高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題

函數(shù)、不等式型

1、某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價(jià)格x

（單位：元/千克）滿足關(guān)系式丁=，一+100一6）2,其中3今<6,。為常數(shù).已知銷售

x—3

價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

（I）求。的值；

（II）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品

所獲得的利潤最大.

解：(I)因?yàn)閤=5時(shí)，y=ll,所以'I'+IO=11,。=2.

2…

（II）由（I）可知，該商品每日的銷售量》=-----+100-6）2,

x—3

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤

2

./■(X)=(X-3)[——+10(x—6)2]=2+10(x—3)(x-6)2,3<x<6,

x-3

從而，f\x)=10[(x—6)2+2(x—3)(x-6)]=30(%-4)(x-6),

于是，當(dāng)x變化時(shí)，/'（x）,/（x）的變化情況如下表:

X(3,4)4(4,6)

/'（X）+0-

/（X）單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減

由上表可得，x=4是函數(shù)/（X）在區(qū)間（3,6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn),

所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)/（X）取得最大值，且最大值等于42.

答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

2、某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/

輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本,

若每輛車投入成本增加的比例為X（0<%<1）,則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7X,年銷

售量也相應(yīng)增加.已知年利潤=（每輛車的出廠價(jià)一每輛車的投入成本）X年銷售量.

（1）若年銷售量增加的比例為0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成

本增加的比例X應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

（2）年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為歹=3240（--+2x+；）,則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利

潤最大？最大利潤為多少？

解：(1)由題意得：本年度每輛車的投入成本為10x(1+x)；

出廠價(jià)為13x(l+0.7x)；年銷售量為5000x(l+0.4x),........2分

因此本年度的利潤為^=[13x(1+0.7x)-10x(l+x)]x5000x(l+0.4x)

=(3-0.9x)x5000x(l+0.4x)

即：y=-1800x2+1500x+15000(0<x<1),..........6分

Etl-1800x2+1500x+15000>15000,得0<x<』……8分

6

(2)本年度的利潤為

〃X)=(3-0.9X)X3240X(*+2X+|)=3240X(0.9/-4.8X2+4.5X+5)

則f'(x)=3240X(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),……10分

由f(%)=。，解得x=2或x=3,

當(dāng)xe(0,g)時(shí)，/'(x)>0,/(x)是增函數(shù)；當(dāng)xe§,l)時(shí)，/'(》)<0,/(刈是減函數(shù).

.?.當(dāng)x=9時(shí)，/(x)取極大值/'(*)=20000萬元，……12分

99

因?yàn)?(x)在(0,1)上只有一個(gè)極大值，所以它是最大值，……14分

所以當(dāng)x=2時(shí)，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元.……15分

9

3、某民營企業(yè)生產(chǎn)43兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，Z產(chǎn)品的利潤與投資成正比，

其關(guān)系如圖甲，8產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙(注：利潤

與投資單位：萬元).

(I)分別將48兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資X(萬元)的函數(shù)關(guān)系式;

(II)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入48兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這

10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

解：(I)設(shè)投資為X萬元,A產(chǎn)品的利潤為/(X)萬元,B產(chǎn)品的利潤為g(x)萬元.

由題設(shè)/(X)=kxx,g(x)-k24x

由圖知故占

又g(4)=：./2=：

從而/(x)=-x(x>0),g(x)=—Vx(x>0)

44

(II)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則B產(chǎn)品投入10-x萬元,設(shè)企業(yè)利潤為y萬元.

y-f(x)+g(10-x)--x+—710-x(0<x<10)

44

令/=J10-x,則y=1^1+:/=-；(/—g)2+^j(0</<10)

當(dāng)時(shí)/max此時(shí)X=3.75

答：當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)最大利潤為萬元.

4、如圖所示，一科學(xué)考察船從港口。出發(fā)，沿北偏東c角的射線OZ方向航行，而在離

港口而a(a為正常數(shù))海里的北偏東/角的“處有一個(gè)供給科考船物資的小島，其中

tana=；1,cos^=言2.現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)沿海岸線港口。正東m(加>§7。)海

里的B處的補(bǔ)給船，速往小島/裝運(yùn)物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，

并在C處相遇.經(jīng)測算當(dāng)兩船運(yùn)行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時(shí),

這種補(bǔ)給最適宜.

⑴求S關(guān)于取的函數(shù)關(guān)系式S(⑼；

⑵應(yīng)征調(diào)〃，為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜.

【解】⑴以。為原點(diǎn)，08所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則直線OZ方程為

y=3x.............2分

設(shè)點(diǎn)/(/Jo),則X。=713(2sin/?=y[V3a?—j==3a,y0=\l\3acosfi=y[\3a'—f==2a,

即/(3。,2〃)，乂8(m,0),所以直線”的方程為y=3-(x-m).

3a-m

上面的方程與y=3x聯(lián)立得點(diǎn)C(jm6am)..........5分

3m-la3m-la

：.S(m)=\oB-\yc|=............8分

23m-/a3

z、c/、/7、49a214、c49/14、28a2?八

(2)S(m)=a(m---a)H----------4---a>a(2J------F—a)=....12分

39(〃7一卜)3V933

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?一49a、時(shí),即〃2=上141時(shí)取等號，..........14分

373

2

答：S關(guān)于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式；.S(加)=,08|了0|=3竺二(m>-a)

23m-la3

⑵應(yīng)征調(diào)加=上14。處的船只，補(bǔ)給最適宜.............15分

3

5、某生產(chǎn)飲料的企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對產(chǎn)品進(jìn)行促銷.在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量。

3x+l

(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為0='-----(x20).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年

~x+1

固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需要再投入32萬元,若每件售價(jià)為“年平均每

件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的5096”之和.

(1)試將年利潤W萬元表示為年廣告費(fèi)x萬元的函數(shù)；

(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大，最大年利潤為多少？

⑴年生產(chǎn)成本為(32。+3)萬元，年收入為［150%(320+3)+50%x］萬元.

所以少=L(32Q+3—X)=2(32X^^+3—X)=^^^^(XN0)(7分)

22x+12(x+1)

⑵4=(X+1)2+100(x+1)64=50_+2L)《42(12分)

2(x+l)2x+l

當(dāng)山=衛(wèi)7時(shí),等號成立.

2x+l

所以當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí)，年利潤最大為42萬元.(14分)

6、為迎接2010年上海世博會，要設(shè)計(jì)如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左中

右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60000C?M2,四周空白的寬度為10CM,欄與欄之

間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸（單位：cm）,能使整

個(gè)矩形廣告面積最小.

解：設(shè)矩形欄目的高為加，寬為bcm,則時(shí)=20000,.?.6=迎四

a

廣告的高為（a+20）CM,寬為（3b+30）cm（其中a>為6>0）

廣告的面積S=（a+20）（36+30）=30（。+2b）+60600=30（。+叫W）+60600

Q

>30x+60600=12000+60600=72600

當(dāng)且僅當(dāng)a=%竺，即a=200時(shí)，取等號，此時(shí)6=100.

a

故當(dāng)廣告矩形欄目的高為200cm,寬為100a〃時(shí)，可使廣告的面積最小.

7、某地發(fā)生特大地震和海嘯，使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴?，某部門對水質(zhì)檢測后，決定

往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)。已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中

X

^-+2(0<x<4)

釋放的濃度y（毫克/升）滿足y=W（x）,其中/（x）=<,當(dāng)藥劑在水中

-^(x>4)

.x—2

釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫

克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化。

（I）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4,試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天?

（ID如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自

來水達(dá)到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量m的值。

fx+8（0<x<4）

解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，_y=4/（x）=,24----------2分

--U>4）

lx-2

當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化

，當(dāng)0<xW4時(shí)，y=x+8>4,得x=4

24

當(dāng)x>4時(shí)，y=——>4,解得4<x48

,x-2

故自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)5天-----------6分

（2）為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化

即前4天和后3天的自來水達(dá)到最佳凈化

Y

...當(dāng)0<x<4時(shí)，4<用（1+2）《10在0<xW4恒成立，得

IQ10

v在0<xW4恒成立，2?加4匕-----------9分

403

m<------

x+8

10

當(dāng)4<x47時(shí)，在4<xW7恒成立，同理得加=二

x—23

即投放的藥劑質(zhì)量m的值為W------------13分

3

8、某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形,

左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為爭

立方米，且/22尸.假設(shè)該容器的

建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米

建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c

（c>3）千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為V千元.

（1）寫出y關(guān)于尸的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的L

解：⑴由題意可知+/+爭3=爭（/云2r）,即/

不彳——v三2r,則0<尸W2.

,?804

容器的建造費(fèi)用為歹=2;T〃X3+4Q'xc=6萬一（一——尸）+4"r72c,

3r3

即y=160-一+4%）2c,定義域?yàn)閧r|0</<2}.................8分

r

160萬./0,,八一/20

（2）y=----164尸+8〃zc,令y=0,得r=?-----.

r-\c-2

令/=?/———=2,即c=4.5,

nc-2

(1)當(dāng)3<cW4.5時(shí)，J3L>2,當(dāng)0<rW2,/<0,函數(shù)V為減函數(shù)，當(dāng)r=2時(shí)

vc-2

V有最小值；

(2)當(dāng)c>4.5時(shí)，<2,當(dāng)0<r<#g/<0；當(dāng)r>《二^時(shí)4>0,

此時(shí)當(dāng)r=3p2_時(shí)y有最小值...........16分

Vc-2

9、某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為左米的圓.在這個(gè)圓上安裝座

位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有?根直的鋼管相連.經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與

支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為8左元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時(shí)，相鄰兩座

位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為(1024"+20'+2%元。假設(shè)座位等距離分

100

布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y

元。

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當(dāng)左=100米時(shí)，試確定座位的

個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

解：(1)設(shè)摩天輪上總共有〃個(gè)座位，則丫="即〃=",

nx

T/J?廠(10244+20)%?2；：_110?10244+20]

xx100、x100,

定義域|x0<x<勺,...............6分

2x

&￡+10244+20

(2)當(dāng))=100時(shí),令夕=100

X

/(X)=W22+1024G，則f'(x)=10001

+512

xy[x

-1000+512x5

x2

（10分）

2525

當(dāng)》€(wěn)（0,—）時(shí)，f'（x）<0,即/（X）在》€(wěn)（0,—）上單調(diào)減，

1616

2525

當(dāng)xw（—,50）時(shí),f\x）>0,即/（x）在XE（—,50）上單調(diào)增,

1616

為也在％=生時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為絆=64個(gè)。..........

15分

162?

16

三角型

10、如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中是邊長為2“的正方形，周圍是四個(gè)全等

的弓形.已知。為正方形的中心，G為力。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線OG上，弧/。是以P

為圓心、以為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧力。于點(diǎn)H.設(shè)弧的長為/,

AAPH=6,^6（-,―）.

44

（1）求/關(guān)于6的函數(shù)關(guān)系式；

（2）定義比值三OP一為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)

美系數(shù)最大時(shí)，招貼畫最優(yōu)美.證明：當(dāng)角。滿足:

6=tan（。一二）時(shí)，招貼畫最優(yōu)美.

解：（1）當(dāng)（3當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段OG上，/尸=，一；當(dāng)de（工,空）時(shí)，點(diǎn)P在線

42sin。24

段G4上,AP=---=，一;當(dāng)夕=￡時(shí)，AP=a.

sin(7t-0)sin02

綜上所述，AP=2,).2分

sin。44

所以，弧/。的長/=ZP26=四，故所求函數(shù)關(guān)系式為/=四，0e（-,—）.-

sin。sin。44

4分

（2）當(dāng)時(shí)，OP=OG-PG=a--乙=°_竺竺巧；當(dāng)（烏，羽）時(shí)，

42tan0sin024

CC、E」aaflCOS61%〃n.

OG+GH=aH---------=a------=a-------；蘭〃=—H寸,OP=a.

tan(K-0)tan。sin。2

所以，OP=q-^^,0^(^,—)...........6分

sin644

OPsin6-cos。

從而,8分

20

記/巾當(dāng)產(chǎn)，?衿）.

6(cos0+sin0)-(sin0-cos0)

則/'(夕)=

2〃

令/'（。）=°，彳導(dǎo)。（cos。+sing）=sin。一cos。...........10分

因?yàn)橐获疲?，所以M+sin”。，從而"葬器.

口於八?！浮福邸ⅲ跘sing-cos，tan0-1，兀、

顯然6。一,所以。=----------=-------=tan(Z6Z1一一).12分

2cos0+sin0tanO+14

記滿足0=tan（6-；）的6=4,下面證明%是函數(shù)/（。）的極值點(diǎn).

設(shè)8（6）=6（85。+5山6）—肉118—85。）,0e（―,—）.

44

rr37r

則＜e）=6＞（cose-sin6）＜0在?！辏ㄒ?一）上恒成立，

g44

從而g（。）在。€（3次）上單調(diào)遞減.......................14分

44

所以，當(dāng)e嗚，4）時(shí)，g（e）＞o,即/'（o）＞o,〃，）在（：,4）上單調(diào)遞增;

當(dāng)。€（%,,）時(shí)，g（e）＜o(jì),即/'（e）＜o(jì),/（，）在圓§上單調(diào)遞減.

故/的）在，=%處取得極大值，也是最大值.

所以，當(dāng)。滿足。=tan（，-四）時(shí)，函數(shù)/（⑶即2取得最大值，此時(shí)招貼畫最優(yōu)

4/

美.16分

1k如圖，某興趣小組測得菱形養(yǎng)殖區(qū)/BCD的固定投食點(diǎn)”到兩條平行河岸線k4的

距離分別為4m、8m,河岸線人與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)。的距離為1m,乙與該養(yǎng)殖區(qū)的最近

點(diǎn)B的距離為2m.

（1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)”的右側(cè)，若該小組測得N8,0=60。，請據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)

的面積；

（2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)/的兩側(cè)，試在該小組未測得的大小的情況下，估

【解】（1）如圖甲，設(shè)與4所成夾角為a,則力8與72所成夾角為60；a,

3----=6----------

對菱形488的邊長，，算兩次，，得sm夕sin（60?-a））................［分

tana=§

解得4分

S=.sin60。=9(1+—^).sin6(T=426(m2)

所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積'Sina,\tan'a/；……6分

（2）如圖乙，設(shè)/。與4所成夾角為a,4'"=問120°，18。）則與4所成夾角為

(180j+a)

36

對菱形48co的邊長，，算兩次，，得加asin（180-9+a）,................&分

tana=f4

解得2+cos。，...................io分

所以，養(yǎng)殖區(qū)的面積

S=—)-sin^=9(1+——)sin8=9(5+4cos1)

\sma/\tan2a)\sin，),.........................12分

6=9(5+4暇[=一9(5呼+4)=0cos9=-4

由\sm。/Vsi/。/得5,........................14分

經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)8‘"二一號時(shí)，養(yǎng)殖區(qū)的面積黑n=27(n?).................[6分

答:(1)養(yǎng)殖區(qū)的面積為42百；(2)養(yǎng)殖區(qū)的最小面積為27m2.

12、如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m.圓心角為60。的扇形紙板NO3上剪出一個(gè)平行四邊

形MNPQ,使點(diǎn)P在4B弧上，點(diǎn)。在04上，點(diǎn)MN在OB上,設(shè),/BOP=8,平行四

邊形MNPQ的面積為S.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值及相應(yīng)。的值.

解：在中’端=sin湍A0°=言

sinaPQ=]sin(60°-0)QL........-\p

：.SMNPQ^IS^OPQ=OQPQ-sin120°=1sin"sin(60°—0)=乎cos(26/]

、6°MNi

-60。)-外

1J3

V0<0<60°-60°<2^-60°<60°.??]Vcos(2e-60°)Wl???0<5式￥

，0=30°時(shí)，S的最大值為平

13、如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓產(chǎn)上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓尸

和圓。的半徑都是2km,點(diǎn)P在圓0上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形

活動場地.

(1)如圖甲，要建的活動場地為△/?5?,求場地的最大面積；

(2)如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形488,求場地的最大面積.

變化著的幾何背景，變元在哪RM一、AM

兒？想明白了，怎樣表述？l/n'^\、、

【解】(1)如右圖，過s作sK*—；

SH1,RT于H,黑-二/J，'

S^f=-SH-RT............2分

S2

R.1/

由題意，△RST在月牙形公園里，O

RT與圓0只能相切或相離；.....4分

R7左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，

則有RTW4,S//W2,

當(dāng)且僅當(dāng)R7切圓。FP時(shí)(如下左圖)，上面兩個(gè)不等式中等號同時(shí)成立.

此時(shí)，場地面積的最大值為品心尸1*4乂2=4(101?).…6分

2

(2)同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的

弓形，

/￡)必須切圓0于尸，再設(shè)N8為=9,則有

…8分

令y=sin6+sin。cos0,貝!J

y'=cos。+cos0cos0+sin0{-sin0)=2cos20+cos0-\.11分

若_/=0,COS6=；,0=y,

又Oe(0,時(shí)，y>o,。陪,時(shí)

y<o,..............14分

函數(shù)y=sin，+sinOcos，在6=1處取到極大值也是最大值,

故。=］時(shí)，場地面積取得最大值為36(km2).……16分

13、如圖，48是海面上位于東西方向相距

5(3+G)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于/點(diǎn)北偏東

45°,8點(diǎn)北偏西60°的。點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于8點(diǎn)南偏西60°且與8點(diǎn)

相距20G海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到

達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？

解：由題意知AB=5(3+Vi)海里,

NDBA=90°-60°=30°,NDAB=45°,

ZADB=\05°

DBAB

在ArMS中，由正弦定理得

sinNDABsinNZDB

ZB?sinZDZ85（3+百）?sin45。5（3+Vi）?sin45°

sinZ.ADBsin105°sin45°?cos600+sin60°?cos45°

=5G（iy）=ioG（海里），......6分

（1+V3）

2

又ADBC=ZDBA+NABC=30°+（90°-60°）=60°,BC=20>/3海里，

在AD8C中，由余弦定理得

CD-=BD2+BC2-2BD?8C?cosNDBC

=300+1200-2x1073x20^x1=900

2

30

.?.8=30（海里），則需要的時(shí)間/=e=1（小時(shí)）。........14分

30

答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)。15分

數(shù)列型

14、某企業(yè)在第1年初購買價(jià)值為120萬元是設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，

從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年起，每年初M的價(jià)

值是上年初價(jià)值的75%.

(1)求第n年初M的價(jià)值a”的表達(dá)式；

(2)設(shè)4=>+一二+2,若A?大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對

n

M更新，求須在第幾年初對M更新。

解：(I)當(dāng)〃46時(shí)，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為120,公差為-10的等差數(shù)列.

3

《,=120—10(〃-1)=130—10〃;當(dāng)〃26時(shí)，數(shù)列｛4｝是以％為首項(xiàng)，公比為a為等比

數(shù)列，又4=70,所以%=70x(/i；

120-10(〃-1)=130-10〃,〃W6

因此，第〃年初，M的價(jià)值%的表達(dá)式為4=，3?6

an=70x(—)",n>7

(II)設(shè)S”表示數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得

當(dāng)時(shí)，S“=120〃一5〃(〃一1),/“=120—5(〃—1)=125-5〃；

當(dāng)〃27時(shí)，

33n63n6

5n=56+(a7+a8+--+a?)=570+70x-x4x[l-(-)-]=780-210x(-)-

n

因?yàn)椋?｝是遞減數(shù)列，所以｛/“｝是遞減數(shù)列，又

780-210x(2)8-6780—210x(2)9-6

4=------------—=82—>80,4)=-----------------=76—<80,

8864,996

所以須在第9年初對M更新.

15、某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑

面積為2000平方米。已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4000元，從第二層開始,

每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元。

(1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬元，求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；

(總開發(fā)費(fèi)用=總建筑費(fèi)用+購地費(fèi)用)

(2)要使整幢寫字樓每平方米開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？

解：（1）由已知，寫字樓最下面一層的g建筑費(fèi)用為：

4000x2000=8000000（元）=800（萬元）,

從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多：

100x2000=200000（元）=20（萬元），

寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列2分

所以函數(shù)表達(dá)式為：

y=f（x）=800x+N；Dx20+9000=10/+790x+9000（xeN*）；.......6分

（2）由（1）知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為：

g（x）=3xi。。。。：皿ea....................io分

2000xx

=50|x+—+791^50x（27900+79）=6950（元）................12分

當(dāng)且僅當(dāng)》=拜，即x=30時(shí)等號成立.

X

答：該寫字樓建為30層時(shí)，每平方米平均開發(fā)費(fèi)用最低........14分

解析幾何型

16、在綜合實(shí)踐活動中，因制作一個(gè)工藝品的需要,某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)門（該

圖為軸對稱圖形），其中矩形的三邊Z3、BC、由長6分米的材料彎折而

成，8c邊的長為2/分米（14/4二）；曲線40。擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線

2

G是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其解析式為y=cosx-1）,此時(shí)

記門的最高點(diǎn)。到8c邊的距離為似/）；曲線是一段拋物線,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

9

為一，此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為飽?）.

8

（1）試分別求出函數(shù)％?）、（⑴的表達(dá)式;

（2）要使得點(diǎn)O到8C邊的距離最大,應(yīng)選用哪一種

曲線?此時(shí),最大值是多少？

第16題

解：（1）對于曲線G，因?yàn)榍€20。的解析式為y=cosx—l,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（z,cos/-l）......2分

所以點(diǎn)。到的距離為1—cos/,而

3

則h]（/）=（3-/）+（1—coscosZ+4（1<Z<—）.......................4分

o4

對于曲線。2,因?yàn)閽佄锞€的方程為丁=-即丁=-§》2,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

4,

（/,--/2）...........2分

4

所以點(diǎn)。到的距離為一/，而48=。。=3-九所以

9

"⑺=J4.27+3（Iw_13）...................7分

⑵因?yàn)椤?⑺=—1+sin/<0,所以//,（/）在[1,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)/=1時(shí)，九⑺取

得最大值為3—cos1......................9分

又用（。=工（/一3）2+二，而所以當(dāng)/=±時(shí)，"⑺取得最大值為士…11分

9816222

因?yàn)閏os1>cos工=