備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第一章§1.2　常用邏輯用語

§1.2常用邏輯用語考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．知識梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)常用結(jié)論1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分條件，則A?B；②若p是q的充分不必要條件，則AB；③若p是q的必要不充分條件，則BA；④若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件．(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)教材改編題1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析當a>b時，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a>b?ac2>bc2，當ac2>bc2時，c2≠0，則a>b，所以ac2>bc2?a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件．2．使－2<x<2成立的一個充分條件是()A．x<2 B．0<x<2C．－2≤x≤2 D．x>0答案B3．“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形題型一充分、必要條件的判定例1(1)已知p：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p對應(yīng)的x的范圍為(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q對應(yīng)的x的范圍為(0,1)，顯然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分條件．(2)(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B解析當a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件．當數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要條件．教師備選1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則∠B＝90°，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，綜上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件．2．(2022·寧波模擬)設(shè)a，b∈R，p：log2(a－1)＋log2(b－1)>0，q：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由題意得，p：log2(a－1)＋log2(b－1)＝log2(a－1)(b－1)>0＝log21，所以(a－1)(b－1)>1，即a＋b<ab，因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,b－1>0，))所以a>1，b>1，則ab>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，所以p是q的充分條件；因為eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，所以eq\f(a＋b,ab)<1，若ab>0，則a＋b<ab，若ab<0，則a＋b>ab，所以p是q的非必要條件，所以p是q的充分不必要條件．思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若a>2，b>2，則a＋b>4，ab>4.當a＝1，b＝5時，滿足a＋b>4，ab>4，但不滿足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4?a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要條件．(2)(2022·太原模擬)若a，b為非零向量，則“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因為a⊥b，所以a·b＝0，則(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分條件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要條件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要條件．題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴當0≤m≤3時，x∈A是x∈B的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍．解∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，∴AB，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，故m的取值范圍是[9，＋∞)．教師備選(2022·泰安模擬)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因為q：|x＋2a|<3，所以q：－2a－3<x<－2a＋3，記A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}，p：x≥a，記為B＝{x|x≥a}．因為p是q的必要不充分條件，所以AB，所以a≤－2a－3，解得a≤－1.思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·衡水中學(xué)模擬)若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件是1<x<2，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案[1,2]解析由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因為1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件，所以滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤1，,a＋1≥2))且等號不能同時取得，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≥1，))解得1≤a≤2.(2)已知p：實數(shù)m滿足3a<m<4a(a>0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,8)))解析由2－m>m－1>0，得1<m<eq\f(3,2)，即q：1<m<eq\f(3,2).因為p是q的充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,8).題型三全稱量詞與存在量詞命題點1含量詞命題的否定例3(1)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為()A．?n∈N，n2≥2n＋5B．?n∈N，n2≤2n＋5C．?n∈N，n2<2n＋5D．?n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量詞命題的否定可知，綈p為?n∈N，n2<2n＋5.所以C正確，A，B，D錯誤．(2)命題：“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是________．答案存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)命題點2含量詞命題的真假判定例4(多選)下列命題是真命題的是()A．?a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)B．?x∈R，函數(shù)y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒為正數(shù)C．?x∈R，2x<x2D．?x∈(－10，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x>答案AC解析當a＝1時，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1時，y＝0，故B為假命題；當x∈(2,4)時，2x<x2，故C為真命題；當x＝eq\f(1,3)時，∈(0,1)，eq\f(1,3)＝1，∴<eq\f(1,3)，故D為假命題．命題點3含量詞命題的應(yīng)用例5已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案a>eq\f(1,8)解析因為命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命題，當a＝0時，得x<2，故命題“?x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命題，不符合題意；當a≠0時，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a>eq\f(1,8).教師備選1．(2022·西安模擬)下列命題中假命題是()A．?x∈R，2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2答案B解析∵指數(shù)函數(shù)y＝2x的值域為(0，＋∞)，∴?x∈R，均可得到2x－1>0成立，故A項為真命題；∵當x∈N*時，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當且僅當x＝1時取等號，∴?x∈N*，使(x－1)2>0不成立，故B項為假命題；∵當x＝1時，lg1＝0<1，∴?x∈R，使得lgx<1成立，故C項為真命題；∵正切函數(shù)y＝tanx的值域為R，∴存在銳角x，使得tanx＝2成立，故D項為真命題．綜上所述，只有B項是假命題．2．若命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是()A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0答案D解析若命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命題，則m＝x2－4x，設(shè)y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因為函數(shù)y＝x2－4x在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，所以當x＝2時，ymin＝－4；當x＝4時，ymax＝0，故當1≤x≤4時，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題．跟蹤訓(xùn)練3(1)命題“?x>0，xsinx<2x－1”的否定是()A．?x>0，xsinx≥2x－1B．?x>0，xsinx≥2x－1C．?x≤0，xsinx<2x－1D．?x≤0，xsinx≥2x－1答案B解析因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“?x>0，xsinx<2x－1”的否定是：?x>0，xsinx≥2x－1.(2)(2022·重慶模擬)下列命題為真命題的是()A．?x∈R，x2－|x|＋1≤0B．?x∈R，－1≤eq\f(1,cosx)≤1C．?x∈R，(lnx)2≤0D．?x∈R，sinx＝3答案C解析對于A，因為x2－|x|＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以?x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命題；對于B，當x＝eq\f(π,3)時，eq\f(1,cosx)＝2，所以?x∈R，－1≤eq\f(1,cosx)≤1是假命題；對于C，當x＝1時，lnx＝0，所以?x∈R，(lnx)2≤0是真命題；對于D，因為－1≤sinx≤1，所以?x∈R，sinx＝3是假命題．(3)若命題“?x∈R，x2－mx－m<0”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析依題意，Δ＝m2＋4m>0，∴m>0或m<－4.課時精練1．命題p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．有些三角形可能是等腰三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形答案C解析命題p：“?x∈A，使P(x)成立”，綈p為“對?x∈A，有P(x)不成立”．故命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則綈p是“所有三角形不是等腰三角形”．2．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件．3．以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2答案B解析A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中當x＝0時，x2＝0，滿足x2≤0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因為eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是無理數(shù)，所以C是假命題；D中對于任意一個負數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，不滿足eq\f(1,x)>2，所以D是假命題．4．(2022·沈陽模擬)在空間中，設(shè)m，n是兩條直線，α，β表示兩個平面，如果m?α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析當m⊥n時，∵m?α，α∥β，則n與β可能平行，∴充分性不成立；當n⊥β時，∵α∥β，∴n⊥α，∵m?α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分條件．5．若命題“?x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞) B．(－∞，4)C．[4，＋∞) D．(－∞，4]答案D解析若命題“?x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命題，則有“?x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命題．即a≤x＋eq\f(4,x)，則a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))min，又x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，當且僅當x＝2時取等號，故a≤4.6．(2022·南京模擬)已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥－eq\f(2,3)”是“?x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件答案A解析∵?x∈M,4x－2x＋1－a≤0，∴a≥(4x－2x＋1)min，x∈[－1,1]，設(shè)t＝2x，則f(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴f(t)min＝f(1)＝－1，∴a≥－1，∵eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))[－1，＋∞)，∴“a≥－eq\f(2,3)”是“?x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的充分不必要條件．7．(多選)(2022·煙臺調(diào)研)下列四個命題中是真命題的有()A．?x∈R，3x>0B．?x∈R，x2＋x＋1≤0C．?x∈R，sinx<2xD．?x∈R，cosx>x2＋x＋1答案AD解析?x∈R,3x>0恒成立，A是真命題；∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴B是假命題；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)π))＝1>，知C是假命題；取x＝－eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，但x2＋x＋1＝eq\f(3,4)<eq\f(\r(3),2)，則D是真命題．8．(多選)(2022·臨沂模擬)下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是()A．xc2>yc2 B.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析對于A選項，若xc2>yc2，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當c＝0時得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A正確；對于B選項，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y；但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因為x，y的正負不確定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要條件，故B正確；對于C選項，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D選項，若lnx>lny，則x>y，反之x>y得不出lnx>lny，所以“l(fā)nx>lny”是“x>y”的充分不必要條件，故D正確．9．若命題p：?x∈(0，＋∞)，eq\r(x)>x＋1，則命題p的否定為________．答案?x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋110．(2022·衡陽模擬)使得“2x>4x”成立的一個充分條件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等價于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一個充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可．11．直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝a2(a>0)有公共點的充要條件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直線y＝kx＋1過定點(0,1)，依題意知點(0,1)在圓x2＋y2＝a2內(nèi)部(包含邊界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．已知命題p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題p，q均為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________________．答案{a|a≤－2或a＝1}解析由題意可知p和q均為真命題，由命題p為真命題，得?x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命題q為真命題，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－2或a＝1}．13．(2022·蘇州中學(xué)月考)在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因為A，B是△ABC的內(nèi)角，且A>B，所以0<B<A<π，因為y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，所以cosA<cosB，故充分性成立；反之，y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，0<A<π，0<B<π，若cosA<cosB，則A>B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的充要條件．14．已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，若“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命題，則f(a＋b)＝________.答案0解析“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依題意得，命題?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0為真命題，故函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，b)為奇函數(shù)，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.15．(多選)已知a∈R，則使命題“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2－sinx－a≥0”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)<