統(tǒng)計學第九章 列聯(lián)分析

第九章列聯(lián)分析第一節(jié)列聯(lián)表第二節(jié)

分布與

檢驗第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量學習目標1. 解釋列聯(lián)表進行c2

檢驗一致性檢驗獨立性檢驗3. 測度列聯(lián)表中的相關(guān)性數(shù)據(jù)的類型與列聯(lián)分析數(shù)據(jù)定量數(shù)據(jù)(數(shù)值型數(shù)據(jù))定性數(shù)據(jù)(品質(zhì)數(shù)據(jù))離散數(shù)據(jù)連續(xù)數(shù)據(jù)第一節(jié)列聯(lián)表一.列聯(lián)表的構(gòu)造二.列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表

（概念要點）由兩個以上的變量進行交叉分類的頻數(shù)分布表行變量的類別用r

表示，ri

表示第i

個類別列變量的類別用c

表示，cj

表示第j

個類別每種組合的觀察頻數(shù)用fij

表示表中列出了行變量和列變量的所有可能的組合，所以稱為列聯(lián)表一個

r行c

列的列聯(lián)表稱為r

c

列聯(lián)表列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)

（2列聯(lián)表）列(cj

)合計j=1j=1i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合計f11+f21f12+f22n列(cj)行(ri)一個2列聯(lián)表列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)

（r

c

列聯(lián)表的一般表示）列(cj)合計j=1j=2…i=1f11f12…r1i=2f21f22…r2:::::合計c1c2…n列(cj)行(ri)r

行c

列的列聯(lián)表fij

表示第i

行第j

列的觀察頻數(shù)列聯(lián)表

（一個實際例子）一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案68755779279反對該方案32753331141合計10012090110420【例】一個集團公司在四個不同的地區(qū)設有分公司，現(xiàn)該集團公司欲進行一項改革，此項改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調(diào)查方式，從四個分公司共抽取420個樣本單位(人)，了解職工對此項改革的看法，調(diào)查結(jié)果如下表列聯(lián)表的分布觀察值的分布

（概念要點）邊緣分布行邊緣分布行觀察值的合計數(shù)的分布例如，贊成改革方案的共有279人，反對改革方案的141人列邊緣分布列觀察值的合計數(shù)的分布例如，四個分公司接受調(diào)查的人數(shù)分別為100人，120人，90人，110人條件分布與條件頻數(shù)變量X條件下變量Y

的分布，或在變量Y

條件下變量X

的分布每個具體的觀察值稱為條件頻數(shù)觀察值的分布

（圖示）一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案68755779279反對該方案32753331141合計10012090110420行邊緣分布列邊緣分布條件頻數(shù)百分比分布

（概念要點）條件頻數(shù)反映了數(shù)據(jù)的分布，但不適合進行對比為在相同的基數(shù)上進行比較，可以計算相應的百分比，稱為百分比分布行百分比：行的每一個觀察頻數(shù)除以相應的行合計數(shù)（fij

/

ri）列百分比：列的每一個觀察頻數(shù)除以相應的列合計數(shù)（fij

/cj）總百分比：每一個觀察值除以觀察值的總個數(shù)（fij

/n）百分比分布

（圖示）一分公司二分公司三分公司四分公司合計贊成該方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反對該方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合計23.8%28.6%21.4%26.2%100%總百分比列百分比行百分比期望頻數(shù)的分布

（概念要點）假定行變量和列變量是獨立的一個實際頻數(shù)fij

的期望頻數(shù)eij

，是總頻數(shù)的個數(shù)n乘以該實際頻數(shù)fij

落入第i

行和第j列的概率，即期望頻數(shù)的分布

（算例）由于觀察頻數(shù)的總數(shù)為n，所以f11

的期望頻數(shù)e11應為

例如，第1行和第1列的實際頻數(shù)為f11

,它落在第1行的概率估計值為該行的頻數(shù)之和r1除以總頻數(shù)的個數(shù)n，即：r1/n；它落在第1列的概率的估計值為該列的頻數(shù)之和c1除以總頻數(shù)的個數(shù)n，即：c1/n。根據(jù)概率的乘法公式，該頻數(shù)落在第1行和第1列的概率應為期望頻數(shù)的分布

（算例）

根據(jù)上述公式計算的前例的期望頻數(shù)一分公司二分公司三分公司四分公司贊成該方案實際頻數(shù)68755779期望頻數(shù)66806073反對該方案實際頻數(shù)32753331期望頻數(shù)34403037第二節(jié)

分布與

檢驗一.

統(tǒng)計量

檢驗

統(tǒng)計量

統(tǒng)計量

（要點）用于檢驗列聯(lián)表中變量之間是否存在顯著性差異，或者用于檢驗變量之間是否獨立計算公式為

統(tǒng)計量

（算例）實際頻數(shù)(fij)期望頻數(shù)(eij)fij

-

eij(fij

-

eij)2(fij-

eij)2f687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.9730合計：3.0319

檢驗品質(zhì)數(shù)據(jù)的假設檢驗品質(zhì)數(shù)據(jù)比例檢驗獨立性檢驗Z

檢驗一個總體

檢驗Z

檢驗

檢驗兩個以上總體兩個總體一致性檢驗

（要點）檢驗列聯(lián)表中目標變量之間是否存在顯著性差異檢驗的步驟為提出假設H0：P1

=P2

=

…

=Pj

(目標變量的各個比例一致)H1：P1

,

P2

,

…

,

Pj

不全相等

(各個比例不一致)計算檢驗的統(tǒng)計量進行決策根據(jù)顯著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值

2若2

2，拒絕H0；若

2<

2，接受H0一致性檢驗

（實例）提出假設H0：P1

=P2

=

P2

=P4

(贊成比例一致)H1：P1

,

P2

,

P3

,

P4不全相等

(贊成比例不一致)計算檢驗的統(tǒng)計量【例】續(xù)前例，檢驗職工的態(tài)度是否與所在單位有關(guān)？(

0.1)根據(jù)顯著性水平＝0.1和自由度(2-1)(4-1)=3查出相應的臨界值

2=6.251。由于2=3.0319<

2=6.251，接受H0獨立性檢驗

（要點）檢驗列聯(lián)表中的行變量與列變量之間是否獨立檢驗的步驟為提出假設H0：行變量與列變量獨立H1：行變量與列變量不獨立計算檢驗的統(tǒng)計量進行決策根據(jù)顯著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值

2若2

2，拒絕H0；若

2<

2，接受H0獨立性檢驗

（實例）【例】一種原料來自三個不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個不同等級。從這批原料中隨機抽取500件進行檢驗，結(jié)果如下表。檢驗各地區(qū)與原料之間是否存在依賴關(guān)系（0.05)地區(qū)一級二級三級合計甲地區(qū)526424140乙地區(qū)605952171丙地區(qū)506574189合計162188150500獨立性檢驗

（實例）提出假設H0：地區(qū)與原料等級之間獨立H1：地區(qū)與原料等級之間不獨立計算檢驗的統(tǒng)計量根據(jù)顯著性水平＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相應的臨界值

2=9.488。由于2=19.82>

2＝9.448，拒絕H0第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量一.

相關(guān)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)

V

相關(guān)系數(shù)列聯(lián)表中的相關(guān)測量

（一般問題）品質(zhì)相關(guān)對品質(zhì)數(shù)據(jù)(定類和定序數(shù)據(jù))之間相關(guān)程度的測度列聯(lián)表變量的相關(guān)屬于品質(zhì)相關(guān)列聯(lián)表相關(guān)測量的指標主要有

相關(guān)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)V

相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)

（要點）測度22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)相關(guān)程度的一個量對于22列聯(lián)表，

系數(shù)的值在0～1之間

相關(guān)系數(shù)計算公式為

相關(guān)系數(shù)

（原理分析）一個簡化的22列聯(lián)表因素Y因素X合計x1x2y1aba+by2cdc+d合計a+cb+dn

相關(guān)系數(shù)

（原理分析）列聯(lián)表中每個單元格的期望頻數(shù)分別為將各期望頻數(shù)代入

的計算公式得

相關(guān)系數(shù)

（原理分析）將

入

相關(guān)系數(shù)的計算公式得ad等于bc，

=0，表明變量X與Y

之間獨立若b=0

，c=0，或a=0

，d=0，意味著各觀察頻數(shù)全部落在對角線上，此時|

|=1,表明變量X與Y

之間完全相關(guān)列聯(lián)表中變量的位置可以互換，

的符號沒有實際意義，故取絕對值即可列聯(lián)相關(guān)系數(shù)

（要點）用于測度大于22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的相關(guān)程度計算公式為C的取值范圍是0C<1C=0表明列聯(lián)表中的兩個變量獨立C的數(shù)值大小取決于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，并隨行數(shù)和列數(shù)的增大而增大根據(jù)不同行和列的列聯(lián)表計算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較V相關(guān)系數(shù)

（要點）計算公式為

V的取值范圍是0V1

V=0表明列聯(lián)表中的兩個變量獨立

V=1表明列聯(lián)表中的兩個變量完全相關(guān)不同行和列的列聯(lián)表計算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較當列聯(lián)表中有一維為2，min[(r-1),(c-1)]=1,此時V=

、C、V的比較同一個列聯(lián)表，

、C、V的結(jié)果會不同不同的列聯(lián)表，

、C、V的結(jié)果也不同在對不同列聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進行比較時，不同列聯(lián)表中的行與行、列與列的個數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù)列聯(lián)表中的相關(guān)測量

（一個實例）【例】一種原料來自三個不同地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個不同等級。從這批原料中隨機抽取500件進行檢驗，結(jié)果如下表。分別計算系數(shù)、C系數(shù)和V系數(shù)，并分析相關(guān)程度地區(qū)一級二級三