函數(shù)的恒成立、存在性問題的方法總結(jié)大全(干貨)

關(guān)于函數(shù)的恒成立、存在性（能成立）問題關(guān)于二次函數(shù)的恒成立、存在性（能成立）問題是?？伎键c，其基本原理如下：（1）已知二次函數(shù)，則：；．（2）若表述為：“已知函數(shù)”，并未限制為二次函數(shù)，則應(yīng)有：；．注：在考試中容易犯錯，要特別注意?。?！恒成立問題與存在性（能成立）問題，在解決此類問題時，可轉(zhuǎn)化為其等價形式予以解答，將此類問題的可能出現(xiàn)的17種情形歸納總結(jié)大全如下，并通過?？祭}進行講解：已知定義在上的函數(shù)，．（1），都有（是常數(shù)）成立等價于（）．（2），都有（是常數(shù)）成立等價于（）．（3），都有成立等價于（）．（4），都有成立等價于（）．（5），都有成立等價于．（6），使得成立等價于．（7），使得成立等價于．（8），使得成立等價于．（9），使得成立等價于．（10），使得成立等價于的值域與的值域交集不為．（11），使得（是常數(shù)）成立等價于．（12），都有（是常數(shù)）成立等價于且．特別地，，都有（是常數(shù)）成立等價于．（13），都有（是常數(shù)）成立等價于或．特別地，，都有（是常數(shù)）成立等價于．（14），使得（是常數(shù)）成立等價于且．特別地，，使得（是常數(shù)）成立等價于．（15），使得（是常數(shù)）成立等價于或．特別地，，使得（是常數(shù)）成立等價于．（16），使得（是常數(shù)）成立等價于且．（17），使得（是常數(shù)）成立等價于或．【評注】（9），使得成立等價于．所在區(qū)域能包含所在區(qū)域時，滿足條件．．題目中有時會這樣表述：對任意的，都有，使得成立，（9）的表達的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的內(nèi)涵：即當時，的值域不過是的子集．【例1】（1）（2010?山東?理14）若對任意，恒成立，則的取值范圍是．（2）現(xiàn)已知函數(shù)，且設(shè)，若有，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6（3）已知，若對任意，存在，使，則實數(shù)的取值范圍是．（4）已知函數(shù)，，對于任意的，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．（5）已知函數(shù)，，函數(shù)，，對于任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．（6）（2008?天津?文10）設(shè)，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值集合為A． B． C． D．（7）（2008?天津?理15）設(shè)，若僅有一個常數(shù)使得對于任意的，都有滿足方程，這時的取值的集合為．【解析】（1），（當且僅當時取等號），，即的最大值為，故答案為：．（2）函數(shù)的圖象是開口向上，過點，對稱軸為的拋物線，由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，表示，對應(yīng)的函數(shù)值（圖象上的點的縱坐標）之差的絕對值，結(jié)合函數(shù)圖象，表示函數(shù)在區(qū)間上分成段，取每段兩端點函數(shù)值差的總和，由題意可知，，，故選：．（3）問題等價于，為上單調(diào)遞增，，為減函數(shù)，，由，解得．（4）法一：，當時，，，的值域是；法二：，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，取得極大值3，也是最大值；又，．，對于任意的，總存在，使得成立，的值域是的值域的子集，即，，解得或，故選：．（5）因為，則在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的值域為，記為，當時，在上為增函數(shù)，所以的值域為，記為，由題意可得，，所以，解得；當時，在上為減函數(shù)，故的值域為，記為，由題意可知，，所以，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故選：．（6）由，可得，得，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故，即故選：．（7），，，得，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，因為有且只有一個常數(shù)符合題意，所以，解得，所以的取值的集合為．故答案為：．【評注】深入理解（6）題題干中的“任意的”、“都有”的內(nèi)涵：即當時，的值域不過是的子集．值得關(guān)注的是：“”是指每一個這樣的，是指存在這樣的，理解到由函數(shù)的定義域?qū)С鲋涤蚴堑淖蛹纱瞬庞校海?）與（7）唯一的差別就是：（7）中要求時唯一的，如何轉(zhuǎn)化“唯一”這個條件是本題的關(guān)鍵，與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來來進行解答，需要有較強的轉(zhuǎn)化問題的能力．【例2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求的取值范圍．【解析】（1），，函數(shù)的最小正周期．（2），，，的值域為．存在，使成立，，故實數(shù)的取值范圍為．【例3】已知實數(shù)，且滿足以下條件：①，有解；②，；求實數(shù)的取值范圍．【解析】實數(shù)，由①得：；由②得：時，，由得：，令，則，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則當時，，要使在上恒成立，則；綜上，的取值范圍是．【例4】（1）已知函數(shù)，，函數(shù)，．對任意，存在，成立．求的取值范圍．（）（2）已知函數(shù)，．函數(shù)，．對任意，存在，成立，求的取值范圍．（的值域是的值域的子集即可．）（3）已知函數(shù)，．函數(shù)，．存在，存在，成立，求的取值范圍．（的值域與的值域的交集非空．）【解析】（1），當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，當時，，由對任意，存在，成立有，即，解得，則求的取值范圍為．（2），當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，當時，，由對任意，存在，成立有，即，解得，則求的取值范圍為．（3），當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，當時，，由對存在，存在，成立有，即且，解得或．【例5】已知．（1）求的解析式；（2）函數(shù)，若對任意，總存在，使成立，求取值范圍．【解析】（1）令，得到，即，，（2）令，則，在內(nèi)任取，，令，則，得到在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以值域為，當時，，，因為的值域是值域的子集，所以，解得．【例6】（1）已知函數(shù)，，若有，則的取值范圍為（）A．B． C． D．（2）已知函數(shù)，．若有，則的取值范圍為A． B．C． D．【解析】（1）由題可知，，若有，則，即，解得，故選．畫出函數(shù)，的圖象，要使得，只需．（2），，，解得：，故選：．【例7】（1）（2014?江蘇?10）已知函數(shù)，若對于任意都有，則實數(shù)的取值范圍為．（2）已知函數(shù)、且當時，，當時，恒成立．（?。┣螅g的關(guān)系式；（ⅱ）當時，是否存在實數(shù)使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（3）（2017?天津?理8）已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．（4）已知定義域為的函數(shù)滿足．（?。┤簦?；又若，求；（ⅱ）設(shè)有且僅有一個實數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達式．【解析】（1）二次函數(shù)的圖象開口向上，對于任意，都有成立，，即，解得，故答案為：．（2）（ⅰ）由已知與同時成立，則必有，故．（ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)，使?jié)M足題設(shè)的存在．開口向上，且在上單調(diào)遞增，．．，．這與上式矛盾，從而能滿足題設(shè)的實數(shù)不存在．【評注】本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．一元二次函數(shù)的對稱性、最值、單調(diào)性是每年高考必考內(nèi)容，要引起重視．（3）法一：當時，關(guān)于的不等式在上恒成立，即為，即有，由的對稱軸為，可得處取得最大值；由的對稱軸為，可得處取得最小值，則①當時，關(guān)于的不等式在上恒成立，即為，即有，由（當且僅當取得最大值；由（當且僅當取得最小值2．則②由①②可得，．法二：作出的圖象和折線，當時，的導(dǎo)數(shù)為，由，可得，切點為代入，解得；當時，的導(dǎo)數(shù)為，由，可得舍去），切點為，代入，解得．由圖象平移可得，．故選：．法三：根據(jù)題意，作出的大致圖象，如圖所示．當時，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需，即，故對于方程，，解得；當時，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需，即，又，當且僅當，即時等號成立，所以．綜上，的取值范圍是．故選：．（4）（ⅰ）因為對任意，有，所以，又由，得，即，若，則，即．（ⅱ）因為對任意，有．又因為有且只有一個實數(shù)，使得．所以對任意，有．在上式中令，有．又因為，所以，故或．若，則，即．但方程有兩個不相同實根，與題設(shè)條件矛盾．故．若，則有，即，