試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

第二章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析

由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測(cè)量程序等限制，

實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字來(lái)說(shuō)

明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影響，需

要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方面，從而

在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn)的精確

性。

一、誤差的基本概念

測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過(guò)測(cè)量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗?duì)事物獲得定量的

概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測(cè)量為基礎(chǔ)的。測(cè)量就是用

實(shí)驗(yàn)的方法，將被測(cè)物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。

1.真值與平均值

真值是待測(cè)物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無(wú)法測(cè)得的。若

在實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量的次數(shù)無(wú)限多時(shí)，根據(jù)誤差的分布定律，正負(fù)誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過(guò)細(xì)

致地消除系統(tǒng)誤差，將測(cè)量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測(cè)

量的次數(shù)總是有限的。用有限測(cè)量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列：幾種

(1)算術(shù)平均值算術(shù)平均值是最常見(jiàn)的一種平均值。

設(shè)\、\、……、,為各次測(cè)量值，〃代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為

Xx

_x+xH-------Fxiz0

X=一t2--------n=-nil------(2-

nn

1)

(2)幾何平均值幾何平均值是將一組I個(gè)測(cè)量值連乘并開(kāi)！次方求得的平均值。即

xR=",x...x(2-2)

(3)均方根平均值—

---------------------rX2

-'X2+X2+--+X2i

X-T-----------2------幾_—I--'乙u/

均,Lnnn

(4)對(duì)數(shù)平均值在化學(xué)反應(yīng)、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對(duì)數(shù)的特性，在這種

情況下表征平均值常用對(duì)數(shù)平均值。

設(shè)兩個(gè)量,J2其對(duì)數(shù)平均值

_X_—XX—X(2-4)

X~11——2——二----2

對(duì)Inx——Inx]X

i2*E—

應(yīng)指..........L.______苧X2W2時(shí)，可以用算術(shù)平均值代替對(duì)

出，數(shù)平均

當(dāng)XI/X2=2,X=1.443,X=1.50,(X-X)/X=4.2%,即xi/.W2,引起的誤差

不超過(guò)4.2%。"""

以上介紹各平均值的目的是要從一組測(cè)定值中找出最接近真值的那個(gè)值。在化工實(shí)驗(yàn)和科

學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布,所以通常采用算術(shù)平均值。

2.誤差的分類

根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，一般分為三類：

（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在測(cè)量和實(shí)驗(yàn)中未發(fā)覺(jué)或未確認(rèn)的因素所引起的誤差，而這

些因素影響結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個(gè)方向偏移，其大小及符號(hào)在同一組實(shí)驗(yàn)測(cè)定中完全相同，當(dāng)實(shí)驗(yàn)條

件一經(jīng)確定,系統(tǒng)誤差就獲得一個(gè)客觀上的恒定值。

當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件時(shí),就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測(cè)量?jī)x器不良，如刻度不準(zhǔn),儀表零點(diǎn)未校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差

等；周圍環(huán)境的改變，如溫度、壓力、濕度等偏離校準(zhǔn)值；實(shí)驗(yàn)人員的習(xí)慣和偏向，如讀數(shù)偏高

或偏低等引起的誤差。針對(duì)儀器的缺點(diǎn)、外界條件變化影響的大小、個(gè)人的偏向，待分別加以

校正后,系統(tǒng)誤差是可以清除的。

（2）偶然誤差在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測(cè)中，所測(cè)數(shù)據(jù)仍在末一位或末兩位數(shù)

字上有差別,而且它們的絕對(duì)值和符號(hào)的變化,時(shí)而大時(shí)而小，時(shí)正時(shí)負(fù)，沒(méi)有確定的規(guī)律，這類

誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，因而無(wú)法控制和補(bǔ)償。但是，倘若對(duì)

某一量值作足夠多次的等精度測(cè)量后,就會(huì)發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律,誤差的大小或正

負(fù)的出現(xiàn)完全由概率決定。因此,隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以

多次測(cè)量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。

（3）過(guò)失誤差過(guò)失誤差是一種顯然與事實(shí)不符的誤差，它往往是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意、

過(guò)度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無(wú)規(guī)則可尋，只要加強(qiáng)責(zé)任感、多方警惕、細(xì)

心操作,過(guò)失誤差是可以避免的。

3、精密度、準(zhǔn)確度和精確度

反映測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值接近程度的量，稱為精度（亦稱精確度）。它與誤差大小相對(duì)應(yīng)，測(cè)

量的精度越高，其測(cè)量誤差就越小?！熬取睉?yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。

（1）精密度：測(cè)量中所測(cè)得數(shù)值重現(xiàn)性的程度,稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度,

精密度高就表示偶然誤差小。

（2）準(zhǔn)確度測(cè)量值與真值的偏移程度,稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準(zhǔn)確度

高就表示系統(tǒng)誤差小。

（3）精確度（精度）它反映測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。

在一組測(cè)量中,精密度高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高，但精確度高,

則精密度和準(zhǔn)確度都高。

為了說(shuō)明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別，可用下述打靶子例子來(lái)說(shuō)明。如2-圖1所示。

圖2-1(a)中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好，則精確度高；圖T(b)表示精密度很好，但準(zhǔn)

確度卻不高；圖27(c)表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實(shí)際測(cè)量中沒(méi)有像靶心那樣明確的真

值，而是設(shè)法去測(cè)定這個(gè)未知的真值。

學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，往往滿足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性，而忽略了數(shù)據(jù)測(cè)量值的準(zhǔn)確程度。絕

對(duì)真值是不可知的，人們只能訂出一些國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)作為測(cè)量?jī)x表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)

識(shí)運(yùn)動(dòng)的推移和發(fā)展，可以逐步逼近絕對(duì)真值。

⑸(b)(c)

圖2-1精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系

4、誤差的表示方法

利用任何量具或儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，總存在誤差，測(cè)量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測(cè)量的真

值，而只是它的近似值。測(cè)量的質(zhì)量高低以測(cè)量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測(cè)量誤差的大小來(lái)估計(jì)測(cè)

量的精確度。測(cè)量結(jié)果的誤差愈小，則認(rèn)為測(cè)量就愈精確。

(1)絕對(duì)誤差測(cè)量值X和真值A(chǔ)之差為絕對(duì)誤差，通常稱為誤差。記為：。，

(2-5)

￡>=X-AO

由于真值A(chǔ)一般無(wú)法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)

際值4以代替真值A(chǔ)。由于高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，因M等于A,但總比X更接近

于A。X與A之差稱為儀器的示值絕對(duì)誤差。記為。

od=X-A(2-6)

與d相反的數(shù)稱為修正值，記為

C=-d=A-X(2—7)

通過(guò)檢定，可以由高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值利用修正值便可以求出該儀器

的實(shí)際值A(chǔ)。即

A=X+C(2-8)

(2)相對(duì)誤差衡量某一測(cè)量值的準(zhǔn)確程度，一般用相對(duì)誤差來(lái)表示。示值絕對(duì)誤差與被

測(cè)量的實(shí)際修的百分比值稱為實(shí)際相對(duì)誤差。記為

(2-9)

5=—x100%

以儀器的示值X代替實(shí)際值A(chǔ)的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差。記為

(2-10)

5=dx100%

XX

一般來(lái)說(shuō)，除了某些理論分析外，用示值相對(duì)誤差較為適宜。

(3)引用誤差為了計(jì)算和劃分儀表精確度等級(jí)，提出引用誤差概念。其定義為儀表示值

的絕對(duì)誤差與量程范圍之比。

示值絕對(duì)誤差d(2-11)

----------------X100%=X100%

”一示浸跚差;X

n

X一標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。

⑷算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差是各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的誤差的平均值。

5=4Z=1,2,,n(2-12)

T-n

〃一測(cè)量次數(shù)；

4—為第，?次測(cè)量的誤差。

(5)標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為

(2-13)

上式使用于無(wú)限測(cè)量的場(chǎng)合。實(shí)際測(cè)量工作中，測(cè)量次數(shù)是有限的，則改用下

式

(2-14)

標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個(gè)具體的誤差，。的大小只說(shuō)明在一定條件下等精度測(cè)量集合所屬的

個(gè)觀輒值對(duì)其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值愈小則說(shuō)明每一次測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值分

散度就小，測(cè)量的精度就高，反之精度就低。

在化工原理實(shí)驗(yàn)中最常用的/形管壓差計(jì)、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、秒表、量筒、電壓等儀表原則上

均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對(duì)誤差計(jì)算值。

5、測(cè)量?jī)x表精確度

測(cè)量?jī)x表的精確等級(jí)是用最大引用誤差(又稱允許誤差)來(lái)標(biāo)明的。它等于儀表示值中的

最大絕對(duì)誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。

,最大示值絕對(duì)誤差(2-15)

X100%=FTX100%

5g=-------—:X

式中：6-儀表的最大測(cè)量引用誤

max差;

mad

x——塌:

通常情況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗(yàn)較低級(jí)的儀表。所以，最大示值絕對(duì)誤差就是被校表與標(biāo)

準(zhǔn)表之間的最大絕對(duì)誤差。

測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)是國(guó)家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號(hào)去掉，剩下的數(shù)字就稱

為儀表的精度等級(jí)。儀表的精度等級(jí)常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺(tái)壓力

計(jì)的允許誤差為1.5%,這臺(tái)壓力計(jì)電工儀表的精度等級(jí)就是1.5,通常簡(jiǎn)稱1.5級(jí)儀表。

儀表的精度等級(jí)為a,它表明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕落值、不能超

限，即5="maTX100%<a%max過(guò)的地-

nmaxX]6)

n

由式(2T6)可知，在應(yīng)用儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)所能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差(簡(jiǎn)稱誤差限)為

d<a%-X(2-17)

而用儀表測(cè)量的最大值相對(duì)誤差

為

(28)

5=Jmax<a%.X-1

,maxXX由上式可以看出，用只是儀表測(cè)量某一被測(cè)量所能產(chǎn)生的最大示值相對(duì)誤差，

不會(huì)超過(guò)儀表允許誤差限乘以儀表測(cè)量上限X0與測(cè)量值X的比。在實(shí)際測(cè)量中為可靠起見(jiàn)，

可用下式對(duì)儀表的測(cè)量誤差進(jìn)行估計(jì)，即

=〃％?一nX

［例2-1］用量限為5A,精度為0.5級(jí)的電流表，分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電流I=5A,I(2-19)

=2.5A,試

求測(cè)量1和L的相對(duì)誤差為多少？12

J=八M…—=n^04v_=ns%

㈤。5

5%x力=0.5%x—=1.0%

J2.5

2

由此可見(jiàn)，當(dāng)儀表的精度等級(jí)選定時(shí)，所選儀表的測(cè)量上限越接近被測(cè)量的值，則測(cè)量的誤

差的絕對(duì)值越小。

［例2-2］欲測(cè)量約90V的電壓，實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有0.5級(jí)0-300V和1.0級(jí)0-100V的電壓表。

問(wèn)選用哪一種電壓表進(jìn)行測(cè)量為好？

用0.5級(jí)0-300V的電壓表測(cè)量90V的相對(duì)誤差為

5=a%xt/=0.5%x=1.7%

業(yè)51U90

用1.0級(jí)0-100V的電壓表測(cè)量90V的相對(duì)誤差為

5=a%xU=1.0%°°=1.1%

wi.o2U90

上例說(shuō)明，如果選擇得當(dāng)，用量程范圍適當(dāng)?shù)?.0級(jí)儀表進(jìn)行測(cè)量，能得到比用量程范圍

大的0.5級(jí)儀表更準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，在選用儀表時(shí)，應(yīng)根據(jù)被測(cè)量值的大小，在滿足被測(cè)量

數(shù)值范圍的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測(cè)量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，

即X〉2X/3。這樣就可以達(dá)到滿足測(cè)量誤差要求，又可以選擇精度等級(jí)較低的測(cè)量?jī)x表，從而

降低儀表的成本。

二、有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則

在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來(lái)表示測(cè)量或計(jì)算結(jié)果，總是以一定位數(shù)的數(shù)字來(lái)表

示。不是說(shuō)一個(gè)數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)中從測(cè)量?jī)x表上所讀數(shù)值的位數(shù)是有

限的，而取決于測(cè)量?jī)x表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計(jì)數(shù)字。即一般

應(yīng)讀到測(cè)量?jī)x表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來(lái)決定。

1、有效數(shù)字

一個(gè)數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0”外，其他數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037只有兩位有效

數(shù)字，而370.0則有四位有效數(shù)字。一般要求測(cè)試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一

定都是可靠數(shù)字。如測(cè)流體阻力所用的U形管壓差計(jì)，最小刻度是1mm,但我們可以讀到0.1mm,

如342.4mmHg。又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)最小刻度為0.1℃,我們可以讀到0.01℃,如15.16℃。此時(shí)

有效數(shù)字為4位,而可靠數(shù)字只有三位,最后一位是不可靠的,稱為可疑數(shù)字。記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)

只保留一位可疑數(shù)字。

為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫(xiě)成一個(gè)小

數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)塞的乘積。這種以10的整數(shù)基來(lái)記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。

如75200有效數(shù)字為4位時(shí)，記為7.520*105

有效數(shù)字為3位時(shí)，記為7.52*10=

有效數(shù)字為2位時(shí)，記為7.5*105

0.00478有效數(shù)字為4位時(shí)，記為4.780*10-3

有效數(shù)字為3位時(shí)，記為4.78*l（h

有效數(shù)字為2位時(shí)，記為4.7*10-3

2、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則

（1）記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)，只保留一位可疑數(shù)字。

（2）當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，其余數(shù)字一律舍棄。舍棄辦法是四舍六入，即末位有效數(shù)字后

邊第一位小于5,則舍棄不計(jì)；大于5則在前一位數(shù)上增1；等于5時(shí)，前一位為奇數(shù)，則進(jìn)1

為偶數(shù)，前一位為偶數(shù)，則舍棄不計(jì)。這種舍入原則可簡(jiǎn)述為：“小則舍，大則入，正好等于奇

變偶”。如：保部位有效數(shù)字3.717213.717;

5.142B55.143

7.623567.624

9.376569.376

（3）在加減計(jì)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的相同。例如將

24.650.00821.632三個(gè)數(shù)字相加時(shí)，應(yīng)寫(xiě)為24.65+0.01+1.63=26.209

（4）在乘除運(yùn)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)為準(zhǔn)；其結(jié)果

的有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來(lái)各數(shù)中有效數(shù)字最少的那個(gè)數(shù)相同。例如：0.0121X25.64X1.05782

應(yīng)寫(xiě)成0.0121X25.64X1.06=0.328上例說(shuō)明，雖然這三個(gè)數(shù)的乘積為0.3281823,但只應(yīng)取其

積為O328o

（5）在對(duì)數(shù)計(jì)算中，所取對(duì)數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。

三、誤差的基本性質(zhì)

在化工原理實(shí)驗(yàn)中通常直接測(cè)量或間接測(cè)量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù)，這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程

度如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的基本性質(zhì)和變化規(guī)律。

1、誤差的正態(tài)分布

如果測(cè)量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過(guò)失誤差，從大量的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下

幾個(gè)特征：

（1）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。

這是誤差的單峰性。

（2）絕對(duì)值相等的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，即誤差的概率相同。這是誤差的對(duì)稱

性。

（3）極大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的概率都非常小，即大的誤差一般不會(huì)出現(xiàn)。這是誤差的

有界性。

（4）隨著測(cè)量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差的低償性。

根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差出現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標(biāo)表示偶

然誤差，縱坐標(biāo)表示個(gè)誤差出現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，及加）表示。其數(shù)學(xué)表

達(dá)式有高斯提出，具體形式為：

(2—20)

(2—21)

上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程。式中為標(biāo)準(zhǔn)誤差，h為精確度指數(shù)，。和h

的關(guān)系為y=4-(2—22)

若誤差按函數(shù)關(guān)系分布，則稱為正態(tài)分布。

O越小，測(cè)量精度越高，分布曲線的峰越高切

窄；。越大，分布曲線越平坦且越寬，如圖『3

所示。由此可知，。越小，小誤差占的比重越

大，測(cè)量精度越高。反之，則大誤差占的比重越

大，測(cè)量精度越低。

2、測(cè)量集合的最佳值

在測(cè)量精度相同的情況下，測(cè)量一系列觀測(cè)

值MM,...所組成的測(cè)量集合，假設(shè)圖2-2誤差分布

其平均值為J,則各次測(cè)量誤差為

X.-M-M,i=l、2--nf(x)

當(dāng)采用不同,的方法計(jì)算平均值時(shí)，所得到誤

差值不同，誤差出現(xiàn)的概率亦不同。若選取適當(dāng)?shù)?/p>

計(jì)算方法，使誤差最小，而概率最大，由此計(jì)算的

平均值為最佳值。根據(jù)高斯分布定律，只有各點(diǎn)誤

差平方和最小，才能實(shí)現(xiàn)概率最大。這就是最小乘

法值。由此可見(jiàn)，對(duì)于一組精度相同的觀測(cè)值，采

用算術(shù)平均得到的值是該組觀測(cè)值的最佳值。

3、有限測(cè)量次數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算圖2-3不同。的誤差分布曲線

由誤差基本概念知，誤差是觀測(cè)值和真值之差。在沒(méi)有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無(wú)限多次

測(cè)量所得到的算術(shù)平均值為真值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)為有限時(shí)，所得到的算術(shù)平均值近似于真值，稱

最佳值。因此，觀測(cè)值與真值之差不同于觀測(cè)值與最佳值之差。

令真值為A,計(jì)算平均值為b觀測(cè)值為M,并令d=M-aD=M-A,則

d-M-a,D=M-A

d-M-a,

22D2=M2-A

d=M-a,D=M-A

Ed二M-naED工M-nA

itii

因?yàn)椤?na=0*M=na

代入￡。=EM-中，即得

（2—23）

〃=A+2

將式(2—23)式代入4=M-a中得

d=(M-A)-------=D--D（2—24）

iinin

將式(2—24)兩邊各平方得

EDED

&2=D,2-2D

互+r)2

d*~DQ-2D

nn

“2=02-20EDED

r+(1)2

nn“ft-------------fl

E

對(duì)i求和Ed2=ED2-2D)D

i+2n

雕W疆正蠲翻現(xiàn)蝌會(huì)相等，故將！0＞）2展開(kāi)后，D-D,、D.D…，為正為負(fù)3213

FEED2EDz

^~d2=ED2-21+n

Ed2=n-iED2n〃2

ln1

從上式可以看出，在有限測(cè)量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計(jì)算的誤差平方和永遠(yuǎn)小于自真值計(jì)

算的誤差平方和。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義

-ED1

0=1；Jnn

式中ZD2代表觀測(cè)次數(shù)為無(wú)限多時(shí)誤差的平方和，故當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，i

E

■d.2（2—25）

o=In-1

4.可疑觀測(cè)值的舍棄

由概率積分知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分，相當(dāng)于全部誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率,

(226)

即口p=.------J^eiOzdx=1

%2兀0-8

若誤差X以標(biāo)準(zhǔn)誤差！的倍數(shù)表示，即乂=匕，則在土t。范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為①（t）,

超出這個(gè)范圍的概率為-2①（t）。①（t）稱為概率函數(shù)，表示為

1，2

)

①(/)=ije2dt(2—27

22n0

2①（t）與t的對(duì)應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊(cè)或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，讀者需要時(shí)可自行查取。在

使用積分表時(shí)，需已知t值。由表2T和圖(2-4)給出幾個(gè)典型及其相應(yīng)的超出或不超出|的

概率。

由表2T知，當(dāng)t=3,|x|=3i時(shí)，在370次觀測(cè)中只有一次測(cè)量的誤差超過(guò)。范圍。在有

限次的觀測(cè)中，一般測(cè)量次數(shù)不超過(guò)十次，可以認(rèn)為誤差大于，可能是由于過(guò)失誤差或?qū)嶒?yàn)條

件變化未被發(fā)覺(jué)等原因引起的。因此，凡是誤差大于的數(shù)據(jù)點(diǎn)予以舍棄。這種判斷可疑實(shí)驗(yàn)數(shù)

據(jù)的原則稱為3。準(zhǔn)則。

5.函數(shù)誤差

上述討論主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問(wèn)題，但在許多場(chǎng)合下，往往涉及間接測(cè)量的變量，所

謂間接測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測(cè)的量，如傳熱問(wèn)題中

的傳熱速率。因此，間接測(cè)量值就是直接測(cè)量得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)。其測(cè)量誤差是各個(gè)測(cè)

量值誤差的函數(shù)。

f(0)

圖2-4誤差分布曲線的積分

表2-1誤差概率和出現(xiàn)次數(shù)

不超出|xl的概率2①超出1x1的概率超出1x1的測(cè)

t|x|=ta測(cè)量次數(shù)

(t)1-2①(t)n量次數(shù)

0.670.6700.497140.5028621

1lo0.682690.3173131

2200.954500.04550221

3300.997300.002703701

44o0.999910.00009111111

(1)函數(shù)誤差的一般形式在間接測(cè)量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示:

產(chǎn)f(X1,X2(2—28)

式中y—間接測(cè)量值；

X.一直接測(cè)量值。

由臺(tái)勞?級(jí)數(shù)展開(kāi)得

A仔A仔A討A(2—29)

Ay---Ax+'Ax+廠一Ax

d.x1d.x2dx

12

或Ay=2〃-八?Ar

d.xi

/

它的最大絕對(duì)誤差為，=￡星以(2—30)

式中‘一誤差傳遞系數(shù)；

小乂j—直接測(cè)量值的誤差；

△y—間接測(cè)量值的最大絕對(duì)誤差。

函數(shù)的相對(duì)誤為為

5二Ay二ctfAxy3fAx

3xyy3xy

(2—31)

45+@5+...+&)某些函y5

數(shù)誤差的計(jì)算標(biāo)“

①函數(shù)y=x±z絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

由于誤差傳遞系數(shù)/="=+],則函數(shù)最大絕對(duì)誤差3x

3z

△

y=±(Ax|+Az))(2—32)

相對(duì)誤差

5(2—33)

②函數(shù)形式為y=Kx、z、w為變量

二,w

誤差傳遞系數(shù)為：①改

a.xw

oyKx

3zw

3yKxz

函數(shù)的最大絕對(duì)誤差為

Kx

------A(2—

z34)

函數(shù)的最大相對(duì)誤差為

現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差列于2—2中。

［例2-3］用量熱器測(cè)定固體比熱容時(shí)采用的公式C=kaC

Pm(t-t)pH2

I2

式中M—量熱器內(nèi)水的質(zhì)量

m—被測(cè)物體的質(zhì)量

to—測(cè)量前水的溫度

h—放入量熱器前物體的溫度

t2—測(cè)量時(shí)水的溫度

CpH2c—水的熱容，4.187Kj/(kg.-K)

測(cè)量結(jié)果如下：

M=250±0.2gm=62.31±0.02g

to=13.52±O.Ol℃tF99.32±0.04℃

t2=17.79±0.01℃

試求測(cè)量物的比熱容之真值，并確定能否提高測(cè)量精度。

解：根據(jù)題意，計(jì)算函數(shù)之真值，需計(jì)算各變量的絕對(duì)誤差和誤差傳遞系數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)

算，49o=t2—to=4.27℃,0l=ti—12=81.53℃,.

方程改寫(xiě)為C=當(dāng)CH

12

表2-2某些函數(shù)的誤差傳遞公式

誤差傳遞公式

函數(shù)式

最大相對(duì)誤港

最大絕對(duì)誤差點(diǎn)

yr

y=x+x+x

---------——1—3~■―Ay=±(1A.V.1+1AX21+1Axa1)5=Ay/y

y=x+xAy=±(1A%1+1A%1)5=Ay/j

1212

NxAx

y=x.xAy=±(1xAx1+1xAx1)5=-1+)

-j-/XX

12

上好上、

y=xxxAy=±(\xxAxl+\xxAx1+Ixx1)5./A)Ax

5=±(,+2+3)

?3

A.v

y-xnAy=±(nxn-\Ax)5=±(77A)

X

Ax

ry=nx)

Ay二ijx:"4:)n5=±(,rnX

x/犬Ax+xAx、5二AxAx

y=x/x-1+-T)

Ay=±(2ii2)±(

y?XX

--------------------------------------2--------------------------

y=ex5r=±(-

Ay=±|cAx|X

0.4343Illi

y=1g%Ay=±X5r=Ay/y

y=In%Ay=±Ax5,=Ay/y

各變量的絕對(duì)誤差為

AM=0.2gA9=|Ar|+|A/|=0.01+0.01=0.02

Aw=0.02gA9=|Ar|+|AZ|=0.04+0.01=0.05

各變量的誤差傳遞系數(shù)為。21

SC,鼻二4.27X4.187=3.52X10F

《常mO