高二數(shù)學考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)5.1導數(shù)的概念及其意義-2022-2023學年高二數(shù)學考點講解練(人教A版2019選擇性必修第二冊)(原卷版+解析)

5.1導數(shù)的概念及其意義備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：數(shù)列的概念與辨析；根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列；確定數(shù)列中的最大（?。╉?；有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；寫出數(shù)列中的項；求遞推關系式；數(shù)列的周期性；數(shù)列的單調性求參數(shù)課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納一．導數(shù)的定義：2.利用定義求導數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數(shù)：二．導數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導數(shù)，即有。2.V＝s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。三．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切線方程是：。題型三．用導數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：。相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程?？键c講解考點講解考點1：平均變化率1．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【方法技巧】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【變式訓練】1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（

）A． B．1 C．2 D．2．如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是______．①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度．考點2：瞬時變化率例2．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示，則該物體在s時的瞬時速度為（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【方法技巧】根據(jù)瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【變式訓練】1．小明從家里到學校行走的路程s與時間t的函數(shù)關系表示如圖，記t時刻的瞬時速度為，區(qū)間，，上的平均速度分別為，，，則下列判斷正確的個數(shù)為______．（1）；（2）；（3）對于，存在，使得；（4）整個過程小明行走的速度一直在加快．2．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示，則物體在t=0s時的瞬時速度為______m/s；瞬時速度為9m/s的時刻是在t=______s時．考點3：導函數(shù)的概念與辨析例3．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧】根據(jù)瞬時變化率的定義計算可得；【變式訓練】1．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．2．一質點作直線運動，其位移s與時間t的關系是，則在時的瞬時速度為（

）A．1 B．3 C．－2 D．2考點4：導數(shù)定義中極限的簡單計算例4．已知函數(shù)，若，則__________.【方法技巧】根據(jù)利用極限計算導數(shù)的方法求得正確答案.【變式訓練】1．設函數(shù)在R上可導，則當d趨近于0時，趨近于______．2．已知為可導函數(shù)，且，則_______．考點5：利用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)例4．設存在導函數(shù)且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【方法技巧】由導數(shù)的定義及幾何意義即可求解.【變式訓練】1．已知函數(shù)，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，畫出各個函數(shù)圖象在處的切線，根據(jù)切線的斜率來判斷即可．【詳解】依次作出，，，在的切線，如圖所示：2．已知是定義在R上的可導函數(shù)，若，則______.考點6：導數(shù)的幾何意義例6．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5【方法技巧】根據(jù)切線方程的斜率為切點處的導數(shù)值,且切點在以及切線上即可求解.【變式訓練】1．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．2．設函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．4 B．2 C．1 D．知識小結知識小結一．導數(shù)的定義：2.利用定義求導數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數(shù)：二．導數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導數(shù)，即有。2.V＝s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。三．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切線方程是：。題型三．用導數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：。相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。鞏固提升鞏固提升一、單選題1．降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．2．已知是定義在上的可導函數(shù)，若，則（

）A．0 B． C．1 D．3．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．3 B．2 C． D．4．某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關系式是（距離單位：米，時間單位：秒），則他在0.25秒時的瞬時速度為（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒5．已知是定義在R上的可導函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C． D．6．設在處可導，下列式子與相等的是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則（

）A． B．2 C． D．38．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（

）A．B．C．D．二、多選題9．近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的房地產調控政策．各地房產部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中一項就是在規(guī)定的時間T內完成房產供應量任務S．已知房產供應量S與時間t的函數(shù)關系如圖所示，則在以下各種房產供應方案中，在時間內供應效率（單位時間的供應量）不是逐步提高的（

）A． B．C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若不存在，則曲線在點處也可能有切線B．若曲線在點處有切線，則必存在C．若不存在，則曲線在點處的切線斜率不存在D．若曲線在點處沒有切線，則有可能存在三、填空題11．已知函數(shù)，其中，則此函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為__________.12．已知函數(shù)，則______．13．若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則_____________.14．如圖，已知直線l是曲線在處的切線，則的值為___________．四、解答題15．求函數(shù)在區(qū)間和上的平均變化率.5.1導數(shù)的概念及其意義備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：數(shù)列的概念與辨析；根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列；確定數(shù)列中的最大（小）項；有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；寫出數(shù)列中的項；求遞推關系式；數(shù)列的周期性；數(shù)列的單調性求參數(shù)課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納一．導數(shù)的定義：2.利用定義求導數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數(shù)：二．導數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導數(shù)，即有。2.V＝s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。三．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切線方程是：。題型三．用導數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：。相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程?？键c講解考點講解考點1：平均變化率1．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A【方法技巧】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【變式訓練】1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率公式計算可得；【詳解】解：因為，，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為；故選：C2．如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是______．①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度．【答案】③④【分析】根據(jù)平均速度的公式判斷①③④，從而①錯誤，③④正確；根據(jù)瞬時速度與切線斜率的關系作出判斷②錯誤；【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故①錯誤．瞬時速度為切線斜率，故②錯誤．在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故③正確．同理④正確．故答案為：③④．考點2：瞬時變化率例2．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示，則該物體在s時的瞬時速度為（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【答案】D【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．故選：D【方法技巧】根據(jù)瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【變式訓練】1．小明從家里到學校行走的路程s與時間t的函數(shù)關系表示如圖，記t時刻的瞬時速度為，區(qū)間，，上的平均速度分別為，，，則下列判斷正確的個數(shù)為______．（1）；（2）；（3）對于，存在，使得；（4）整個過程小明行走的速度一直在加快．【答案】3【分析】對于（1）（2），根據(jù)平均速度的定義結合圖判斷即可，對于（3），由圖象可知，從而可得結論，對于（4），根據(jù)曲線在各點處的切線方程的斜率的大小判斷即可.【詳解】解：由題意，可知，，．由題中圖像可知，且，因此，而，所以，因此，此時，所以（1）正確；因為，，故成立，（2）正確；由題中圖像可知，直線與曲線的交點為，故存在，使得，即當時，，故（3）正確；t時刻的瞬時速度為，判斷瞬時速度的快慢，可以看整個曲線在各點處的切線方程的斜率，由題中圖像可知，當時，切線方程的斜率最大，故而在此時，瞬時速度最快，因此，（4）不正確．故答案為：3．2．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示，則物體在t=0s時的瞬時速度為______m/s；瞬時速度為9m/s的時刻是在t=______s時．【答案】

1

4【分析】由瞬時速度的定義可求解.【詳解】，即物體在t=0s時的瞬時速度為1m/s．設物體在時刻的瞬時速度為9m/s，又，所以，物體在t=4s時的瞬時速度為9m/s．故答案為：1；4考點3：導函數(shù)的概念與辨析例3．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：因為，所以故選：D【方法技巧】根據(jù)瞬時變化率的定義計算可得；【變式訓練】1．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢，結合導函數(shù)的定義有，即可得答案.【詳解】由圖知：，即.故選：A2．一質點作直線運動，其位移s與時間t的關系是，則在時的瞬時速度為（

）A．1 B．3 C．－2 D．2【答案】D【分析】利用導數(shù)的物理意義可直接求導得到結果.【詳解】由得：，當時，，即物體在時的瞬時速度為2.故選：D.考點4：導數(shù)定義中極限的簡單計算例4．已知函數(shù)，若，則__________.【答案】【詳解】依題意，.故答案為：【方法技巧】根據(jù)利用極限計算導數(shù)的方法求得正確答案.【變式訓練】1．設函數(shù)在R上可導，則當d趨近于0時，趨近于______．【答案】##【分析】由導數(shù)的定義，當時，，即可得出結果【詳解】因為函數(shù)在R上可導，且，當時，，所以．故答案為：2．已知為可導函數(shù)，且，則_______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在處的導數(shù)的定義及極限的運算即可求解.【詳解】解：因為.故答案為：.考點5：利用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)例4．設存在導函數(shù)且滿足，則曲線上的點處的切線的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】解：因為存在導函數(shù)且滿足，所以，即曲線上的點處的切線的斜率為，故選：A.【方法技巧】由導數(shù)的定義及幾何意義即可求解.【變式訓練】1．已知函數(shù)，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，畫出各個函數(shù)圖象在處的切線，根據(jù)切線的斜率來判斷即可．【詳解】依次作出，，，在的切線，如圖所示：根據(jù)圖形中切線的斜率可知．故選：A．2．已知是定義在R上的可導函數(shù)，若，則______.【答案】##【分析】根據(jù)導數(shù)的定義計算可得結果.【詳解】由導數(shù)的定義，可得.故答案為：考點6：導數(shù)的幾何意義例6．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【詳解】由點處的切線方程是可得：,時，,故,,故選：B【方法技巧】根據(jù)切線方程的斜率為切點處的導數(shù)值,且切點在以及切線上即可求解.【變式訓練】1．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數(shù)的概念解出即可.【詳解】依題意可知切點，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，，即又即故選：D.2．設函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)曲線某點處的導數(shù)等于切線的斜率，得，再根據(jù)可求解.【詳解】函數(shù)在點處的切線方程為，則.故選:C.知識小結知識小結一．導數(shù)的定義：2.利用定義求導數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數(shù)：二．導數(shù)的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導數(shù)，即有。2.V＝s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。三．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導數(shù)的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切線方程是：。題型三．用導數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：。相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。鞏固提升鞏固提升一、單選題1．降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應的點為、、、、，由圖可知，所以內空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C2．已知是定義在上的可導函數(shù)，若，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】對條件變形，利用導數(shù)的定義求解出到數(shù)值.【詳解】因為，所以，故故選：B3．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率的定義計算即可【詳解】由題，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為故選：D4．某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關系式是（距離單位：米，時間單位：秒），則他在0.25秒時的瞬時速度為（

）A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒【答案】D【分析】依據(jù)瞬時速度定義利用極限去求他在0.25秒時的瞬時速度即可【詳解】則他在0.25秒時的瞬時速度為5.55米/秒故選：D5．已知是定義在R上的可導函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】依據(jù)導數(shù)的定義，利用題給條件去求的值即可.【詳解】由導數(shù)的定義，可得．故選：D6．設在處可導，下列式子與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導函數(shù)的定義，將各選項中的式子化簡，即可判斷出答案.【詳解】對于A，,A錯誤；對于B，，B正確；對于C,，C錯誤；對于D，，D錯誤，故選：B7．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出和，即可求得.【詳解】函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率就是在該點處的導數(shù)，即就是切線的斜率，所以.又，所以.故選：D8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用導數(shù)的幾何意義和直線的斜率公式，結合圖象得出答案．【詳解】和分別表示函數(shù)在和處的切線斜率，結合圖象可得，而，表示過和兩點的直線斜率，則故選：D二、多選題9．近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的房地產調控政策．各地房產部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中一項就是在規(guī)定的時間T內完成房產供應量任務S．已知房產供應量S與時間t的函數(shù)關系如圖所示，則在以下