高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)7.3.2離散型隨機變量的方差-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第三冊)(原卷版+解析)

7.3.2離散型隨機變量的方差備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：求離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差；方差的性質(zhì)；方差的期望表；兩點分布的方差課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納知識點：方差；方差：對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)：①；②.方差的意義：(1)隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛.考點講解考點講解考點1：求離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例1．某網(wǎng)約車司機統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程X（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，行駛路程超過3km時，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【方法技巧】（1）利用概率和為1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，然后利用期望方差的性質(zhì)可算出答案.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的概率分別為，，其中是常數(shù)，則的值為（

）A． B． C．1 D．2．若隨機變量的分布列如表，則的方差是（

）01A．0 B．1 C． D．3．已知隨機變量X的分布列為01下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．4．已知隨機變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則P＝___；D（X）＝___．考點2：方差的性質(zhì)例2．離散型隨機變量X的分布為：01245若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為______．①；②；③；④．【方法技巧】方差的性質(zhì)：①；②.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．2．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為___________.3．已知離散型隨機變量X的取值為有限個，，，則______．4．醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1(1)求出，；(2)已知人體體溫為時，相當(dāng)于，求，．考點3：方差的期望表示例3．將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的分布列是-212若，則（

）A．0 B．2 C．3 D．42．已知隨機變量ξ的分布列為：ξmnPa若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于（

）A．0 B．2 C．4 D．無法計算3．隨機變量的分布列是24Pab若，則__________．考點4：兩點分布的方差例4．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有和，且，令隨機變量，則的方差______．【方法技巧】隨機變量符合兩點分布,根據(jù)兩點分布的方差公式得到結(jié)果．【變式訓(xùn)練】1．若離散型隨機變量X服從兩點分布，且，，則（

）A． B． C．或 D．2．若X的概率分布為：X01P0.5a則D(X)等于（

）A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．4．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，、分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．知識小結(jié)知識小結(jié)方差：對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)：①；②.方差的意義：(1)隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．隨機變量的分布列是.若，則（

）-212A． B． C． D．2．已知隨機變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．3．若數(shù)據(jù)，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，（a為實數(shù)）的方差是（

）A．6＋a B．8 C．4＋a D．124．“生活里沒有書籍，就好像沒有陽光；智慧里沒有書籍，就好像鳥兒沒有翅膀.”某學(xué)校開展書香校園活動，甲、乙兩學(xué)生統(tǒng)計某一周內(nèi)的讀書時長數(shù)據(jù).若學(xué)生甲一周內(nèi)每天的讀書時長（單位：小時）分別為，，…，，其均值和方差分別為和，學(xué)生乙該周內(nèi)每天的讀書時長均比學(xué)生甲多半個小時，則學(xué)生乙該周內(nèi)每天讀書時長的均值和方差分別為（

）A．， B．，C．， D．，5．已知離散型隨機變量X的方差為1，則（

）A．2 B．3 C．8 D．96．設(shè)X，Y為隨機變量，且，則（

）A．9 B．8 C．5 D．47．設(shè)，隨機變量的分布列為：01則當(dāng)在上增大時（

）A．單調(diào)遞增，最大值為B．先增后減，最大值為C．單調(diào)遞減，最小值為D．先減后增，最小值為8．若，其中，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．二、多選題9．已知隨機變量X的分布列如下表：若，則（

）01A． B． C． D．10．（多選）下列說法正確的是（

）．A．隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”B．隨機變量的均值反映波動幅度的大小C．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度D．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散三、填空題11．已知，則___________.12．已知樣本???…?的平均數(shù)與方差分別是1和4，且樣本???…?的平均數(shù)與方差分別是1和16，則___________.13．已知離散型隨機變量的分布如下表：02Pab若隨機變量的期望值，則______．14．某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記為遇到紅燈的次數(shù)，若，則Y的方差______．四、解答題15．隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上一面的點數(shù)為.（1）求的分布列；（2）求和.16．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量、，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8、7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2．(1)求、的分布；(2)比較甲、乙的射擊技術(shù)．7.3.1離散型隨機變量的方差備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：求離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差；方差的性質(zhì)；方差的期望表；兩點分布的方差課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納知識點：方差；方差：對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)：①；②.方差的意義：(1)隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛.考點講解考點講解考點1：求離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例1．某網(wǎng)約車司機統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程X（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，行駛路程超過3km時，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見解析，，；(2)均值為71元，方差為.（1）由題意，得．∴．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴，．（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，∴，．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．【方法技巧】（1）利用概率和為1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，然后利用期望方差的性質(zhì)可算出答案.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的概率分別為，，其中是常數(shù)，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先求得參數(shù)k的值，進而求得的值，再利用隨機變量的方差的計算公式即可求得的值【詳解】，，，解得，，.故選：C.2．若隨機變量的分布列如表，則的方差是（

）01A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列利用期望與方差的公式計算即可得解.【詳解】解：，則.故選：D.3．已知隨機變量X的分布列為01下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用分布列的性質(zhì)判斷A，期望、方差的定義計算判斷B，D；期望的性質(zhì)計算判斷C作答.【詳解】由分布列的性質(zhì)得：，解得，A正確；，B正確，C不正確；，D正確.故選：ABD4．已知隨機變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則P＝___；D（X）＝___．【答案】

##

##【分析】利用隨機變量分布列的性質(zhì)知，求得；利用期望和方差的公式求得；【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，知，所以，，；故答案為：；.考點2：方差的性質(zhì)例2．離散型隨機變量X的分布為：01245若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為______．①；②；③；④．【答案】①③【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，進而根據(jù)，進而求得的值，即可求解.【詳解】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)，可得，則，，所以①③正確；又由離散型隨機變量Y滿足，所以，，所以②④錯誤，故答案為：①③．【方法技巧】方差的性質(zhì)：①；②.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【詳解】，得，，得，故選：B2．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為___________.【答案】8【分析】利用方差的性質(zhì)有，即可求新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】由題設(shè)，，故，所以新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8.故答案為：83．已知離散型隨機變量X的取值為有限個，，，則______．【答案】##【分析】根據(jù)題意和方差公式，以及方差的線性公式即可求解.【詳解】因為，由，得.故答案為：.4．醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1(1)求出，；(2)已知人體體溫為時，相當(dāng)于，求，．【答案】(1)38.4，0.64.(2)101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.(1)由題可得，.(2)由可知，，.考點3：方差的期望表示例3．將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【答案】

1

1【分析】根據(jù)題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應(yīng)的概率，進而求出和，根據(jù)計算即可.【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；1【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的分布列是-212若，則（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由于分布列的概率之和為1，以及，列出關(guān)于的方程，再根據(jù)方差公式即可求出．【詳解】由題意可知，，又，所以；所以.故選：B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)、期望公式和方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知隨機變量ξ的分布列為：ξmnPa若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于（

）A．0 B．2 C．4 D．無法計算【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合期望和方差的計算公式，即可求解.【詳解】由題意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，當(dāng)n＝2時，D(ξ)取得最小值，此時m＝2，不符合題意，故D(ξ)無法取得最小值．故選：D3．隨機變量的分布列是24Pab若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案.【詳解】解：，即，又因，所以，所以.故答案為：.考點4：兩點分布的方差例4．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有和，且，令隨機變量，則的方差______．【答案】【詳解】解析：隨機變量的分布列為01所以隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，所以．故答案為：【方法技巧】隨機變量符合兩點分布,根據(jù)兩點分布的方差公式得到結(jié)果．【變式訓(xùn)練】1．若離散型隨機變量X服從兩點分布，且，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點分布的方差公式求解．【詳解】由題意，解得或．故選：C．2．若X的概率分布為：X01P0.5a則D(X)等于（

）A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.2【答案】B【分析】由分布列的性質(zhì)求得，再求數(shù)學(xué)期望后可求方差.【詳解】由0.5＋a＝1，得a＝0.5，∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.故選：B3．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)隨機分布的定義和隨機分布的期望方差計算進行求解即可.【詳解】對于選項A：隨機變量X服從兩點分布，因為故，故選項A正確；對于選項B：，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故D正確.故選：ACD4．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，、分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)隨機變量服從兩點分布推出，再根據(jù)公式計算出，由此分別計算其他選項得到結(jié)果.，【詳解】根據(jù)隨機變量服從兩點分布，其中，，故A正確；，故B正確；則，故C錯誤；，則，故D錯誤.故選：AB.知識小結(jié)知識小結(jié)方差：對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)：①；②.方差的意義：(1)隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；(2)隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．隨機變量的分布列是.若，則（

）-212A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分布列的概率之和為1，利用期望的性質(zhì)和方差公式求解.【詳解】由題意可知，，解得，所以.故選：B.2．已知隨機變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：,,故選：D3．若數(shù)據(jù)，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，（a為實數(shù)）的方差是（

）A．6＋a B．8 C．4＋a D．12【答案】B【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)集的方差.【詳解】由題設(shè)，則，故選：B4．“生活里沒有書籍，就好像沒有陽光；智慧里沒有書籍，就好像鳥兒沒有翅膀.”某學(xué)校開展書香校園活動，甲、乙兩學(xué)生統(tǒng)計某一周內(nèi)的讀書時長數(shù)據(jù).若學(xué)生甲一周內(nèi)每天的讀書時長（單位：小時）分別為，，…，，其均值和方差分別為和，學(xué)生乙該周內(nèi)每天的讀書時長均比學(xué)生甲多半個小時，則學(xué)生乙該周內(nèi)每天讀書時長的均值和方差分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)集的均值和方差.【詳解】由題意，若學(xué)生甲每天的讀書時長，則學(xué)生乙該周內(nèi)每天的讀書時長，所以，.故選：D5．已知離散型隨機變量X的方差為1，則（

）A．2 B．3 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由題意，離散型隨機變量的方差為1，即，則.故選：D.6．設(shè)X，Y為隨機變量，且，則（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)方差的公式求得，再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可【詳解】由題意，，故故選：B7．設(shè)，隨機變量的分布列為：01則當(dāng)在上增大時（

）A．單調(diào)遞增，最大值為B．先增后減，最大值為C．單調(diào)遞減，最小值為D．先減后增，最小值為【答案】D【分析】根據(jù)方差公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】由題知，解得，所以所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值.故選：D8．若，其中，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】利用期望和方差的性質(zhì)計算得到，設(shè)函數(shù)，，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】∵，∴，，∴．設(shè)函數(shù)（），則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，．單調(diào)遞減，所以在取得極大值，也是最大值，故，即的最大值為．故選：C二、多選題9．已知隨機變量X的分布列如下表：若，則（

）01A． B． C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合概率之和為以及求得，由此求得，從而判斷出正確答案.【詳解】依題意，AB選項正確.，C選項正確.，D選項錯誤.故選：ABC10．（多選）下列說法正確的是（

）．A．隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”B．隨機變量的均值反映波動幅度的大小C．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度D．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散【答案】ACD【分析】根據(jù)均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義,即可求解.【詳解】隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”．隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以A正確，B錯誤．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散，所以CD正確．故選：ACD．三、填空題11．已知，則___________.【答案】1【分析】由,化簡計算即可.【詳解】解：由，有，可得故答案為：1.12．已知樣本???…?的平均數(shù)與方差分別是1和4，且樣本???…?的平均數(shù)與方差分別是1和16，則___________.【答案】5【分析】依據(jù)隨機變量的均值和方差的性質(zhì)列方程組即可