上海市上海外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校東校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

上外附中2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期中2024.04一、填空題（3′*12）1．函數(shù)的最小正周期是______.2．若，，成等比數(shù)列，則______.3．已知數(shù)列中，，，則通項______.4．等差數(shù)列中，，，若，則______.5．已知等比數(shù)列的前項和，則______.6．方程的實數(shù)解的個數(shù)為______個7．將函數(shù)的圖像向左平行移動個單位長度得到的函數(shù)圖像的解析式是______.8．若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時，的前項和最大9．如圖，是一塊半徑為1的半圓形板紙，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得圖形，然后依次剪去更小的半圓（其直徑為前一被剪掉半圓的半徑）得圖形，，，，，記紙板的面積為，則______．10．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.11．?dāng)?shù)列滿足，，則______.12．將正整數(shù)分解成兩個正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解．如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)，是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2023項和為______.二、選擇題（3′*4）13．若數(shù)列的通項公式為，則這個數(shù)列是一個（）A．以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列B．以2為首項，以為公比的等比數(shù)列C．以為首項，以3為公比的等比數(shù)列D．以為首項，以為公比的等比數(shù)列14．下面關(guān)于等差、等比數(shù)列的說法正確的是：（）A．前項和的數(shù)列是等差數(shù)列B．證明數(shù)列是等比數(shù)列時，只需證明C．若是等差數(shù)列，則，，也一定成等差數(shù)列D．15．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項均為1，且公比，若集合，則集合元素最多有（）個A．2 B．3 C．4 D．516．設(shè)數(shù)列為：1，，，，，，，，，，，，，，，，其中第1項為，接下來2項均為，再接下來4項均為，再接下來8項均為，，以此類推，記，現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)，使得；②數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列．下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題三、解答題（8′+8′+10′+12′+14′）17．已知等差數(shù)列的公差不為零，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項公式；（2）計算18．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間（2）若，求的值域19．已知函數(shù)（1）當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r，求的值（2）當(dāng)時，設(shè)三角形的內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，已知，且，，求的面積．20．設(shè)是數(shù)列的前項和，且是和2的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式（2）記①求數(shù)列的前項和②設(shè)，是否存在常數(shù)，使對恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．21．對于無窮數(shù)列的某一項，若存在，有成立，則稱具有性質(zhì)．（1）設(shè)，若對任意的，都具有性質(zhì)，求的最小值；（2）設(shè)等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為，若對任意的，數(shù)列中的項都具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列的首項，當(dāng)時，存在滿足，且此數(shù)列中恰有一項不具有性質(zhì)，求此數(shù)列的前100項和的最大值和最小值以及取得最值時對應(yīng)的的值．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．?dāng)?shù)列滿足，，則______.【答案】【解析】數(shù)列滿足,,.,即.

設(shè)其前項和為,則故答案為:12．將正整數(shù)分解成兩個正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解．如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)，是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2023項和為______.【答案】【解析】故數(shù)列的前2023項和為二、選擇題13.D14.C15.A16.D16．設(shè)數(shù)列為：1，，，，，，，，，，，，，，，，其中第1項為，接下來2項均為，再接下來4項均為，再接下來8項均為，，以此類推，記，現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)，使得；②數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列．下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】D【解析】對于數(shù)列為:,,

首先判斷命題:①存在正整數(shù),使得;

命題①的否定為:對正整數(shù),都有恒成立,通過驗證,為真命題,當(dāng)時,恒成立,故命題的否定為真命題;故命題①為假命題;

對于②數(shù)列滿足,,,,

,前8項都符合遞減關(guān)系，從第9項起，以后的數(shù)列都為單調(diào)遞減數(shù)列,故②為真命題.

故選:.

三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）(2)20．設(shè)是數(shù)列的前項和，且是和2的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式（2）記①求數(shù)列的前項和②設(shè)，是否存在常數(shù)，使對恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）①②【解析】(1)是和2的等差中項,①當(dāng)當(dāng)②①-②得數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

(2)①

②21．對于無窮數(shù)列的某一項，若存在，有成立，則稱具有性質(zhì)．（1）設(shè)，若對任意的，都具有性質(zhì)，求的最小值；（2）設(shè)等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為，若對任意的，數(shù)列中的項都具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列的首項，當(dāng)時，存在滿足，且此數(shù)列中恰有一項不具有性質(zhì)，求此數(shù)列的前100項和的最大值和最小值以及取得最值時對應(yīng)的的值．【答案】（1）5（2）（3）或時,此數(shù)列的前100項和最小,最小值為.【解析】(1)由題意知,,此時此時當(dāng)此時

綜上知,,即對任意的都具有性質(zhì)時的最小值為5;

(2)由題意可知,等差數(shù)列的前項和為

若對任意的,數(shù)列中的項都具有性質(zhì),則對任意的恒成立,即，解得;

又因為,所以實數(shù)的取值范圍是;(3)對于,

因為都具有性質(zhì),所以,

當(dāng)時,存在,滿足,

所以依次為:,;

由已知不具有性質(zhì),