高中數(shù)學：1-4-2 充要條件（分層作業(yè)）

1.4.2充要條件（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?江西?高一期末）“"讓-1”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)“2-1”和“加2-2”的邏輯推理關(guān)系,即可判斷答案.

【詳解】由加之-1可以推出“2,但反之不成立，故"mN-l”是“加之-2”的充分不必要條件，故選:A

2.（2022?全國?高一）設(shè)尸：x<3,q：-l<x<3,則p是q成立的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】B

【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.

【詳解】由x<3不能推出例如x=-2,

但必'有x<3,

所以。：x<3是4：-lvx<3的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2021?安徽?涇縣中學高一階段練習）"a>b>0”是&-揚”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由廟工>八-亞得匹工+&>也,兩邊平方化簡即可得結(jié)果.

【詳解】由

yja-b>\fa->Jb<^>\ja-b+\[b>y/ci(4a-b+>fb^>(右)

橢0腿0

〔2師用>0=">6>°’

a-b+2yl^a-b)+b>a

由此可知是血”的充要條件.

故選：C.

4.（2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）設(shè)p：x>y,q：x?>）/，則?是g成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不必要也不充分條件

【答案】D

【分析】分別判斷「=4與40P是否成立，進而判斷答案.

【詳解】先驗證P=q,若x=0,y=-l,顯然滿足x>y,但不滿足V>y2,所以不成立：

再驗證4=P，若x=-l,y=0,顯然滿足x2>y2,但不滿足工>兒所以不成立.

故選：D.

二、多選題

5.（2021?湖南?金海學校高一期中）對于任意實數(shù)a、b、c,下列命題是真命題的是（）

A.“a=6”是“〃、=兒”的充要條件B.“a+5是無理數(shù)”是為是無理數(shù)”的充要條件

C.7””是"/>匕2，，的充分不必要條件D."a<5”是“a<3”的必要不充分條件

【答案】BD

【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷

【詳解】解："a=6''="ac=6c”為真命題，但當c=0時，"ac=bc"="a=?'為假命題，故“a=A”是

“四=歷”的充分不必要條件，故A為假命題；

“a+5是無理數(shù)”=>%是無理數(shù)''為真命題，“。是無理數(shù)”n"a+5是無理數(shù)”也為真命題，故"a+5是無理

數(shù)''是％是無理數(shù)”的充耍條件，故B為真命題；

>/”為假命題，>/”="〃>。，'也為假命題，故是“/>〃”的既不充分也不必要

條件，故C為假命題；

因為由a<3能得出。<5,而由。<5得a<3不一定成立，故“a<5”是“a<3”的必要條件，故D為真命題.

故選：BD.

6.（2021.福建省福州第八中學高一期中）下列結(jié)論中正確的是（）

A.“寸>4”是“x<-2”的充分不必要條件

B.在一ABC中，“AB2+AC2=BC2是"/.ABC為直角三角形“的充要條件”

C.若a,beR,貝廣/十從4（），，是2,。不全為0”的充要條件

D.“x為無理數(shù)”是“爐為無理數(shù)”的必要不充分條件

【答案】CD

【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義對各個選項逐一分析即可得出答案.

【詳解】解：對于A,若丁>4,貝卜>2或x<-2,所以“丁>4”是“x<-2”的必要不充分條件，故A錯誤；

對于B,在一中，若AB2+AC2=BC，則一ABC為直角三角形，反之，若一ABC為直角三角形，直角

為ZB,NC時，AB'AC?="2不成立，所以“AB、AC?=3（戶是二ABC為直角三角形"的充分不必要條件，

故B錯誤；

對于C,若/+62W0,則a,匕不全為0,若。，。不全為0,則Y+〃xO，所以+從x0”是“q,人不全

為0”的充要條件，故C正確；

對于D,當x為無理數(shù)，若*=應(yīng)，則x?=2為有理數(shù)，若尤2為無理數(shù)，則x為無理數(shù)，所以“x為無理數(shù)”

是“V為無理數(shù)”的必要不充分條件，故D正確.

故選：CD.

7.（2021?江蘇?金湖中學高一期中）對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題中正確的是（）

A.“a=是"ac=be”的既不充分也不必要條件

B.“a=b”是％2=從，，的充分不必要條件

?！啊?gt;"是"2“>2”'的充要條件

D.“a>b”是“右>場”的必要不充分條件

【答案】BCD

【分析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】A,由“a=b”可得"ac=bc"，反之，由“ac=A”不一定得到“a=b”，

故“a=b”是“％=%”的既充分也不必要條件，故A錯誤；

B,由“a=夕’可得"（？=/，，,反之，72="，，可得"0=幼，，,

所以“a=b”是“a?=從”的充分不必要條件,故B正確；

C,由“a>b”由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得“2〃>2"'，反之也成立，

故“a>b”是“2">2"”的充要條件，故C正確;

D,若“a>b"，當其中一個為負數(shù)時，則“右>狗”不成立，

反之，若“右>血”，可得“a>b”，

所以“a>b”是“&>〃”的必要不充分條件，故D正確.

故選：BCD

8.(2021.山東臨沂.高一期中)下列選項中，。是9的充要條件的是()

A.P：xy>0,q-x>0,y>0

B.P：A<JB=A,q：BcA

c.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在兩角相等

D.P：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分

【答案】BC

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；

【詳解】解：對于A：由孫>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故尸不是q的充要條件，故A錯誤；

對于B：由Au8=A,則B=A,若8=A則AU8=A,故P是。的充要條件，故B正確；

對于C：三角形是等腰三角形。三角形存在兩角相等，故尸是9的充要條件，故C正確；

對于D：四邊形的對角線互相垂直且平分=四邊形為菱形，故P不是4的充耍條件，故D錯誤；

故選：BC

三、填空題

9.(2021?全國?高一課時練習)A>4,從：5是一次函數(shù)y=(A—4)x+Z)-5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于

正半軸的條件.

【答案】充要

【分析】令戶0,尸0,可得函數(shù)圖象與y軸、x軸交點的坐標，結(jié)合充分必要條件定義可得出答案.

【詳解】時,fc-4>0,X5時,b-5<0,

二直線y=(—4)x+〃-5交y軸于負半軸，交x軸于正半軸；

y=(Z—4)x+(6—5)與y軸交于(0,6—5)與x軸交于，

由交y軸于負半軸，交x軸于正半軸可知

仿-5<0u

&<5

故《>4,Z?<5是一"次函數(shù)y=(A—4)x+4>-5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的充要條件,

故答案為：充要.

10.(2021.江蘇?高一單元測試)在下列命題中，試判斷。是4的什么條件.

(1)p：A=8,q:AB=A,則。是q條件；

(2)p：a=b,q:同=可，貝!］。是q條件；

（3）P：四邊形的對角線相等，平四邊形是平行四邊形.則p是q條件.

【答案】充要充分不必要既不充分也不必要

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；

【詳解】解：（1）因為“AuBnAc3=A”是真命題，==也是真命題，

所以P是4的充要條件；

（2）因為“a=6n|。|=|同”是真命題,"向=網(wǎng)=>a=6”是假命題，如a=-l,6=1,滿足=悶，但是a1b-

所以P是9的充分不必要條件：

（3）因為“四邊形的對角線相等n四邊形是平行四邊形”是假命題，

“四邊形是平行四邊形n四邊形的對角線相等”也是假命題，

所以。是4的既不充分也不必要條件.

故答案為：充要；充分不必要；既不充分也不必要

11.（2021?江蘇?高一課時練習）根據(jù)下列所給的各組p,q填空：

①p：a<0,q：Ia|>0；

②小兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，q：兩個三角形全等；

③p：a=h,q：a2=b2^

④p：二次函數(shù)y=Y+Z的圖象過坐標原點，q-.k=0；

⑤而兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，q：這兩條直線平行；

⑥P：兩直角三角形的斜邊相等，q：兩直角三角形全等.

其中，p是q必要條件的有;0是q充分條件的有;p是q充要條件的有.

（填寫序號）

【答案】②④⑤⑥①②③④⑤②④⑤

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件和充要條件的定義，對命題進行邏輯推理，進而得到答案.

【詳解】對①，易知由?能得q,但是，若。>0,則由q不能得p,故p是q充分不必要條件；

時②，根據(jù)三角形全等定理可知，?是充要條件；

對③，由p能得g,但是，若a=-b,則由g不能得p,故p是q充分不必要條件；

對④，易知?是q充要條件；

對⑤，由直線平行定理可知，〃是q充要條件；

對⑥，由三角形的全等定理可知，由p不能得“，但由4可以得p,故p是q必要不充分條件.

故答案為：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤

12.(2021?全國?高一課時練習)在下列各題中，用符號"廿、或一'填空:

(1)x=a=()；

(2)x是能被4整除的自然數(shù)A?是偶數(shù)；

(3)已知p,geZ,p+q是偶數(shù)是偶數(shù)；

(4)甲是上海人甲是中國人；

(5)時+網(wǎng)=卜+4ab>0.

【答案】n==nu

【分析】根據(jù)命題之間的關(guān)系逐一分析判斷即可得出答案.

【詳解】解：(1)當x=a時，(x-a)(x-A)(x-c)=(),

當(x-a)(x-Z?)(x-c)=O,x=asgx=bsS<^=c,

故x=a=>b)(x—c)=0；

(2)當x是能被4整除的自然數(shù)，則x是偶數(shù)，

當x是偶數(shù)，當x不一定是能被4整除的自然數(shù)，

故當x是能被4整除的自然數(shù)nx是偶數(shù)；

(3)若4是偶數(shù)，則〃國都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，

當PM都是奇數(shù)時，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)，

當P，4都是偶數(shù)時，/國3都是偶數(shù)，則p3-g3是偶數(shù)，

所以P+夕是偶數(shù)，則是偶數(shù)，

若P-3是偶數(shù)，則p3M3都是奇數(shù)或加4、都是偶數(shù)，

當/,小都是奇數(shù)時，，國都是奇數(shù)，則P+4是偶數(shù)，

當加國3都是偶數(shù)時，，國都是偶數(shù)，則P+4是偶數(shù)，

所以p3-d是偶數(shù)，則4是偶數(shù)，

所以〃+夕是偶數(shù)Op3—43是偶數(shù)；

(4)若甲是上海人，則甲是中國人，

若甲是中國人，則甲不一定是上海人，

所以甲是上海人n甲是中國人;

(5)若向+|4=|“+耳，當0=人=0時，等式成立,

則同+川=卜+4，曲>0不定成立,

若他>0,則。>()/>()或a<0,6<0,

則向+同=k+4,

所以時+同=卜+目u彷>0.

故答案為：(1)=＞；(2)=＞；(3)=；(4)n；(5)u.

13.(2021?全國?高一課時練習)設(shè)集合4=｛耳2%2-以+人=0/€/?｝,B=^x\hx2+(a+2)x+h=0,xe,

則A8=｛；｝的充要條件是.

12

【答案】〃=-：,b=~

33

【分析】因為AB=所以g是方程2/一奴+。=。的根，也是方程6￡+(a+2)x+b=0的根，通過代

入3得到關(guān)于0，b的方程組，解出“=匕=-|,再說明當°=一"和匕=-|時，能夠滿足A「B=｛g｝.

【詳解】由A8=｛；｝,可知;eA,geB,于是

1

-QX—F/?=0,a=——

23

解得，

b=2

+(〃+2)X/+b=0.

3

此時4=卜1；卜3=卜；｝,符合AB=

故AB=｛g｝的充要條件是“=b=~

12

故答案為：o―――,b———

33

四、解答題

14.(2021?江蘇?高一課時練習)求證：一元二次方程N+px+〃=0有兩個異號實數(shù)根的充要條件是〃<().

【分析】充分性：根據(jù)4<0,得出/=爐-4g>0,即充分性滿足；必要性：利用兩根之積即可證明.

【詳解】證明①充分性：

因為qVO,所以方程x2+px+q=0的/=/72—4q>0,

故方程/+px+q=O有兩個不相等的實數(shù)根.

設(shè)方程的兩根為X/.X2.

因為WX2=q<0,所以方程x2+px+q=0有兩個異號實數(shù)根.

②必要性：

因為方程x2+px+q=0有兩個異號實數(shù)根，

設(shè)兩根為X/.X2,所以X/?2<0.

因為x〃X2=g,所以qVO.

由①②，命題得證.

15.（2021?全國?高一專題練習）指出下列命題中，P是4的什么條件：

（1）p：x=1,q:國=1；

（2）P：兩直線平行，*同位角相等；

（3）P：點在角的平分線上，平點到角的兩邊所在直線的距離相等；

（4）。：斜邊相等，4：兩直角三角形全等.

【答案】（1）充分不必要條件；（2）充要條件；（3）充分不必要條件；（4）必要不充分條件.

【分析】（1）利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論；

（2）利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論：

（3）利用角平分線的性質(zhì)和定義判斷可得出結(jié)論；

（4）利用全等三角形可判斷可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由可=1可得x=±l,因為｛1｝￡｛一1』｝,因此，P是0的充分不必要條件；

（2）兩直線平行，則同位角相等，反之，若同位角相等，則兩直線平行，

因此，。是4的充要條件；

（3）若點在角的平分線上，則點到角的兩邊所在直線的距離相等，

反之，若點到角的兩邊所在直線的距離相等，則該點在角的角平分線或該角的補角的平分線上，

故p是q的充分不必要條件；

（4）若兩個直角三角形的斜邊相等，如三條邊長分別為夜、五、2的直角三角形和三邊邊長分別為1、百、

2的直角三角形，這兩個三角形不全等，

另一方面，若兩個直角三角形全等，則這兩個直角三角形的斜邊相等.

因此，P是4的必要不充分條件.

16.（2021.河南.范縣第一中學高一階段練習）判斷下列。是9的什么條件.（寫“充分不必要”、“必要不充分”、

“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）

（1）P：xy>\；q：x>l且y>l.

（2）〃：x是整數(shù)；q：n是正整數(shù).

（3）〃：?>0；q：函數(shù)產(chǎn)沒有最大值.

【答案】（1）必要不充分條件；（2）既不充分也不必要條件；（3）充分不必要條件

【分析】（1）、取x=4,y=g判斷充分性是否成立，再根據(jù)判斷必要性是否成立，得出結(jié)論；

（2）、取40判斷充分性是否成立，取x、2判斷必要性是否成立，得出結(jié)論；

（3）、若。>0,則拋物線y=ar2+x開口向上，判斷函數(shù)是否存在最值判斷充分性是否成立，若函數(shù)

y=a/+x沒有最大值，得出。的范圍判斷必要性是否成立，得出結(jié)論：

（1）若x=4,y=g,滿足孫=2>1,所以充分性不成立；若x>l,y>l,則孫>1,所以必要性成立；

所以。是4的必要不充分條件：

（2）取x=0,滿足x是整數(shù)，但Y=0不是正整數(shù)，所以充分性不成立；

取丁=2,滿足丁=2是正整數(shù)，但x=±及不是整數(shù)，所以必要性不成立，

所以夕是夕的既不充分也不必要條件；

（3）若”>0,則拋物線y=開口向匕函數(shù)y=a%2+x沒有最大值，所以充分性成立；

若函數(shù)>=如2+》沒有最大值，則”20,所以必要性不成立；所以。是0的充分不必要條件；

17.（2021.全國?高一課時練習）設(shè)a,b,ceR.求證：a>0,b>0,c>0的充要條件是a+b+c>0,

ab+bc+ca>0,abc>0.

【分析】先證必要性，再由反證法結(jié)合不等式的性質(zhì)證明即可.

【詳解】證明：（必要性）由a>0,b>0,c>0,顯然有a+6+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.

（充分性）用反證法：假設(shè)a>0,b>0,c>0不成立，則a,b,c中至少有一一個不大于0.

由a,b,c的對稱性，不妨設(shè)aVO

由a/>c>0得匕c<0,從而由ab+》c+ca>0,^ab+ca>-be>0,即a（6+c）>0

故6+c<0,于是a+6+c<（）.這與a+b+c>0矛盾，于是假設(shè)不成立.

因此，?>0,b>0,c>0.

18.（2021?全國?高一課時練習）已知a、b、c?為的三邊長，集合4二卜—+？"+從=（）”可，

8二卜.-vlcx-b1=0,xeR|.

(1)若。=/?=c=4,求AB；

（2）求Ac8w0的充要條件.

【答案】⑴4U8={-4-40,-4,-4+4夜}

（2）Ac8w0的充要條件是片=Z?24-c2

【分析】（1）解方程，由集合的并集運算計算即可；

（2）由集合的交集運算，結(jié)合判別式得出。之再由飛￡4,%￡8得出/=從+°2

（1）由a=Z?=c=4,得A={-4},3={-4—4夜,一4+4夜},

從而AUB={T_4及,-4,-4+4及}

（2）當Ac3w0時，Aw0,BW0,且存在超eR,使得x（）￡A,x0eB.

22

于是=4C/-4匕220,AB=4c+4ft>0

又a、b、c為一ABC的三邊長，得aNb.

a>h,①

從而AcBwO的充要條件是片+2祇。+〃=0,②

Xg+2cx0-b2=0.③

②+③，并注意到升/0，得/=-（。+。）.④

將④代入③，得儲⑤

即由②③消去吃得到⑤.而⑤滿足①，因此AcB*0的充要條件是笳=從+°2.

'【能力提升】

一、單選題

1.（2022?江蘇?高一單元測試）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為人的所有整數(shù)組成一個“類”，記為伏],

即因={4〃+H〃eZ},k=（）,l,2,3.給出如下四個結(jié)論：①2015叩]；②—2e[2]；③Z=[0]31]32]33]；

④“整數(shù)小6屬于同一‘類的充要條件是其中正確的結(jié)論有（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)“類”的定義計算后可判斷①②④的正誤，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷③的正誤，從而可得正確

的選項.

【詳解】因為2015=503x4+3,故2015e[3],故①錯誤;

而一2=4+2,故一2e[2],故②正確；

由“類”的定義可得[0][l]i[2]u[3]cZ,

任意ceZ,設(shè)c除以4的余數(shù)為，（re{0,l,2,3}）,則ce[r|,

故CW[0]D[1]32]33],所以Z±[0]川][2][3],

故Z=[0][1][2][3],故③正確

若整數(shù)m人屬于同一“類”，設(shè)此類為仍卜右{0』,2,3}）,

貝I]a=4m+r,b=4n+r,故。一％=4（〃?一〃）即a-bG[0],

若a-赤網(wǎng),故。-力為4的倍數(shù)，故m〃除以4的余數(shù)相同，

故a,b屬于同一'‘類"，

故整數(shù)”，匕屬于同一“類”的充要條件為a-be[0],故④正確：

2.（2022?寧夏銀川?高一期末）已知A={x”X2，,毛},B={y},y2,則“Vx,weB使得為=4"

是“AgB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】依據(jù)子集的定義進行判斷即可解決二者間的邏輯關(guān)系.

（詳解】若內(nèi)€A,為eB使得x,.=%，則有AcB成立；

若AaB,則有VXjeA,h）e8使得%=x成立.

則“％eA,孫eB使得看=刀”是“AuB”的充要條件

故選：C

二、多選題

3.（2021?福建?福州高新區(qū)第一中學（閩侯縣第三中學）高一階段練習）已知xdR,yGR,下列各結(jié)論中

正確的是（）

XX

A.“xy>0”是“7>0”的充要條件B.“x>y”是:>1”的充要條件

C.“"0”是“x*0”的必要不充分條件D.“x+）=0”是“7=7”的充分不必要條件

【答案】AC

Y

【分析】根據(jù)孫＞。=一＞0即可判斷A,取特例可判斷B,由不等式性質(zhì)判斷C,分析分母不

y

o可判斷D.

XY

【詳解】因為母＞0與一＞0等價，故“孫＞0”是“一＞0”的充要條件，AiE確；

X1x

因為x=-l＞y=-2,-=-,推不出一＞1,故B錯誤；

y2y

因為當xwO,y=0時推不出D￥0,當個力0時，能推出xwO,

所以“存0”是的必要不充分條件，C正確；

xX

由X+y=O可得工=一兒當滿足》工。時，才可得一二-1,即x+y=O推不出一二一1,

yy

xx

反之，當一=T時，可得戶一兒即x+y=O,所以“x+y=O”是“一=7”的必要不充分條件，故D不正確.

yy

故選：AC

三、填空題

4.（2021?河南?濮陽一高高一期中）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是一（填序號）.

（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件;

（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件;

（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；

（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)

果必須有這一條件，但是有這?條件還不夠；充要條件是條件和結(jié)果可以互推；條件和結(jié)果沒有互推關(guān)系

的是既不充分也不必要條件

【詳解】（1）開關(guān)A閉合，燈泡B亮；而燈泡B亮時，開關(guān)A不一定閉合，所以開關(guān)A閉合是燈泡8亮的

充分不必要條件，選項（1）正確.

（2）開關(guān)A閉合，燈泡B不一定亮；而燈泡B亮時，開關(guān)A必須閉合，所以開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要

不充分條件，選項（2）正確.

（3）開關(guān)A閉合，燈泡8亮；而燈泡8亮時，開關(guān)A必須閉合，所以開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件，

選項（3）正確.

（4）開關(guān)A閉合，燈泡8不一定亮；而燈泡B亮時，開關(guān)A不一定閉合，所以開關(guān)A閉合是燈泡8亮的既

不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.

故答案為（1）（2）（3）.

四、解答題

5.（2021?福建福州?高一期中）證明：“a<0”是“關(guān)于x的方程x2-2x+,〃=0有一正一負根”的充要條件.

【分析】根據(jù)充要條件的定義，分別證明充分性和必要性即可求證.

【詳解】充分性：若m<0,則關(guān)于x的方程/_2》+,"=0有一正一負根，證明如下：

當"z<0時，△=（-2『-4m=4-4m>0.

所以方程/一2》+m=0有兩個不相等的實根，

設(shè)兩根分別為演，巧，則西鄉(xiāng)=機<0,所以方程Y—2x+，”=0有一正一負根，

故充分性成立，

必要性：若“關(guān)于尤的方程-―2x+m=0有-正-負根''，則機<0，證明如下：

設(shè)方程f-2x+"?=0一正一負根分別為A,x2,貝叫’,

xtx2=m<0

所以“<0,所以若“關(guān)于x的方程/一21+帆=0有一正一負根“，則,”0,

故必要性成立，

所以"m<0”是"關(guān)于"的方程/_2x+加=0有一正一負根”的充要條件.

6.（2021?河南?范縣第一中學高一階段練習）已知介1,y^a2x2-2ax+b,其中mb均為實數(shù).證明：對于任

意的xe{x|04x《l},均有以成立的充要條件是厄2.

【分析】利用充分必要條件的概念及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】證明：因為函數(shù)產(chǎn)以+%的圖像的對稱軸方程為戶L

a

所以1,且0<—<1,

a

故當x=-時，函數(shù)有最小值y=a2^-y-2?--+/?=/?-1.

先證必要性：對于任意的工￡30001},均有膽1,即匕-121,所以應(yīng)2.

再證充分性:因為b>2,當尸白時，函數(shù)有最小值y=a2-\-2a--+/?=/?-1>1,

aaa

所以對于任意工￡何。。41},產(chǎn)442?2。什匠I,即以成立的充要條件是色2.

【點睛】關(guān)鍵點睛：證明充分必要條件時，要分開證明充分性和必要性，這樣邏輯比較清晰.

7.（2021?江蘇?高一課時練習）設(shè)a,b,ceR,求證：關(guān)于龍的方程/+fex+c=O有一個根是1的充要