高中數(shù)學(xué)課堂講義-平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

高中數(shù)學(xué)課堂講義一平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.平面向量基本定理...........................................................1

2.1.要點平面向量基本定理.................................................1

2.2.［基礎(chǔ)自測］...............................................................2

2.3.題型一對平面向量基本定理的理解——自主完成...........................3

2.4.題型二用基表示平面向量——師生共研...................................4

2.5.題型三平面向量基本定理的應(yīng)用——微點探究.............................4

2.6.易錯警示................................................................6

3.平面向量基本定理.............................................................6

3.1.要點....................................................................6

3.2.［基礎(chǔ)自測］..............................................................6

3.3.題型一..................................................................7

3.4.題型二..................................................................7

3.5.題型三..................................................................8

1.教學(xué)大綱

(1)理解平面向量基本定理及其意義.能推導(dǎo)平面向量基本定理和

運用平面向量基本定理解決某些數(shù)學(xué)問題.

最新課標(biāo)(2)借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.

(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.

(4)能用坐標(biāo)表示平面向量的共線條件.

2.平面向量基本定理

2.1.要點平面向量基本定理

1.定理：如果ei，e2(如圖①所示)是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么

對于這一平面內(nèi)的任一向量4,存在唯對實數(shù)九，22,使4=九6|十4202(如

圖②所示)，其中不共線的向量ei,62叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

，記為.

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2.正交分解：若基中的兩個向量_______,則稱這組基為正交基，在

下向量的線性表示稱為正交分解.若基中的兩個向量是互相垂直的單

位向量，則稱這組基為.

2.2.［基礎(chǔ)自測］

1.判斷正誤(正確的畫“，錯誤的畫“x”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基?()

(2)平面向量的基確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都能用這個基唯一表

示.()

(3)若01,02是不共線的向量，且為61+2202=〃。+//202(九，義2,.2@對,

T

A=

則入2=口裝()

(4)若｛ei,02｝是平面a內(nèi)所有向量的一個基，則九61+丸202(九，丸2。10不一

定在平面a內(nèi).()

(5)若e\,e2是不共線的向量，則為ei+/l2e2=0(/li"26R)o4i=%2=0.()

(6)基向量可以是零向量.()

2.設(shè)。是平行四邊形ABC。兩對角線的交點，給出下列向量組：

①而與AB；②而與BC；③正與DC；@0D

與0B,其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基的是()

A.①②B.①③

C.①④D.③④

3.已知AO是△ABC的中線，AB=a,AD=Z>,以a,〃為基表示

AC,則AC=()

1

A.1(0一5)B.2b~a

i

C.文方一①D.2b+a

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4.如圖，在正方形ABC。中，E是。。邊上的中點，且AB=c,AD

=b,則BE=

2.3.題型一對平面向量基本定理的理解——自主完成

1.設(shè)為，02是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()

A.e\,e2一定平行

B.e\,02的模相等

C.對同一平面內(nèi)的任一向量a,都有。=&1+〃02(九〃6R)

D.若e”e2不共線，則對同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=ke\,//GR)

2.設(shè)右，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：

①g與ei+e2；

②ei-2e2與e2-2ei；

③ei—2?2與4e2-2ei；

④ei+e2與e\—C2.

其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基的是(寫出滿足條件的序

號).

從兩個向量是否共線入手.

方法歸的

對基的理解

(1)兩個向量能否作為一組基，關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線.若共線，則

不能作基，反之，則可作基.

(2)一個平面的基一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基唯一

線性表示出來.設(shè)向量a與萬是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若尤ia+yib=X2a+

(Xi=x2

y2b,則iy,=y,

提醒：一個平面的基不是唯一的，同一個向量用不同的基表示，表達式不

一樣.

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2.4.題型二用基表示平面向量——師生共研

例1如圖所示，在AABC中，M是的中點，且AN=7AC,BN

與CM相交于點E,設(shè)AB=a,AC=Z>,試用基｛a,切表示向量AE.

狀元隨筆利用基可以將所有的向量放到同一個標(biāo)準(zhǔn)下，這樣更容易看出

多個向量之間的關(guān)系.就本題而言，在解題時，只需緊盯著目標(biāo)，不斷地利用三

點共線的性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，最后通過任一向量用基表示的唯一性，即若a

...........................................卜=%

=kie<>,且a=及e<+g2e,,則I必=來構(gòu)

建方程（組），使得問題獲解.

方底>）3的

用基表示向量的兩種基本方法

用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量

不斷地進行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程（組），利用基表

示向量的唯一性求解.

跟蹤訓(xùn)練I如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線上的向量AC=a,

而=5，試用基｛“，》｝表示AB?BC.

DC

AR

2.5.題型三平面向量基本定理的應(yīng)用——微點探究

微點I利用平面向量基本定理求參數(shù)

例2在△A3C中，。為AC的中點，BC=3BE,BD與AE交于點

F.若AF=2AE,則實數(shù)2的值為（）

1

A."B.；

3

C.D.

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方法歸的

1.利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某

一向量用基表示兩次然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基｛的，e2],若

產(chǎn)=m

a=xei+ye2,且a=〃zei+〃e2(x,y,m,〃eR),則有Iv=n

2.充分利用平面幾何知識對圖中的有關(guān)點進行精確定位，往往可使問題更

便于解決.

跟蹤訓(xùn)練2在平行四邊形A3CO中，點E為CO的中點，點尸滿足AF

=2而.若EF=xAC+yAB,則x+y=()

11

A.一"B.一

12

C.-7D.-7

微點2確定兩直線交點的位置問題

例3如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN=2NC,

AM與BN相交于點P,求AP：PM與3P：PN.

以而與K為基利用平面向量基本定理求解.注意條件A、P、M

和B、P、N共線的應(yīng)用.

變式探究將本例中的“N在AC上且AN=2NC”改為“N為AC的中

點”，其它條件不變，求AP：PM=BP:PN.

方法歸的

用向量解決平面幾何問題的一般步驟

(1)選取不共線的兩個平面向量作為基.

(2)將相關(guān)的向量用基向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解.

(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解.

易錯辨析對基的理解不準(zhǔn)確致誤

例4已知ei#0,a=ei+M2,)=2ei,則a與8共線的條件為()

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A.A=0B.?2=0

C.e\//eiD.ei〃e2或/1=0

解析：當(dāng)ei〃e2時，a〃ei.因為b=2e\,所以〃〃ei.又因為ei#0,所以a

與b共線;當(dāng)％=0時，a//ei,因為8=2ei,所以8〃ei.又因為ei#0,所以a

與方共線.故選D.

答案：D

2.6.易錯警示

易錯原因糾錯心得

本題中e”e2沒指明不共線，應(yīng)考在應(yīng)用平面向量基本定理時

慮兩種情況.本題易忽略ei//e2的情況不能忽略向量作為基的條件，否

致錯選A.則就會出錯.

3.平面向量基本定理

3.1.要點

1.基{e"ei}

2.互相垂直正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基

3.2.［基礎(chǔ)自測］

1.(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V(6)X

2.解析：①而與標(biāo)不共線；②DA=-BC,則而與

前共線；③就與而不共線；④OD=-OB,則而與

而共線.由平面向量基的概念知，只有不共線的兩個向量才能構(gòu)成一組基，

故①③滿足題意.

答案：B

3.解析：如圖，AO是△ABC的中線，則。為線段的中點，從而AD

］一。7

=；(AB+AC),貝ijAC=2AD-AB=26-a.

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A

3.3.題型一

1.解析：D選項符合平面向量基本定理.故選D.

答案：D

（人=1,

2.解析：①設(shè)ei+e2=Qi,則11=。，無解，

...ei+e2與ei不共線，即e［與e\+e2能作為一組基.

②設(shè)c\—2e2=2（e2—2的），則（l+2A）ei—（2+A）e2=0,

1+2入=0.

則I2+X=0?無解，...約一2。2與02—2ei不共線，

即ei—2。2與e2-2ei能作為一組基.

1

③丁eI-2e2=—；（4e2-2ei）,

1?ei—2e2與4e2—2ei共線，

即g—2e2與4。2—2約不能作為一組基.

④設(shè)ei+e2=2（G］—。2）,則（1—2）ei+（l+2）G2=0,

fl一入=0,

則11+入=0,無解，...ei+e2與e］一?2不共線，即ei+e2與3一e?

能作為一組基.

答案：③

3.4.題型二

AC

例1解析：易得AN=7=F,AM=；AB=力，

由N,E,B三點共線可知，存在實數(shù)機使AE=mAN+（l-m）AB

第7頁共io頁

力7力+(1-m)a.

由三點共線可知，存在實數(shù)〃使靛=〃AM+(1—n)AC

~/:?+(1—n)b.

所以7mZ>+(l-~{a,5}為基,

r

1-m=

m=1

所以(7所以AE=7a+

1

7&.

跟蹤訓(xùn)練1解析:方法一設(shè)AC,3。交于點

海=士，BO=65=lBD=

所以AB=AO+OB=AO-BO=

BO+6c=ia+%

方法二設(shè)AB=x,BC=J,則AD=BC=j,又

|AB+BC=AC,

(AD-AB=BD,

3.5.題型三

例2解析：如圖，三點共線，...存在實數(shù)%,使正=上而

=女就+玩)，二AB+^(BA+BC

AB+BF=)=(1

：)布+須.AE■一f+11

=AB+BE=AB7BCVAF=2AE,A

(1-灑+艮丸AB+；BC....靛與前不共線,

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答案：c

跟蹤訓(xùn)練2解析：因為EF=ED+DF=-:AB-：AD,

xAC+yAB=i(AB+AD)+yAB=(x+y)AB+xAD,所

以x+y=—=故選A.

答案：A

例3解析：設(shè)BM=ei,K=%

則AM=AC+C