高考數(shù)學一輪復習【考點題型歸納講練】導學案（新高考專用）第06課時直線與橢圓的位置關系(原卷版+解析)

第6課時直線與橢圓的位置關系編寫：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關系設直線，橢圓，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個關于的方程.方程有兩個不同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個交點；方程有兩個相同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個交點；方程無實數(shù)解，即直線與圓錐曲線無交點.弦長的求解當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個不同的點，則弦長.3.中點弦問題AB為橢圓的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.【典例講練】題型一直線與橢圓的位置關系【例1-1】已知橢圓C的兩個焦點分別是?，且橢圓C經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)當m取何值時，直線與橢圓C：①有兩個公共點；②只有一個公共點；③沒有公共點？

【例1-2】已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【例1-3】設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.【例1-4】橢圓上的點到直線的距離的最大值為______.歸納總結：【練習1-1】不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的范圍是__.【練習1-2】已知圓錐曲線上的點的坐標滿足．(1)說明是什么圖形，并寫出其標準方程；(2)若斜率為1的直線與交于軸右側不同的兩點，，求直線在軸上的截距的取值范圍．題型二弦長問題【例2-1】橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．【例2-2】已知橢圓及直線．(1)當直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)的取值范圍；(2)求直線被橢圓截得的最長弦的長度．歸納總結：【練習2-1】已知直線：與橢圓：交于，兩點．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．題型三中點弦、弦中點問題【例3-1】已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【例3-2】橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．【例3-3】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸頂點分別為、，四邊形的面積為32.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為，求直線的方程.歸納總結：【練習3-1】已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.【練習3-2】已知橢圓的短軸長為，焦點坐標分別為和.(1)求橢圓的標準方程.(2)直線與橢圓交于兩點，若線段的中點，求直線的方程.題型四直線與橢圓的綜合【例4-1】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點，且的周長為．(1)求的方程；(2)已知點，若不過點的直線與交于、兩點，且，證明：直線過定點．【例4-2】已知點，圓：，點是圓上的動點，的垂直平分線與交于點，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設經(jīng)過點的直線與交于，兩點，求證：為定值，并求出該定值．歸納總結：【練習4-1】設橢圓：的離心率為，焦距為2，過右焦點的直線與橢圓交于A，兩點，點，設直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請說明理由.【請完成課時作業(yè)（五十五）】

【課時作業(yè)（五十五）】A組基礎題1．直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．若橢圓的中心為原點，過橢圓的焦點的直線l與橢圓交于，兩點，已知的中點為，則橢圓的長軸長為（

）A．B．4C． D．3．若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數(shù)為（

）A．0B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來確定4．直線y＝x+m與橢圓交于A，B兩點，若弦長，則實數(shù)m的值為（

）A． B．±1 C． D．±25．已知橢圓的左?右焦點分別是，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的面積是（

）A． B． C． D．6．【多選題】已知直線x＝my－1經(jīng)過橢圓C：的一個焦點F，且與C交于不同的兩點A，B，橢圓C的離心率為，則下列結論正確的有（

）A．橢圓C的短軸長為B．弦的最小值為3C．存在實數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過點D．若，則7．【多選題】泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點到點的距離是點到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（

）A．點的軌跡方程是B．直線：是“最遠距離直線”C．平面上有一點，則的最小值為5.D．點P的軌跡與圓：是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）8．在直角坐標系中，橢圓C方程為，P為橢圓C上的動點，直線的方程為：，則點P到直線的距離d的最小值為__________.9．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．10．已知橢圓的上頂點為M，下頂點為N，左、右焦點分別為，，四邊形的面積為，且為正三角形．(1)求橢圓的標準方程．(2)當直線與橢圓交于A，B兩點時，滿足，求直線的方程．B組能力提升1．已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．2．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．第6課時直線與橢圓的位置關系編寫：廖云波【回歸教材】1.直線與橢圓的位置關系設直線，橢圓，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個關于的方程.方程有兩個不同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個交點；方程有兩個相同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個交點；方程無實數(shù)解，即直線與圓錐曲線無交點.弦長的求解當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個不同的點，則弦長.3.中點弦問題AB為橢圓的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.【典例講練】題型一直線與橢圓的位置關系【例1-1】已知橢圓C的兩個焦點分別是?，且橢圓C經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)當m取何值時，直線與橢圓C：①有兩個公共點；②只有一個公共點；③沒有公共點？【答案】(1)(2)①；②；③或【解析】【分析】（1）由題意c=1，將點的坐標代入橢圓的標準方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式求解即可.(1)設橢圓C的標準方程為，由題意可得：解得，所以橢圓C的標準方程為：；(2)聯(lián)立消去y得：，則，①當，即時，方程有兩個不同的實數(shù)根，所以直線與橢圓C有兩個公共點；②當，即時，方程有兩個相等的實數(shù)根，所以直線與橢圓C只有一個公共點；③當，即或時，方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C沒有公共點；綜上，當時有兩個公共點；當時，有一個公共點；當或，沒有公共點.【例1-2】已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】【分析】求出直線所過的定點，證明該定點在橢圓內(nèi)部即可得出結論.【詳解】解：由直線l：，得直線l過定點，因為，所以該點在曲線C：內(nèi)部.所以直線l與曲線C相交.故選：C.【例1-3】設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.【答案】【解析】【分析】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：【例1-4】橢圓上的點到直線的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設與直線平行的直線與橢圓相切，然后將直線方程代入橢圓方程中，由可求出的值，再利用兩平行線間的距離公式可求得結果【詳解】設與直線平行的直線與橢圓相切，由得，由得，，解得設直線與直線的距離為，當時，直線為，則，當時，直線為，則，因為，所以橢圓1上的點到直線的距離的最大值為.故答案為：歸納總結：【練習1-1】不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的范圍是__.【答案】【解析】【分析】方法一：將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立消元得，運用根的判斷式建立不等式求解即可；方法二：若過定點的直線均與橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，求得直線所過的定點，代入橢圓的方程建立不等式求解即可.【詳解】解：方法一：把直線代入橢圓1，化為．其中．(注意這個坑)，直線與橢圓1有公共點，恒成立，化簡為．上式對于任意實數(shù)都成立，，解得．實數(shù)的范圍是．方法二：因為直線恒過定點所以代入得即因為是橢圓，所以故的取值范圍是．故答案為：．【練習1-2】已知圓錐曲線上的點的坐標滿足．(1)說明是什么圖形，并寫出其標準方程；(2)若斜率為1的直線與交于軸右側不同的兩點，，求直線在軸上的截距的取值范圍．【答案】(1)圓錐曲線是以，為焦點，長軸長為的橢圓，(2)【解析】【分析】（1）由平面上兩點間距離公式及橢圓的定義即得；（2）由題可設直線：，聯(lián)立橢圓的方程，利用韋達定理可得，即求.(1)由題可知點到定點，的距離之和為，∴圓錐曲線是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以其標準方程為.(2)設直線：，，，由，消去，得，由題意，有，解得，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.題型二弦長問題【例2-1】橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率，過點，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解.(1)解：由題意得，解得，又因為點在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標準方程為.(2)解：易得直線l的解析式為，設，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．【例2-2】已知橢圓及直線．(1)當直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)的取值范圍；(2)求直線被橢圓截得的最長弦的長度．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)聯(lián)立直線與圓的方程，由判別式可得答案.(2)由（1）得出韋達定理，由弦長公式可得答案.(1)由方程組消去并整理，得．因為直線與橢圓有公共點，所以．解得．故實數(shù)的取值范圍是．(2)由根與系數(shù)的關系，得，，則弦長故當時，取得最大值為．歸納總結：【練習2-1】已知直線：與橢圓：交于，兩點．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程得到含參數(shù)m的一元二次方程，由它們有兩個交點知，即可求參數(shù)范圍.（2）已知弦長，結合弦長公式列方程求參數(shù)值即可.(1)由題設，聯(lián)立直線與橢圓方程有，整理可得：，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，可得.(2)由（1）可得：，，又，整理得：，所以，經(jīng)檢驗滿足題設，故.題型三中點弦、弦中點問題【例3-1】已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設出點A，B的坐標，利用“點差法”求解作答.【詳解】設點，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.【例3-2】橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．【答案】【解析】【分析】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，利用點差法可得答案.【詳解】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設中點坐標為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．【例3-3】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸頂點分別為、，四邊形的面積為32.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接由離心率和四邊形的面積建立關于的方程，解方程即可；（2）直接通過點差法求出直線斜率，再通過點斜式寫出方程即可.(1)因為離心率，所以，因為，所以.因為四邊形的面積為32，所以，所以，，故橢圓的標準方程為(2)設，，則兩式相減得，所以.因為的中點坐標為在橢圓內(nèi)部，所以，所以直線的斜率為1，故直線的方程為，即.歸納總結：【練習3-1】已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.【答案】【解析】【分析】設，弦的中點，將代入橢圓方程，點差法可得，時利用，可得答案；時，則直線方程為，代入橢圓方程解得坐標，滿足上述方程，可得答案.【詳解】設，弦的中點，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當時，，因為，所以，則，整理得；當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.【練習3-2】已知橢圓的短軸長為，焦點坐標分別為和.(1)求橢圓的標準方程.(2)直線與橢圓交于兩點，若線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）假設橢圓方程，根據(jù)短軸長、焦點坐標和橢圓關系可構造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）利用點差法可求得直線斜率，由此可得直線方程.(1)由題意可設橢圓方程為：，則，解得：，橢圓的標準方程為：.(2)設，，則，兩式作差得：，直線斜率，又中點為，，，，直線方程為：，即.題型四直線與橢圓的綜合【例4-1】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點，且的周長為．(1)求的方程；(2)已知點，若不過點的直線與交于、兩點，且，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設直線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于的方程，解出的值，即可得出直線所過定點的坐標.(1)解：的周長為，由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.(2)解：由可得.若直線的斜率不存在，設點、，則，其中，則，，所以，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，得，，即，，因為，，由，得，即，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，過定點．【例4-2】已知點，圓：，點是圓上的動點，的垂直平分線與交于點，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設經(jīng)過點的直線與交于，兩點，求證：為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)點在的垂直平分線上，得，從而可得，則有的軌跡是以A，為焦點的橢圓，即可得解；（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設：，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理求得，，再證明為定值即可.(1)解：圓的圓心為，半徑，由點在的垂直平分線上，得，所以，所以的軌跡是以A，為焦點的橢圓，，，所以，，，所以的方程為；(2)證明：①當直線的斜率不存在時，易知，②當直線的斜率存在時，設：，，，則把代入得，顯然，有，，，所以，綜上所述，為定值．歸納總結：【練習4-1】設橢圓：的離心率為，焦距為2，過右焦點的直線與橢圓交于A，兩點，點，設直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距，求得c值，根據(jù)離心率，求得a值，根據(jù)a，b，c的關系，可得，即可得答案.（2）當直線l斜率為0，即為x軸時，分析可得；當直線l斜率不為0時，設直線的方程為：，，，將直線與橢圓聯(lián)立，可得關于y的一元二次方程，利用韋達定理，可得、表達式，根據(jù)斜率公式，化簡整理，即可得證.(1)因為焦距，所以，因為離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.(2)當直線l斜率為0，即為x軸時，則，所以；當直線l斜率不為0時，設直線的方程為：，，，將直線l與橢圓聯(lián)立，消x整理得，所以，，所以，，所以.綜上所述：為定值0.【請完成課時作業(yè)（五十五）】

【課時作業(yè)（五十五）】A組基礎題1．直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求得其右頂點為，上頂點為，結合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點為，上頂點為，又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.故選：C.2．若橢圓的中心為原點，過橢圓的焦點的直線l與橢圓交于，兩點，已知的中點為，則橢圓的長軸長為（

）A． B．4C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意知，再根據(jù)、、、的關系可以求出、的關系，以及橢圓的性質(zhì)可以求出，繼而求出長軸長.【詳解】由焦點在x軸上，設橢圓的方程為，，.∵，在橢圓上，∴作差得.(*)∵直線l過和，且的中點為，∴，.，代入(*)式，得，即.又∵，，解得，所以橢圓的長軸長為.故選：D.3．若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關系，得到，進而結合圓和橢圓的位置關系，即可求得答案.【詳解】因為直線和圓沒有公共點，所以原點到直線的距離，即，所以點是在以原點為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點，又因為橢圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，所以點在橢圓的內(nèi)部，所以過點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為.故選：C.4．直線y＝x+m與橢圓交于A，B兩點，若弦長，則實數(shù)m的值為（

）A． B．±1 C． D．±2【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關系，結合求得的值.【詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，則x1+x2＝，x1x2＝，所以弦長|AB|＝＝＝，由題意可得：＝，解得：.故選：B5．已知橢圓的左?右焦點分別是，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題知，直線，進而與橢圓方程聯(lián)立得，，進而根據(jù)計算即可.【詳解】解：由題意可得，，則直線.聯(lián)立，整理得，設，，則，，從而.因為，所以的面積是.故選：A6．【多選題】已知直線x＝my－1經(jīng)過橢圓C：的一個焦點F，且與C交于不同的兩點A，B，橢圓C的離心率為，則下列結論正確的有（

）A．橢圓C的短軸長為B．弦的最小值為3C．存在實數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過點D．若，則【答案】BCD【解析】【分析】由于直線x＝my－1經(jīng)過定點，則由題意得，再由離心率為可求出，從而可求出，則可求出橢圓方程，然后結合橢圓的性質(zhì)逐個分析判斷即可【詳解】依題意可知，直線x＝my－1經(jīng)過定點，所以．又橢圓C的離心率為，所以a＝2，則，所以橢圓C的短軸長為，所以A選項不正確；當m＝0時，弦AB即為橢圓的一條通徑，且，所以B選項正確；橢圓C的長軸長為2a＝4，所以，當最短時，此時點在以AB為直徑的圓外，當趨近于4時，點在以AB為直徑的圓內(nèi)，因此，存在實數(shù)m，使得以AB為直徑的圓恰好過點，所以C選項正確；由，得，設，，則，聯(lián)立整理得，恒成立，則，．因為，所以解得，所以D選項正確．故選：BCD．7．【多選題】泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點到點的距離是點到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結論中正確的是（

）A．點的軌跡方程是B．直線：是“最遠距離直線”C．平面上有一點，則的最小值為5.D．點P的軌跡與圓：是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）【答案】ABC【解析】【分析】對A，設，根據(jù)定義建立關系可求出；對B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對C，根據(jù)定義轉化為求即可；對D，易判斷為交點.【詳解】設，因為點到點的距離是點到直線的距離的一半，所以，化簡得，故A正確；聯(lián)立方程可得，解得，故存在，所以直線：是“最遠距離直線”，故B正確；過P作PB垂直直線，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點A到直線的距離5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點P的軌跡與圓交于點，故D錯誤.故選：ABC.8．在直角坐標系中，橢圓C方程為，P為橢圓C上的動點，直線的方程為：，則點P到直線的距離d的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】設橢圓切線，聯(lián)立橢圓方程求出切線方程，利用平行線的距離判斷橢圓上點到已知直線距離的最值.【詳解】令與橢圓相切，消去x整理得：，所以，可得，顯然與橢圓無交點，當，切線為，與距離為；當，切線為，與距離為；所以點P到直線的距離d的最小值為.故答案為：9．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設，利用“點差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設直線與橢圓交于，則.因為AB中點,則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.10．已知橢圓的上頂點為M，下頂點為N，左、右焦點分別為，，四邊形的面積為，且為正三角形．(1)求橢圓的標準方程．(2)當直線與橢圓交于A，B兩點時，滿足，求直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關于a,b,c的方程，解得其值，即可求得答案;（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關系式，將展開，代入根與系數(shù)的關系