高中數(shù)學(xué)必修一試題

2.1.1函數(shù)的概念和圖象

重難點：在時應(yīng)的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念并能理解符號“y=f(x)”的含義，掌握函數(shù)定義

域與值域的求法；函數(shù)的三種不同表示的相互間轉(zhuǎn)化，函數(shù)的解析式的表示，理解和表示

分段函數(shù)；函數(shù)的作圖及如何選點作圖，映射的概念的理解.

考綱要求：①了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函

數(shù)；

③了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；

經(jīng)典例題：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],求下列函數(shù)的定義域：

(1)H(x)=f(x2+l)；

(2)G(x)=f(x+m)+f(x—m)(m>0).

當(dāng)堂練習(xí)：

1.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.『(%)=IW，g(x)=GB./(x)=M，g(Q=(火)'

D.f")=-JTW,g(x)=J--1

2.函數(shù)的圖象與直線X=。交點的個數(shù)為(

A.必有一個B.1個或2個C.至多一個D.可能2個以上

3.已知函數(shù)x+1,則函數(shù)/"(町的定義域是()

A.3*川B.3**"}c.3"T，-2}D.3"L-2)

1

/⑶=--------

4.函數(shù)1-式1-力的值域是()

5544

(-8,—]

A.4B.4c.3D.3

5.對某種產(chǎn)品市場產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中：’1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；4表

示產(chǎn)品各年的銷售情況.下列敘述：()

(1)產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原生產(chǎn)計劃進行下去；

(2)產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價格將趨跌；

(3)產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴大銷售量；

(4)產(chǎn)品的產(chǎn)、銷情況均以一定的年增長率遞增.你認為較合理的是()

A.(1),(2),(3)B.(1),(3),(4)C.(2),(4)D.(2),

(3)

6.在對應(yīng)法則=M+尺jeR中，若2-5,則-2一,-6.

7.函敵"*)對任何*?*恒有=/⑷+/*'，由/⑤=3,則"依)

8.規(guī)定記號表示一種運算，即［△匕=向+°+怎。、匕€皮.若1金=3,則函數(shù)

八x)=Sx的值域是

9.已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件：(1)對稱軸是x=l；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)

的兩根立方和等于17.則f(x)的解析式是

_5

10.函數(shù)J-2x+2的值域是

x

。+1)°

2--------**)=xx

11.求下列函數(shù)的定義域：(1)x-1⑵\\~

12.求函數(shù)p=*-"三的值域.

13.已知f(x)=x2+4x+3,求f(x)在區(qū)間上的最小值g(t)和最大值h⑴.

14.在邊長為2的正方形ABCD的邊上有動點M,從點B開始，沿折線BCDA向A點運

動，設(shè)M點運動的距離為x,Z\ABM的面積為S.

(1)求函數(shù)S=的解析式、定義域和值域；

(2)求f［f(3)］的值.

參考答案：

經(jīng)典例題：

解：(1)???￡.(x)的定義域為［0,門，；.f(x2+l)的定義域滿足0Wx2+lWl.二

-1WX2W0.

???x=0....函數(shù)的定義域為{0}.

0+<1,-tn<x<l-m,

<

(2)由題意，得l°?x一謂KI得［%+m.

111

則①當(dāng)1—mVm,即m>2時,無解；②當(dāng)1—m=m,即m=2時-，x=m=2；

1

③當(dāng)1—m>m>0,即0Vm<2時，mWxWl—m.

1

綜上所述，當(dāng)OVmW2時，G(x)的定義域為{xlmWxW1-m}.

當(dāng)堂練習(xí)：

1

1.A;2.C;3.C;4,D;5.D;6,5,;7.2區(qū)0，內(nèi))；9.f(x)=-6x2+12x+9;10.0習(xí)；

f3\[x+l*O

11.(1)I'2」,⑵由U止"。得(一8(.])<J(.1,0).12.設(shè)J3X-2=f,f20,則

1女13,1311

y=-(f+2)-f=-(f—)---f=----[---,+oo)

33212,當(dāng)2時，y有最小值12,所求函數(shù)的值域為12.

13.解：因拋物線的對稱軸是x=-2,所以分類討論：

(1)①當(dāng)t+l<-2,B|Jt<-3吐g(t)=f(t+l);②當(dāng)T-24f+l,即-34f4-2時g(t)=f(-2);③當(dāng)t>-2

時,g(t)=f(t).

55

4—>—

⑵①當(dāng)-2-t^(t+l)-(-2),即t2時，h(t)=f(t);②當(dāng)-2-t<(t+1)-(-2),即t2時,h(t)=

f(t+D.

一屋5

f'+6f+8(f<-3)產(chǎn)+4f+3(fW-T

2

g(0<-2)〃(f)=j$

24/c/Kc、f'+6f+>--)

綜上所述：[f+4f+3(f>-2),[2

14.解：(1)當(dāng)°<*42時，s=x；當(dāng)2<x44時，s=2;當(dāng)4Vx<6時，S=6-x?定義域

是(0,6),值域是(0,2)(2)f[f(3)]=f(2)=2.

2.1.2函數(shù)的簡單性質(zhì)

重難點：領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性的實質(zhì)，明確單調(diào)性是一個局部概念，并能利用函數(shù)單調(diào)性的定義

證明具體函數(shù)的單調(diào)性，領(lǐng)會函數(shù)最值的實質(zhì)，明確它是一個整體概念，學(xué)會利用函數(shù)的單

調(diào)性求最值；函數(shù)奇偶性概念及函數(shù)奇偶性的判定；函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用和抽象

函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的理解和應(yīng)用；了解映射概念的理解并能區(qū)別函數(shù)和映射.

考綱要求：①理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇

偶性的含義；并了解映射的概念；

②會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

經(jīng)典例題：定義在區(qū)間(-8,+8)上的奇函數(shù)f(X)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(X)在[0,

+8)上圖象與f(x)的圖象重合.設(shè)a>b>0,給出下列不等式，其中成立的是

f(b)—f(—a)>g(a)—g(—b)②f(b)—f(—a)<g(a)—g(—b)

③f(a)—f(—b)>g(b)—g(—a)④f(a)—f(—b)<g(b)—g(—a)

A.①④B.②③C.①③D.②④

當(dāng)堂練習(xí)：

1.已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)*'(",+8)時是增函數(shù)當(dāng)*'(一嗎。)時是減函數(shù)，則,⑴

等于()

A.-3B.13C.7D.含有m的變量

函/⑶=了一是(

2.)

A.非奇非偶函數(shù)B.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)奇函數(shù)C.偶函數(shù)D.奇函數(shù)

3.已知函數(shù)⑴/⑶邛⑵/⑶=+■，⑶f。)=3'+3X

0(X€g)

/(x)=<

(4)其中是偶函數(shù)的有()個

A.1B.2C.3D.4

4.奇函數(shù)y=f(X)(xWO),當(dāng)x￡(0,+°°)時、f(x)=x—1,則函數(shù)f(x—1)的圖

5.已知映射f:A~B,其中集合A={-3,2-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f

下的象，且對任意的a?工,在B中和它對應(yīng)的元素是同,則集合B中元素的個數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

6.函數(shù)"*)=-2,+如+￡在區(qū)間［0,1］上的最大值虱。是

3

27(一)

7.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間0+8)上是減函數(shù),則“*+*+1)與4的大小關(guān)系是

8.3nf(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x<0吐f(x)是增函數(shù)，若xl<0,x2>0,目卜卜卜』,則

和的大小關(guān)系是

9.如果函數(shù)y=f(x+l)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于對稱.

(后+J島-X)

10.點(x,y)在映射f作用下的對應(yīng)點是2'2，若點A在f作用下的對應(yīng)點是

B(2,0),則點A坐標(biāo)是

a-1

x+2x+-

13.已知函數(shù)K淇中內(nèi)［1，9,⑴試判斷它的單調(diào)性；⑵試求它的最小值.

2￡3+11

/⑶=2n

14.已知函數(shù)”"X,常數(shù)。

(1)設(shè)mw>0,證明：函數(shù)/(*)在［如H上單調(diào)遞增；

(2)設(shè)0<m<“且/(*)的定義域和值域都是〔如刈，求H-m的最大值.

1

斤㈤=—1/。)+/(-初

13.(1)設(shè)f(x)的定義域為R的函數(shù)，求證：2是偶函數(shù);

1

G(*)=

2是奇函數(shù).

(2)利用上述結(jié)論，你能把函數(shù)"月=3x*+2/-x+3表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和的

形式.

14.在集合R上的映射/：*-z=/-1/:zrj=4(z-廠

(1)試求映射了"T」的解析式；

(2)分別求函數(shù)fl(x)和f2(z)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案：

經(jīng)典例題：

解析：本題可采用三種解法.

方法一：直接根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義.

由f(x)是奇函數(shù)得f(—a)=—f(a),f(—b)=—f(b),g(a)=f(a),g(b)=f

(b),g(—a)=g(a),g(—b)=g(b).

以上四個不等式分別可簡化為①f(b)>0；②f(b)<0；③f(a)>0；?f(a)<0.

又：f(x)是奇函數(shù)又是增函數(shù)，且a>b>0,故f(a)>f(b)>f(0)=0,從而以上不

等式中①、③成立.故選C.

方法二：結(jié)合函數(shù)圖象.

由下圖，分析得f(a)=g(a)=g(—a)=—f(—a),f(b)=g(b)=g(-b)=—f(—b).

從而根據(jù)所給結(jié)論，得到①與③是正確的.故選C.

方法三：利用間接法，即構(gòu)造滿足題意的兩個函數(shù)模型f（x）=x,g（x）=1x1,取特殊值a、

b.如a=2,b=l.可驗證正確的是①與③，故選C.

答案：C

當(dāng)堂練習(xí)：

gS='2?+f(0<?<1)3

5t-2(t>1)/(x2+A:+1)</(-)

B;2.D;3.B;4.D;5.A;6.，/?，

8.；9.x=-l;10,(￡1);

111v

f⑶=X+——+2=(*|-*2)+(-------------)

2x,設(shè)時，‘*|)-『區(qū))2~2x

11.解:⑴函數(shù)t

（一,）（1--二）＜0

2"也，所以“X）在區(qū)間口，小°）上單調(diào)遞增;

7

⑵從而當(dāng)x=l時，,⑶有最小值2.

12.解：（1）任取*，，*內(nèi)［明司，且為＜八，°—,因為演＜演，

4,%€［*用，所以*R＞0,即然,）＜/⑷，故/"）在［凡燈上單調(diào)遞增.

（2）因為『⑶在的，”］上單調(diào)遞增，〃力的定義域、值域都是［旭，”］0/的）=肛/6）=',

2—+1_g=X222

即科或是方程“無一的兩個不等的正根0。x-Qa+a?+l=°有兩個不等的正根.

2。'+a

所以A=(21?+a)2-4a2>0,d>a>i

..n-m=^4a1+4a-3=1-3(卜9'+￥，"G,+8),

彳時，"一制取最大值竽

13.解:(1)利用定義易證之；⑵由(1)得/⑶=閉?)+G(x)=(2/+3)+(3/-*).

14.解：⑴"x）=4（/-2/-l；⑵當(dāng)xe（-8,0］時，打⑴單調(diào)遞減，當(dāng)門口2）時,fl（x）

單調(diào)遞增；當(dāng)"（-84］時，f2（z）單調(diào)遞減，當(dāng)z￡［l，2）時，們⑶單調(diào)遞增.

⑶當(dāng)xe（-8,一向和xe［O,g］時，心）分別單調(diào)遞減；

當(dāng)*e［g，2）和xe［-/，0］分別單調(diào)遞增.

2.1.3單元測試

I.設(shè)集合P=3°-Z-4）,0=｛引°-J，-2），由以下列對應(yīng)f中不能構(gòu)成A到B的映射的

1121

,=-k『=-ky--x

是（）A.2B.3c.3D.8

1

2.下列四個函數(shù)：（l）y=x+l;⑵y=x+l;⑶y=x2-l;（4）y二*，其中定義域與值域相同的是

（）A.⑴⑵B.⑴⑵⑶C.2）⑶D.⑵⑶⑷

2c

3.已知函數(shù)"+"+「,若/（2006）=10,則/（-2006）的值為（）

A.10B.-10C.-14D.無法確定

/?=「°>°）…+―）（〃,與

4.設(shè)函數(shù)U0<O）,則2的值為（）

A.aB.bC.a、b中較小的數(shù)D.a、b中較大的數(shù)

5.已知矩形的周長為1,它的面積S與矩形的長x之間的函數(shù)關(guān)系中，定義域為（）

人B卜。<、尚c.心、尚D.m

6.已知函數(shù)y=x2-2x+3在［0,a］（a>0）上最大值是3,最小值是2,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.0<a<lB.0<a^2C.Wa&2D.0小工2

7.已知函數(shù)『="*）是R上的偶函數(shù)，且在（q,0】上是減函數(shù)，若/⑷2/（2）,則實

數(shù)a的取值范圍是（）

A.aW2B.aW-2或aN2C.aN-2D.-2WaW2

8.已知奇函數(shù),⑶的定義域為（-8,CD”o,y）,且對任意正實數(shù)與出再,恒有

入一%,則一定有()

A./(3)>/(-5)B.c.⑶口.

1+x

9.已知函數(shù)1-K的定義域為A,函數(shù)y=f(f(x))的定義域為B,則()

A.=BB.A<JB=Ac.-AoB=41D.-AOB=A

10.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時，，f(x)=x2-2x,則f(x)在*40時的解析式是

()

A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2+2xC.f(x)=-x2+2xD.f(x)=-x2-2x

11.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象對稱軸是它在［a,b］上的值域是［f(b),f(a)］,則()

A.*.26Bxa<ac句Dx?^［a,b］

12.如果奇函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，且最小值為5,則在區(qū)間［-7,-3］上()

A.增函數(shù)且有最小值-5B.增函數(shù)且有最大值-5C.減函數(shù)且有最小值-5D.減函數(shù)且

有最大值-5

/11

/⑶=-7/0)+/(2)+f⑶+/(-)+/(-)=

13.已知函數(shù)1+x，貝IJ23

14.設(shè)f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-l),則g(x)=.

15.定義域為［a、'a-2,4］上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則

16,設(shè)/(乃=x'_3x,g(x)=,則g(/(x))=

17.作出函數(shù),T-'+2x+3］的圖象，并利用圖象回答下列問題：

(1)函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)在［0,4］上的值域.

4+41

18.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：如果對任意xl,x2GR,腑f(2)W2［f(xl)+f(x2)L

則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=ax2+x(aGR且a/0),求證：當(dāng)a>0時，函

數(shù)f(x)是凹函數(shù)；

x+F

19.定義在(T,1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x、ye(—1,1)都有f(x)+f(y)=f("號).

(1)求證:函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)如果當(dāng)xG(-l,0)時，有f(x)>0,求證：f(x)在(一1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù);

20.記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在xOGD,使f(x0)=x0成立，則稱以(xO,yO)為坐標(biāo)的

點是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點”.

3x-l

(1)若函數(shù)f(x)=x+a的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”，試求實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點”，求證：f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)

定點”.

參考答案：

1.C;2.A;3.C;4.C;5.B;6.C;7.B;8.D;9.B;10.D;ll.D;12.B;

13.2.5;14.g(x)=2x-3;15.1或2;16.x6-6x4+9x2-2;

17.解:(1)在(-8,-1]和[1,3]上分別單調(diào)遞減；在和上分別單調(diào)遞增.

⑵值域是[0,4]

一+/

18.(1)證明：對任意xl、x2GR,Va>0,.\f(xl)+f(x2)-2f(2)

=ax12+x1+ax22+x2—2[a(2)2+2]

11

=2a(xl—x2)2>0..*.f(2)<2]f(xl)+f(x2)],.\f(x)是凹函數(shù).

19。)證明:令x=y=O,則f(O)+f(O)=f(O),故f(0)=0.

X-X

令y=-x,則f(x)+f(—x)=f(l-J)=f(O)=O.；?f(—x)=—f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

演”

(2)證明：設(shè)xlVx2G(一<1),則31)一管2)=外1)+<-*2)=耳1-1*2).

Vxl<x2e(-1,1),Ax2-xl>0,-1Vxlx2Vl.因此1一再/<0,)>0,

即f(xl)>f(x2).，函數(shù)f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).

3x-l

20.解：⑴設(shè)P(xl,yl),Q(x2,y2)(xlrx2)是函數(shù)f(x)=x+a的圖象上的兩個“穩(wěn)定點”,

3x-1

——=x

x+a't

3x,-l

-----=為

.?.,即有xl2+axl=3xl—1(x1聲一a),x22+ax2=3x2—1(x2#—a).

有xl2+(a—3)xl+l=0(xl聲-a),x22+(a—3)x2+l=0(x4-a).

x1>x2是方程x2+(a—3)x+l=0兩根，且x1,x2#—a,x^—a,

???方程x2+(a-3)x+l=0有兩個相異的實根且不等于一a.

A=(?-3)"-4xl>0,I

.?.l(-4+S-3X-a)+l#0...通>5或a<］且時一3.

11

，a的范圍是(一8,-3)U(-3,1)U(5,+8).⑵T；f(x)是R上的奇函數(shù),

；.f(—0)=-f(0),即f(0)=0".原點(0,0)是函數(shù)f(x)的“穩(wěn)定點”，若f(x)還有穩(wěn)定點(x0,y0),

則：f(x)為奇函數(shù)，f(-xO)=-f(xO),f(xO)=xO,/.f(-xO)=-xO,這說明：(—x0,一x0)也是

f(x)的“穩(wěn)定點”.綜上所述可知，f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”除原點外是成對出現(xiàn)的，而且原點

也是其“穩(wěn)定點”，

???它的個數(shù)為奇數(shù).

2.2指數(shù)函數(shù)

重難點：對分數(shù)指數(shù)幕的含義的理解，學(xué)會根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化并掌握有理指數(shù)幕的運

算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，能將討論復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題轉(zhuǎn)化為討

論比較簡單的函數(shù)的有關(guān)問題.

考綱要求：①了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；

②理解有理指數(shù)嘉的含義，了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握塞的運算；

③理解指數(shù)函數(shù)的概念，并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像通過的特殊點；

④知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

經(jīng)典例題：求函數(shù)y=3-，+2"3的單調(diào)區(qū)間和值域.

當(dāng)堂練習(xí)：

1二1二1E

a=，8=(一)，。=(一)

1.數(shù)235的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<aVcQc<a<bQc<b<a

i

2.要使代數(shù)式(M-1)'有意義，則x的取值范圍是()

A.卜1>1B.C.D,一切實數(shù)

3.下列函數(shù)中，圖象與函數(shù)y-4x的圖象關(guān)于y軸對稱的是()

A.y=—4xB.y=4—xC.y=-4—xD.y=4x+4-x

4.把函數(shù)y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位長度，得到函數(shù)』=2的圖象，則()

A.&)=2~+2B.m)=2~-2c.m)=2“+2D/0)=廣-2

5.設(shè)函I數(shù)""="0，"，0,f(2)=4,則()

A.f(-2)>f(-l)B.f(-l)>f(-2)C.f(l)>f(2)D.f(-2)>f(2)

計算好口ee

6.

7.設(shè)x+J/-1,求=

力>)=二一+w

8.已知3+1是奇函數(shù)，則/(T)=

9.函數(shù)“力=優(yōu)一'T(">OH*1)的圖象恒過定點

10-若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則a，滿足的條件

是

11.先化簡，再求值：(1)，其中。=256,b=2006.

1

⑵［a)(，％"2(心］淇中，

12.(1)已知x?［-3,2］,求f(x)=4"2"一的最小值與最大值.

(2)已知函數(shù)/(*)="""在［0,2］上有最大值8,求正數(shù)a的值.

⑶已知函數(shù)了=》-2優(yōu)-@>0,“*1)在區(qū)間1］上的最大值是〔a求a的值.

13.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域:

/⑶=(0e_1-2*____

(1)3⑵4"；(3)求函數(shù)/(*)=2"也"的遞增區(qū)間.

f(x)=優(yōu)+^-(,a>1)

14.已知

(1)證明函數(shù)f(x)在(T，*°)上為增函數(shù)；(2)證明方程,")二°沒有負數(shù)解.

參考答案：

經(jīng)典例題：

解：由題意可知，函數(shù)y=3TF*+3的定義域為實數(shù)R.設(shè)u=—x2+2x+3(xGR)，則f(u)

故原函數(shù)由u=-x2+2x+3與f(u)=3u復(fù)合而成.Tf(u)=3u在R上是增函數(shù)，而u=—

x2+2x+3

=—(x—1)2+4在x￡(—8,1)上是增函數(shù)，在［1,+8］上是減函數(shù).

???y=f(x)在*￡(—8,1)上是增函數(shù)，在［1,+8］上是減函數(shù).

又知u<4,此時x=L，當(dāng)x=l時，ymax=f(1)=81,而3'點”">0,

???函數(shù)y=f(x)的值域為(0,81)

當(dāng)堂練習(xí)：

l.A;2.C;3.B;4.A;5.A;6.;7yB49(1,0);10.

(2)原式=或'廿,"廿匕"=a''b"

113

——+1=4r-+1=2"*+1=(2~"--)+-

12.(1)解：f(x)=42xC[-3,2],

-<2'A<8

4.則當(dāng)2-X=2，即x=l時,f(x)有最小值4；當(dāng)2-x=8,即x=-3時，f(x)有最大值57.

333

g(x)=/-3x+3=(x—+一g。)一=3g。).=-

⑵解:設(shè)24，當(dāng)[0,2]時,

當(dāng)0<a<l時，=&a=16，矛盾;當(dāng)心1時=8,a=2.綜上所述,a=2.

(3)原函數(shù)化為"(優(yōu)+O'-2,當(dāng)a>l時，因X~1J,得優(yōu)€口二叫從而9+1)，-2=14,a=3

1

4=一

同理，當(dāng)0<a<l時，，3.

1,112,

i-(x)=x(x+l)=(%+-)--x€+co)g(f)=(-)

13.⑴由24得2時父X)單調(diào)遞增，而3是單調(diào)減

11

xe［一-，-Ko)(-8,--］

函數(shù)，所以原函數(shù)的遞減區(qū)間是2，遞增區(qū)間是2；值域是

3111A1.11

(0,(-)4]AT=[㈠---1----[——，+8)

2⑵42224,所以值域是4；單調(diào)減區(qū)間是(-8刀,單調(diào)

f(x)=-+3x+2=-+T2—

增區(qū)間口，*°).(3).設(shè)V24的定義域是(-8,-2]1,2)

當(dāng)*e(-8,-2］時，f(x)單調(diào)遞增，又y=2'是單調(diào)增函數(shù)，所以原函數(shù)的遞增區(qū)間是

X€(-00,-2]

4-2々-2

14.解：⑴任取田)，且*心/，則.JaX,二?>$、又與+18+1

父。F>0

=6+i)a+i),o7⑴，故在(-?)上為增函數(shù).

⑵設(shè)存在*。W-1,滿足“吟=°,則*。+1,由0<〃"<1得%+1，即

1

一<%<2

2與假設(shè)矛盾,所以方程無負數(shù)解.

2.3對數(shù)函數(shù)

重難點：理解并掌握對數(shù)的概念以及對數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，能應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)及換

底公式靈活地求值、化簡；理解對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，能利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較

同底對數(shù)大小，了解對數(shù)函數(shù)的特性以及函數(shù)的通性在解決有關(guān)問題中的靈活應(yīng)用.

考綱要求：①理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)

或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用；

②理解對數(shù)函數(shù)的概念；理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點；

③知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；

④了解指數(shù)函數(shù),=,與對數(shù)函數(shù)'=108廠互為反函數(shù).

經(jīng)典例題：已知f（logax）="3-D,其中a>0,且aWl.

（1）求f（x）；（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；（3）求證：f（x）在R上為增函數(shù).

當(dāng)堂練習(xí)：

I,若坨2=",33=&,則坨0.18=（）

A2a+》一2B4+25—2Q3￡2-6-2D.a+3b-i

1

2.設(shè)白表示3-喬的小數(shù)部分，貝|」1咤,（2&+1）

的值是（）

1

A.-1B.-2C.0D.2

3.函數(shù)」=J@-3，+6x+7）的值域是（）

A.口-石,1+囪B,[0,1]C.IO,+00)

D.{0}

X,X<0

f⑶=,，的⑷>1,則為

lg(x+l),x>0

4.設(shè)函數(shù)的取值范圍為（)

(-8,-i)ue,+8)

A.G1,1)B.<r1,+°°)C.S9)D.

5.已知函數(shù)2,其反函數(shù)為g°）,則式力是（）

A.奇函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞增

C.奇函數(shù)且在（-8,0）上單調(diào)遞減D.偶函數(shù)且在（-8,0）上單調(diào)遞增

6.計算⑼]=.

11

7.若2.5x=1000,0.25y=1000,求x『

8.函數(shù)f（x）的定義域為[0,1],則函數(shù)”1幅（3一切的定義域為

9.已知y=loga（2—ax）在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是.

10.函數(shù)圖象恒過定點（°」），若>="力存在反函數(shù)」=r'°）,則

P=/T（x）+1的圖象必過定點

11.若集合{x,xy,lgxy}={0,Ixl,y},則log8(x2+y2)的值為多少.

『=。。&勺。。g?今也石幻

12.(1)求函數(shù)34在區(qū)間［2V2同上的最值.

2log：x+51og,x-3<0,/(x)=(log,-)(logl-)

⑵已知“，求函數(shù)8：”的值域.

1-mx

f⑶=10gli--------(a>0,a*1)

13.已知函數(shù)xT的圖象關(guān)于原點對稱.(1)求m的值;

(2)判斷f(x)在aw)上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.

14.已知函數(shù)f(x)=x2-l(xNl)的圖象是C1,函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對

稱.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M；

(2)對于函數(shù)y=h(x),如果存在一個正的常數(shù)a,使得定義域A內(nèi)的任意兩個不等的值xl,

x2都有l(wèi)h(xl)—h(x2)IWalxl-x2成立，則稱函數(shù)y=h(x)為A的利普希茨I類函數(shù).試證明:

y=g(x)是M上的利普希茨I類函數(shù).

參考答案：

M-l)a

經(jīng)典例題：(1)解：設(shè)t=logax,貝IJtGR,x=at(x>0).則f(t)="("~V)=a-1(at

-a—t).

(2)證明：f(—x)=a'T(a—x—ax)=-J-l(ax—a—x)=—f(x),；.f(x)為

奇函數(shù).

(3)證明：設(shè)xl、x2￡R,且xlVx2,則f(x2)—f(xl)=J-1[(a"—a—")—(a”'

—a」)]

aa

=R-1；(a—a)+a—a—(a—a)J=a-1(a—a)(1+a—a-).

若0<a<L則a2-l<0,a%>a",：.f(x2)>f(xl).：.y=f(x)在R上為增函數(shù)；

若a>l,則a2—l>0,a"'<a%".f(x2)>f(xl);.y=f(x)在R上為增函數(shù).

綜上，a>0,且aNl時，y=f(x)是增函數(shù).

當(dāng)堂練習(xí)：

1

1.A;2.A;3.B;4.D;5.D;6.0;7.3;8.[0,2];9.l<a<2;10.0/);

IL根據(jù)集合中元素的互異性，在第一個集合中，xWO,第二個集合中，知道yWO,...第一

個集合中的xyWO,只有l(wèi)g(xy)=0,可得xy=1①，??.x=y②或xy=y③.由①②聯(lián)立，

解得x=y=1或x=y=—1,若x=y=l,xy=l,違背集合中元素的互異性，若x=y=—1,

則xy=lxl=l,從而兩個集合中的元素相同.①③聯(lián)立，解得x=y=l,不符合題意.???x

1

=-1,y=-l,符合集合相等的條件.因此，log8(x2+y2)=log82=3.

12.(1)解:/⑶=&x-"g*一1咆4)=(1嗚-Q+log,3)log,x+21唱3

1,1.i3

[logix-(l+-logl3)f-(l--log,3)r-<log,x<3

=22，當(dāng)xE[2寸2,8]時,2,

3112

-<1+-10^3<3廠-(1—log?]

而22，所以當(dāng)"2也時,y有最小值2;當(dāng)1=&時，y有最大值

3.(2)由已知，得

?1

210g?彳-5log?x-3<0,—<logjx<3,

2

5?1135

/(x)=(log,x-J)(log,-2)=log*x-5log,X+6=。°員了一?一['.[，])

1-mx1+mx

log-------+log--------=0

13.由圖象關(guān)于原點對稱知它是奇函數(shù)，得f(x)+f(?x)=O,即°x-1°T-1,

?2

1-WXI]X+1

得1-J'm=-l；(2)由⑴得'-°吼-1,定義域是(f-l)WE),

衛(wèi)二W一為）＞0

設(shè)1＜再＜*2,得入-11（X,-1）（X,-1），所以當(dāng)a＞i時，f（x）在（1，網(wǎng)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<a<l時，f(x)在a?”)上單調(diào)遞增.

14.(1)由y=x2-1(x21),得y20,且Af-l(x)=，'^+^(x20),

即C2：g(x)=,M={xlx》O}.

(2)對任意的xl,x2GM,且xlWx2,則有xl—x2W0,xleO,x220.

____Ia一型[

.?.lg(xl)—g(x2)l=l^^|=<2|X]-X2I.

1

；.y=g（x）為利普希茨I類函數(shù)，其中a=2.

2.4’暴函數(shù)

重難點：掌握常見塞函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，能利用塞函數(shù)的單調(diào)性比較兩個塞值的大小.

考綱要求：①了解募函數(shù)的概念；

1

2S;{

y=xry=x,/=x,/=-,j=x

②結(jié)合函數(shù)X的圖像，了解他們的變化情況.

經(jīng)典例題：比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

223

(3)3.83,3.95,(-1.8)5；(4)31.4,51.5.

當(dāng)堂練習(xí)：

_1

1.函數(shù)y=(x2—2x)*的定義域是()

A.{xlxWO或xW2}B.(—8,o)U(2,+°Q)C.(—°°,0)U[2,+°°)

D.(0,2)

2

3.函數(shù)y=x$的單調(diào)遞減區(qū)間為()

B.(―0°,0)C.[0,+8]

D.（—8,4-oo）

3.如圖，曲線cl,c2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限的圖象,

那么一定有（）

A.n<m<0B.m<n<0

C.m>n>0D.n>m>0

4.下列命題中正確的是（）

A.當(dāng)a=Q時，函數(shù)/的圖象是一條直線B.基函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0,0）,（1,1）

兩點

c.幕函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)D.若幕函數(shù)y為奇函數(shù)，則在定義域

內(nèi)是增函數(shù)

5.下列命題正確的是（）

基函數(shù)中不存在既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)

圖象不經(jīng)過（一1,1）為點的累函數(shù)一定不是偶函數(shù)

如果兩個幕函數(shù)的圖象具有三個公共點，那么這兩個