高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專(zhuān)題32指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)

專(zhuān)題32指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.溫馨提示：指數(shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)．(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1.(3)ax的系數(shù)是1.2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)3．新知拓展(1)底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近y軸．當(dāng)a>b>1時(shí)，①若x>0，則ax>bx>1；②若x<0，則1>bx>ax>0.當(dāng)1>a>b>0時(shí)，①若x>0，則1>ax>bx>0；②若x<0，則bx>ax>1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且圖象都在x軸上方．(3)當(dāng)a>1時(shí)，x→－∞，y→0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意義是“x趨近于正無(wú)窮大”)題型一指數(shù)函數(shù)的概念1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x3．下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0個(gè) B．1個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)4．下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．35．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．06．指出下列哪些是指數(shù)函數(shù)．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).7．已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．8．函數(shù)y＝(a－2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)>0且a≠19．函數(shù)f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指數(shù)函數(shù)，則m＝________.10．若函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．111．若函數(shù)f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指數(shù)函數(shù)，則a＝________.12．指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(－3)的值是________．13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,5)，(0,4)，則f(－2)的值為_(kāi)_______．14．已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，則f(－2)＝________.15．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝9，則f(－2)＝________，f(1)＝________.16．若點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y＝(eq\r(3))x的圖象上，則eq\r(a)的值為()A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．017．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,2)，則a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，則x＝________.18．已知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，若f(a)＝5，則f(2a)＝________.19．若f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋eq\f(f6,f5)＋…＋eq\f(f2020,f2019)＝()A．1010B．2020C．2019D．1009題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的圖象可能是()2．函數(shù)y＝3－x的圖象是()ABCD3．函數(shù)y＝2－|x|的大致圖象是()4．函數(shù)y＝a－|x|(0<a<1)的圖象是()ABCD5．函數(shù)y＝－2－x的圖象一定過(guò)第________象限．6．函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<07．已知0<m<n<1，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為()8．若a>1，－1<b<0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限9．若函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則一定有()A．0<a<1，且b>0 B．a(chǎn)>1，且b>0C．0<a<1，且b<0 D．a(chǎn)>1，且b<010．若函數(shù)y＝ax＋m－1(a＞0)的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三和第四象限，則()A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜111．函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是()12．二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的圖象可能是()13．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()14．如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a(chǎn)<b<1<d<c15．方程|2x－1|＝a有唯一實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________．16．函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．17．函數(shù)y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．18．當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋1－1的圖象一定過(guò)點(diǎn)()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)19．已知函數(shù)y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)A(m，n)，則m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．220．函數(shù)y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．21．若函數(shù)y＝2－|x|－m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥022．已知f(x)＝2x的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由y＝f(x)的圖象通過(guò)怎樣的變化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.23．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的圖象如圖②所示，求a，b的取值范圍；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．題型三指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4));(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|));(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.2．(1)求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的定義域與值域；(2)求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．3．函數(shù)y＝eq\r(2x－1)的定義域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)4．函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定義域是________．5．若函數(shù)y＝eq\r(ax－1)的定義域是(－∞，0]，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<1C．0<a<1 D．a(chǎn)≠16．若函數(shù)f(x)＝eq\r(ax－a)的定義域是[1，＋∞)，則a的取值范圍是()A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)8．函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)9．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,256)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,256))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，＋∞))10．函數(shù)y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是()A．[0,1]B．[－1,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))11．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，則m＋n的值為_(kāi)_______．12．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值域是________．13．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．14．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))則函數(shù)f(x)的值域是________．15．已知函數(shù)f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)(x≥0)的值域．16．若定義運(yùn)算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a<b，,b，a≥b，))則函數(shù)f(x)＝3x⊙3－x的值域是________．17．函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)的值域是________．18．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，求實(shí)數(shù)a的值．19．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)設(shè)t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值與最小值；(2)求f(x)的最大值與最小值．專(zhuān)題32指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.溫馨提示：指數(shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)．(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1.(3)ax的系數(shù)是1.2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)3．新知拓展(1)底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近y軸．當(dāng)a>b>1時(shí)，①若x>0，則ax>bx>1；②若x<0，則1>bx>ax>0.當(dāng)1>a>b>0時(shí)，①若x>0，則1>ax>bx>0；②若x<0，則bx>ax>1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且圖象都在x軸上方．(3)當(dāng)a>1時(shí)，x→－∞，y→0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意義是“x趨近于正無(wú)窮大”)題型一指數(shù)函數(shù)的概念1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義知a>0且a≠1，故選D.2．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義可知D正確．3．下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0個(gè) B．1個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．[答案]B4．下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，只有③符合，選B.5．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．0[解析](1)①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0且a≠1時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)；④中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)，故選D.6．指出下列哪些是指數(shù)函數(shù)．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1)).[解析](2)是四次函數(shù)；(3)是－1與4x的乘積；(4)中底數(shù)－4＜0；(6)是二次函數(shù)；(7)中底數(shù)x不是常數(shù)．它們都不符合指數(shù)函數(shù)的定義，故不是指數(shù)函數(shù)．綜上可知，(1)(5)(8)是指數(shù)函數(shù)．7．已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．8．函數(shù)y＝(a－2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)>0且a≠1[解析]由指數(shù)函數(shù)的概念可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝3.9．函數(shù)f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指數(shù)函數(shù)，則m＝________.[解析]∵函數(shù)f(x)＝(m2－m＋1)ax是指數(shù)函數(shù)，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.10．若函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．1[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,a2－4a＋4＝1，))解得a＝3，故選C.11．若函數(shù)f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指數(shù)函數(shù)，則a＝________.[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.12．指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(－3)的值是________．[解析]由題意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝eq\f(1,8).13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,5)，(0,4)，則f(－2)的值為_(kāi)_______．[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.14．已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，則f(－2)＝________.[解析]設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).15．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝9，則f(－2)＝________，f(1)＝________.[解析]設(shè)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9)，f(1)＝3.16．若點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y＝(eq\r(3))x的圖象上，則eq\r(a)的值為()A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．0[解析]選A點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y＝(eq\r(3))x的圖象上，∴27＝(eq\r(3))a，即33＝3eq\f(a,2)，∴eq\f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq\r(a)＝eq\r(6).故選A.17．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,2)，則a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，則x＝________.[解析]因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝f(x)可變形為4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2，所以x＝－1.18．已知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，若f(a)＝5，則f(2a)＝________.[解析]因?yàn)閒(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，f(a)＝5，則f(a)＝2a＋eq\f(1,2a)＝5.所以f(2a)＝22a＋eq\f(1,22a)＝(2a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2a)))2－2＝23.19．若f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋eq\f(f6,f5)＋…＋eq\f(f2020,f2019)＝()A．1010B．2020C．2019D．1009[解析]不妨設(shè)f(x)＝2x，則eq\f(f2,f1)＝eq\f(f4,f3)＝…＝eq\f(f2020,f2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的圖象可能是()[解析]0<eq\f(3,4)<1且過(guò)點(diǎn)(0,1)，故選C.2．函數(shù)y＝3－x的圖象是()ABCD[解析]∵y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，∴B選項(xiàng)正確．3．函數(shù)y＝2－|x|的大致圖象是()[解析]y＝2－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥0.,2x，x<0，))畫(huà)出圖象，可知選C.4．函數(shù)y＝a－|x|(0<a<1)的圖象是()ABCD[解析]y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))|x|，易知函數(shù)為偶函數(shù)，∵0<a<1，∴eq\f(1,a)>1，故當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為1，且指數(shù)函數(shù)為凹函數(shù)，故選A.5．函數(shù)y＝－2－x的圖象一定過(guò)第________象限．[解析]y＝－2－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，一定過(guò)第三、四象限．6．函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0[解析]從曲線的變化趨勢(shì)，可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù)，從而有0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)y＝ax(0<a<1)的圖象向左平移|－b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以－b>0，即b<0.7．已知0<m<n<1，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為()[解析]由于0<m<n<1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數(shù)，故排除A、B，作直線x＝1與兩個(gè)曲線相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C.8．若a>1，－1<b<0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限[解析]A,∵a>1，且－1<b<0，故其圖象如圖所示．]9．若函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則一定有()A．0<a<1，且b>0 B．a(chǎn)>1，且b>0C．0<a<1，且b<0 D．a(chǎn)>1，且b<0[解析]函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象是由函數(shù)y＝ax的圖象經(jīng)過(guò)向上或向下平移而得到的，因其圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，所以a∈(0,1)．若經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則需將函數(shù)y＝ax(0<a<1)的圖象向下平移至少大于1個(gè)單位長(zhǎng)度，即b－1<－1?b<0.故選C.10．若函數(shù)y＝ax＋m－1(a＞0)的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三和第四象限，則()A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1[解析]選B,y＝ax(a＞0)的圖象在第一、二象限內(nèi)，欲使y＝ax＋m－1的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，必須將y＝ax向下移動(dòng)．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象向下移動(dòng)，只能經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有當(dāng)a＞1時(shí)，圖象向下移動(dòng)才可能經(jīng)過(guò)第一、三、四象限．當(dāng)a＞1時(shí)，圖象向下移動(dòng)不超過(guò)一個(gè)單位時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，向下移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，圖象恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限，欲使圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則必須向下平移超過(guò)一個(gè)單位，故m－1＜－1，所以m＜0，故選B.11．函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是()[解析]當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax單調(diào)遞增，當(dāng)x＝0時(shí)，g(0)＝a>1，此時(shí)兩函數(shù)的圖象大致為選項(xiàng)A.12．二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的圖象可能是()[解析]二次函數(shù)y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指數(shù)函數(shù)的圖象知0<eq\f(b,a)<1，所以－eq\f(1,2)<－eq\f(b,2a)<0，再觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有A中的拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在－eq\f(1,2)和0之間．13．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()[解析]由函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象可知0<a<1，b<－1，所以函數(shù)g(x)＝ax＋b是減函數(shù)，排除選項(xiàng)C、D；又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1＋b)(1＋b<0)，故選A.14．如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a(chǎn)<b<1<d<c[解析](1)解法一：由圖象可知③④的底數(shù)必大于1，①②的底數(shù)必小于1.作直線x＝1，在第一象限內(nèi)直線x＝1與各曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即各指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，則1<d<c，b<a<1，從而可知a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c.解法二：根據(jù)圖象可以先分兩類(lèi)：③④的底數(shù)大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且底數(shù)越大時(shí)圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近x軸．15．方程|2x－1|＝a有唯一實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________．[解析]作出y＝|2x－1|的圖象，如圖，要使直線y＝a與圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)，∴a≥1或a＝0.16．函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．[解析]因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時(shí)y＝1＋3＝4，即函數(shù)y＝ax－3＋3的圖象過(guò)定點(diǎn)(3,4)．17．函數(shù)y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此時(shí)y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函數(shù)y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(－3,4)．18．當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋1－1的圖象一定過(guò)點(diǎn)()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)[解析]當(dāng)x＝－1時(shí)，顯然f(x)＝0，因此圖象必過(guò)點(diǎn)(－1,0)．19．已知函數(shù)y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)A(m，n)，則m＋n＝()A．1 B．3C．4 D．2[解析]選C,由題意知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，故A(1,3)，m＋n＝4.20．函數(shù)y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)________．[解析]令2x＋1＝0得x＝－eq\f(1,2)，y＝2，所以函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).21．若函數(shù)y＝2－|x|－m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則()A．－1≤m＜0 B．0≤m≤1C．0＜m≤1 D．m≥0[解析]易知y＝2－|x|－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m.若函數(shù)y＝2－|x|－m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－m＝0有解，即m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|有解．∵0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|≤1，∴0＜m≤1.22．已知f(x)＝2x的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由y＝f(x)的圖象通過(guò)怎樣的變化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解析](1)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位得到．(2)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個(gè)單位得到．(3)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到．(4)∵y＝2－x與y＝2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴作y＝2x的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形便可得到y(tǒng)＝2－x的圖象．(5)∵y＝2|x|為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故先作出當(dāng)x≥0時(shí)，y＝2x的圖象，再作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形，即可得到y(tǒng)＝2|x|的圖象．23．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的值；(2)若f(x)的圖象如圖②所示，求a，b的取值范圍；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．[解析](1)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0)，(0，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))又因?yàn)閍＞0，且a≠1，所以a＝eq\r(3)，b＝－3.(2)f(x)單調(diào)遞減，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.即a0＋b＜0，所以b＜－1.故a的取值范圍為(0,1)，b的取值范圍為(－∞，－1)．(3)畫(huà)出|f(x)|＝|(eq\r(3))x－3|的圖象如圖所示，要使|f(x)|＝m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m＝0或m≥3.故m的取值范圍為[3，＋∞)∪{0}．題型三指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4));(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|));(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(5)y＝4x＋2x＋1＋2.[解析](1)要使函數(shù)式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0，故函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的定義域?yàn)?－∞，0]．因?yàn)閤≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的值域?yàn)閇0,1)．(2)要使函數(shù)式有意義，則x－4≠0，解得x≠4.所以函數(shù)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))的定義域?yàn)閧x|x≠4}．因?yàn)閑q\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))≠1，即函數(shù)y＝2eq\s\up15(eq\f(1,x－4))的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}．(3)要使函數(shù)式有意義，則－|x|≥0，解得x＝0.所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))的定義域?yàn)閧x|x＝0}．因?yàn)閤＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝1，即函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up15(eq\r(－|x|))的值域?yàn)閧y|y＝1}．(4)定義域?yàn)镽.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域?yàn)?0,16]．(5)因?yàn)閷?duì)于任意的x∈R，函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2都有意義，所以函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的定義域?yàn)镽.因?yàn)?x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的值域?yàn)?2，＋∞)．2．(1)求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的定義域與值域；(2)求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，x∈[0,2]的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．[解析](1)由x－2≥0，得x≥2，所以定義域?yàn)閧x|x≥2}．當(dāng)x≥2時(shí)，eq\r(x－2)≥0，又因?yàn)?＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\r(x－2)的值域?yàn)閧y|0＜y≤1}．(2)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2，∴y＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋2.令m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝m2.由0≤x≤2，知eq\f(1,4)≤m≤1.∴f(m)＝4m2－4m＋2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋1.∴當(dāng)m＝eq\f(1,2)，即當(dāng)x＝1時(shí)，f(m)有最小值1；當(dāng)m＝1，即x＝0時(shí)，f(m)有最大值2.故函數(shù)的最大值是2，此時(shí)x＝0，函數(shù)的最小值為1，此時(shí)x＝1.3．函數(shù)y＝eq\r(2x－1)的定義域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.[答案]C4．函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定義域是________．[解析]由1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)．5．若函數(shù)y＝eq\r(ax－1)的定義域是(－∞，0]，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<1C．0<a<1 D．a(chǎn)≠1[解析]由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0]，∴0<a<1.6．若函數(shù)f(x)＝eq\r(ax－a)的定義域是[1，＋∞)，則a的取值范圍是()A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)[解析]∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴當(dāng)a＞1時(shí)，x≥1.故函數(shù)定義域?yàn)閇1，＋∞)時(shí)，a＞1.7．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]y＝2x在R上是增函數(shù)，且21＝2，故選B.8．函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)[解析]要使函數(shù)有意義，須滿(mǎn)足16－4x≥0.又因?yàn)?x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域?yàn)閇0,4)．9．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,256)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,256))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，＋∞))[解析]因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，所以0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝eq\f(1,256).10．函數(shù)y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是()A．[0,1]B．[－1,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，選B.11．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，則m＋n的值為_(kāi)_______．[解析]∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上為減函數(shù)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，n＝eq\b\lc