高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊)專題33指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題33指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1．指數(shù)函數(shù)值與1的大小關(guān)系(1)a>1時，當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1.(2)0<a<1時，當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1.2．對稱關(guān)系函數(shù)y＝a－x與y＝ax的圖象關(guān)于y軸對稱．3．圖象位置關(guān)系指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小；即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向遞增．4．函數(shù)圖象的對稱和變換規(guī)律一般地，把函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得函數(shù)y＝f(x－m)的圖象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|個單位)；把函數(shù)y＝f(x)的圖象向上平移n個單位，得到函數(shù)y＝f(x)＋n的圖象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|個單位)．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱．函數(shù)y＝f(|x|)的圖象是關(guān)于y軸對稱的，所以只要先把y軸右邊的圖象保留，y軸左邊的圖象刪去，再將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱得y軸左邊圖象，就得到了y＝f(|x|)的圖象．5．與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調(diào)性，求出y＝f[g(x)]的單調(diào)性．題型一指數(shù)函數(shù)的圖象變換1．利用函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．2．畫出函數(shù)y＝2|x－1|的圖象，并根據(jù)圖象指出這個函數(shù)的一些重要性質(zhì)．題型二利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小1．下列判斷正確的是()A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83C．π2<πeq\s\up15(eq\r(2)) D．0.90.3>0.90.52．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b3．設(shè)a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．c>a>b B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b4．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關(guān)系是________．5．比較下列各組數(shù)的大小：(1)0.7－0.3與0.7－0.4；(2)2.51.4與1.21.4；(3)1.90.4與0.92.4.6．比較下列各題中的兩個值的大?。?1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1.7．比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．8．比較下列各值的大小：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).9．若0＜x＜y＜1,0＜a＜1＜b，則()A．xayb＜xbya B．xa＋ya＞(x＋y)aC．xb＋yb＞(x＋y)b D．x－a＋xa＜eq\f(3,2)題型三解簡單的指數(shù)不等式1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)2．解不等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；3．已知32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，求實數(shù)x的取值范圍．4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))5．若0.72x－1≤0.7x2－4，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．設(shè)eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<1，則()A．a(chǎn)a<ab<ba B．a(chǎn)a<ba<abC．a(chǎn)b<aa<ba D．a(chǎn)b<ba<aa7．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．8．設(shè)0<a<1，解關(guān)于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3.9．若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．10．若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．11．已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．12．求滿足下列條件的x的取值范圍：(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x<ax－7(a>0，且a≠1)．題型四指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性1．若函數(shù)f(x)＝(1－2a)x在實數(shù)集R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))2．若函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))3．已知函數(shù)f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，當x>2時，f(x)>1，則f(x)在R上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．當x>2時是增函數(shù)，當x<2時是減函數(shù)D．當x>2時是減函數(shù)，當x<2時是增函數(shù)4．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的單調(diào)增區(qū)間為()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為________．6．求函數(shù)f(x)＝3－x2＋2x＋3的單調(diào)區(qū)間．7．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D．(－∞，－2]8．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.9．函數(shù)y＝3x2－2x的值域為________．10．函數(shù)y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域為______________．11．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是12．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))13．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,2－3ax＋1，x≤1))是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))14．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x，x≥1，,－x2＋2ax－3，x＜1))在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．(2,3]C．(2，＋∞) D．[1,2)15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的值域．16．已知函數(shù)f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在[0,3]上的值域．17．已知函數(shù)f(x)＝f(x)＝2|2x－1|.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的值域．18．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，試求a的值．19．已知函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，當x≥0時，求函數(shù)f(x)的值域．20．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比較f(2)與f(b2＋2)的大??；(2)求函數(shù)g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．21．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)如果函數(shù)f(x)有最大值3，求實數(shù)a的值．題型五指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．滿足方程4x＋2x－2＝0的x值為________．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(m·2x－1,2x＋1)為奇函數(shù)，則m的值等于________．3．若不等式3>eq\f(1,3)對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．4．函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，則a的取值范圍是________．5．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2))).(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明f(x)>0.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，(1)證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)證明函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)；(3)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域．7．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；(3)在(2)的條件下，求f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值．8．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,3x＋1)(a∈R)是奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)求函數(shù)f(x)在R上的值域．9．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(b－2x,2x＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)用定義證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；(3)若對于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．10．已知函數(shù)f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常數(shù))．(1)若當x∈[0,1]時，恒有f(x)＜0成立，求實數(shù)c的取值范圍；(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0成立，求實數(shù)c的取值范圍．題型六指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用1．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．2．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留污垢不超過原來的1%，則至少要漂洗________次．3．某林區(qū)2016年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均增長率能達到5%.若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達式，并寫出此函數(shù)的定義域．4．某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)專題33指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1．指數(shù)函數(shù)值與1的大小關(guān)系(1)a>1時，當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1.(2)0<a<1時，當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1.2．對稱關(guān)系函數(shù)y＝a－x與y＝ax的圖象關(guān)于y軸對稱．3．圖象位置關(guān)系指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。辉趛軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。患礋o論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向遞增．4．函數(shù)圖象的對稱和變換規(guī)律一般地，把函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得函數(shù)y＝f(x－m)的圖象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|個單位)；把函數(shù)y＝f(x)的圖象向上平移n個單位，得到函數(shù)y＝f(x)＋n的圖象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|個單位)．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱．函數(shù)y＝f(|x|)的圖象是關(guān)于y軸對稱的，所以只要先把y軸右邊的圖象保留，y軸左邊的圖象刪去，再將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱得y軸左邊圖象，就得到了y＝f(|x|)的圖象．5．與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調(diào)性，求出y＝f[g(x)]的單調(diào)性．題型一指數(shù)函數(shù)的圖象變換1．利用函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．[解析]作出f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，如圖所示：(1)f(x－1)的圖象：需將f(x)的圖象向右平移1個單位長度得f(x－1)的圖象，如下圖(1)．(2)－f(x)的圖象：作f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象得－f(x)的圖象，如下圖(2)．(3)f(－x)的圖象：作f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象得f(－x)的圖象，如下圖(3)．2．畫出函數(shù)y＝2|x－1|的圖象，并根據(jù)圖象指出這個函數(shù)的一些重要性質(zhì)．[解析]y＝2|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x<1.))其圖象是由兩部分組成的：一是把y＝2x的圖象向右平移1個單位長度，取x≥1的部分；二是把y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象向右平移1個單位長度，取x<1的部分，如圖中實線部分所示．由圖象可知，函數(shù)有三個重要性質(zhì)：①對稱性：圖象的對稱軸為直線x＝1；②單調(diào)性：在(－∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域：[1，＋∞).題型二利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小1．下列判斷正確的是()A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83C．π2<πeq\s\up15(eq\r(2)) D．0.90.3>0.90.5[解析]函數(shù)y＝0.9x在R上為減函數(shù)，所以0.90.3>0.90.5.[答案]D2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函數(shù)y＝0.8x在R上為減函數(shù)，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.選D.3．設(shè)a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．c>a>b B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b[解析]a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，因為函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.4．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關(guān)系是________．[解析]因為－1<x<0，所以由指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因為0.5x<0.2x，所以b<a<c.5．比較下列各組數(shù)的大?。?1)0.7－0.3與0.7－0.4；(2)2.51.4與1.21.4；(3)1.90.4與0.92.4.[解析](1)∵y＝0.7x在R上為減函數(shù)，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐標系中作出函數(shù)y＝2.5x與y＝1.2x的圖象，如圖所示．由圖象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.6．比較下列各題中的兩個值的大?。?1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1.[解析](1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是減函數(shù)．∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，又∵0.8－0.2＝1.250.2∴0.8－0.1<1.250.2.(2)∵0<eq\f(1,π)<1，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在R上是減函數(shù)．又∵－π<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π>1.7．比較下列各組數(shù)的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．[解析](1)1.52.5,1.53.2可看作函數(shù)y＝1.5x的兩個函數(shù)值，由于底數(shù)1.5>1，所以函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函數(shù)y＝0.6x的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)當a>1時，y＝ax在R上是增函數(shù)，故a1.1>a0.3；當0<a<1時，y＝ax在R上是減函數(shù)，故a1.1<a0.3.8．比較下列各值的大小：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).[解析]先根據(jù)冪的特征，將這4個數(shù)分類：(1)負數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3；(2)大于1的數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))；(3)大于0且小于1的數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).(2)中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3))(也可在同一平面直角坐標系中，分別作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x，y＝2x的圖象，再分別取x＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(2,3)，比較對應(yīng)函數(shù)值的大小，如圖)，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3)).9．若0＜x＜y＜1,0＜a＜1＜b，則()A．xayb＜xbya B．xa＋ya＞(x＋y)aC．xb＋yb＞(x＋y)b D．x－a＋xa＜eq\f(3,2)[解析]因為x，y，a，b均大于0，所以eq\f(xayb,xbya)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))a－b，eq\f(x,y)＜1，a－b＜0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))a－b＞1，即xayb＞xbya，A錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋y)))a＞eq\f(x,x＋y)＋eq\f(y,x＋y)＝1，故xa＋ya＞(x＋y)a，B正確；而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋y)))b＜1，所以C錯誤；而x－a＋xa＝eq\f(1,xa)＋xa≥2＞eq\f(3,2)，故D錯誤．題型三解簡單的指數(shù)不等式1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)[解析]∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函數(shù)，∴x＋1<0，∴x<－1.2．解不等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；[解析]∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是減函數(shù)，∴3x－1≥－1，∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}．3．已知32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，求實數(shù)x的取值范圍．[解析]由32x－1≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，得32x－1≥30.5.∵函數(shù)y＝3x在R上為增函數(shù)，∴2x－1≥0.5，得x≥eq\f(3,4).故x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).4．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[解析]函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上為減函數(shù)，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq\f(1,2).[答案]B5．若0.72x－1≤0.7x2－4，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析]∵函數(shù)y＝0.7x在R上為減函數(shù)，且0.72x－1≤0.7x2－4，∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.解得－1≤x≤3，故選A.6．設(shè)eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<1，則()A．a(chǎn)a<ab<ba B．a(chǎn)a<ba<abC．a(chǎn)b<aa<ba D．a(chǎn)b<ba<aa[解析]由已知條件得0<a<b<1，∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.[答案]C7．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．[解析]∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴y＝(a2＋a＋2)x為R上的增函數(shù)，∴x>1－x，即x>eq\f(1,2).8．設(shè)0<a<1，解關(guān)于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3.[解析]∵0<a<1，∴y＝ax在R上是減函數(shù)．又∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.∴不等式的解集是(1，＋∞)．9．若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]①當a>1時，∵a－5x>ax＋7，且函數(shù)y＝ax為增函數(shù)，∴－5x>x＋7，解得x<－eq\f(7,6).②當0<a<1時，∵a－5x>ax＋7，且函數(shù)y＝ax為減函數(shù)，∴－5x<x＋7，解得x>－eq\f(7,6).綜上所述，當a>1時，x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,6))).當0<a<1時，x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，＋∞)).10．若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]因為ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x，所以ax＋1>a3x－5，當a>1時，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1>3x－5，所以x<3；當0<a<1時，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1<3x－5，所以x>3.綜上，當a>1時，x的取值范圍為(－∞，3)；當0<a<1時，x的取值范圍為(3，＋∞)．11．已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．[解析]分情況討論：①當0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②當a>1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5.綜上所述，當0<a<1時，x<－1或x>5；當a>1時，－1<x<5.12．求滿足下列條件的x的取值范圍：(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x<ax－7(a>0，且a≠1)．[解析](1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，又y＝3x在定義域R上是增函數(shù)，∴x－1>2x，∴x<－1，即x的取值范圍是(－∞，－1)．(2)∵0<0.2<1，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝0.2x在R上是減函數(shù)．又25＝0.2－2，∴0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范圍是(－2，＋∞)．(3)當a>1時，∵a－5x<ax－7，∴－5x<x－7，解得x>eq\f(7,6)；當0<a<1時，∵a－5x<ax－7，∴－5x>x－7，解得x<eq\f(7,6).綜上所述，當a>1時，x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，＋∞))；當0<a<1時，x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,6))).題型四指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性1．若函數(shù)f(x)＝(1－2a)x在實數(shù)集R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))[解析]由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<eq\f(1,2)，即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故選B.2．若函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[解析]由于底數(shù)3∈(1，＋∞)，所以函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3的單調(diào)性與y＝(2a－1)x＋3的單調(diào)性相同．因為函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，所以2a－1<0，即a<eq\f(1,2)，從而實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，選A.3．已知函數(shù)f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，當x>2時，f(x)>1，則f(x)在R上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．當x>2時是增函數(shù)，當x<2時是減函數(shù)D．當x>2時是減函數(shù)，當x<2時是增函數(shù)[解析]令2－x＝t，則t＝2－x是減函數(shù)，因為當x>2時，f(x)>1，所以當t<0時，at>1.所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函數(shù)，故選A.4．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的單調(diào)增區(qū)間為()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)[解析]設(shè)t＝1－x，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，則函數(shù)t＝1－x的遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)，即為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的遞增區(qū)間．5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為________．[解析]由于底數(shù)eq\f(1,2)∈(0,1)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)性與y＝1－x2的單調(diào)性相反，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間就是y＝1－x2的單調(diào)遞減區(qū)間．由y＝1－x2的圖象(圖略)可知：當x≤0時，y＝1－x2是增函數(shù)；當x≥0時，y＝1－x2是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)．6．求函數(shù)f(x)＝3－x2＋2x＋3的單調(diào)區(qū)間．[解析]由題意可知，函數(shù)y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定義域為實數(shù)集R.設(shè)u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，則y＝3u，故原函數(shù)是由u＝－x2＋2x＋3與y＝3u復(fù)合而成．∵y＝3u是增函數(shù)，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函數(shù)，在[1，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，＋∞).7．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝eq\f(1,9)，∴a＝eq\f(1,3)，a＝－eq\f(1,3)(舍去)．∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，＋∞)．8．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.[解析](1)設(shè)u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(17,4)，易知u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)，∴a>1時，y＝au在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)．(2)當x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝2x－1，因為t＝x－1為增函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝2x－1為增函數(shù)；當x∈(－∞，1)時，函數(shù)y＝21－x.而t＝1－x為減函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝21－x為減函數(shù)．故函數(shù)y＝2|x－1|在(－∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．9．函數(shù)y＝3x2－2x的值域為________．[解析]設(shè)u＝x2－2x，則y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq\f(1,3)，所以函數(shù)y＝3x2－2x的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).10．函數(shù)y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域為______________．[解析]令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函數(shù)的值域為[14，＋∞)．11．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是[解析]函數(shù)y＝ax在[0,1]上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數(shù)y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故x＝1時，ymax＝3.12．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))[解析]由單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥a0))，即eq\f(1,3)≤a<1，故選B.13．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,2－3ax＋1，x≤1))是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))[解析]若f(x)在R上為減函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,2－3a<0，,2－3a＋1≥a，))解得eq\f(2,3)<a≤eq\f(3,4).14．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x，x≥1，,－x2＋2ax－3，x＜1))在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．(2,3]C．(2，＋∞) D．[1,2)[解析]依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＞1，,a≥1，,a－11≥－12＋2a×1－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a≥1，,a≤3.))即2＜a≤3.故選B.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的值域．[解析](1)令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函數(shù)的值域為(0,3]．16．已知函數(shù)f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在[0,3]上的值域．[解析](1)函數(shù)y＝2－x2＋2x的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當x∈(－∞，1]時，函數(shù)u＝－x2＋2x為增函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數(shù)．當x∈[1，＋∞)時，函數(shù)u＝－x2＋2x為減函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是減函數(shù)．綜上，函數(shù)y＝2－x2＋2x的單調(diào)減區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，在[1,3]上單調(diào)遞減，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝eq\f(1,8)，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝eq\f(1,8)，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).17．已知函數(shù)f(x)＝f(x)＝2|2x－1|.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的值域．[解析](1)設(shè)u＝|2x－1|，由函數(shù)y＝2u和u＝|2x－1|的定義域為R，故函數(shù)y＝2|2x－1|的定義域為R.∵u＝|2x－1|在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，而y＝2u是增函數(shù)，∴y＝2|2x－1|在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．(2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1.∴原函數(shù)的值域為[1，＋∞)．18．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，試求a的值．[解析]令t＝ax(t>0)，則原函數(shù)可化為y＝(t＋1)2－2，其圖象的對稱軸為直線t＝－1.①若a>1，因為x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，則y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調(diào)遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．②若0<a<1，因為x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，則y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上單調(diào)遞增，所以ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5)(舍去)．綜上可知，a的值為3或eq\f(1,3).19．已知函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，當x≥0時，求函數(shù)f(x)的值域．[解析]y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，則y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，∵x≥0，∴t≥1，∴當a>1時，y≥2.當0<a<1時，∵x≥0，∴0<t≤1.∵g(0)＝－1，g(1)＝2，∴當0<a<1時，－1<y≤2.綜上所述，當a>1時，函數(shù)的值域是[2，＋∞)；當0<a<1時，函數(shù)的值域是(－1,2]．20．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比較f(2)與f(b2＋2)的大小；(2)求函數(shù)g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．[解析](1)由已知得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)，因為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上遞減，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因為x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up25(x2－2x)≤3，即函數(shù)g(x)＝aeq\s\up15(x2－2x)(x≥0)的值域為(0,3]．21．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)如果函數(shù)f(x)有最大值3，求實數(shù)a的值．[解析](1)當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上遞減，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數(shù)，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，即f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－2，＋∞)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值－1.因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值為1.題型五指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．滿足方程4x＋2x－2＝0的x值為________．[解析]設(shè)t＝2x(t>0)，則原方程化為t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.∵t>0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(m·2x－1,2x＋1)為奇函數(shù)，則m的值等于________．[解析]由題意可知，f(0)＝eq\f(m·20－1,20＋1)＝eq\f(m－1,2)＝0，∴m＝1.3．若不等式3>eq\f(1,3)對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]不等式即為3>3－1，則有ax2－2ax>－1，即ax2－2ax＋1>0對一切實數(shù)x恒成立．當a＝0時，滿足題意；當a≠0時，要滿足題意，則需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0,1)．4．函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，則a的取值范圍是________．[解析]設(shè)F(x)＝f(x)－2，則F(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)，易知F(x)是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)＝eq\f(3x－3－x,3x＋3－x)＝eq\f(32x－1,32x＋1)＝1－eq\f(2,32x＋1)在R上是增函數(shù)，由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，于是可得F(a)＞F(2－a)，即a＞2－a，解得a＞1.5．已知f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2))).(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)證明f(x)>0.[解析](1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}．(2)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)，f(－x)＝－eq\f(x,2)·eq\f(2－x＋1,2－x－1)＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)證明：f(x)＝eq\f(x,2)·eq\f(2x＋1,2x－1)，當x>0時，2x－1>0，則f(x)>0；當x<0時，2x－1<0，則f(x)>0.綜上f(x)>0.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，(1)證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)證明函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)；(3)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域．[解析](1)證明：函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．f(－x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,\f(1,2x)＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(2x,2x＋1)＝eq\f(1－2x,22x＋1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)因為函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[1,2]上也是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(1)＝eq\f(1,6)，f(x)max＝f(2)＝eq\f(3,10).所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(3,10))).7．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；(3)在(2)的條件下，求f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值．[解析](1)證明：∵f(x)的定義域為R，任取x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2x1＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴不論a為何實數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)．(2)∵f(x)在x∈R上為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).(3)由(2)知，f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為f(1)．∵f(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為eq\f(1,6).8．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,3x＋1)(a∈R)是奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)求函數(shù)f(x)在R上的值域．[解析](1)若存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，得a＝1.當a＝1時，f(x)＝1－eq\f(2,3x＋1).∵f(－x)＝1－eq\f(2,3－x＋1)＝1－eq\f