高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (九)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（9）

一、單項選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.在四面體S-ABC中，SA=BC,AB=AC=SB=SC=2,則此四面體體積的最大值為

A.1B.2C.照D.”

32727

2.已知點(diǎn)A,直線/,平面a,以下命題表達(dá)正確，且是真命題的個數(shù)（）

①4Cla=>Aia（2）AGI,I&a=>A&a

③AgI,，<ta=>4Ea④ZeI,4￡a=，<ta

A.1B.2C.3D.4

3.如圖所示，在△ABC中，AB=BC=2,4WC=120。,若平面ABC外的點(diǎn)P和

線段AC上的點(diǎn)。，滿足PC=￡M,PB=BA,則四面體PBC￡>的體積的最大值為

4.已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球（與四個面都相切）表面積為16兀，則其底面邊長為（）

A.12B.18C.6V3D.473

5.圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖的中心角為?；《?，過圓錐頂點(diǎn)的截面中，面積的最大值為2,

則。的取值范圍是

A.[V2TT,2TT）B.\n,yf2n}

C.{V27T}D.[y,7T）

6.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20,要使其體積最大，則其高為（）

A.這B.100C.20D.v

33

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

7.如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH,是異面直線的圖

形的序號為（）

三、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

8.在長方體中力BCD-AiBiGDi，AB=AD=y[3,AA1=1，面對角線4B上存在一點(diǎn)P,使得4P+

5P取得最小值，則此最小值為.

9.棱長為2的正方體的頂點(diǎn)在同一個球上，則該球的表面積為.

10.正方體ABCD-4/iGDi中，E是棱CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC/1內(nèi)的

動點(diǎn)，且.“F〃平面QAE,若正方體ABCD-AiBiGA的棱長是2,

則F的軌跡被正方形BC&B1截得的線段長是.

A

11.在三棱錐S-ABC中，AB1AC,AB=AC=SA,SA_L平面ABC,。為8c中點(diǎn)，則異面直線

AB與SD所成角的正弦值為.

12.已知點(diǎn)P,A,B,C均在表面積為817r的球面上，其中PAJL平面ABC,zBAC=30°,AC=V3AB.

則三棱錐P-ABC的體積的最大值為.

設(shè)正方體ABCD-41B1C1D1的棱長為2,動點(diǎn)E,尸在棱兒當(dāng)上，動點(diǎn)尸、。分別在棱40、CD

上，若EF=1,AAE=x,DQ=y,DP=z,（x,y,z>0）,則下列結(jié)論中正確的是.

①EF〃平面DPQ；

②三菱錐P-EFQ的體積與y的變化有關(guān)，與x、z的變化無關(guān)；

③異面直線EQ和2劣所成角的大小與x、y、z的變化無關(guān).

13.斜線OA與平面a成15。角，斜足為。，4為4在a內(nèi)的射影，B為OA的中點(diǎn)，/是a內(nèi)過點(diǎn)。的

動直線.若/上存在點(diǎn)匕，P2使乙APiB=乙也=30°,則鬻的最大值是,此時二面

角4-P1P?的平面角的正弦值是?已知正方體力BCD-48傳1。1的棱長為2,M為

CG的中點(diǎn)，若AM1平面a,且86平面a,則平面a截正方體所得截面的周長為.在

正方體ABCD-4B1GD1中，E為棱CD上一點(diǎn)，且CE=2DE,F為棱A4的中點(diǎn)，且平面BEF與

DDi交于點(diǎn)G,則BiG與平面ABCD所成角的正切值為.已知

正四棱錐的底面邊長為4c〃z,側(cè)面積為24cm2,則該四棱錐的體積是

cm3.如圖，在棱長為3的正方體ABC。一48道1。1中，點(diǎn)尸

是平面4/G內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足|DP|+IPBJ=2+g，則直線

BiP與直線ZD1所成角的余弦值的取值范圍為.

14.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為1的圓柱與半徑為1的半

球?qū)佣?，在該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且小圓柱體

的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為

四、解答題(本大題共U小題，共132.0分)

15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，△PAD為等邊三角形，平面PAO,平面PCD

(1)證明：平面平面ABCQ；

(2)若4B=2,。為線段的中點(diǎn)，求三棱錐Q-PC。的體積.

16.如圖，已知正三棱柱ABC—A/iG的每一條棱長均為2,例為棱A1Q上的動點(diǎn)

(1)當(dāng)M在何處時，BG〃平面MBiA,并證明你的結(jié)論；

(2)若直線4例與平面44BB1所成的角為30°,求三棱錐&一〃44的體積。

17.如圖，已知三棱錐。一ABC,DC=DA=AB=2BC,ACLBC,平面ABDL平面CBD，M是

BO中點(diǎn).

D

(1)證明：BC工平面MAC;

(2)求直線BO與平面ABC所成的角的正弦值.

18.如圖所示，四邊形EFG/7為四面體A8CQ的一個截面，若四邊形

EFG”為平行四邊形.

(1)求證：AB〃平面EFG”；

(2)若4B=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.

19.如圖，菱形4BCC中，/.ABC=60°,E為C￡)中點(diǎn)，將△力DE沿AE折起使得平面2DEJ■平面

ABCE,BE與4c相交于點(diǎn)O,〃是棱OE上的一點(diǎn)且滿足CH=2HE.

(1)求證：0H〃平面BCD：

(2)求二面角4-BC-。的余弦值.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形48C。是邊長為2的正方形，PA=PD=6,E為P4

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PQ上，EF_L平面PC。，M在QC的延長線上，且=

A

//二??：》D

點(diǎn):二二

(1)證明：EF〃平面尸8M.

(2)過點(diǎn)C作8。的平行線,與直線AB相交于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)。在線段CG上運(yùn)動時,二面角E-DQ-

A能否等于60。？請說明理由.

21.如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，N4DC==》F為PA的中點(diǎn),

PD=V2,AB=AD=^CD=1,四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)M

(1)求證：AC〃平面DEF；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值;

(3)在線段EF上是否存在一點(diǎn)。，使得BQ與平面BCP所成角的大小為弓？若存在，求出FQ的長;

若不存在，請說明理由.

22.如圖，由直三棱柱ABC-AiBC和四棱錐。一BBiQC構(gòu)成的幾何體中，^BAC=90°,AB=

1,BC=BB、=2,DC】=DC=V5>平面CC］。1平面ACG4.

D

(I)M為三角形DCCi內(nèi)(含邊界)的一個動點(diǎn)，且4MJ.0G，求M的軌跡的長度;

(口)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線。P與平面8占。所成角的正弦值為丑？若存在，求案的

4DC

值；若不存在，說明理由.

23.如圖，由直三棱柱ABC-和四棱錐。一BBi/C構(gòu)成的幾何體中，Z.BAC=90°,AB=

l.BC=BBi=2,DC!=DC=遮，平面CG。J_平面

(1)M為三角形DCG內(nèi)(含邊界)的一個動點(diǎn)，且4M1DG，求M的軌跡的長度；

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線DP與平面所成角的正弦值為色？若存在，求整的

4oC

值；若不存在，說明理由.

24.如圖甲所示，BO是梯形ABC。的高，^BAD=45°,OB=BC=1,OD=30A,將梯形ABC。沿

。8折起得到如圖乙所示的四棱錐P-OBCD,使得PC=V3.

圖甲

圖乙

⑴在棱叩上是否存在一點(diǎn)凡使得CF〃平面P08?若存在，請求出PF的值：若不存在，請

說明理由；

(2)點(diǎn)E是線段A3上一動點(diǎn)，當(dāng)直線CE與。尸所成的角最小時，求平面E8C與平面EC￡＞的夾

角的余弦值.

25.如圖，在三棱柱4BC-41B1G中，BBi_L平面ABC,ABAC-，AC=AB=AAr,E是BC

的中點(diǎn).

(1)求證：4EJL&C；

(2)求異面直線AE與41c所成的角的大小;

(3)若G為GC中點(diǎn)，求二面角C-4G-E的正切值.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題借助于求四面體的體積考查空間中的垂直關(guān)系，其關(guān)鍵是將四面體拆分成兩個四面體，把整個

四面體的體積表示出來后求最大值,畫出圖形，知S41面BCD,然后通過%_48C=^A-BCD+%-BCD求

出整個四面體體積，然后通過函數(shù)求導(dǎo)求出體積最大值.

解：如圖，

44

四面體S-BCD中，取SA中點(diǎn)D,連接BD,CD,VAABS,&ACS為等腰三角形，二BD1SA.CD1S4,

SAJL面BCD,則%-4BC=^A-BCD+Vs.BCD，設(shè)S力=BC=2,x9則=CD=V4—,可得S4BCO=

x<4-2x2.則%-48C=%-BCD+%_BCD=g,2尤?x，4-2"=|%2,4-2/（0<X<令

/（x）=|x2V4-2x2,則尸（久）=黯鬻，則f（x）在（0,卓）上單調(diào)遞增，在（管,夜）上單調(diào)遞減,

故/（乃在尤=竽上取得極大值，即X=￥，四面體體積取得最大值。最大值為%TBC=

|/V=即=|x（竽）晨［4_2>（甯2=臂，故選D

2.答案：。

解析：

本題考查點(diǎn)線面間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目.

解：①46，，/<ta=>A￡a,故正確.

@Ael,Iea=>A&a,故正確.

③力仁心Ia=>Aa故正確.

④A6，，Aa=>Ia,故正確.

故選。.

3.答案：B

解析：

本題考查體積最大值的計算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于難題.

由題意，AABDmAPBD,可以理解為APB。是由△ABD繞著8。旋轉(zhuǎn)得到的，對于每段固定的AO,

底面積BCD為定值，要使得體積最大，APB。必定垂直于平面ABC,此時高最大，體積也最大.

解：由題意可知，三△PBD,可以看成是AABD繞8。軸旋轉(zhuǎn)形成的.

點(diǎn)D在邊AC上每選定一個位置，則底面△BC。的面積就為定值,此時，當(dāng)平面PBD垂直于底面BCD

時，四面體P3C。的體積就取最大值.

此時過點(diǎn)P作8。的垂線，則該垂線即為三棱錐P-BCD的高，且高等于△ABC中8。邊上的高線

AE,如圖所示:

在4ABC中，AB=BC=2,/.ABC=120°,則4c=2我.

設(shè)A￡)=x(0<x<2?則S?BCD=匏。?C￡>sin30°=1x2(2>/3-x)x1=V3-f.

在44BC中，由余弦定理,可得BD=V22+%2-2x2xcos30~°=J(x-V3)2+1-

vS^ABD=IX2xsin300=^BD-AE,

AE=「J一

J(x-V3)2+1,

???四面體PBCD的體積V=2"coME丑陋-)向念=

(x-V3)2-3I2A?

一—6&二W)z+；設(shè)伍=J(久一百)2+1(1Wm<2)，則'=一登=一￡+茄(1Sm<2).

?.?函數(shù)|/=一￡+5在口,2）上單調(diào)遞減,

???當(dāng)m=l,即％=百，即點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)時,

^二一三+左取得最大值，最大值為％ax=—：+|=a

o57711OoZ

故選民

4.答案：A

解析：

本題考查內(nèi)切球，解決本題的關(guān)鍵在于計算出錐體的體積與表面積，并利用等體積法構(gòu)建等式求解,

考查計算能力，屬于中等題.

設(shè)正三棱錐的底面邊長為2m計算出該正三棱錐的體積丫以及表面積S,并計算出內(nèi)球的半徑r,

利用等體積法5Sr=V得到關(guān)于a的方程，求出a即可得出答案.

解：如下圖所示，

設(shè)正三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為r,則47療2=16zr,得丁=2.

設(shè)該正三棱錐P—ABC的底面邊長為2“，則其底面積為fx(2a)2=V3a2.

該三棱錐的體積為U=|xV3a2x6=2V3a2.

過點(diǎn)P作PQ，平面ABC,垂足點(diǎn)為點(diǎn)Q,

則點(diǎn)。為△ABC的中心，

???PQ，平面ABC,QMu平面ABC,

APQ1QM,

CA八AB2a4y/3向

易知，24<2=^7=逅=丁%則4Q=o^a，且4MAQ=30。，

T3

所以，QM="Q=會，

由勾股定理得PM=y/PQ2+QM2=

PA=PB,。為A3的中點(diǎn)，

???PM1AB,

aVa8

則4PAB的面積為SAP.B=|/IB.PM=y°,

所以，正三棱錐P—ABC的表面積為S=3x翌\；'°8+V3a2=V3a(Va2+108+a),

由等體積法可得:xSr=V,即(必7n而+a)x2=2百。2,解得a=6.

因此，該正三棱錐的底面邊長為12.

故選A.

5.答案：A

解析:

本題考查圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、表面積和體積.

設(shè)軸截面的中心角為2a,底面圓的半徑為r,由條件可知，

—a<E.siin=?=]=>r2\/2，利用0=邳^》>即可求出結(jié)果.

42I22/2

解：設(shè)軸截面的中心角為2a,底面圓的半徑為r,

由條件可知：

所以sine-1=>r)\/2

I22

則。=~7~2-嚀"\用開=>y/27TW。<2?r.

故選A.

6.答案：A

解析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，圓錐的體積，是中檔題.

設(shè)出圓錐的高x,求出底面半徑，推出體積的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積取最大值時的高即可.

解：設(shè)圓錐的高為X,則底面半徑為，202一萬2

其體積為V=：兀%(2。2一刀2)(0<x<20),V'=：n(400—3/),

令v，=0,解得/=學(xué)，應(yīng)=一竽(舍去).

當(dāng)0<x<型立時，V'>0；當(dāng)皿<x<20時，片<0;

33

...當(dāng)》=空3時，丫取最大值.

3

故選A.

7.答案：BD

解析：

本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

分別由圖可判斷A中GH與MN平行；圖8中的G”與MN異面；圖C中G”與MN相交；圖。中

GH與MV異面.

解：異面直線的判定定理：“經(jīng)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面

直線.”

根據(jù)異面直線的判定定理可知：在圖8。中，直線G4、是異面直線；

在圖A中，由G、M均為棱的中點(diǎn)可知：GH//MN；

在圖C中，rG、M均為棱的中點(diǎn)，

.,?四邊形GMN”為梯形，則GH與MN相交.

故選：BD.

8.答案：V7

解析：

本題考查兩線段長的和的最小值的求法，考查長方體的結(jié)構(gòu)特征、空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

把對角面為BCD1繞旋轉(zhuǎn)至平面使其與AAAiB在同一平面上，連接4劣并求出，就是最

小值.

解：把對角面41BCD1繞4道旋轉(zhuǎn)至平面ABB1人,使其與在同一平面上，連接45，交4窗于

點(diǎn)P,此時4P+01P取得最小值.

在4中,AA1=1,A1D1—V3,Z.AA^Dy=Z-AAIB+90°=150°,

則AP+￡>iP的最小值為A。］，12+(4『-2X1x瓜xcu?15()-?

故答案為V7.

9.答案：Y2.it

解析：解：???棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，

???球半徑R=越=遮，

2

???球的表面積S=4兀（國）2=127r.

故答案為：12兀.

由棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，知球半徑R=V5,由此能求出球的表面積.

本題考查球的表面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

10.答案:V2

解析:

本題給出正方體中側(cè)面BCGB1內(nèi)動點(diǎn)/滿足&F〃平面QAE,求尸的軌跡被正方形BCC1為截得的

線段長，著重考查了正方體的性質(zhì)，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).

設(shè)平面4/E與直線8c交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn).分別取名8、8道1的中點(diǎn)M、

N,連接&M、MN、4N,可證出平面4MN〃平面從而得到&F是平面&MN內(nèi)的直線.由

此得到尸的軌跡被正方形BCG/截得的線段是線段MN.

解：設(shè)平面4D1E與直線8c交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為8c的中點(diǎn),

分別取8$、/的的中點(diǎn)M、N,連接為M、MN、&N,則

?:A\M“D、E,&MC平面CiAE,u平面.AE,

A4M〃平面DiAE.同理可得MN〃平面DiAE,

MN是平面&MN內(nèi)的相交直線，

.??平面4MN〃平面A4E,

由此結(jié)合&F〃平面D/E,

??.直線力/u平面&MN,

F的軌跡被正方形BCGBi截得的線段是線段MN.

F的軌跡被正方形BCG/截得的線段長MN=V2.

故答案為：V2.

11.答案：與

解析：

本題通過建系，用向量方法求異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.

本題也可用幾何法，通過作出異面直線所成的角解三角形求解，難度差不多.

解：以A2為x軸，AC為y軸，AS為z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)48=1,則。的坐標(biāo)為（|彳,0）,所

以4B=（1,0,0）,SO=（后,一表1），由設(shè)異面直線AB與S。所成角為0,則

故答案為縹

12.答案：

O

解析：

本題主要考查棱錐的外接球，棱錐的體積計算，利用導(dǎo)數(shù)法求最值等問題，屬于較難題.

先求出球的半徑，設(shè)=PA=y,由余弦定理求得BC,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個以△4BC外

接圓面為底面，PA為高的圓柱，從而得到％2+Zl=%,再建立三棱錐P-4BC的體積關(guān)于y的函數(shù)

44

關(guān)系式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求最值，即可得到答案.

解：由4n/?2=81兀，可得球的半徑R2=2,

4

設(shè)=PA=y(0<y<9),則4C=V5x，

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosAC=%2,所以BC=尤.

將三棱錐P-48c補(bǔ)成一個以△ABC外接圓面為底面，PA=h為高的圓柱，

則有R2=M+G)2,其中「是△ABC外接圓的半徑，2r=-^—=2x,

、2,smZF/lC

即丁=%,h=PA=V,所以％2+匕=㈣.

,44

二棱錐P-j48c的體積為I，-sin30-y上力'i/

3212

=(《一%=(㈠3+81y)，

V'=泵一3y2+81),由V'>0可得0<丫<3b，由/<0可得y>3g,

所以當(dāng)y=3百時，丫有最大值，=詈，

故答案為O

13.答案：①③

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解

能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

在①中，平面。PQ外一直線EF平行于平面。P0內(nèi)直線。Q,從而EF〃平面OPQ

在②中，SAEFQ=￥不變，P到平面后產(chǎn)。的距離為變量，從而使得三棱錐P-EFQ的體積跟著變化，

從而三棱錐P-EFQ的體積與x,y大小無關(guān)，與z大小有關(guān)；

在③中，由線面垂直的判定定理得L平面40CB1，不論E。怎樣運(yùn)動，總有EQ與4名成90。，

與x,y,z的變化無關(guān).

解：在①中，平面OPQ外一直線所平行于平面。P。內(nèi)直線。。，二EF〃平面OP。，

故①正確；

在②中，由點(diǎn)。到EF的距離等于2VL而EF=1,

故SAE”=￥不變，

而隨著點(diǎn)尸在4力上運(yùn)動，尸到平面E尸。的距離為變量,

從而使得三棱錐P-EFQ的體積跟著變化，

???三棱錐P-EFQ的體積與x,y大小無關(guān)，與z大小有關(guān)，

故②錯誤：

在③中，由線面垂直的判定定理得AD】J■平面為DCB1，而直線EQ在平面內(nèi)運(yùn)動，

不論EQ怎樣運(yùn)動，總有EQ與42成90。，與x,y,z的變化無關(guān)，

故③正確.

故答案為：①③.

14.答案：2,位在

2

解析：

本題考查線面角的定義，考查二面角的定義，屬于難題題.

可求乙4FB=60°,不妨設(shè)4B=1,當(dāng)直線匕。2,過圓心尸時，出止2|最大，此時IP/2I=2,可求鬻

的最大值，過點(diǎn)4作4c1OC,求出44',和AC,可得sin乙4c4'=鬻.

解：由題意，/與OA交于O,與OA共面，A,B,Pi，P2在OA和/所構(gòu)成的平面/?上，

因?yàn)镹4P1B=4Ap2B=30°,所以點(diǎn)Pi，P2在以A2為弦長的圓產(chǎn)的優(yōu)弧?上(FU0),

且N4FB=60°,不妨設(shè)48=1,當(dāng)直線匕P2，過圓心F時，田旺21最大，此時上m21=2,

下面證明存在這樣的直線P*2即/使得/過圓心廠成立：

為OA中點(diǎn)且小￡48為正三角形，由幾何知識可知當(dāng)/過尸時，^FOA=30°,即/與。4的夾角

為30。，???斜線04與平面a成15。角，.?"與0A的夾角取值范圍為［15。,90。］,.?.存在這樣的直線/,證

畢.

\AB\=1,所以需的最大值為2,過點(diǎn)4作4C10C,

所以41cH為4一Pi「2-A的平面角，在△4。4'中，可求44'=底出,

因?yàn)锳OB尸為等腰三角形，所以440c=30°,在RtAAOC中，可求4c=1,

所以RtZiAC'A'中，sin乙4c4=母斗=漁二色,

\AC\2

故答案為2,正迎.

2

15.答案：3V2+2V5

解析：

本題考查線面垂直判斷以及截面性質(zhì)，考查綜合分析與求解能力，屬難題.

根據(jù)線面垂直確定平面a截正方體所得截面形狀，再根據(jù)截面形狀求周長.

解：顯然在正方體中BD_L平面ZCG4，且4Mu平面ACG4,

所以BD1AM,

取AC中點(diǎn)E,取AE中點(diǎn)O,則tan=tanN4MC,：.&。_L4M,

取&G中點(diǎn)%,取中點(diǎn)。「

過。1作PQ〃BWi，分別交「Bi，4D1于尸,Q,

又BD“B[D],所以PQ〃BD,又BD_L4M,所以PQ_L4M,

易證四邊形40E01為平行四邊形，

則A10//E0],又41。14M,所以E011AM,

乂PQnE0y=。1,PQ,EOi在平面BDQP內(nèi)，

所以AMJL平面BDQP,四邊形8OQP為等腰梯形，

周長為2魚+V2+2XV1+22=3V2+2V5-

故答案為3魚+2通.

16.答案：—

12

解析：

本題主要考查直線與平面所成的角，較難.先找BiG與平面ABCD所成角，即為BiG與平面48165所

成角，然后求出正切值即可.

解：設(shè)AB=6,則AF=3,DE=2.

易證BF〃GE,

則竺=—,

ABDE

BP-=—,

62

則DG=1,。母=5.

在RtABWiG中，tan/Di/G=翳=磊=當(dāng)，

因?yàn)槠矫鍭BCD〃平面4B1GD],

所以BiG與平面ABCD所成角即為B]G與平面A/iGDi所成角，

所以BiG與平面ABCD所成角的正切值為普

故答案為也.

12

17.答案：鯉

3

解析：

本題考查了錐體體積的計算，幾何體的體積問題要結(jié)合圖象.

先算側(cè)面三角形的高，再算正四棱錐的高，最后算四棱錐的體積.

解：如圖，

正四棱錐S-4BC0的底面ABCD邊長為4cm,側(cè)面積為24cm2,

124

所以側(cè)面斜高SE=zX*=3,

設(shè)高為SO,貝iJOE=2,SO-ylSE2-OE2=79—4=V5，

???該四棱錐的體積是V=9s正方形ABCD?S。=：X16X遍=竽.

故答案為竺三.

3

18.答案：[0,|]

解析：解析：

本題主要考查的是點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系、異面直線所成夾角，利用到了線面垂直、面面垂直

的性質(zhì)，屬于難題.

求得點(diǎn)P的軌跡是平面4BC1內(nèi)以點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓，可得,1￡>|〃3。//3小/,進(jìn)而可得

出題中所求角等于直線與直線BiP的夾角，然后過點(diǎn)。作。H1平面ABCC于點(diǎn)〃，過點(diǎn)”作HN1

BC于點(diǎn)N,連接0M找出使得NPBiM最大和最小時的位置，進(jìn)而可求得所求角的余弦值的取值范

圍.

解：連接&D交平面4BG于點(diǎn)0,延長線段CB至點(diǎn)M,使得CB=BM,

連接aM、0例、PM,如下圖所示:

已知在正方體ZBCD-4/165中，DO】J?底面4道傳1。1，&Ciu平面

???DD114iG，

又???四邊形&B1GD1為正方形，

*AG1B1D1,

??,DD]nB[。1=D],

>41C1JL平面BiDD],

B、Du平面Bi。/,

B*D14傳1,

同理Bi。d.&B,

,*'A-[Cin4]B=4i，

???B[D1平面4/Ci，

三棱錐B-AiBiQ的體積為/_ABIQ=：x：x33=￡

S4所=￥*(3勿=挈，

yB1-A1BC1=9X歲X同。|=半四。|=￡

可得|當(dāng)。|=6=]圖川，

.??線段當(dāng)。的長被平面4BG與平面4D1C三等分，且與兩平面分別垂直,

而正方體ABCD-4當(dāng)前。1的棱長為3,

0/=遮，0￡>=2V3.如下圖所示:

其中PO_LBi。，不妨設(shè)|OP|=x,由題意可|PB/+|PD|=2+g，

所以，Vx2+12+Vx2+3=2+V13.可得x=1.

所以，點(diǎn)P在平面&BCi內(nèi)以點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓上.

因?yàn)椤??iA/,所以，直線BiM與直線81P的夾角即為直線與直線4名所成角.

接下來要求出線段與PM的長，然后在△aPM中利用余弦定理求解.

如圖，過點(diǎn)。作。H1平面A8CQ于點(diǎn)”，過點(diǎn)H作HN1BC于點(diǎn)N,連接ON,

根據(jù)題意可知|0H|=2,=|BN|=1,且ON1MN,

所以，\ON\=V5)\0M\=V42+5=VH.

如圖所示，|0Px|=\0P2\=1,當(dāng)點(diǎn)尸在B處時，NPBi”最大，當(dāng)點(diǎn)尸在P2處時，4PB]M最小.

BiM直線

/平面

Plop,

這兩種情況下直線當(dāng)P與直線B1M夾角的余弦值最大，為cos4PB1M=sinNPB1。=i；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。處時，為直角，此時余弦值最小為0.

綜上所述，直線&P與直線4名所成角的余弦值的取值范圍是

19.答案：言

解析：

本題考查圓柱體積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度較大.

根據(jù)圓柱體積公式構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果.

解：小圓柱的高分為上下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，

為1,下部分深入底部半球內(nèi).設(shè)小圓柱下部分的高為八(0<無<1),

底面半徑為r(0<r<1).由于r,//和球的半徑構(gòu)成直角三角形，

即r?+九2=1,所以小圓柱體積V=7rr2(/l+1)=7T(1—九2)(九+1)(0</l<1),

求導(dǎo)得V=-7i(3h-1)(九+1).

當(dāng)0<九<%V'>0,體積V單調(diào)遞增；

當(dāng)時，7<0,體積V單調(diào)減.

所以當(dāng)h=乳寸，小圓柱的體積取得最大值，

即Knax=〃(l_}xG+l)=^,

故答案為三;.

20.答案：(1)證明：取PO的中點(diǎn)。，連接A。,

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以401PD,

因?yàn)槠矫鍼4D_L平面PCD,又4。＜=平面94￡),平面PADn平面PC。=PD,

所以力。_L平面PCD,

因?yàn)镃Du平面PC。，所以4。LCD,

因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以CD14。，

因?yàn)?。n4D=A,

所以CO，平面PAD,

又因?yàn)镃Du平面488,

所以平面PAD_L平面ABCD-,

(2)解：由(1)得4。1平面PCD,

所以A到平面PCD的距離d=A。=6，

因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以4B〃CC,

又因?yàn)?B仁平面PCD,CDu平面PCD,

所以4B〃平面PCD,

所以A,8兩點(diǎn)到平面PCD的距離相等，均為d,

又Q為線段P8的中點(diǎn)，

所以。到平面PCD的距離八=.=今

由(1)知，CD1平面PAO,因?yàn)镻Du平面PAD,

所以CD1PD,

所以VQ-PCD=；xSRPCDX，!=；X：X2X2XW4■

J/NJ

解析：本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解和推理論證能力，是中檔題.

(1)取尸。的中點(diǎn)。，連接A0,易證40_L平面PCD,可證CO_L平面PAC,由此可證得結(jié)論；

⑵由(1)得4。_L平面PC。，易證48〃平面尸8,可得。到平面PCD的距離仁;圣由⑴知,

。。上平面必。，由此可得答案.

21.答案：解(1)設(shè)M為4G的中點(diǎn)，連接與，立1交于O

43G中，MO為中位線，

二QI/忸G,二BqX平面池"

又?.?OMu平面，四附，

BG〃平面MB\A

(2)作MN_一彳為交于N,

,/平面一平面*1831又：Pl4必及=4物MN_平面存始用

?/NJLLV為直線AM與平面4以831所成的角

設(shè)=a,MN=^H-a，平面且V=+a】，

-a_1

3a"=<7*+4，a=y/2,MN=^2

---三棱錐SL4.A的體積包x1x2x2=^

3223

解析：本題考查幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及

計算能力.

(I)利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明：

(U)求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積.

22.答案：解.⑴由4D=AB^AM1BD,

由平面.4801平面C8C得4“1TiftlCfiD)

所以AM1BC,

又因?yàn)锳CLBC,所以8CJ.平lillAZ/fC.

(2)過M作ME14C且MECMC=E,連結(jié)E8.

由BC1平面得平面A"C_L平面/8C，

所以MEL平面/8C，

故NMBE為直線BD與平面ABC所成的角.

不妨設(shè)。C=DA=AB=2BC=2.

由AC1BC得AC=V3.

由AM?+MC2=AC2,AM2+MB2=AB2,

2(MC2+MB2)=CD2+CB2^AM=|,MC=與MB=?.

所以ME=gsinN.UBE些—.

4MB1-1

故直線BD與平面ABC所成的角的正弦值是第.

14

解析：(1)由40=4B得AM1B0,

由'\-^\ABD1平面C80得/A/_L平面C8D，

所以AM1BC,

又因?yàn)?c1BC,所以8cd.平面M4c.

(2)過M作ME14C且MEfUC=E,連結(jié)EB.

由8cl平面M4C得平面_L平面，

所以ME_L平面48C，

故NMBE為直線BD與平面ABC所成的角.

不妨設(shè)DC=DA=AB=2BC=2.

求出MB=&ME=siiiZ.MBE=—>

24MB14

故直線BD與平面ABC所成的角的正弦值是辿.

14

23.答案：解：(1)證明：?.?四邊形EFG，為平行四邊形，???EH〃FG；

???EH仁平面ABD,FGu平面ABD,

EH〃平面AB。；

又EHu平面ABC,平面ABCn平面ABD=AB,

???EH//AB-,

又：EHu平面EFGH,ABC平面EFGH,

???AB〃平面EFGH-,

(2)設(shè)EH=x,EF=y,

???EH//AB,EFIICD,

EHCEEFAE

f~~f

ABCACDAC

EH,EFCE,AEAC.

???--——=——|——=—=1；

ABCDCAACAC

xv

又??,AB=4,CD=6,?*?7+-=1,

46

???y=6(1-｝，且o<%<4；

???四邊形EFGH的周長為

/=2(x+y)=2[x+6(1-

=12—%,

A8<12-x<12；

四邊形EFG”周長的取值范圍是(8,12).

解析：(1)通過證明EH〃平面AB。，得出EH〃/IB,從而證明4B〃平面EFGH；

(2)設(shè)EH=x,EF=y,由E"〃4B,EF//CD,求出x、y的關(guān)系式，再求四邊形EFG”的周長/的

取值范圍即可.

本題考查了空間中線面平行的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平行線截得線段成比例的應(yīng)用問題,

是綜合性題目.

24.答案：(1)證明：由題意知CE〃AB,AB=2CE,所以。E：。8=1；2.

XDW=2HE,所以O(shè)H〃BD.

又因?yàn)锽。u平面BCD,OHC平面BCD,

所以?！啊ㄆ矫鍮CD.

(2)解：因?yàn)槠矫鍭DEJL平面ABCE,平面ADEn平面力BCE=AE,

DELAE,OEu平面AQ￡,

所以O(shè)El￥ffiABCE.

又因?yàn)镃Eu平面ABCE,所以DE1CE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，EA，前分別為x軸，y軸，z軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

不妨設(shè)菱形ABC。的邊長為4,而乙4BC=60。，E為CD中點(diǎn),

所以點(diǎn)力(0,0,2),C(2,0,0),8(4,275,0),

因此配=(2,0,-2)，麗=(4,273,-2).

設(shè)平面BC￡)的法向量為元=(x,y,z),

則歸匹=。,即片二窯。?0,

尻?D8=0Mx+273y-2z=0

令z=l,得記=(1,-乎,1)是平面8c。的一個法向量.

易知平面ABC的一個法向量為沆=(0,0,1).

設(shè)二面角力-BC-。的大小為。，

則cos6-|cos<m,n>|-曾口

1_V21

飛r

故二面角力-BC-D的余弦值為名.

7

解析：本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和利用空間向量求線線、線

面和面面的夾角，屬于中檔題.

(1)利用OH〃BD,結(jié)合線面平行的判定得結(jié)論；

(2)利用面面垂直的性質(zhì)得DE，平面再利用線面垂直的性質(zhì)得DE1CE,從而建立空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量求面面的夾角，計算得結(jié)論.

25.答案：(1)證明：記PB的中點(diǎn)為“，連接EH,過產(chǎn)作FK〃DM交PM于K,連接HK,

則EH〃/1B,且=

因?yàn)镋FJ_平面PCD,所以EF1.PD.

在A/M。中，PA=PD=gAD=2,易求小尸=缶，PF=^=.

又MC=*CD,則MD=||.

因?yàn)轶?竺，所以KF=1.

PDMD

因?yàn)镋H=FK,HAB//EH//CD//FK,所以四邊形EFKH是平行四邊形，

所以EF〃HK,又HKu平面PBM,EFC平面PBM,

所以EF//平面PBM.

(2)解：因?yàn)镋F_L平面PC。，所以EF1C0,而A8CZ)是正方形，所以C0_L4D.

因?yàn)镋B與顯然是相交直線，所以CD_L平面PAO,

所以平面PAD1平面ABCD.

記的中點(diǎn)為。，貝UP。1平面A8CQ,且P0=4.

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則E(0,-32),D(O,1,0),設(shè)Q(a,3-a,0),2<a<4,

所以ED=(0,I，-2),DQ=(a,2—a,0).

設(shè)平面EDQ的一個法向量為記=(x,y,z),

則[巴沆=|y-2z=o,

DQ?沅=ax+(2—a)y=0,

令y=4,得記=(4(二2),4a).

易知平面A8CO的一個法向量為元=(0,0,1),

設(shè)二面角E-DQ-A的大小是0則c°s*=|cos(沅，元)|=]"；蟲.

因?yàn)?SaS4,所以若2=4—：6[0,2],則][審產(chǎn)+2ge[5,回],

3L3V293,

所以9r

21

因?yàn)榍?gt;W，所以9<60。，即二面角E-DQ-A不可能為60。.

解析：本題考查了線面平行的判定、二面角立體、利用空間向量求面面的夾角和立體幾何綜合題(探

索性問題、軌跡問題等)，是中檔題.

(1)記PB的中點(diǎn)為“，連接E”，過尸作FK〃DM交于K,連接"K,證明四邊形EFK”是平行

四邊形，可得EF〃HK,線面平行即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角E-DQ-A的大小是仍計算得出二面角E-0Q-4余弦值的范

圍，即可得出結(jié)論.

P

26.答案：證明：⑴因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，所以N為PC的中點(diǎn).連接FN,

在APAC中，分別為P4PN的中點(diǎn),

所以FN〃/1C,因?yàn)镕Nu平面DEF,AC仁平面DEF,

所以〃平面DEF.

(2)易知。4DGDP兩兩垂直，如圖以。為原點(diǎn)，分別以ZM,DC,DP所在直線為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

則P(0,0,72),71(1,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0)，

所以而=(1,1,-V2),BC=(-1,1,0).

設(shè)平面PBC的法向量為沅=(尤,y,z),

則網(wǎng)吃=(%,y,z)-(1,1,-V2)=0

Im-BC=(x,y,z)?(—1,1,0)-0

即卜+y-V2z=0,

l一汽+y=0,

解得Iy=^令x=l,

(z=y/2x,

C：A

所以平面PBC的一個法向量為布=

設(shè)平面ABP的法向量為元=(x,y,z),

(n-AB=(x,y,z)?(0,1,0)=0

tn-PB=(x,y,z)-(l(1,-V2)=0'

x=y/2

據(jù)此可得y=0,

z=1

則平面ABP的一個法向量為元=(近,0,1),

,—>—?V2+V2V6

cos<m,n>=,=——，

V1+1+2-V2+13

于是sin(沅用=Y-

故二面角A-PB-C的正弦值為更.

3

(3)設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件,由F&0,y),E(0,2,V2),

設(shè)部=4庵(0<4<1)，整理得Q(一,2尢駕”),

則員=(—一,2/1-1,駕辿).

因?yàn)橹本€BQ與平面BCP所成角的大小為會

所以sin?=|cos