高一數(shù)學(xué)課堂抄重點(diǎn)講義(人教A版2019必修第二冊(cè))6.2.1向量的加法運(yùn)算(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

6.2.1向量的加法運(yùn)算向量加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法則作法：作法：已知向量、,在平面上任取一點(diǎn)A,作,,作向量,則向量叫做向量與的和(或和向量),記作+,即.這種求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.CCAAAAa+bbabbabaaB B注：兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量三角形法則規(guī)律：作平移,首尾連，由起點(diǎn)指終點(diǎn)例1．如圖，已知向量，，求作向量．（用三角形法則）舉一反三1．如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．2．如圖，已知向量，，不共線，作向量++．向量加法的平行四邊形法則已知向量、,在平面上任取一點(diǎn)A,作,,如果A、B、D不共線,則以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量=+=+.這種求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的平行四邊形法則.CC+OAB注：作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線例2．如圖，已知向量，，求作向量．舉一反三1．請(qǐng)用平行四邊形法則作出，.2．設(shè)向量表示“向東走3nmile”，向量表示“向北偏東30°走3nmile”，則表示什么？三、共線向量的加法ABABC=+ABABC=－和向量的長(zhǎng)度等于用較長(zhǎng)的模減去較短的模，方向取模較長(zhǎng)的向量的方向。例3.如圖，已知向量，，求作向量．舉一反三如圖①所示，求作向量；四、向量加法的多邊形法則將n個(gè)向量首尾相接，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。即為這n個(gè)向量的和向量。注：若平面內(nèi)有n個(gè)首尾相接的向量,構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,那么這n個(gè)向量的和是例4．（1）如圖（1），在中，計(jì)算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計(jì)算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.舉一反三如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)；(2)(3)．五、向量加法的交換律和結(jié)合律1、交換律：+=+，如圖，由三角形法則可知向量的加法滿(mǎn)足交換律。++ABCD2、結(jié)合律：如圖：（+）+=，+（+）=，所以（+）+=+（+）++ABCD++由上圖還可知，++=++=，可見(jiàn)將三個(gè)向量首尾相加，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)，多個(gè)向量相加，同理可得結(jié)果。++可見(jiàn)，三角形法則不僅適用于兩個(gè)向量相加，同樣用于多個(gè)向量相加，同時(shí)也說(shuō)明三角形法則的實(shí)質(zhì)是首尾相接，而不是一定表示向量的有向線段要構(gòu)成三角形。例5．化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．舉一反三化簡(jiǎn)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.拓展創(chuàng)新例7、如圖:(1)以A為始點(diǎn),作出;(2)以B為始點(diǎn),作出;(3)假設(shè)為單位向量,寫(xiě)出,和.鞏固提升一、單選題1．點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則＋＋等于（）A． B．C． D．02．在矩形ABCD中，，，則向量的長(zhǎng)度為（）A． B． C．12 D．63．如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O、P、Q、E、F、G、H，則（）A． B． C． D．4．已知向量，且，則向量的方向（）A．與向量的方向相同 B．與向量的方向相反C．與向量的方向相同 D．不確定二、多選題5．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下述結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．6．（多選）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量B．向量與的和是以的始點(diǎn)為始點(diǎn)，以的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量C．D．向量與都是單位向量，則三、填空題7．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力與，若當(dāng)它們的夾角為時(shí)合力大小為，則當(dāng)它們的夾角為時(shí)合力大小為_(kāi)_____．8．下列命題中正確的是______．①空間向量與是共線向量，則，，，四點(diǎn)必在一條直線上；②單位向量一定是相等向量；③相反向量一定不相等；④四點(diǎn)不共線，則為平行四邊形的充要條件是，⑤模為0的向量方向是不確定的．四、解答題9．如圖，已知和點(diǎn)P，請(qǐng)以點(diǎn)P為起點(diǎn)，分別在圖中作出下列向量：(1)與相等的向量；(2)與互為相反向量的向量.10．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：6.2.1向量的加法運(yùn)算向量加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法則作法：作法：已知向量、,在平面上任取一點(diǎn)A,作,,作向量,則向量叫做向量與的和(或和向量),記作+,即.這種求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.CCAAAAa+bbabbabaaB B注：兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量三角形法則規(guī)律：作平移,首尾連，由起點(diǎn)指終點(diǎn)例1．如圖，已知向量，，求作向量．（用三角形法則）【解析】將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用三角形法則或平行四邊形法則作出.【詳解】作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（圖（1）），作，，則．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三1．如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．【答案】見(jiàn)解析【解析】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)或?qū)蓚€(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用三角形法則或平行四邊形法則作出.【詳解】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)，再首尾相接，可得；（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.2．如圖，已知向量，，不共線，作向量++．【答案】答案見(jiàn)詳解.【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則即可求解.【詳解】由向量加法的三角形法則，++如圖，向量加法的平行四邊形法則已知向量、,在平面上任取一點(diǎn)A,作,,如果A、B、D不共線,則以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量=+=+.這種求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的平行四邊形法則.CC+OAB注：作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線例2．如圖，已知向量，，求作向量．【解析】【分析】根據(jù)，的位置關(guān)系，通過(guò)平移，使其起點(diǎn)或終點(diǎn)與的起點(diǎn)重合，再由平行四邊形法則、向量共線的性質(zhì)，即可畫(huà)出.【詳解】平移，使其起點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再應(yīng)用平行四邊形法則，作出，如下圖示：舉一反三1．請(qǐng)用平行四邊形法則作出，.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，，再由向量加法的平行四邊形法則計(jì)算，即可求解.【詳解】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，，如圖，以，為鄰邊作平行四邊形，再以，為鄰邊作平行四邊形，則，.2．設(shè)向量表示“向東走3nmile”，向量表示“向北偏東30°走3nmile”，則表示什么？【答案】“向東偏北30°走nmile”.【解析】【分析】利用平面向量加法的幾何意義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法畫(huà)出，結(jié)合題設(shè)判斷其所代表的的實(shí)際意義.【詳解】由題設(shè)，使、的起點(diǎn)相同，得如下示意圖，，則為三、共線向量的加法ABABC=+ABABC=－和向量的長(zhǎng)度等于用較長(zhǎng)的模減去較短的模，方向取模較長(zhǎng)的向量的方向。例3.如圖，已知向量，，求作向量．【詳解】平移，使其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)作，如下圖示：舉一反三如圖①所示，求作向量；【詳解】解：（1）首先作向量，然后作向量，則向量，如圖③所示.四、向量加法的多邊形法則將n個(gè)向量首尾相接，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。即為這n個(gè)向量的和向量。注：若平面內(nèi)有n個(gè)首尾相接的向量,構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,那么這n個(gè)向量的和是例4．（1）如圖（1），在中，計(jì)算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計(jì)算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）（3），見(jiàn)解析【解析】根據(jù)向量的加法法則直接對(duì)各式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）（2）.（3）.證明如下：【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)；(2)(3)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行求解﹒(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC是以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對(duì)角線，所以．(2)因?yàn)榕c方向相同且長(zhǎng)度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度的2倍，因此，可用表示，即．(3)因?yàn)榕c是一對(duì)相反向量，所以．五、向量加法的交換律和結(jié)合律1、交換律：+=+，如圖，由三角形法則可知向量的加法滿(mǎn)足交換律。++ABCD2、結(jié)合律：如圖：（+）+=，+（+）=，所以（+）+=+（+）++ABCD++由上圖還可知，++=++=，可見(jiàn)將三個(gè)向量首尾相加，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)，多個(gè)向量相加，同理可得結(jié)果。++可見(jiàn)，三角形法則不僅適用于兩個(gè)向量相加，同樣用于多個(gè)向量相加，同時(shí)也說(shuō)明三角形法則的實(shí)質(zhì)是首尾相接，而不是一定表示向量的有向線段要構(gòu)成三角形。例5．化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.（2）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.（3）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.(1).(2).(3).舉一反三化簡(jiǎn)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（3）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（4）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（5）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.拓展創(chuàng)新例7、如圖:(1)以A為始點(diǎn),作出;(2)以B為始點(diǎn),作出;(3)假設(shè)為單位向量,寫(xiě)出,和.【答案】(1)如圖所示.(2)如圖所示.(3),,.【解析】(1)根據(jù)向量的性質(zhì)平移向量至處首尾相連即可.(2)根據(jù)向量的性質(zhì)平移向量至處首尾相連即可.(3)根據(jù)圖像直接計(jì)算即可.【詳解】(1)將起點(diǎn)移至,再將起點(diǎn)移至的終點(diǎn),再連接與的終點(diǎn)即可得.(2)將起點(diǎn)移至,再將起點(diǎn)移至的終點(diǎn),再將起點(diǎn)移至的終點(diǎn),再連接與的終點(diǎn)即可得.(3)為單位向量，所以圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，由(1)有,，由(2)有.鞏固提升一、單選題1．點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則＋＋等于（）A． B．C． D．0【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的加法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故選：A.2．在矩形ABCD中，，，則向量的長(zhǎng)度為（）A． B． C．12 D．6【答案】B【解析】【分析】結(jié)合向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋缘拈L(zhǎng)度為的模的2倍．又，所以向量的長(zhǎng)度為故選：B3．如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O、P、Q、E、F、G、H，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，所以，所以；故選：C4．已知向量，且，則向量的方向（）A．與向量的方向相同 B．與向量的方向相反C．與向量的方向相同 D．不確定【答案】A【解析】【分析】分別在和方向相同和相反兩種情況下，結(jié)合模長(zhǎng)大小關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】若和方向相同，則它們的和的方向應(yīng)該與的方向相同；若和方向相反，而的模大于的模，則它們的和的方向與的方向相同.綜上所述：向量的方向與向量的方向相同.故選：A.二、多選題5．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下述結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算、相反向量、中線的向量表示，重心的性質(zhì)分別計(jì)算求解.【詳解】由D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；由,故B錯(cuò)誤；因?yàn)?故C正確；因?yàn)?故D正確.故選：CD6．（多選）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量B．向量與的和是以的始點(diǎn)為始點(diǎn)，以的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量C．D．向量與都是單位向量，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】?jī)蓚€(gè)向量的和差運(yùn)算結(jié)果都是是一個(gè)向量，所以A正確；兩個(gè)向量的加法遵循三角形法則，只有當(dāng)首尾相連時(shí)才成立，故B錯(cuò)誤；任何向量與相加都得其本身，故C正確；兩個(gè)單位向量的方向沒(méi)有確定，當(dāng)它們方向相同時(shí)才成立，故D錯(cuò)誤；故選：BD三、填空題7．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力與，若當(dāng)它們的夾角為時(shí)合力大小為，則當(dāng)它們的夾角為時(shí)合力大小為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先由已知根據(jù)平行四邊形法則求出分力的大小，當(dāng)夾角為120°時(shí)，再根據(jù)三角形法則求出合力的大?。驹斀狻繉?duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力，，當(dāng)它們的夾角為，合力的大小為時(shí)，由平行四邊形法則可知，這兩個(gè)力的大小都是，當(dāng)它們的夾角為時(shí)，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為．故答案為：．8．下列命題中正確的是______．①空間向量與是共線向量，則，，，四點(diǎn)必在一條直線上；②單位向量一定是相等向量；③相反向量一定不相等；④四點(diǎn)不共線，則為平行四邊形的充要條件是，⑤模為0的向量方向是不確定的．【答案】④⑤【解析】【分析】根據(jù)