遼寧省大連王府高級中學有限公司2023-2024學年高一下學期第二學段 數(shù)學試卷

大連王府高級中學2023-2024學年度下學期第二學段考試高一數(shù)學試題滿分150分 時間120分鐘一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)，則的虛部為（）A． B．i C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．3．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中煎下的扇形制作而成；一個半徑為的扇形，它的周長是，則這個扇形所含弓形的面積是（）A． B． C． D．4．銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在中，三個內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，且，則等于（）A． B． C．1 D．6．已知均為銳角，，則取得最大值時，的值為（）A． B． C．1 D．27．若，且，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知中，角的對邊分別是，下列命題中，真命題的個數(shù)是（）（1）若，則是等腰三角形；（2）若，則是直角三角形；（3）若，則是鈍角三角形；（4）若，則是等邊三角形．A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中有多項是符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選項的得0分。9．下列各式運算結(jié)果為有理數(shù)的是（）A． B．C． D．10．南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜幕，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式，其中為三角形的三邊和面積）表示．在中，分別為角所對的邊，若，且，則下列命題正確的是（）A．面積的最大值是 B．C． D．面積的最大值是11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，且．以下命題正確的是（）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若為的外心，則D．若為的垂心，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形中對角線的長度為______．13．設(shè)銳角的三個內(nèi)角，滿足，則的最小值為______．14．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①，順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為2，點滿足，則______；若點是正六邊形邊上的動點（包括端點），則的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分15．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別，且，若，求的值．16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足．（1）求證：；（2）若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．17．在大力推進城鎮(zhèn)化的舊房改造進程中，曉穎家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面．曉穎準備將店面改建成超市，遇到如下問題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的平板車希望能自如在直角走廊運行．平板車平板面為矩形，它的寬為1米．直線分別交直線于，過墻角作于于；請你結(jié)合所學知識幫曉穎解決如下問題：（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試將平板面的長表示為的函數(shù)；（2）證明：當時，；（3）若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？18，筒車（chinesenoria）亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”．一種以水流作動力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，這種靠水力自動的古老筒車，在家鄉(xiāng)郁郁蔥蔥的山間、溪流間構(gòu)成了一幅幅遠古的田園春色圖，水轉(zhuǎn)筒車是利用水力轉(zhuǎn)動的筒車，必須架設(shè)在水流湍急的岸邊，水激輪轉(zhuǎn)，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田，某鄉(xiāng)間有一筒車，其最高點到水面的距離為6m，筒車直徑為8m，設(shè)置有8個盛水筒，均勻分布在筒車轉(zhuǎn)輪上，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)一周需要24s，如圖，盛水筒A（視為質(zhì)點）的初始位置距水面的距離為4m．（1）盛水筒經(jīng)過后距離水面的高度為（單位：），求筒車轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)的解析式；（2）盛水筒（視為質(zhì)點）與盛水筒相鄰，設(shè)盛水筒在盛水筒的順時針方向相鄰處，求盛水筒與盛水筒的高度差的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示），及此時對應(yīng)的．（參考公式：）19．已知為平面內(nèi)不共線的三點，表示的面積．（1）若，求；（2）若，證明：（3）若，其中，且坐標原點恰好為的重心，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

大連王府高級中學2023-2024學年度下學期第二學段考試高一數(shù)學試題參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．【解答】解：，則，其虛部為．故選：C．2．【解答】解：設(shè)則故選：B．3．【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為，因為扇形的半徑為，周長為，所以，所以扇形所含弓形的面積是．故選：C．4．【解答】解：由及正弦定理得，即，所以，因為，所以，由為銳角得，由題意得，解得，則．故選：D．5．【解答】解：，，代入已知等式得：，即，，，，解得：（不合題意，舍去），，，則．故選：A．6．【解答】解：已知均為銳角，，則，即，即，即，則，當且僅當，即時取等號，則取得最大值時，的值為2．故選：D．7．【解答】解：，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，因為，所以為函數(shù)的最值，則的最小值為．故選：B．8．【解答】解：中，，由正弦定理得，因為，所以，即，即，所以或，所以或，故（1）錯誤；中，因為，所以，所以或，故（2）錯誤；中，，當時，都為鈍角，顯然不滿足；當中有1為負，2個為正，不妨設(shè)，則，所以是針角三角形；故（3）正確；中，，所以，所以，因為，所以，所以，則是等邊三角形，故（4）正確．故選：B．二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中有多項是符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選項的得0分。9．【解答】解：A，原式，為有理數(shù)，正確，B，原式，為有理數(shù)，正確，C，原式，為無理數(shù)，錯誤，D，原式，為有理數(shù)，正確．故選：ABD．10．【解答】解：由題意，得，即，所以，故B正確，C錯誤．由，得，當，即時，面積取到最大值是，A錯誤，D正確；故選：BD．11．【解答】解：對于，取的中點，連接，由，則，所以，所以三點共線，且，設(shè)分別為的中點，同理可得，所以為的重心，故A項正確；對于，由為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B項正確；對于C，由為的外心，設(shè)的外接圓半徑為，又因為，所以，所以，，，所以，故C項錯誤；對于D，延長交于點，延長交于點，延長交于點，由為的垂心，，則，又，則，設(shè)，則，所以即所以，同理，故，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．【解答】解：根據(jù)題意，由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測法則知，所以，13．【解答】解，當時取等號14．【解答】解：由題意得，，又以及正六邊形的幾何特征可知為的中點，則要使最大，可知當在處時，最大，此時最大，即故答案為：2；6．四、解答題：本題共5小題，共77分15．【解答】解：（1），的最大值為0，最小正周期是．（2）由，可得，，，由正弦定理得①，由余弦定理得，，②，由①②解得．16．【解答】（1）證明：（1）因為，由正弦定理可得：，在三角形中，所以，整理可得：，即，所以或，又因為，所以；（2）解：因為，所以，可得，由正弦定理可得，且，可得，所以，因為為銳角三角形且，，，所以因為為銳角三角形，即，，令，設(shè)在單調(diào)遞減，可得，所以．17．【解答】解：（1）由圖可知，，，即；證明：（2），，又，即，．；解：（3）平板車要想順利通過直角走廊，則平板車長度，由，令，則．原函數(shù)化為，即，則，函數(shù)化為，在上單調(diào)遞減，則當時，取得最小值為．18．【解答】解：（1）以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點，與水面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，由題意知，，，即，當時，，解得，結(jié)合圖像初始位置可知，，綜上．（2）經(jīng)過后距