位數(shù)，若萬(wàn)位為1或2，其余位置隨意排，即，若萬(wàn)位為3，比30421小的有5個(gè)，30124，30142，30214，30241，30412.從小到大排列，30421排第54個(gè).19.人們?cè)诮邮軉?wèn)卷調(diào)查時(shí)，通常并不情愿照實(shí)回答太敏感的問(wèn)題．比如，干脆問(wèn)運(yùn)動(dòng)員們是否服用過(guò)興奮劑，絕大多數(shù)狀況下難以得到真實(shí)的數(shù)據(jù)．某中學(xué)發(fā)布了一項(xiàng)針對(duì)學(xué)生行為規(guī)范的新校規(guī)，學(xué)生社團(tuán)想進(jìn)行一次本校學(xué)生對(duì)新校規(guī)認(rèn)可度的調(diào)查，為了消退被調(diào)查者的顧慮，細(xì)心設(shè)計(jì)了一份問(wèn)卷：在回答問(wèn)題前，請(qǐng)自行拋一個(gè)硬幣：假如得到正面，請(qǐng)依據(jù)問(wèn)題一勾選“是”或“否”；假如得到反面，請(qǐng)依據(jù)問(wèn)題二勾選“是”或“否”．（友情提示：為了不泄漏您的隱私，請(qǐng)不要讓其他人知道您拋硬幣的結(jié)果．）問(wèn)題一：您的身份證號(hào)碼最終一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)嗎？“是”“否”問(wèn)題二：您是否對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法?“是”“否”學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)選取了150名男學(xué)生和150名女學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，已知統(tǒng)計(jì)問(wèn)卷中有85張勾選“是”．（1）依據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的學(xué)問(wèn)，估計(jì)該校學(xué)生對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法的概率；（2）據(jù)核實(shí)，以上的300名學(xué)生中有20名學(xué)生對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法，其中男生15人，女生5人，請(qǐng)完成列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法與性別有關(guān)．男生女生合計(jì)認(rèn)可新校規(guī)不認(rèn)可新校規(guī)合計(jì)參考公式和數(shù)據(jù)如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879【答案】（1）（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有【解析】【分析】（1）由題意計(jì)算出回答第一個(gè)問(wèn)題和回答其次個(gè)問(wèn)題的人數(shù)，依據(jù)古典概型的概率公式可得答案；（2）由題意可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，比較即可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意知拋一個(gè)硬幣：得到正面或反面是等可能的，故回答第一個(gè)問(wèn)題的人數(shù)為人，回答其次個(gè)問(wèn)題的人數(shù)也為150人，因?yàn)樯矸葑C號(hào)碼最終一個(gè)數(shù)是否為奇數(shù)是等可能的，所以回答第一個(gè)問(wèn)題，選擇“是”的學(xué)生人數(shù)為，則回答其次個(gè)問(wèn)題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，所以估計(jì)該校學(xué)生對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法的概率為；【小問(wèn)2詳解】由題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)認(rèn)可新校規(guī)15520不認(rèn)可新校規(guī)135145280合計(jì)150150300故，故有的把握認(rèn)為對(duì)新校規(guī)持認(rèn)可看法與性別有關(guān)．20.某地新能源汽車(chē)保有量符合阻沛型增長(zhǎng)模型，其中為自統(tǒng)計(jì)之日起，經(jīng)過(guò)t年后該地新能源汽車(chē)保有量、和r為增長(zhǎng)系數(shù)、M為飽和量．下表是該地近6年年底的新能源汽車(chē)的保有量（萬(wàn)輛）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20242024202420242024t01234保有量9.612.917.123.231.4假設(shè)該地新能源汽車(chē)飽和量萬(wàn)輛．（1）若，假設(shè)2024年數(shù)據(jù)滿(mǎn)意公式，計(jì)算的值（精確到0.01）并估算2024年年底該地新能源汽車(chē)保有量（精確到0.1萬(wàn)輛）；（2）設(shè)，則與t線(xiàn)性相關(guān)．請(qǐng)依據(jù)以上表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用線(xiàn)性回來(lái)分析確定和r的值（精確到0.01）．附：線(xiàn)性回來(lái)方程中回來(lái)系數(shù)計(jì)算公式如下：.【答案】（1），萬(wàn)輛（2），【解析】【分析】（1）依據(jù)題意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解；（2）設(shè)設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的線(xiàn)性回來(lái)問(wèn)題，利用公式求出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，2024年對(duì)應(yīng)，，滿(mǎn)意，所以，解得，因?yàn)槟陮?duì)應(yīng)的，所以所以估計(jì)2024年底該地新能源汽車(chē)保有量為40.3萬(wàn)輛.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，則，t012349.612.917.123.231.43.373.072.772.442.11，，，所以，因?yàn)椋?(該題無(wú)參考數(shù)據(jù)，須要計(jì)算器計(jì)算)21.已知函數(shù)，其中.（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）證明：.