任務(wù)4.1 頻率特性講解

項目四

控制系統(tǒng)的頻域分析4.0概述

時域分析信號不只和時間有關(guān)，還和頻率有關(guān)；則信號隨著不同頻率是如何變化？x(t)=50*sin(2*pi*50*t)+100*sin(2*pi*120*t);

時域分析時域內(nèi)要解微分方程，而頻域內(nèi)變成了求解代數(shù)方程；系統(tǒng)響應性能不滿足工程要求時，如何調(diào)整系統(tǒng)？系統(tǒng)無法解析建模時，不能研究系統(tǒng)性能？時間、頻率和幅度的三維坐標

頻域分析頻域分析：以輸入信號的頻率為變量，在頻域內(nèi)研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能關(guān)系的一種方法。系統(tǒng)的頻率特性又很容易和它的結(jié)構(gòu)、參數(shù)聯(lián)系起來；無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向。頻域分析的優(yōu)點：可由微分方程或傳遞函數(shù)求得，也易于實驗分析;可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。教學重點：頻率特性的基本概念，表達方法，頻率特性的繪制，系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷及相對穩(wěn)定性的衡量。教學難點：開環(huán)幅相頻率特性圖的畫法，閉環(huán)頻率特性的求法，頻率特性和時間響應的關(guān)系1、理解頻率特性的概念；熟練掌握Nyquist圖和Bode圖的一般繪制方法；熟記典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線。2、熟練運用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；熟練運用Bode圖分析系統(tǒng)性能。3、掌握閉環(huán)頻率特性的概念，頻域中的性能指標，穩(wěn)定裕度的概念。4、了解最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的概念；并能用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5、掌握用頻率特性實驗法辯識系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。教學目的：任務(wù)4.1頻率特性

系統(tǒng)的頻率特性指系統(tǒng)在正弦信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應的振幅、相位與所輸入正弦信號頻率之間的依賴關(guān)系。一、頻率特性的概念

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，由勞斯判據(jù)知當系統(tǒng)穩(wěn)定。K0＜K＜30

給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=1【FZ1】曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=2曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=3曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=5曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=10曲線如下:

結(jié)論：給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦信號，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。

對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和y(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。一般系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸入輸出

若：則：拉氏反變換為：

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：

而式中：Rm

、Ym分別為輸入、輸出信號的幅值。

上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動了。和 都是頻率的函數(shù)。正弦輸入曲線頻率響應曲線定義1：

系統(tǒng)或環(huán)節(jié)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應與輸入函數(shù)之比為頻率特性。x=Asinωt

G(s)y(t)

A是幅值，ω是角頻率.穩(wěn)態(tài)響應，是頻率的函數(shù)。二、頻率特性的定義

由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學上是等價的。定義2：線性定常系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，定義為系統(tǒng)的頻率特性，即從數(shù)學意義上，頻率特性與傳遞函數(shù)存在下列簡單的關(guān)系或者幅角形式頻率特性一般是復變函數(shù)，所以可以表示為指數(shù)形式

記，稱為幅頻特性，，稱為相頻特性。頻率特性也可以表示為代數(shù)形式

還可將寫成復數(shù)形式，即

這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

對于一般線性定常系統(tǒng)，在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是一個同頻率的正弦信號。據(jù)此，在控制理論中，可得到更具有明顯物理意義的頻率特性定義。

幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：

線性定常系統(tǒng)在正弦輸入作用下，輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復相量與輸入正弦信號的復相量之比，定義為系統(tǒng)的頻率特性，即定義3：實驗測定頻率特性

用頻率或超低頻信號發(fā)生器，作為輸入信號加在系統(tǒng)的輸入端，當系統(tǒng)穩(wěn)定后，同時記錄系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)。找到在此刻頻率下的幅值比和相位差。然后改變ω，逐一記錄B、A(ω)和φ(ω)，就獲得了頻率特性。

直接用頻率特性測試儀測取，直接在X-Y記錄儀上顯示或。φ方法①方法②

頻率特性的性質(zhì)①

與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素無關(guān)。當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定了，則系統(tǒng)的頻率特性也完全確定。

②

頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應。

系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，對于不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應。從理論上講，系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量（從全解的形式中理解）總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析研究系統(tǒng)，包括它的穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。系統(tǒng)微分方程的全解＝齊次通解+穩(wěn)態(tài)特解這個穩(wěn)態(tài)特解就是穩(wěn)態(tài)分量，即頻率特性定義中要用到的量。③

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當輸入量頻率

改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（

）和它們的相位移

（

）也隨之改變。所以A（

）和

（

）都是

的函數(shù)。這是由于系統(tǒng)中的儲能元件引起的。④

實際系統(tǒng)的輸出量都隨頻率的升高而出現(xiàn)失真，幅值衰減。所以，可將實際系統(tǒng)看成一個“低通”濾波器。⑤

頻率特性可應用到某些非線性系統(tǒng)的分析中去。⑥

頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的手段準確地得到系統(tǒng)的頻率響應，當系統(tǒng)傳遞函數(shù)未知時，可以通過測量頻率響應來推導系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；⑦頻率特性正好是線性系統(tǒng)的富立葉變換。

微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型

到此，我們給全了線性定常系統(tǒng)數(shù)學模型的三大表示體系。實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性三、頻率特性的幾種表示方法1、頻率特性的數(shù)學表示極坐標系（一）解析表示（二）圖示（幾何）表示1、極坐標圖——Nyquist圖（又叫幅相頻率特性、或奈奎斯特圖，簡稱奈氏圖）2、對數(shù)坐標圖——Bode圖（伯德圖）3、復合坐標圖——Nichocls圖（尼柯爾斯圖，或尼氏圖），一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。三、頻率特性的幾種表示方法它是在復平面上用一條曲線表示由時的頻率特性。即用矢量的端點軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。四、頻率特性的圖像（1）極坐標圖（乃奎斯特圖或簡稱乃氏圖）

極坐標圖是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標橫坐標，以其虛部為縱坐標，以w為參變量畫出幅值與相位之間的關(guān)系。注意：這個圖表示的是G(jw)平面，而不是s平面。

乃氏圖的優(yōu)點：它可以在一張圖上描繪出整個頻域的頻率響應。

不足：計算非常繁瑣；不直觀，無法明顯地看出每個零點和極點的影響；增添了新的零點或極點時，只能重新計算；看不出ω的變化速度。由于幅頻特性是w的偶函數(shù)，而相頻特性是w的奇函數(shù)，所以當w從0→∞的頻率特性曲線和w從－∞→0的頻率特性曲線是對稱于實軸的。

極坐標圖（乃氏圖）為偶函數(shù)；為奇函數(shù)。

………………極坐標圖（乃氏圖）的繪制（1）基本法（幅值與相角法）作表格在復平面上找到相應的點，用光滑曲線連起來。表1

幅相表………………

（3）找特殊點找到幾個特殊點繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖。

（2）求實部、虛部（實部虛部法）分別計算的實部和虛部，在復平面上找到相應點，用光滑曲線連起來。

對數(shù)幅相圖又稱為尼氏圖，對數(shù)幅相圖采用直角坐標系，其中取幅頻特性的對數(shù)為縱坐標，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性做橫坐標單位為度（），線性分度，對數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析中。

（2）對數(shù)幅相圖(Nichols)退出

對數(shù)幅頻特性曲線以頻率為橫坐標，并采用對數(shù)分度；縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對數(shù)相頻特性曲線的橫坐標與對數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線性分度，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成的對數(shù)坐標圖，稱之為伯德圖，簡稱伯氏圖。（3）對數(shù)坐標圖【伯德（Bode）圖】

Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。波德圖坐標的分度橫坐標(稱為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對數(shù)值logw

進行線性分度的。但為了便于觀察仍標以w

的值，因此對w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標變化一個單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。（3）對數(shù)坐標圖【伯德（Bode）圖】

對數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度：對數(shù)幅頻特性的縱軸按下式線性分度:半對數(shù)坐標系。

對數(shù)分度方法：ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω123456789

10lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1

對數(shù)幅頻特性曲線L(

)

由于w以對數(shù)分度，所以零頻率點在－∞處。

縱坐標分度：對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標以L(w)=20logA(w)表示。其單位為分貝(dB)。直接將20logA(w)值標注在縱坐標上。

相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。

一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。

當幅頻特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：增益=20log(幅值)

幅值A(chǔ)(w)1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000對數(shù)幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(chǔ)(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001對數(shù)幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10