高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）專題研究一三角函數(shù)的最值與值域(原卷版+解析)

專題研究三角函數(shù)的最值與值域編寫：廖云波題型一y＝Asin(ωx＋φ)型函數(shù)值域【例1-1】已知，，則的最大值為_________.【例1-2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則__________.【練習(xí)1-2】已知向量.(1)若，求x的值；(2)記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.題型二二次函數(shù)模型【例2-1】已知函數(shù)．(1)求；(2)求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x值．【例2-2】函數(shù)，若的最大值和最小值是____．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】函數(shù)的最大值為（

）A． B．3C． D．4【練習(xí)2-2】函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．題型三最值的應(yīng)用【例3-1】已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是________．【例3-2】已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為________．【例3-3】已知圓心角為的扇形的半徑為，是弧上一點，作矩形，如圖所示這個矩形的面積最大值為__________．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知函數(shù)的最大值為2，則使函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______【練習(xí)3-2】已知圓錐的高為1，母線長為，則過此圓錐頂點的截面面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【完成課時作業(yè)（二十九）】

【課時作業(yè)（二十九）】一、單選題1．函數(shù)，的最大值和最小值分別為（

）A．1，-1 B．， C．1， D．1，2．已知函數(shù)，則的值域為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)取最小值時，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知關(guān)于的方程在內(nèi)有解，那么實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．二、填空題6．已知，則的最大值為_______．7．函數(shù)的值域為_________.8．若奇函數(shù)在其定義域上是單調(diào)減函數(shù)，且對任意的，不等式恒成立，則取值范圍是_________.三、解答題9．已知函數(shù)的最小正周期為(1)求的值(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.10．在銳角△中，角A，B，C的對邊分別是．已知．(1)求;(2)求

的取值范圍．11．在中，角A?B?C?對應(yīng)的邊分別為a?b?c，，，(1)求；(2)求的最小值.12．已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)求的最大值．專題研究三角函數(shù)的最值與值域編寫：廖云波題型一y＝Asin(ωx＋φ)型函數(shù)值域【例1-1】已知，，則的最大值為_________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式計算可得；【詳解】解：因為，，所以，其中、，因為，所以.故答案為：【例1-2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)，.(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式將函數(shù)解析式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.（2）由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.(1)解：，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2)解：，，．即函數(shù)在區(qū)間上的值域為．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則__________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式得出，分析可得出，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式可求解.【詳解】利用輔助角公式，其中當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則，所以，所以又，所以故答案為：.【練習(xí)1-2】已知向量.(1)若，求x的值；(2)記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.【答案】(1)或(2)當(dāng)時，有最大值，最大值為；當(dāng)時，有最小值，最小值0【解析】【分析】（1）由可得，從而可求出x的值；（2）由向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式可得，由得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最值(1)∵∴當(dāng)時，當(dāng)時，，又∴∴或(2)∵，∴∵∴∴，∴當(dāng)，即時，有最大值，最大值為；當(dāng)，即時，有最小值，最小值0.題型二二次函數(shù)模型【例2-1】已知函數(shù)．(1)求；(2)求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x值．【答案】(1)(2)，時，或，時，【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)即可得出答案.（2）化簡，結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法即可得出答案.(1).(2)因為，所以當(dāng)，即，時，當(dāng)，即或，時，【例2-2】函數(shù)，若的最大值和最小值是____．【答案】，【解析】【分析】注意sinx+cosx與sinx?cosx之間的關(guān)系，進(jìn)行換元可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)來解．【詳解】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），當(dāng)x∈[0，]時，則t∈[1，]，所以2sinxcosx＝t2﹣1，則y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上單調(diào)遞增，此時y的最大值是，而最小值是3．故答案為：，歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】函數(shù)的最大值為（

）A． B．3C． D．4【答案】C【解析】【分析】令，則，將原函數(shù)變形為，再根據(jù)的取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則原函數(shù)可化為，，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值.故選：C.【練習(xí)2-2】函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式化簡，轉(zhuǎn)化成一個二次型的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，令，則．因為在上單增，所以當(dāng)時，．故選：C．題型三最值的應(yīng)用【例3-1】已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先分兩種情況討論，，，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】顯然，，分兩種情況：若，當(dāng)時，，因函數(shù)在區(qū)間的最小值為，所以，解得若，當(dāng)時，，因函數(shù)在區(qū)間的最小值為，所以，解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【例3-2】已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】利用三角換元法，再用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.【詳解】因為，所以令，則，所以的最大值為.故答案為：【例3-3】已知圓心角為的扇形的半徑為，是弧上一點，作矩形，如圖所示這個矩形的面積最大值為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查解三角在平面幾何的應(yīng)用，由三角形的知識易得，由三角函數(shù)公式化簡以及三角函數(shù)的最值可得答案．【詳解】解：設(shè)，扇形的半徑為，圓心角為，所以，，所以矩形面積，，；當(dāng)即即為弧的中點時，取最大值.故答案為：.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知函數(shù)的最大值為2，則使函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______【答案】##【解析】【分析】結(jié)合輔助角公式先求出，函數(shù)化簡為，取得最值時由整體法得，要滿足題設(shè)條件，只需滿足當(dāng)時，對應(yīng)取值即可.【詳解】，因為，，故，原式為，當(dāng)取到最大值時，，當(dāng)，取得前兩次最大值時，分別為0和1，時，，，此時需滿足，解得.故答案為：【練習(xí)3-2】已知圓錐的高為1，母線長為，則過此圓錐頂點的截面面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)圓錐的高和母線，求出頂角范圍，結(jié)合面積公式可得最大值.【詳解】如圖是圓錐的軸截面，由題意母線，高，則，是銳角，所以，于是得軸截面頂角，設(shè)截面三角形的頂角為，則過此圓錐頂點的截面面積，當(dāng)兩條母線夾角為時，截面面積為為所求面積最大值，故選：D.【完成課時作業(yè)（二十九）】

【課時作業(yè)（二十九）】一、單選題1．函數(shù)，的最大值和最小值分別為（

）A．1，-1 B．， C．1， D．1，【答案】D【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【詳解】由題設(shè)，，故，所以最大值和最小值分別為1，.故選：D2．已知函數(shù)，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：令，則函數(shù)為，，所以，所以的值域為，故選：B3．若函數(shù)取最小值時，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡整理，得到輔助角與的關(guān)系，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析函數(shù)的最值，計算正弦值即可.【詳解】，其中，因為當(dāng)時取得最小值，所以，故.故選：B.4．函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】令，因為，所以，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時恰有兩個最小值點，所以有，因為，所以，故選：A5．已知關(guān)于的方程在內(nèi)有解，那么實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】可得在內(nèi)有解，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，令，，則，所以，解得.故選：C.二、填空題6．已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】消元，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【詳解】，，時，取到最大值，故答案為：．7．函數(shù)的值域為_________.【答案】【解析】【分析】令，函數(shù)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由于，令，則，于是函數(shù)化為，而，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，當(dāng)時，函數(shù)取最大值，故值域為.故答案為：.8．若奇函數(shù)在其定義域上是單調(diào)減函數(shù)，且對任意的，不等式恒成立，則取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，脫去法則“f”，再利用含的二次函數(shù)求解作答.【詳解】因奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，，令，而，因此當(dāng)時，，即有，所以取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及求含正(余)的二次式的最值問題，可以換元或整體思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間[-1,1]或其子區(qū)間上的最值求解.三、解答題9．已知函數(shù)的最小正周期為(1)求的值(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)1(2)最大值為；最小值為【解析】【分析】（1）將函數(shù)化簡，根據(jù)最小正周期即可得解；（2）整體考慮，，即可得解.(1)由三角函數(shù)公式化簡可得：因為的最小正周期，解得.(2)由（1）知，當(dāng),即時,取得最大值是;當(dāng),即時,取得最小值是.在區(qū)間的最大值為，最小值為10．在銳角△中，角A，B，C的對邊分別是．已知．(1)求;(2)求

的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解角即可；（2）利用正弦定理邊化角，再利用兩角差的正弦公式恒等變形，根據(jù)△為銳角三角形及（1）的結(jié)論求出角的范圍，最后利用正弦三角函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可.(1)在△中由正弦定理得,由余弦定理得，∵，∴；(2)設(shè)△外接圓半徑為，，∵△為銳角三角形，∴，即，∴，∴，∴，即.11．在中，角A?B?C?對應(yīng)的邊分別為a?b?c，，，(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合已知條件可得，從而可求出，再利用兩角和的正弦公式可求得答案，（2）由（1）可求出，從而可得，進(jìn)而可求出其最小值(1)由正弦定理