行列式章節(jié)作業(yè)

章節(jié)作業(yè)

第一章行列式

一、單項(xiàng)選擇題

sinx-cosx

1.行列式(A).

cosxsin%

A.1B.0C.-1D.2

k-2

2.行列式wO的充分必要條件是

-3

(C).

A.kw-lB.攵。4

C"w-1且攵。4D.Zw-l或攵。4

120

3行列式-103=(D).

111

A.1B.0C.-1D.5

123

4.行列式231=(c).

312

A.1B0C.-18D.6

a

\\。12。134xa彳24g-3a

a弓

5.若2\。22023=1,則%M2a,4-3Q二(D).

。31〃32.33B?！?%q-3a

A.1B.-2C.-3D.6

6.若三階行列式。=|%|=祖，則A=|-加相=(B).

A.m2B.-m2C.m4D.-m4

Q1%4b2b3

7.設(shè)2=x}x2x3=4,D2-X|x2x3=1,則

X%%y%%

a}+4a?+b)%+&

2%]

2y2y22%

(C).

A.5B.10C.20D.6

a\Ia\24132q]—3tZp5Q13

8.若￡)=Cl]J^^22。23=IQ=4。2]2。2]34^225。23,貝1JDx=

%]“32%34^i^3]5^3^33

(B).

A.8B.-60C.24D.-24

—1050

740

9.行列式中，元素X的代數(shù)余子式的值為

24106

3—121

(B).

A.24B.42C.-42D.-24

10.設(shè)四階行列式。的第三列元素為T,2,0,1,它們的余子式

的值依次分別為-2,-5,-9,4,則。=(A).

A.-4B.8C.16D.12

11.當(dāng)（）成立時(shí)，〃（〃>2）階行列式的值為零.（B）.

A.行列式的主對(duì)角線上的元素全為零

B.行列式中零元素的個(gè)數(shù)多于〃個(gè)

C.行列式中每行元素之和都相等

D.行列式中每行元素之和都為零

12.下列結(jié)論不正確的是

D).

A.若上三角形行列式的主對(duì)角線上的元素全為零，則行列

式的值為零.

B.若行列式中有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為零.

C.若行列式中某行元素都是零，則行列式的值為零.

D.行列式中每列元素之和都相等，則行列式的值為零.

a\\a\24〃

13.設(shè)D=c'%%"，則下式中正確的是

????????????

an2ann

D).

a

A.a,iAi+i2^i2+??…+a加。=。

B.qj4/+&j■+…+amMg=0

C.%+.....+ain\i~D

D.4+WjA),+…+=D

kx+z=0

14.若方程組＜2%+矽+z=0有非零解，則左取值為(C).

kx-2y+z=0

A.k=0B.k=-lC.k=2D.左=一2

kx+y-z=0

15.若方程組＜x+6-z=0僅有零解，則(C

2x-y+z=0

A.左w—2B.kw—1

C.Zw—2且ZwlD.攵。一2或k^\

二、填空題

125

1.若行列式13-2=0,則％=3

25k

2aa

2.行列式a2a-8+2a3-6a2

aa2

0a0

3.行列式b0c0

0d0

111

4.行歹U式0216

003

a00b

ab0

6.行列式:(a2-b2)2

ba0

b0Qa

%111

41X11r,3

7.若=0,貝ij%=-3或1

llxl

111%

labc+d

8.行列式;bcd+a

-___0

cda+b

1dac+h

0100

9.行列式:020

-24

003

4000

123

10.214中a的代數(shù)余子式的值為-3

43a

11.已知四階行列式。中第二列元素依次為：1,2,0,-1,它

們的余子式依次分別為：2,1,3,-1,則的=1.

12.設(shè)五階行列式0=2,對(duì)。做以下變換：先交換。的第一行與

第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四

列，則行列式列的值為-12.

10a1

0-1b-1

13.按第三列展開計(jì)算行列式

—1—1c—1

一11d0

a+b+d

Xy0...00

0Xy…00

00X...00

14.n階行列式=xn+(-1)n+1bn

000...Xy

y00...0%

+%2+%3=0

15.已知方程組<玉+4%2+%3=。有非零解，則2的值為1或

玉+%+丸%3=。

z2

anX\+a%%,+ii3%3=0

16.當(dāng)方程組｛a2lx]+a22x2+a23x3=0滿足D=/0—時(shí)，有唯一

。3內(nèi)+%%2+。33%3=0

零解.

三、計(jì)算題

4427327

1.5543443；

7721621

xy%+y

2.yx+yx；

%+yxy

xyx+y

yx+yx=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx—y3-(x+y)3—x2

x+yxy

=3xy(x+y)-/_3x2y-3y2x-x3-y3—x3

=-2(/+/)

111

3.abc；

/b12c2

111

ahc=be2+ca2+ab2—ac2—ba2-ch2=(a—b)(b—c)(c—a)

a2bL2c2

a-b-c2a2a

4.2bb-c-a2b；

2c2cc-a-b

1111

-1111

；

—1—111

—1—1-11

134

241

6.

312

423

1+x111

1\-x11

7.

111+y1

1111-^

1111

1234

13610

141020

x+1—11

1x—11—1

9.

1—1%+1—1

11x-1

%

1

解D

1234

1012

10.

3-1-10

120-5

baaa

abaa

H-D“二aaba

aaab

1\a、z???cin

14+4a2...an

12.1qQ,+4...

???????????????

1a1a2...an+bn

1+%a2〃3???a〃

q1+%〃3???冊(cè)

13.4a2l+a3…%

%a2〃3???1+￡

123n-1n

—103n-\n

-1-20n-\n

14.

—1-2-30n

—1-2-30

12222

22222

22322

15.

222n-12

2222n

四、證明題

a\偽4%+4y+q4C]

1.a2b2a2x+b2y+c2

a3b3a3x+h3y+c3

D=

解

A+qq

ax瓦C]

Z72+。2，2

2.a2+kb2—6?2b,t?2

83+C、3C3a3、3C3

a3+kb3

h+cc+aa+babc

3.a+bb+cc+a=2cab

c+aa+bh+cbca

a2(a+1)2(a+2)23+3)2

h2S+l)2S+2)23+3)2

c1(C+l)2(c+2>(c+3)2

d23+1)23+2)2(d+3)2

五、用克萊姆法則解下列線性方程組:

x+2y+2z=3

1.〈-x-4y+z=7；

3x+7y+4z=3

2x+y+z-4

2.{x+y+z-3；

x+2y+z=4

xt-x2+x3=0

3.〈2%]-七=0；

為+2X2+芻=0

2%|-%2_=4

4.<3%[+4X2-2&=11.

3%]-2X2+4&=11

第二章矩陣

一、單項(xiàng)選擇題

1-10、11

1.設(shè)矩陣A=,B=,則2A+33=(A).

212,01

，51-3413、

A.B.

、、

45-27452V

「513、4—1-3、

c.D.

、45-2>、45-2,

(102、

2.已知方陣A=-111，則⑷，|2A|的值依次為B).

,230,

A.-13,-26B.-13,-104C.13,26D.-13,104

3.設(shè)〃階方陣A的行列式⑷=m則||A|A|二D).

A.a"+'B.anC.an-'D.a2

4.設(shè)矩陣則下歹U運(yùn)算有意義的是

B).

A.A2B.ABC.BAD.ABT

5.設(shè)矩陣A=[即“2%],下列矩陣中能乘在人的右邊是

422%37

(A).

A.b2B.0ib2九)

也，

Q01142013%生、

D.

也1%^23>也1。22,

6.若4=(1,2,3),3=(1,2,3,4),則(火為?是(C).

A.1x3矩陣B.3x4矩陣C.4x3矩陣D.1x4矩陣

7.設(shè)A,B均為n階非零方陣，下列正確的是

A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)2=A2+2AB+B2

C.若AB=O,則A=O或B=OD.\AB\=\A\|B|

8.設(shè)A,3均為同階方陣，則下列結(jié)論正確的是(C).

A.(AB)T=ATBTB.AAT=ATA

7

C.若AX'則(A2)(=A2.D.若AnAtbuB■，貝

9.設(shè)4是任意一個(gè)八階矩陣，那么下列是對(duì)稱矩陣的是(D).

A.AT+AB.AT-AC.A-ATD.A2

10.設(shè)Al,C均為”階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是(B).

A.若AB=AC,貝1J3=CB.(ABC)2=A2B2C2

C.ABC=BCAD.\ABC\=|A|\B\|C|

11.設(shè)A,B均為〃階方陣,則等式(A+8)(A-3)=價(jià)一中成立的充分

必要條件是

(D).

A.A=￡B.B=0C.A=BD.AB=BA

12.若矩陣A,B滿足且ABC有意義，則下列選項(xiàng)正確

的是(B).

A.BA=EB.A,B都是可逆矩陣C.Al=BD.ABC=C

13.設(shè)A,3均為〃階可逆方陣，則下列等式成立的是(D).

A.AB=BAB.(A+B)1=A'+B1

C.(2A)-1=2A-'D.(A-,)r=(Ar)-1

14.設(shè)A是〃階可逆矩陣，A*是4的伴隨矩陣,則(B).

A.\A"\=\A\B.|A*|=|A|"TC.\A"\=\A\nD.|A*|=|A『

57

15.矩陣的伴隨矩陣是

811

(B).

"-117"11-711-8、11-7

A.B.C.D.-

、一

、8—57857-757-857

16.設(shè)A是三角形矩陣，若主對(duì)角線上元素(C),則A可逆.

A.全都為零B.可以有零元素C.不全為零D.全不為零

"23、

17.已知二階方陣4=,則A的逆矩陣4/=(B).

、34,

4-3'-434-3'43、

A.B.C.D.

,-3-27、3-27-327,32,

18.設(shè)〃階矩陣4、8、。滿足AbC=￡,貝=(A).

A.ABB.BAC.A'B1D.B'A1

19.若A為二階方陣，且A的行列式囿=-2,則|-2(A1)T|=(C).

A.-4B.1C.-2D.-8

20.若A,B,。皆為〃階方陣,則下列關(guān)系中，不一定成立的是

(B).

A.A+B=B+AB.(A+B)+C=A+(B+C)

C.AB=BAD.(AB)C=A(BC)

21.若A,B皆為〃階可逆方陣,則下列關(guān)系式中，一定成立的是

(C)

A.(A+b)2=A2+2AB+B2B.(A+B)T=A^+B-'

C.(AB)-'=B'A1D.(AB)T=ATBT

22.下列結(jié)論正確的是(D).

A.A,B均為方陣，則=(%N2,k^N).

B.A,3為〃階對(duì)角矩陣，則4B=A4.

C.A為方陣，且A2=O,則4=0.

D.若矩陣Ab=AC,且ARO,則3=。.

23.設(shè)A是二階可逆矩陣,則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是(D).

<oo)(\o\(\n(\口

A.^0ojB.(0ojC.1^0ojD.(0U

(Q_

24.已知二階矩陣4=的行列式則(A*)」=

dj

(A).

25.下列矩陣中不是初等矩陣的是(C).

"100、00、00、qoo、

A.010B.010C.020D.110

J0b0b、00bJ01>

26.設(shè)A,3,C為同階方陣，則G4BC/=(B).

A.ArBrCTB.C'BVC.C'A'B1D.ATCrB'

27.設(shè)〃階方陣4是滿秩矩陣，下列結(jié)論不成立的是（B）.

A.r(AT)=nB.\A\=0C.|A|W0D.A可逆

(\11A

28.設(shè)矩陣4=的秩為1,則(A).

〔22t)

A.t=2B.Z=1C./=-1D「二-2

"123、

29.設(shè)矩陣4=24t的秩為1,則(A).

、369,

A.t=6B.t=~(>C.t=1D.t=~2

T-12、

30.設(shè)矩陣A=-22t的秩為2則

、3-36?

(A).

A.tw—4B.t=~4C"是任意實(shí)數(shù)D.以上都不對(duì)

31.設(shè)矩陣A的秩為r,則下列結(jié)論正確的是(B).

A.A中所有〃階子式都不為零

B.4中存在r階子式不為零

C.A中所有r階子式都為零

D.A中存在什1階子式不為零

32.下列結(jié)論正確的是(D).

A.奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為非奇異矩陣

B.非奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為奇異矩陣

C.非奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣

D.奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣

二、填空題

(\-10、’11—1

1.設(shè)4=,B=，則A+B=

212J1-27

0-13—13-1

2.設(shè)A=,B=，則2A+B=

-20573-227

/110、q11

3.設(shè)A=,B=，則2AB=

212,I2j

4.若矩陣A與矩陣8的積A3為3行4列矩陣，則矩陣A的行數(shù)

是.

0a，1a、

5.若等式2—1002成立,a=

<011,-1

201\g42、

6.設(shè)矩陣人=,B二,則

—11-37、357,

<11,10、

7.已知矩陣4=，B=則AB-BA=

、0-17Jb

8.已知矩陣A=(L2,-1),3=(2,-1，1),且C=ATB,則e:

9.設(shè)A為二階方陣,若13Al=3,貝UI2Al二

10.設(shè)A為三階方陣,\A\=2,則I-2AI=

11.設(shè)A為四階方陣,|A|=3,則|A*|二

(13、

12.矩陣A=的逆矩陣A工______.

(24)

(ci

13.設(shè)A=，則其伴隨矩陣A*=_____.

"d)

"120、

14.設(shè)A=010，則其逆矩陣A-J.

02,

00、

15.設(shè)A=220,則4*4=

033,

<|0\/1

16.已知矩陣方程XA=b,其中A=,B=，則

□1JU0j

X=_____

17.設(shè)A,3,C皆為”階方陣，若A,3皆可逆，則矩陣方程AXB=C

的解X=.

_n2、

18.設(shè)A為二階可逆矩陣，且已知(24尸=,貝1」A=_____.

(34J

，-33-3、

19.設(shè)矩陣4=3-33,則矩陣A的秩為

、01f

’111、

20.已知矩陣4=112，且r(4)=2,則。=

、。+123,

三、計(jì)算題

1.已知A為四階方陣，且⑷=2,求：⑴|-A|；(2)\2A\i(3)|AAr|；

(4)IA2|.

2r

2.設(shè)矩陣A-,E為二階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+E,

-12,

求|3|.

3.設(shè)A,3均為三階方陣,且已知⑶=4,|明=5,求|2AB|.

4.求下列矩陣的逆矩陣:

-2-P

(1)A=-345；

、203,

"10P

⑵A=1-10

<012,

'200、

⑶A=111

J-12

,0q0

00tz20

(4)4=000an_｝，其中q.w0,i=1,2,...,〃.

?0°0>

5.解下列矩陣方程:

5、

一6)

(01)or

(2)1-10110

、。12)

1014,

10

⑶21

-31

,111、

"1-21、

(4)X011

、。1-I

、00b

10)f-

⑸121X=2

2

T01\(\2、

(6)210X=01

1-31

0,

,14、'20>31、

6.已知矩陣A=,B=,矩陣X滿足

J4、一10-1J

AXB=C,求解X.

r010]p-P

7.設(shè)A=-111,B=20,且X滿足X=AX+B,求X

0-U卜

、T一3,

8.設(shè)A,b均為三階方陣,且|A|=-1,\B\=5,求|2（A4」）2|.

9.設(shè)4為三階方陣，A*是A的伴隨矩陣，且⑷=；,求|(3A)T-2A*|.

10.求下列矩陣的秩:

r1-2-1-2、

⑴4121；

J11b

"12-1-2>

(2)202

、321-3J

<1110

(3)4121;

、301OJ

ri2345、

—1-2-3-3—4

(4)

13334

J222

-53P

5-853

(5)1-740

I-113,

。2-34、

23-57

(6)43-99

<25_88,

四、證明題

1.試證：若四，用都與A可交換，則切+%,3山2也都與A可

交換.

2.對(duì)于任意方陣A,證明：A+Ar；AT都是對(duì)稱矩陣.

3.試證：若〃階矩陣A,B,。都可逆，則ABC也可逆，并且

4.設(shè)4是〃階方陣，且滿足447=￡,證明：|4|=1或刈=-1.

5.設(shè)A是〃階方陣，且(A+￡)2=0,證明A可逆.

6.已知〃階方陣A,B滿足2A/b=3-4瓦證明矩陣A-2E可逆.

7.設(shè)屋=0也為正整數(shù))，求證：(E-A)-1=E+A+A2+...+Ak-].

8.設(shè)n階方陣A滿足2A2_A_2￡=0,證明A可逆，并求A-1.

9.設(shè)A是〃階方陣，證明：|A設(shè)以產(chǎn)佗2).

10.設(shè)A,B皆為例又〃矩陣，證明：A與8等價(jià)的充分必要條件

是r(A)=r(叫

第三章向量空間

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)向量。=(4,7,2),/=(—1,4,3),則3a+4夕=().

A.(8,37,18)B.(-8,37,18)C.(8,-37,18)D.(8,37,-18)

2.設(shè)向量a=(l,0,2,3),/=(—1,1,1,0),則2a+3/=

().

A.(-l,3,7,6)B.(l,3,6,7)C.(2,0,7,6)D.(-l,3,-7,6)

3.若向量組%=(1,0,0)向%=(1,1,0尸，%=(“,》,°』線性相關(guān),

則一定有().

A.a=h=cB.h=c=0C.c=0D.c#0

T

4.向量組4=(-1,2,-l),a2=(3,-l,1/,a3=(2,1,9/,則().

A.是R的一組基B.線性相關(guān)

C.不是尸的一組基D.可能線性相關(guān)，可能線性無關(guān)

5.向量組ax,a2和向量組a2,。3均線性無關(guān)，則向量組,a2,火

().

A.一定線性相關(guān)

B.一定線性無關(guān)

C.不能由4,出線性表出

D.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)

6.設(shè)四=(2,1,0).=(0,0,0)，則).

A.外線性無關(guān)Bo1線性無關(guān)

C.q,a2線性無關(guān)D.?線性相關(guān)

7.向量組區(qū)=（1,一1,1）,%=（2,1,0）,%=（左，2,1）線性相關(guān)，則（）.

A.k=-7B.%=7C.%=0DM=1

8.向量組?=（-1,1,0）0=（4,2,0）,%=（左,-2,1）線性相關(guān)，則

（）.

A.%=0B.k=-2C.k=2DM=1

9.%=（1,-1,-1）02=（°，1，左）。3=（。，-2,1-左）線性無關(guān)，則（）.

A.gB"-lC.它0D.y2

10.設(shè)A是”階方陣，且|A|=0,則下列命題成立的是（）.

A.A中必有某一行向量為零向量

B.A中每一行向量可以由其余行向量線性表出

C.A中存在某一行向量可以由其余行向量線性表出

D.A中每一行向量都不能由其余行向量線性表出

11.〃維向量組四，%，，以（3WsW〃）線性無關(guān)的充要條件是（）.

A.存在一組不全為零的數(shù)占，%2，,4，使

k}a]+k2a2++ksaswo

B.a,,a2,，區(qū)中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)

C.a1,a2,,as中存在一個(gè)向量,它不能用其余向量線性表出

D./,%,，生中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出

12.若向量組區(qū),。2，線性相關(guān)，則向量組中可由其

余向量線性表示.).

A.每一向量不B.每一向量

C.存在一個(gè)向量D.僅有一個(gè)向量

13.已知向量組%,。2，%，。4線性無關(guān)，則向量組（）.

A.4+%，。2+。3，。3+%。4+四線性無關(guān)

B.-a2,a2-a3,a3-a4,a4-ax線性無關(guān)

C.四+。2,%+%以3+%，%-9線性無關(guān)

D.四+。2。2+。3。3-。4。4-四線性無關(guān)

14.設(shè)向量4=（%,。］,6）。2=（〃2也，。2），61=（以1，4，。1，4），

—（a2,b2,c2,d2）,下列命題中正確的是（）.

A.若q,a2線性相關(guān)，則必有笈，雙線性相關(guān)

B.若名,口2線性無關(guān)，則必有月，尾線性無關(guān)

C.若戈,凡線性相關(guān)，則必有必,線性無關(guān)

D.若月，尾線性無關(guān)，則必有名,%線性相關(guān)

15.若向量組q。2，,%線性相關(guān)，則必可推出（）.

A.%,%,,4中至少有一個(gè)向量為零向量

8.4,心，，％中至少有兩個(gè)向量成比例

C.a},a2,,as中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示

D.q,4,中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示

16.已知6，%，%，，線性無關(guān)，則向量組以+。2。4a3

a3+a4,afa（）.

A.線性相關(guān)

B.線性無關(guān)

c.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)

D.是否線性相關(guān)與向量的維數(shù)有關(guān)

17.設(shè)向量組I：%,a2，a3與向量組^：片,笈等價(jià)，則必有（）.

A.向量組I線性相關(guān)B.向量組H線性無關(guān)

C.向量組I的秩〉向量組n的秩D03不能由力，住線性表出

18.設(shè)必以2，,%是6維向量組，則必，%,,%（）.

A.線性無關(guān)

B.僅有一個(gè)向量可由其余向量線性表出

C.至少有2個(gè)向量可由其余向量線性表出

D.至少有4個(gè)向量可由其余向量線性表出

19.設(shè)有兩個(gè)同維向量組/，%,與川，耳，…，月，則下列選項(xiàng)

正確的是（）.

A.若兩向量組名。2,,4與￡],河，…，0等價(jià)，貝心=力

B.若5=3則兩向量組%，％，,名與外尸2,…3等價(jià).

C.若兩向量組以。2,,名與422,…血等價(jià)，則

r{a{,?2,,as）=廠（片，住,

D.若「（%。2，,4）=r（片，尸2,…，⑷，則兩向量組

四，%，，區(qū)與后，小，…血等價(jià).

20.設(shè)向量組囚,4,…,黨的兩個(gè)極大無關(guān)組分別是a4,％2，…，與

和%，則下列選項(xiàng)中正確的是（）.

A.r+r=mB.r+t>mC.r=tD.r>t

二、填空題

1.已知向量6,%，￡滿足關(guān)系式耳/一。1=%，又0=(2,1,0),

%=(-1,3-2),則P=.

2.夕=(1,2,3)表示為向量組與=(1,0,。)￡2=(。,1,。*3=(0,。，的

線性組合式為夕=.

3.已知向量％=(2,5,1,3),。2=(1。/,5,10),%=(4,1,

如果3(名一⑤+2(a2+幻=5(。3+4)，貝14=.

4.設(shè)向量a=(2,-3,5)和向量夕=(-4,6,。)線性相關(guān)，則a=.

5.設(shè)向量組%，%,口3線性無關(guān)，而向量組必，生，%,區(qū)線性相

美,則向量組/，2%,3%,4%的極大無關(guān)組為.

6.設(shè)有向量組a=(1,24)4=a,7,也亍(o,線性相

關(guān)，則/=.

7.設(shè)向量組名=(1,1,0,1),%=(。，L。,4),%=(2』,一2,-2)的秩為2,

貝Ia-.

8.向量組名=(1,2,3).=(0,0,1),cr,=(2,4,5)的秩為.

9.向量組名=(1,2,3),%=(0,1,0),%=(2,4,5)的秩為.

，2、m

2m

10.向量組名的秩是

11.已知向量組名=(1,2丁1,1%=(270,,㈣亍Y0,4-,

的秩為2,則，=.

12.向量a=(0,1,2)在基四=(1,1,0)%=(0,1/)4=(1」,下的坐

標(biāo)是

13.設(shè)向量組用血血與向量組四=(1,2,3),4=(2,4,5)為=(0,06

等價(jià)，則月,⑸，夕3的秩=.

14.設(shè)%=(5,-1,3,2),%+2%=(2,3,-1,。),則3囚+2%=.

15.設(shè)向量組四=(1,2,衣2)=，(屹3拿，6)與向量組

等尬,則向量組笈，區(qū)，四的秩為.

16.設(shè)名=(1,1,0).=QU)，4=(T，2,l)是收的一組基,且

。=。,0,0)在這組基下的坐標(biāo)為(1,1,-1),貝卜=.

三、計(jì)算題

1.已知q=(1,2,3),4=32,1),4=(-2,0,2).=(1，2,4),求：

(1)3。1+2%-5a3+4%;(2)5%+2%-—.

2.已知q=(1,1,0,-1),4=(-2』,0,0),%=(T,2,0』),又一滿足

3Q-0+2Q+夕)=5Q+尸)，求夕.

3.設(shè)向量a，B,7滿足5(a-1+30+y)=o,其中a=(-2-1,3,0),

6=(—2,—1,0,3)求a+4+九

4將向量￡=(5,0,7尸表示成向量組9=(1,-1,0成,%=(2,1,3)。

%=(3,1,2尸的線性組合.

5.將下列各題中向量夕表示為其他向量的線性組合.

⑴4=(3,5-6),a,=(1,0,1)0=(I/」)。3=(0-1-1)；

(2)6=(2-1,5,1)，與=(1,0,0,0),52=(0,1,0,0),s3=(0,0,1,0),

=(0,0,0,1).

6.求向量組q=(l,-2,0,3)7,02=(2,-5,-3,6咒％=(。，1，3,0)r,

r

%=(2,-1,4,-7),a5=(5-8,1,2),的秩和極大線性無關(guān)組，并

將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合.

7.求向量四=(2,4,2)%=(1,1,0絲=(2,3㈤薩(3的一個(gè)

極大線性無關(guān)組，并將其余向量表成該極大線性無關(guān)組的線性組合.

8.求向量組名=(1,-%=(3,1,6,2),4=(1,3,-4,4),

%=(4,-4,14,-4)的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極

大無關(guān)組線性表示.

9.已知四=(l,0,2,3),a2=(l,l,3,5),a3=(l,-l,a+2,l),

a4=(1,2,4,。+8),及==(1,1,。+3,5).

問：(1)。,人為何值時(shí)，夕不能表示成囚,。2，%的線性組合.

(2)4,Z?為何值時(shí)，夕可由?0203唯一線性表示，并寫出該

表示式.

10.判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān).

(1)%=(1,3,0).=(1,1,2),%=(3,-1,10)；

(2)因=(1,2,1)&=(1，L2),%=⑶—L2)；

(3)q=(1,1,1,Dg=(1，2,3,4)4=(1,4,9,16)；

(4)a,=(1,1,1,l),a2=(1,2,3,4),%=(1,4,9,16),%=(1,2,5,10)

(5)?=(1』/,3).=(1,123),=(7,2,5,0)；

(6)?=(1,1,-1),a2=(0,1,2),a,=(1,2J)。4=(-1,2,0).

11.設(shè)向量組囚=(1,1,1).=(1,2,3),=(1，3,。，

(1)，為何值時(shí)，向量組囚，%，。3線性無關(guān)？

(2)f為何值時(shí)，向量組名，%，火線性相關(guān)？并用名，。2表示出

12.求￡=(3,—1,2尸在基四=(1,1,力4=-(1,3,汕亍(f

下的坐標(biāo).

四、證明題

1.設(shè)向量組即％。3線性無關(guān)，證明:向量組又+2a2，。2-4，

也線性無關(guān).

2.設(shè)向量組%%,4線性相關(guān)，向量組外,%，%線性無關(guān)，證明:

(1)%可以由,%線性表出；(2)。4不能由四,生。3線性表出.

3.設(shè)向量組%,4,%線性無關(guān)，證明：向量組

a},ay+a2,a,+a2+a3也線性無關(guān).

4.設(shè)向量組織"2，...,%，線性無關(guān),一可由”線性表示，

而夕2不能由。1，。2,…,%，線性表示.證明:向量組《,%,...,%月+夕2線

性無關(guān).

5.設(shè)向量組《以2。3線性無關(guān)，令

=-ay+。3,夕2=2a2-2a3,尸3-2al-5a2+3a3,

證明：片，夕2,區(qū)線性相關(guān).

6.設(shè)向量組區(qū),線性無關(guān)，加22,4,4,,4”為任意實(shí)數(shù),

證明：向量組月=e+4am，62=%+4%,,，A,-1=+47%

線性無關(guān).

7.設(shè)向量組％,%,%線性無關(guān),且夕=左0+左2a2+%3a3?證明：若

匕。0，則向量組⑸也線性無關(guān)?

8.證明四=(1,0,0),%=(1,1,0),er,=(LL1)是三維向量空間R3的一

個(gè)基，并求尸=(5,9,-2)在此基下的坐標(biāo).

第四章線性方程組

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)A為現(xiàn)矩陣，則n元齊次線性方程組Ax=。有非零解的

充分必要條件是).

A.r(A)=nB.r(A)=mC.r(A)<nD.r(A)<m

2.設(shè)A為機(jī)x〃矩陣，且非齊次線性方程組Ax=辦有唯一解，則

必有().

A.m=nB.r(A)=mC.r{A}-nD.r(A)<n

3.設(shè)n個(gè)未知量的齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)m>n,則一定有

().

A.方程組無解B.方程組有解

C.方程組有唯一解D.方程組有無窮多解

4.對(duì)于線性方程組Ax=伙1)與其導(dǎo)出組Ax=o(H),下列命題

正確的是().

A.若(II)有解，則⑴有解

B.若(H)有非零解，則⑴有無窮多解

C.若(I)有唯一解，則(II)僅有零解

D.若(I)有解，則(II)有基礎(chǔ)解系

5.設(shè)A為mx〃矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必

要條件是